(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong thiết kế hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀNTHƠNG

TRẦN THỊ THANH TÂM

PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Ngun - Năm 2015

Số hố bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN
THƠNG

TRẦN THỊ THANH TÂM

PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC

Chun ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH
Mã số

:

60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TS. ĐẶNG QUANG Á

Thái Nguyên - Năm 2015

Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ii

MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN................................................................................................... iv
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. v
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ...................................... vi
DANH MỤC BẢNG ....................................................................................... vii
DANH MỤC HÌNH .......................................................................................viii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ ....................................................... 5
1.1. HÌNH HỌC ĐƢỜNG CONG .................................................................5
1.1.1. Biểu diễn đường cong ....................................................................... 5
1.1.2. Đặc tính của đƣờng cong .................................................................... 6

1.2. HÌNH HỌC MẶT CONG .......................................................................8
1.2.1. Phƣơng pháp biểu diễn mặt cong ........................................................ 8
1.2.2. Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong ............................................ 10
1.2.3. Độ cong ............................................................................................. 12
1.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ .........................................................13
1.3.1. Phép biến đổi tọa độ 2D ..................................................................... 14
1.3.2. Phép biến đổi tọa độ 3D ..................................................................... 15
1.3.3. Phép ánh xạ ........................................................................................ 17
1.3.4. Khung tọa độ ...................................................................................... 18
1.4. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG.............19
1.5. PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC ...............21
1.5.1. Phƣơng pháp tách biến Fourier ......................................................... 21
1.5.2. Phƣơng pháp sai phân ....................................................................... 22
1.5.3. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn .......................................................... 23
1.6. TỔNG KẾT CHƢƠNG ............................................................................24
Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNHĐẠO HÀM RIÊNG TRONG
THIẾT KẾ HÌNH HỌC ........................................................................................... 25
Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iii

2.1. BỀ MẶT PDE .......................................................................................25
2.1.1. Các bề mặt hình học PDE ................................................................. 25
2.1.2. Các bề mặt PDE dạng ẩn................................................................... 26
2.1.3. Các bề mặt PDE dạng tham số .......................................................... 28
2.2. PHƢƠNG PHÁP BLOOR – WILSON PDE ........................................28
2.3. HIỆU CHỈNH PHƢƠNG PHÁP BLOOR – WILSON PDE ...............32

2.3.1. Hiệu chỉnh phƣơng pháp Bloor-wilson PDE ..................................... 32
2.3.2. Các bề mặt PDE tham số thu đƣợc dựa trên các mơ hình vật lý ............... 33
2.3.3. Ứng dụng của các bề mặt PDE............................................................... 34
2.3.4. Phân tích và tối ƣu hóa thiết kế ......................................................... 36
2.3.5. Các ứng dụng khác ............................................................................ 37
2.4. TỔNG KẾT CHƢƠNG ........................................................................38
Chƣơng 3. THIẾT KẾ MỘT SỐ ĐỐI TƢỢNG HÌNH HỌC ......................... 39
3.1. THIẾT KẾ MỘT SỐ ĐỐI TƢỢNG HÌNH HỌC BẰNG PHƢƠNG
TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI ...................................................................................39
3.2. THIẾT KẾ MỘT SỐ ĐỐI TƢỢNG HÌNH HỌC BẰNG PHƢƠNG
TRÌNH ELLIPTIC CẤP BỐN. .................................................................................46
3.3. GIAO DIỆN CHÍNH CỦA CHƢƠNG TRÌNH ...................................58
3.4. TỔNG KẾT CHƢƠNG ........................................................................59
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 60
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................ 61

Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iv

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo Sau Đại học,
Khoa Cơng nghệ Thơng tin Trường Đại học công nghệ thông tin và truyền thơng
Thái Ngun đã tận tình giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình
học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Đặc biệt, em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến GS. TS Đặng Quang Á – người đã
dành nhiều thời gian, công sức và tận tình hướng dẫn khoa học cho em trong suốt

quá trình hình thành và hồn chỉnh luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô đã giảng dạy, truyền đạt cho em
những tri thức quý báu, thiết thực trong suốt khóa học.
Cuối cùng xin bày tỏ lịng biết ơn đối với gia đình, người thân, bạn bè, đồng
nghiệp đã giúp đỡ, động viên, đóng góp ý kiến quý báu cho em trong việc hoàn
thành luận văn này.

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015
Tác giả

Trần Thị Thanh Tâm

Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




v

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn trực tiếp của GS.TS Đặng Quang Á.
Mọi trích dẫn sử dụng trong báo cáo này đều được ghi rõ nguồn tài liệu
tham khảo theo đúng qui định.
Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tôi xin
chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015
Tác giả

Trần Thị Thanh Tâm

Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




vi

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Tiếng Anh
Từ viết tắt

Tên đầy đủ

CAD

Computer Aided Design

PDE

Partial differential equations

Phƣơng trình đạo hàm riêng

CSG

Constructive solid geometry

Phƣơng pháp hình học lập thể

B-rep

Boundary representation

Phƣơng pháp biểu diễn biên

FFD

free-form deformation

Tự do biến dạng

Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

Diễn giải
Hệ thống thiết kế có sự trợ giúp
của máy tính




vii

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1. Phép quay cơ bản quanh các trục hệ tọa độ ..............................................16
Bảng 3.1. Tham số đầu vào các đối tƣợng theo phƣơng trình elliptic cấp hai .........44
Bảng 3.2. Tham số của các loại Wine glass ..............................................................56

Số hoá bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




viii

DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1. Tham số hóa đƣờng trịn đơn vị ..................................................................5
Hình 1.2. Vectơ pháp truyến chính và đƣờng trịn mật tiếp........................................7
Hình 1.3. Hình học mặt cong ....................................................................................10
Hình 1.4. Đƣờng cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến ................................10
Hình 1.5. Phép biến đổi tọa độ 2D ............................................................................14
Hình 1.6. Phép biến đổi tọa độ dƣới hình thức hệ tọa độ chuyển động ....................19
Hình 2.1. Các đƣờng cong biên Hình 2.2. Bề mặt PDE tƣơng ứng .......................29
Hình 2.3. Mặt PDE tƣơng ứng với một vỏ sị ...........................................................30
Hình 2.4. Mặt PDE tƣơng ứng với một chai Klein. ..................................................30
Hình 2.5. Mặt PDE tƣơng ứng với mặt Werner Boy ................................................31
Hình 2.6. Các mặt PDE tƣơng ứng với bề mặt dạng ống xoắn vào nhau. ................31
Hình 3.1. Đối tƣợng elliptic cấp 2 tƣơng ứng với các tham số hình A .....................44
Hình 3.2. Đối tƣợng elliptic cấp 2 tƣơng ứng với các tham số hình B .....................45
Hình 3.3. Đối tƣợng elliptic cấp 2 tƣơng ứng với các tham số hình C .....................45
Hình 3.4. Thiết kế cốc Wine glass tƣơng ứng với các tham số hình D ....................56
Hình 3.5. Thiết kế cốc Wine glass tƣơng ứng với các tham số hình E .....................57
Hình 3.6. Thiết kế cốc Wine glass tƣơng ứng với các tham số hình F .....................57
Hình 3.7. Giao diện chính .........................................................................................58
Hình 3.8. Giao diện mơ phỏng đối tƣợng bằng phƣơng trình Elliptic cấp 2 ............58
Hình 3.9. Giao diện mơ phỏng đối tƣợng bằng phƣơng trình Elliptic cấp 4 ............59
Hình 3.10. Thơng tin tác giả......................................................................................59

Số hố bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày ngay, hầu nhƣ tất cả các công việc thiết kế dựa trên máy tính đều bắt
đầu với việc sử dụng các hệ thống thiết kế có sự trợ giúp của máy tính (Computer
Aided Design – CAD [1]) để tạo ra các mơ hình hình học một cách chi tiết. Nhờ sự
phát triển của cơng nghệ thơng tin, các ngành cơng nghiệp có liên quan đến ngành
hàng không vũ trụ, điện tử và tự động hóa... sử dụng CAD ngày một nhiều hơn.
Chúng ta hãy xét một quy trình để tạo ra một sản phẩm kỹ thuật mới.
Thƣờng thì một quy trình khởi đầu với việc định nghĩa một hình dạng mẫu đƣợc
yêu cầu bởi các khái niệm đặc tả hình dạng hình học của sản phẩm và các chức
năng của nó. Quy trình này sau đó xử lý qua một chuỗi các hoạt động lặp lại cho tới
khi đạt đƣợc một thiết kế tối ƣu. Ngày nay, quy trình của việc “thiết kế tự động theo
chức năng” dựa trên việc gia tăng sử dụng các máy tính. Mặc dù việc thiết kế hình
học dựa trên việc mở rộng sử dụng các máy tính khơng cung cấp giải pháp tự động
cho một bài tốn thiết kế cho trƣớc, nhƣng nó cũng làm tăng tính hiệu quả trong quy
trình thiết kế. Bởi vậy, các quá trình chính của thiết kế hình học bao gồm việc mơ tả
hiệu quả hình dáng hình học và thao tác trên các tham số của mơ hình biểu diễn.
So với các kỹ thuật thông thƣờng đƣợc sử dụng trong thiết kế hình
học,phƣơng pháp thiết kế hình học dựa trênphƣơng trình đạo hàm riêng [2], [3]
(Partial differential equations - PDE) có rất nhiều lợi thế:
- Sự tác động của một đối tƣợng PDE đƣợc xác định bởi giá trị biên của các
phƣơng trình vi phân do đó các mơ hình hình học phức tạp có thể dễ dàng đƣợc xác
định thơng qua các phƣơng trình vi phân bậc cao.

- Về nguyên tắc các đối tƣợng PDE có thể đƣợc tái tạo lại từ một tập nhỏ các
điều kiện biên. Thông tin nội bộ của chúng sẽ đƣợc tự động thu hồi thơng qua việc
giải các phƣơng trình vi phân. Do đó các mơ hình PDE u cầu ít tham số hơn các
mơ hình lập thể dạng tự do tham số.


2

- Đặc biệt mơ hình PDE có rất nhiều lợi thế so với các kỹ thuật mơ hình hóa
hình khối thông thƣờng, chẳng hạn nhƣ các hoạt động dựa trên các đƣờng, biểu diễn
các bề mặt biên. Vì vậy phƣơng pháp PDE có tiềm năng để tích hợp các phƣơng
pháp hình học lập thể (Constructive solid geometry-CSG), phƣơng pháp biểu diễn
biên (Boundary representation- B-rep) v.v.. vào một khung duy nhất.
- Tham số của mơ hình PDE cung cấp sự ánh xạ giữa chúng và khơng gian
vật lý. Do đó các mơ hình PDE và đặc biệt là các dạng biến thể của chúng có thể
cung cấp nguyên dạng tự do biến dạng(free-form deformation, FFD) cho các đối
tƣợng nhúng bên trong các mơ hình PDE.
- Các đối tƣợng PDE có thể thống nhất ở cả hai khía cạnh hình học và vật lý
trong các mơ hình thế giới thực, bởi vậy các u cầu khơng đồng nhất và khác nhau
có thể đƣợc thi hành và thỏa mãn một cách đồng thời.
Ngoài ra phƣơng pháp PDE cũng đƣợc sử dụng cho các mơ hình dạng ẩn bởi
vì các mơ hình dạng ẩn có lợi thế trong việc biểu diễn các đối tƣợng có hình dạng
tùy ý. Tuy nhiên, cả hai mơ hình sử dụng tham số và mơ hình ẩn đều có những mặt
mạnh và những hạn chế của riêng chúng. Ví dụ các mơ hình tham số cung cấp các
mơ tả hình dạng tƣờng minh trong khi đó mơ hình ẩn lại khơng có đƣợc điều này
ngƣợc lại các mơ hình tham số gặp khó khăn với việc pha trộn hình ảnh và phát
hiện các va chạm mà các mơ hình ẩn dễ dàng thực hiện điều này nhờ các hàm ẩn.
Do đó, việc cung cấp một cách tiếp cận thống nhất sẽ có nhiều lợi thế của cả hai loại
sẽ dễ dàng đạt mục đích mong muốn trong việc mơ hình hóa hình học. Hơn nữa, các
kỹ thuật đã đề cập ở trên chủ yếu tập trung vào các mô hình hình học thuần túy. Để

mơ phỏng các đối tƣợng trong thế giới thực, phƣơng pháp này tốt hơn trong việc kết
hợp vật thể và các tính chất vật lý chẳng hạn nhƣ mật độ trong biểu diễn hình học.
Bởi vì nhiều thuộc tính của vật thể có thể đƣợc tổng hợp bởi các giá trị vô hƣớng,
các hàm ẩn sẽ là ứng viên lý tƣởng trong việc mơ hình hóa các tính chất vật lý này.
Do đó bằng cách tích hợp các mơ hình ẩn với các biểu diễn hình học có thể đạt
đƣợc các mơ phỏng gần với các mơ hình trong thế giới thực.


3

Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và đƣợc sự gợi ý của giảng viên
hƣớng dẫn, tôi đã chọn đề tài “Phương pháp phương trình đạo hàm riêng trong
thiết kế hình học” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Đối tƣợng nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu của đề tài là các cơ sở toán học và các phƣơng pháp
biểu diễn, thiết kế hình học, trong đó tập trung vào các phƣơng pháp phƣơng trình
đạo hàm riêng trong thiết kế hình học.
3. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu các kiến thức có liên quan, các cơ sở lý thuyết
nhƣ: Cơ sở toán học trong thiết kế hình học, các phƣơng pháp, kỹ thuật đƣợc sử dụng
trong việc thiết kế hình học, các kỹ thuật sử dụng phƣơng trình đạo hàm riêng đặc biệt
là các dạng phƣơng trình elliptic cấp hai và cấp bốn kết hợp với các điều kiện biên ứng
dụng trong thiết kế hình học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu những kiến thức tổng quan về thiết kế hình học.
- Tìm hiểu phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm riêng ứng dụng trong thiết kế
hình học.
- Cài đặt thuật tốn ứng dụng các phƣơng trình đạo hàm riêng để thiết kế
hình học trong mơi trƣờng Matlab.
5. Những nội dung nghiên cứu chính

Bố cục của luận văn gồm phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài,đối tƣợng và
nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài. Chƣơng một, tập trung trình bày những kiến thức cơ
bản về thiết kế hình học và phƣơng trình đạo hàm riêng.Chƣơng hai,trình bày tóm tắt
các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết kế bề mặt, những ứng dụng của phƣơng trình vi
phân đạo hàm riêng (PDE – Partial diferential equations) trong các lĩnh vực liên quan
đến thiết kế và mơ hình hóa hình học. Chƣơng 3, trong chƣơng này chúng tôi đãsử
dụng các kết quả nghiên cứu liên quan đến phƣơng trình đạo để xây dựng thuật tốn
thiết kế một số đối tƣợng hình học bằng phƣơng trình elliptic cấp hai và cấp bốn.


4

Với những kết quả đạt đƣợc, phần cuối của luận văn nêu ra những phép đo
tính hiệu quả của nghiên cứu, đánh giá thuật toán và nêu vài đề xuất nhằm tối ƣu
thuật toán, đánh giá các kết quả đạt đƣợc, những hạn chế và đề xuất hƣớng nghiên
cứu tiếp theo của đề tài.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp đọc tài liệu
- Phƣơng pháp quan sát
- Phƣơng pháp phân tích – tổng hợp lý thuyết.
- Phƣơng pháp thực nghiệm.


5

Chƣơng 1.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1.HÌNH HỌC ĐƢỜNG CONG
Về mặt trực quan, đƣờng cong đƣợc định nghĩa nhƣ là quĩ đạo điểm thỏa
mãn một số điều kiện.
1.1.1. Biểu diễn đƣờng cong

Về tốn học, đƣờng cong có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng
- Phƣơng trình ẩn.
- Phƣơng trình tƣờng minh.
- Phƣơng trình tham số.
Xét đƣờng trịn đơn vị trên mặt phẳng (x – y), có tâm trùng với gốc hệ tọa độ
trên hình (1.1). Mối quan hệ giữa các tọa độ x và y đƣợc mơ tả bởi phƣơng trình
f ( x, y )  x 2  y 2  1  0 Phương trình ẩn

(1.1)

Nếu chỉ xét phần nửa trên của đƣờng trịn, phƣơng trình biểu diễn là
y  g ( x)  (1  x)1/2 Phương trình tường minh

(1.2)

Nếu đặt góc  giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đƣờng trịn, ta có

x  x( )  cos ; y  y( )  sin  Phương trình tham số

(1.3)

Hình 1.1. Tham số hóa đƣờng trịn đơn vị
Trƣờng hợp đặt góc  tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì
t  tg  y / ( x  1) Kết hợp với phƣơng trình (1.1) ta có
x  x(t )  (1  t 2 ) / (1  t 2 ); y  y (t )  2t / (1  t 2 )

(1.4)


6

Đây cũng là phƣơng trình tham số của đƣờng trịn và đƣợc gọi là phương
trình tham số đa thức hữu tỷ.Quá trình thiết lập phƣơng trình tham số hữu tỷ của
đƣờng cong và mặt cong từ phƣơng trình đa thức ẩn đƣợc gọi là tham số hóa.
Nên biểu diễn đƣờng cong 3D thích hợp dƣới dạng phƣơng trình tham số
x  x(t ); y  y (t ); z  z (t )

hay dƣới dạng vectơ r (t )  [x(t ), y(t ), z (t )].
Theo dạng phƣơng trình tham số, đƣờng cong đƣợc định nghĩa một cách dễ
dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Khơng thể xác định đƣờng cong
3D bởi phƣơng trình ẩn hay tƣờng minh, bởi vì phƣơng trình ẩn g ( x, y, z )  0 biểu
diễn bởi mặt cong, do đó cần hai phƣơng trình để xác định đƣờng cong 3D. Trong
trƣờng hợp này, đƣờng cong đƣợc định nghĩa nhƣ giao tuyến giữa hai mặt cong.
1.1.2. Đặc tính của đƣờng cong
Trong phần này để biểu diễn đƣờng cong, ta sử dụng phƣơng trình tham số
chuẩn tắc r  r (t )  [x(t ), y(t ), z(t )].
Đặc tính cơ bản của đƣờng cong, bao gồm
a. Độ chảy của đƣờng cong.
b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị.
c. Vectơ pháp tuyến chính.
d. Độ cong và bán kính cong.
1.1.2.1. Độ chảy

Độ lớn của vectơ đạo hàm r '(t ) đƣợc gọi là độ chảy của đƣờng cong

S '(t )  r '(t ) .

(1.5)

Hãy tƣởng tƣợng đƣờng cong là con đƣờng và tham số t tƣợng trƣơng cho thời

gian. Nhƣ vậy, độ chảy của đƣờng cong tƣơng ứng với tốc độ chạy xe. Đại lƣợng này
đƣợc sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phƣơng pháp quét hình.
Nếu đặt quãng đƣờng đi đƣợc là tham số s, phƣơng trình đƣờng cong dạng r(s)
trở thành phƣơng trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy của đƣờng cong
không phải là đặc tính riêng của đƣờng cong, đó là kết quả của phép tham số hóa.


7

1.1.2.2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị

Cho s là tham số tự nhiên của đƣờng cong r(t), sao cho


s   r '(t ) dt.
0

Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đƣờng cong r(t) đƣợc định nghĩa nhƣ sau

T  dr / ds.

(1.6)

T  r '(t )/ | r '(t ) | .

(1.7)

hay dƣới dạng vi phân

1.1.2.3. Vectơ pháp tuyến chính

Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hóa giá trị, chúng ta có
vectơ đơn vị N, đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến chính của đƣờng cong

N  (dT / dt )/ | dt / dt | (dT / ds)/ | dT / ds |

(1.8)

Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vng góc với vectơ T (Hình 1.2).
Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác
định bởi quan hệ B= TxN.

Hình 1.2. Vectơ pháp truyến chính và đƣờng trịn mật tiếp


8

1.1.2.4. Độ cong và bán kính cong

Cho s là tham số tự nhiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đƣờng cong
r(t). Độ cong đƣợc định nghĩa nhƣ sau

k | dT / ds | ,

(1.9)

| r ' xr '' |
,
| r ' |3

(1.10)

hay dƣới dạng vi phân

k
trong đó r '  dr (t ) / dt; r ''  dr '/ dt .

Đối với đƣờng cong 2D dạng phƣơng trình tƣờng minh y  y( x) , phƣơng
trình trên có dạng k  y ''/ (1  y '2 )3/2 ,trong đó y '  dy / dx; y ''  dy '/ dx .
Cho đƣờng tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 1.2) đi qua điểm hiện thời r(t)
và độ cong của nó bằng chính độ cong của đƣờng cong tại điểm này.Đƣờng tròn
này đƣợc gọi là đƣờng trịn mật tiếp, bán kính của đƣờng trịng mật tiếp đƣợc gọi là
bán kính cong và đƣợc xác định bởi   1/ k

(1.11)

1.1.2.5. Độ xoắn của đường cong

Độ xoắn của đƣờng cong 3D đƣợc định nghĩa nhƣ sau   (dB / ds).N ,
trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đơi. Phƣơng trình cơ
bản mơ tả đặc tính của đƣờng cong 3D đƣợc gọi là phƣơng trình Serect-Frenet

dr / ds  T ; dT / ds  kN
dN / ds   B  kT ; dB / ds   N 1

(1.12)

1.2.HÌNH HỌC MẶT CONG
1.2.1. Phƣơng pháp biểu diễn mặt cong
1.2.1.1. Mơ hình mặt cong dạng phương trình ẩn.

Cho mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc tọa độ Đề các.
Các điểm phía trong mặt cầu thỏa bất đẳng thức x 2  y 2  z 2  1  0 và
phƣơng trình x 2  y 2  z 2  1  0
biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu.

(1.13)


9

Xét một cách tổng quát, phƣơng trình ẩn g ( x, y, z )  0 biểu diễn mặt cong
giới hạn bởi hai nửa không gian g ( x, y, z )  0 và g ( x, y, z )  0 .
1.2.1.2. Mơ hình mặt cong dạng phương trình tham số
Theo hình học vi phân, mặt cong đƣợc định nghĩa nhƣ là ảnh của phép ánh
xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và đƣợc biểu
diễn bởi phƣơng trình

r (u, v)  [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] ,

(1.14)

trong đó u và v là tham số của mặt cong.
Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hóa phƣơng trình (1.13)
bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu
r (u, v)  (cos v cos u,cos v sin u,sin v) ,

(1.15)

với 0  u  2 và  / 2  v   / 2. .

Tƣơng tự nhƣ đƣờng trịn đơn vị có thể tham số hóa phƣơng trình mặt cầu
dƣới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ.
1.2.1.3. Mơ hình mặt cong dạng phương trình phi tham số
Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng (x-y) của hệ tọa độ Descarte
(u  x, v  y) , mơ hình tham số (1.14) trở thành phi tham số

r (u, v)  (u, v, z (u, v)) hay z  z ( x, y) .

(1.16)

Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phƣơng trình (1.13) đƣợc
biểu diễn dƣới dạng tƣờng minh
z  (1  x 2  y 2 )1/2 với ( x 2  y 2 )  1 .

(1.17)


10

Hình học mặt cong đƣợc minh họa trên hình (1.3). Ta thƣờng gọi phần mặt
cong trong miền tham số giới hạn là mặt lƣới. Các mặt lƣới liên kết theo điều kiện
kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp.

Hình 1.3. Hình học mặt cong
1.2.2. Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong
Xét đƣờng cong tham số 2D q(t) trên miền (u,v)của mặt cong tham số r(u,v)
hình (1.4)
q(t )  [u (t ), v(t )]T .

(1.18)

Hãy cho đƣờng cong r(t) là hình chiếu của đƣờng cong q(t) trên mặt cong
r(u,v), sao cho

r (t )  r (u(t ), v(t ))  ( x(u(t ), v(t ), y(u(t ), v(t )), z(u(t ), v(t ))) .
Trƣờng hợp đặc biệt của (1.19) là đƣờng cong đẳng tham số

v  v*, v(t )  t; u  u*, u(t )  t .

Hình 1.4. Đƣờng cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến

(1.19)


11

1.2.2.1.Vectơ tiếp tuyến
Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) đƣợc định nghĩa nhƣ sau
ru  r / u; rv  r / v; ruv   2r / uv

(1.20)

Lấy đạo hàm phƣơng trình (1.19) theo t, ta có
r' 

dr r dr r dv


 ru u ' rv v ',
dt u dt v dt

(1.21)

trong đó r’ là vectơ tiếp tuyến của đƣờng cong r(t); ruvà rv là vectơ tiếp tuyến của
đƣờng cong đẳng tham số u = u*, v = v*. Ba vectơ tiếp tuyến r’, ruvà rvxác định
mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 1.4).
1.2.2.2.Vectơ pháp tuyến
Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến đƣợc gọi là vectơ pháp
tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trƣớc và đƣợc xác định bởi

n  (ru  rv )/ | ru  rv | .

(1.22)

Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong.
1.2.2.3.Ma trận cơ sở thứ nhất
Vectơ tiếp tuyến (1.21) có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng ma trận

r '  ru u ' rv v '  q ' ,

(1.23)

trong đó  | ru , rv |; q '  dq(t ) / dt  (du / dt, dv / dt )  [u ' v ']T .
Giá trị vectơ tiếp tuyến đƣợc tính nhƣ sau

 ru
trong đó G  T   
 ru rv

| r '2 | (r ')T (r ')  q 'T T q '  q 'T Gq ' ,

(1.24)

ru rv 
 là ma trận cơ sở thứ nhất.
rv 

(1.25)

Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T đƣợc biểu diễn theo G nhƣ sau