Ôn tập Toán lớp 11 Chương 1 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT
I – ĐỊNH NGHĨA
1) Hàm số sin
Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x
sin x :   
x  y = sin x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sin x .
Tập xác định của hàm số sin là .
2) Hàm số côsin
Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cos x
cos x :   
x  y = cos x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = cos x .
Tập xác định của hàm số cô sin là .
3) Hàm số tang
Hàm số tang là hàm số được xác định bởi cơng thức y =

sin x
cos x

(cos x ¹ 0), kí hiu l

y = tan x .
ỡp
ù
ù2
ợ

ỹ
ù
ù
ỵ

Tp xỏc nh ca hm số y = tan x là D =  \ ïí + k p, k Ỵ ïý.
4) Hàm số cơtang
Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y =

cos x
sin x

(sin x ¹ 0 ), kí hiệu là

y = cot x .

Tập xác định của hàm số y = cot x là D =  \ {k p, k Ỵ }.
II – TÍNH TUẦN HỒN VÀ CHU KÌ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1) Định nghĩa
Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số
T ¹ 0 sao cho với mọi x Î D ta có:

● x -T Î D và x +T Ỵ D.
● f ( x +T ) = f ( x ) .

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 1

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần
hồn đó.
Người ta chứng minh được rằng hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T = 2p ; hàm số
y = cos x

tuần hồn với chu kì T = 2 p ; hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì T = p ; hàm

số y = cot x tuần hồn với chu kì T = p.
2) Chú ý
● Hàm số y = sin (ax + b) tuần hồn với chu kì T 0 =

2p
a

● Hàm số y = cos (ax + b) tuần hồn với chu kì T 0 =

2p
.
a

● Hàm số y = tan (ax + b) tuần hồn với chu kì T 0 =

p
.
a

● Hàm số y = cot (ax + b) tuần hồn với chu kì T 0 =

p
.
a

.

● Hàm số y = f1 ( x ) tuần hoàn với chu kì T 1 và hàm số y = f 2 ( x ) tuần hồn với chu kì T 2
thì hàm số y = f1 ( x )  f 2 ( x ) tuần hồn với chu kì T 0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T 2 .
Lưu ý 2 số thực không xác đinh được bội chung nn, nên là T0  mT1  nT2 với m,n là 2 số
tự nhiên nguyên tố cùng nhau )
III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1) Hàm số y = sin x
● Tập xác định D =  , có nghĩa và xác định với mọi x Ỵ ;
● Tập giá trị T = [-1;1] , có nghĩa -1 £ sin x £ 1;
● Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 p, có nghĩa sin ( x + k 2p ) = sin x với k Ỵ ;
ỉ p
ư
p
● Hàm s ng bin trờn mi khong ỗỗỗ- + k 2p; + k 2pữữữ v nghch bin trờn mi khong
ố 2

2

ứ

ổp
ử
ỗỗ + k 2 p; 3p + k 2 p ÷÷ , k ẻ ;
ữứ
ỗố 2

2

L hm s l nờn đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

2) Hàm số y = cos x

● Tập xác định D =  , có nghĩa và xác định với mọi x Ỵ .
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 2


● Tập giá trị T = [-1;1] , có nghĩa -1 £ cos x £ 1;
● Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 p, có nghĩa cos ( x + k 2p ) = cos x với k Î ;
● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-p + k 2p; k 2p ) và nghịch biến trên mỗi khoảng
(k 2p; p + k 2p ) , k Î ;

● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

3) Hàm số y = tan x
ỡp
ù2
ù
ợ

ỹ
ù
ù
ỵ

Tp xỏc nh D = \ ùớ + k p, k Ỵ ïý ;
● Tập giá trị T = ;
● Là hàm số tuần hoàn với chu kì p, có nghĩa tan ( x + k p ) = tan x với k Ỵ ;
ỉ p
ư
p
● Hàm s ng bin trờn mi khong ỗỗỗ- + k p; + k pữữữ, k ẻ ;
ố 2

ứ

2

L hm s lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
y

x
3p
2

-p

p
2

O

p
2

p

3p
2

4) Hàm số y = cot x
● Tập xác định D =  \ {k p, k Ỵ };
● Tập giá trị T = ;
● Là hàm số tuần hồn với chu kì p, có nghĩa tan ( x + k p ) = tan x với k Ỵ ;
● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (k p; p + k p ), k Ỵ ;
● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 3


y

-2p

-

3p
2

-p

-

p
2

O

p
2

p

3p
2

2p

x

B. PHÂN LOAIJVAF PHƯƠNG PHÁP GIẢI BAIF TÂP
Dạng 1: Tìm tập xác đinh của hàm số
1. Phương pháp
Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau



y  u  x  có nghĩa khi và chỉ khi u  x  xác định và u(x)  0 .



y



y



Hàm số y  s inx, y  cosx xác định trên  và tập giá trị của nó là:

u(x)
có nghĩa khi và chỉ u  x  , v  x  xác định và v(x)  0 .
v(x)

u(x)
v(x)

có nghĩa khi và chỉ u  x  , v  x  xác định và v(x)  0 .

1  sin x  1 ;

 1  cos x  1 .

Như vậy, y  s in  u  x   , y  cos  u  x   xác định khi và chỉ khi u  x  xác định.

 k,k  
2



y  tan u  x  có nghĩa khi và chỉ khi u  x  xác định và u  x  



y  cot u  x  có nghĩa khi và chỉ khi u  x  xác định và x  k,k   .

2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
 5x 
;
 x2  1 

b) y  cos 4  x2 ;

a) y  sin 

c) y  sin x;

d) y  2  sin x .

Giải
 5x 
2
 xác định  x  1  0  x  1.
2
 x 1

a) Hàm số y  sin 
Vậy D   \ 1.

b) Hàm số y  cos x 2  4 xác định  4  x 2  0  x2  4  2  x  2.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 4


Vậy D  x   | 2  x  2.
c) Hàm số y  sin x xác định  sinx  0  k2  x    k2,k   .
Vậy D  x   | k2  x    k2,k   .
d) Ta có: 1  s inx  1  2  s inx  0 .
Do đó, hàm só ln ln xác định hay D   .

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:



6

a) y  tan  x   ;





3

b) y  cot  x   ;


c) y 

sin x
;
cos(x  )

d) y 

1
.
tan x  1

Giải






2



 k, k   .
a) Hàm số y  tan  x   xác định  x    k  x 
6 2
3
6


 2

 k,k    .
3


Vậy D   \ 




3





b) Hàm số y  cot  x   xác định  x   k  x    k,k   .
3
3


 

 k,k    .
 3


Vậy D   \ 

c) Hàm số y 


3
sin x
xác định  cos  x     0  x     k  x   k,k   .
2
2
cos(x  )

 3

 k,k    .
2


Vậy D   \ 

d) Hàm số y 

1

xác định tan x  1  x   k, k   .
tan x  1
4


4



Vậy D   \   k,k    .


Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y  cos2x 

1
;
cos x

b) y 

3cos2x
.
sin3x cos3x

Giải
a) Hàm số y  cos2x 

2

1

xác định  cosx  0  x   k, k   .
cosx
2



Vậy D   \   k,k    .


Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 5


b) Hàm số y 

3cos2x
xác định 
sin 3x cos3x

1
k
sin 3x cos3x  0  sin 6x  0  6x  k  x 
,k  .
2
6

 k

,k    .
6



Vậy D   \ 

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số sau đây xác định trên  : y  2m  3cos x.
Giải
Hàm số đã cho xác định trên R khi và chỉ khi 2m  3cos x  0  cosx 
Bất đẳng thức trên đúng với mọi x khi 1 

2m
3

2m
3
m .
3
2

3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y =

2021
.
sin x

A. D = .

B. D =  \ {0}.

C. D =  \ {k p, k Ỵ }.

D. D =  \ ïí + k p, k ẻ ùý.

ỡp
ù
ù2
ợ

ỹ
ù
ù
ỵ

ỡp
ù
ù2
ợ

ỹ
ù
ù
ỵ

Li gii
Chn C
Hm s xỏc nh khi v ch khi sin x ¹ 0  x ¹ k p, k Ỵ .
Vật tập xác định D =  \ {k p, k Ỵ }.

Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y =

1 + sin x
.

cos x -1

A. D = .

B. D =  \ ïí + k p, k Ỵ ïý.

C. D =  \ {k p, k Ỵ }.

D. D =  \ {k 2p, k Ỵ }.
Lời giải

Chọn D
Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x -1 ¹ 0  cos x ¹ 1  x ¹ k 2p, k Ỵ .
Vậy tập xác định D =  \ {k 2p, k Î }.

Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm s y =

cos x
.
ổ
pử
sin ỗỗ x - ữữữ
ỗố
2ứ

Giỏo viờn cú nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 6

ỡ p
ùợù 2

ỹ
ùỵù

A. D = \ ùớk , k Ỵ ïý.
ì
ïỵï

B. D =  \ {k p, k Ỵ }.
ỹ
ùỵù

p
2

C. D = \ ùớ(1 + 2 k ) , k Ỵ ïý.

D. D =  \ {(1 + 2 k ) p, k Ỵ }.
Lời giải

Chọn C
ỉ
pư
p
p
Hàm số xỏc nh sin ỗỗỗ x - ữữữ ạ 0  x - ¹ k p  x ¹ + k p, k ẻ .
ố

2ứ

2

ỡp
ùợù 2

2

ỹ
ùỵù

Vy tp xỏc nh D =  \ ïí + k p, k Ỵ ïý.

Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y =

2021
.
sin x - cos x
ỡ p
ùợù 4

ỹ
ùỵù

B. D = \ ïí- + k p, k Ỵ ïý.

A. D = .
ỡp

ợùù 4

ỹ
ùỵù

ỡp
ợùù 4

C. D = \ ùớ + k 2p, k ẻ ùý.

ỹ
ùỵù

D. D = \ ùớ + k p, k Ỵ ïý.
Lời giải

Chọn D
p
4

Hàm số xác định  sin x - cos x ¹ 0  tan x ¹ 1  x ¹ + k p, k ẻ .
ỡp
ợùù 4

ỹ
ùỵù

Vy tp xỏc nh D = \ ïí + k p, k Ỵ ïý.
ỉ
pư

Câu 5. Tìm tập xỏc nh D ca hm s y = cot ỗỗỗ2 x - ữữữ + sin 2 x .
ố

ỡp
ùợù 4

4ứ

ỹ
ùỵù

A. D = \ ùớ + k p, k ẻ ùý.
ỡp
ùợù 8

B. D = ặ.

ỹ
ùỵù

p
2

C. D = \ ùớ + k , k Ỵ ïý.

D. D = .
Lời giải

Chọn C
ỉ

pư

p

p

kp

Hàm s xỏc nh sin ỗỗỗ2 x - ữữữ ạ 0  2 x - ¹ k p  x ¹ + , k ẻ .
ố
4ứ
4
8
2
ỡp
ợùù 8

p
2

ỹ
ùỵù

Vy tp xỏc nh D =  \ ïí + k , k Ỵ ïý.
ỉx

pư

Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = 3 tan 2 ỗỗỗ - ữữữ.

ố2 4ứ
ỡ 3p
ỹ
+ k 2 p, k ẻ ùý.
ùợù 2
ùỵù

A. D = \ ïí

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lũng
liờn h. Face: Trn ỡnh C. ST: 0834332133

ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

B. D =  \ ïí + k 2p, k Ỵ ïý.
Trang 7


ỡp
ùợù 2

ỡ 3p
ùỹ
+ k p, k ẻ ý.
ùợù 2
ùỵù

ỹ
ùỵù

D. D =  \ ïí + k p, k Ỵ ïý.

C. D =  \ ïí

Lời giải
Chọn A
ỉx

pư

p

x

p

3p

Hàm số xác định cos 2 ỗỗỗ - ữữữ ạ 0 - ¹ + k p  x ¹ + k 2p, k Ỵ .
è2 4ø
2 4 2
2
ì 3p
ü
+ k 2 p, k ẻ ùý.
ùợù 2

ùỵù

Vy tp xỏc nh D = \ ïí

Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y =
ìp
ïỵï 2

3 tan x - 5
.
1 - sin 2 x

ỹ
ùỵù

ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

A. D = \ ùớ + k 2p, k Ỵ ïý.

B. D =  \ ïí + k p, k Ỵ ïý.

C. D =  \ {p + k p, k Ỵ }.

D. D = .
Lời giải

Chọn B
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 - sin 2 x ¹ 0 và tan x xác định
ìïsin 2 x ¹ 1
p
 ïí
 cos x ¹ 0  x ạ + k p, k ẻ .
ùùợcos x ạ 0
2
ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

Vy tp xỏc nh D = \ ùớ + k p, k Ỵ ïý.

Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin x + 2.
A. D = .

B. D = [-2; +¥).

C. D = [0;2 p ].

D. D = Ỉ.

Lời giải
Chọn A
Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾
 1 £ sin x + 2 £ 3, "x Ỵ .
Do đó ln tồn tại căn bậc hai của sin x + 2 với mọi x Ỵ .

Vậy tập xác định D = .

Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin x - 2.
A. D = .

B.  \ {k p, k Ỵ }.

C. D = [-1;1].

D. D = Æ.

Lời giải
Chọn D
Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾
-3 £ sin x - 2 £ -1, "x Ỵ .
Do đó khơng tồn tại căn bậc hai của sin x - 2.
Vậy tập xác định D = Ỉ.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 8


Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y =

1
1 - sin x

.

ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

B. D = \ ïí + k p, k Ỵ ïý.

A. D =  \ {k p, k ẻ }.
ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

C. D = \ ïí + k 2p, k Ỵ ïý.

D. D = Æ.
Lời giải

Chọn C
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 - sin x > 0  sin x < 1. (*)
p
2

Mà -1 £ sin x £ 1 nên (*)  sin x ¹ 1  x ¹ + k 2p, k ẻ .
ỡp
ùợù 2

ỹ

ùỵù

Vy tp xỏc nh D =  \ ïí + k 2p, k Ỵ ïý.

Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số y = 1 - sin 2 x - 1 + sin 2 x .
A. D = Ỉ.

B. D = .

ép
êë 6

C. D = ê + k 2p;

ù
5p
+ k 2p ú , k Î .
úû
6

é 5p
ù
13p
+ k 2 p;
+ k 2 p ú , k Ỵ .
êë 6
úû
6

D. D = ê

Lời giải

Chọn B
ì1 + sin 2 x 0
ù
, "x ẻ .
ù
ù
ợ1 - sin 2 x ³ 0

Ta có -1 £ sin 2 x £ 1  ïí

Vậy tập xác định D = .
ỉp

ư

Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan ỗỗỗ cos x ữữữ.
ố2
ứ
ỡp
ùợù 2

ỹ
ùỵù

ỡp
ùợù 2

ỹ

ùỵù

A. D =  \ ïí + k p, k Ỵ ïý .

B. D =  \ ïí + k 2p, k Î ïý .

C. D =  .

D. D =  \ {k p, k Ỵ } .
Lời giải

Chọn D
Hàm số xác định khi và chỉ khi

p
p
. cos x ¹ + k p  cos x ¹ 1 + 2 k . (*)
2
2

Do k Ỵ  nên (*)  cos x ¹ 1  sin x ¹ 0  x ¹ k p, k Ỵ .
Vậy tập xác định D =  \ {k p, k Ỵ }.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 9


Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

1. Phương pháp:
Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số y  f(x)



Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số; kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là
x,x  D  x  D (1)



Bước 2: Tính f(x) và so sánh f(x) với f(x)
-

Nếu f(x)  f(x) thì f(x) là hàm số chẵn trên D (2)

-

Nếu f(x)  f(x) thì f(x) là hàm số lẻ trên D

(3)

Chú ý:
-

Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f(x) là hàm khơng chẵn và khơng lẻ trên D;

-

Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng, thì f(x) là hàm khơng chẵn và cũng khơng
lẻ trên D .

Lúc đó, để kết luận f(x) là hàm khơng chẵn và không lẻ ta chỉ cần chỉ ra điểm x0  D sao cho
f( x 0 )  f(x 0 )

f( x 0 )   f(x 0 )

2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
c) y  sin 4 x .

b) y = tan x ;

a) y = sin2x;

Giải
a) TXĐ: D   . Suy ra x  D  x  D .
Ta có: f  x   sin  2x    sin 2x  f  x  .
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
 
 2



b) TXĐ: D   \   k,k    . Suy ra x  D  x  D .


Ta có: f  x   tan x  tan x  f  x  .
Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
c) TXĐ: D   . Suy ra x  D  x  D .
Ta có: f  x   sin 4  x   sin 4 x  f  x  .

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = tanx + cotx;

b) y = sinx.cosx.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 10


Giải
 k

,k    . Suy ra x  D   x  D
2


a) TXĐ: D   \ 

Ta có: f  x   tan  x   cot  x    tan x - cot x    tan x  cot x   f  x 
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b) TXĐ: D   . Suy ra x  D  x  D
Ta có: f  x   sin  x  .cos  x    sin x cosx  f  x 
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Ví dụ 3. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y = 2sinx + 3;

b) y  sinx  cosx .

Giải
a) TXĐ: D   . Suy ra x  D   x  D
Ta có:
 
  


f     2sin 
  3  1 ; f    2sin    3  5
 2
 2 
2
2

  

f     f  
2
2

Nhận thấy     
f      f   
 
  2 
2


Do đó hàm số không chẵn không lẻ.
b) TXĐ: D   . Suy ra x  D   x  D








Ta có: y  sinx  cosx  2 sin  x  
4
 
  

 
f     2 sin      0; f    2 sin     2
 4
 4 4
4
4 4
  

f     f  
4
4

Nhận thấy     
f      f   
 

  4 
4


Do đó hàm số khơng chẵn khơng lẻ.

Ví dụ 4. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) y 

sinx tan x
;
sin x  cot x

b) y 

cos3 x  1
sin3 x

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

.

Trang 11


Giải
a) Hàm số xác định khi
 cosx  0
cosx  0

cosx  0

k

,k   .
 sinx  0

x
sinx  0
2
sinx
0


s inx  cot x  0
 2

s in x  cosx  0
 k

,k    Suy ra x  D   x  D
2


TXĐ: D   \ 
Ta có: f   x  

sin   x   tan   x 

sin   x   cot  x 



 sin x  tan x sin x - tan x

 f x
 sin x  cot x sin x  cot x

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) TXĐ: D   \ k,k    Suy ra x  D  x  D
Ta có: f   x  

cos3  x   1
sin3  x 



cos3 x  1
 sin3 x



cos3 x  1
sin3 x

 f  x 

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Ví dụ 5. Xác định tham số m để hàm số sau: y  f  x   3msin 4x  cos2x là hàm số chẵn.

Giải
TXĐ: D   . Suy ra x  D   x  D
Ta có:
f  x   3msin  4x   cos  2x   3msin 4x  cos2x

Để hàm số đã cho là hàm số chẵn thì:
f  x   f  x  , x  D  3m sin 4x  cos2x  -3m sin 4x  cos2x, x  D
 6m sin 4x  0  m  0

3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = sin x.

B. y = cos x .

C. y = tan x.

D. y = cot x .

Lời giải
Chọn B
Nhắc lại kiến thức cơ bản:

 Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
 Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
 Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng

liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 12


 Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
Vậy B là đáp án đúng.

Câu 2:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = - sin x .

B. y = cos x - sin x .

C. y = cos x + sin 2 x.

D. y = cos x sin x.

Lời giải
Chọn C
Tất các các hàm số đều có TXĐ: D =  . Do đó "x Ỵ D  -x Ỵ D.
Bây giờ ta kiểm tra f (-x ) = f ( x ) hoặc f (-x ) = - f ( x ).

 Với y = f ( x ) = - sin x . Ta có f (-x ) = - sin (-x ) = sin x = -(- sin x )
¾¾
 f (-x ) = - f ( x ) . Suy ra hàm số y = - sin x là hàm số lẻ.

 Với y = f ( x ) = cos x - sin x . Ta có f (-x ) = cos (-x ) - sin (-x ) = cos x + sin x

ắắ
f (-x ) ạ {- f ( x ), f ( x )} . Suy ra hàm số y = cos x - sin x không chẵn không lẻ.

 Với y = f ( x ) = cos x + sin 2 x . Ta có f (- x ) = cos (- x ) + sin 2 (- x )
2

= cos (- x ) + éë sin (- x )ùû = cos x + [- sin x ] = cos x + sin 2 x
2

¾¾
 f (-x ) = f ( x ) . Suy ra hàm số y = cos x + sin 2 x là hàm số chẵn.

 Với y = f ( x ) = cos x sin x . Ta có f (- x ) = cos (- x ). sin (- x ) = - cos x sin x
¾¾
 f (-x ) = - f ( x ) . Suy ra hàm số y = cos x sin x là hàm số lẻ.

Câu 3:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = sin 2 x .

B. y = x cos x .

C. y = cos x . cot x .

D. y =

tan x
.

sin x

Lời giải
Chọn D
 Xét hàm số y = f ( x ) = sin 2 x .
TXĐ: D =  . Do đó "x Ỵ D  -x Ỵ D.
Ta có f (-x ) = sin (-2 x ) = - sin 2 x = - f ( x ) ¾¾
 f ( x ) là hàm số lẻ.

 Xét hàm số y = f ( x ) = x cos x .
TXĐ: D =  . Do đó "x Î D  -x Î D.
 f ( x ) là hàm số lẻ.
Ta có f (-x ) = (- x ). cos (- x ) = - x cos x = - f ( x ) ¾¾

 Xét hàm số y = f ( x ) = cos x cot x .
TXĐ: D =  \ {k p (k Î )}. Do đó "x Î D  -x Î D.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 13


Ta có f (-x ) = cos (- x ). cot (- x ) = - cos x cot x = - f ( x ) ¾¾
 f ( x ) là hàm số lẻ.

 Xét hàm số y = f ( x ) =

tan x
.

sin x

ì p
ü
(k Ỵ )ïý. Do ú "x ẻ D -x ẻ D.
ù
ùỵù
2
ù
ợ

TX: D =  \ ïík
Ta có f (-x ) =

Câu 4:

tan (- x )
sin (- x )

=

- tan x tan x
=
= f ( x ) ¾¾
 f (x )
- sin x
sin x

là hàm số chẵn.

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = sin x .

B. y = x 2 sin x .

C. y =

x
.
cos x

D. y = x + sin x .

Lời giải
Chọn A
Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ.

Câu 5:

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A. y = sin x cos 2 x .

ổ
pử
B. y = sin 3 x . cos ỗỗỗ x - ÷÷÷. C. y =
è

2ø

tan x
.
tan 2 x + 1

D. y = cos x sin 3 x .

Lời giải
Chọn B
Ta dễ dàng kiểm tra được A, C, D là các hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ
O.
ỉ
pư
Xét đáp án B, ta có y = f ( x ) = sin 3 x . cos ççç x - ÷÷÷ = sin 3 x . sin x = sin 4 x . Kiểm tra được đây là
è

2ø

hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Câu 6:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. y = cos x + sin 2 x.

B. y = sin x + cos x .

C. y = - cos x .

D. y = sin x . cos 3 x .
Lời giải

Chọn D
Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn,
không lẻ. Đáp án D là hàm số lẻ.

Câu 7:

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?

A. y = cot 4 x .

B. y =

sin x + 1
.
cos x

C. y = tan 2 x .

D. y = cot x .

Lời giải
Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 14

Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp án C và D là các hàm số chẵn.

Câu 8:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm s l?
ổp

ử

A. y = sin ỗỗỗ - x ữữữ.
ố2
ứ

B. y = sin 2 x .

C. y =

cot x
.
cos x

D. y =

tan x
.
sin x

Lời giải

Chọn C
ỉp

ư

Viết lại đáp án A là y = sin ỗỗỗ - x ữữữ = cos x .
è2
ø
Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ.

Câu 9:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. y = 1 - sin 2 x .

B. y = cot x . sin 2 x .

C. y = x 2 tan 2 x - cot x .

D. y = 1 + cot x + tan x .
Lời giải

Chọn C
Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ.

Câu 10: Cho hàm số f ( x ) = sin 2 x và g ( x ) = tan 2 x. Chọn mệnh đề đúng
A. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số lẻ.
B. f ( x ) là hàm số lẻ, g ( x ) là hàm số chẵn.
C. f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số chẵn.

D. f ( x ) và g ( x ) đều là hàm số lẻ.
Lời giải
Chọn B
 Xét hàm số f ( x ) = sin 2 x .
TXĐ: D =  . Do đó "x Ỵ D  -x Ỵ D.
 f ( x ) là hàm số lẻ.
Ta có f (-x ) = sin (-2 x ) = - sin 2 x = - f ( x ) ¾¾

 Xét hàm s g ( x ) = tan 2 x .
ỡp
ù
ù2
ợ

ỹ
ù
ù
ỵ

TX: D =  \ ïí + k p (k Ỵ )ïý. Do đó "x Ỵ D  -x Ỵ D.
2

Ta có g (-x ) = éë tan (-x )ùû = (- tan x )2 = tan 2 x = g ( x ) ¾¾
 f ( x ) là hàm số chẵn.

Câu 11: Cho hai hàm số f ( x ) =

sin 2 x - cos 3 x
cos 2 x
và g ( x ) =

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1 + sin 2 3 x
2 + tan 2 x

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 15


A. f ( x ) lẻ và g ( x ) chẵn.

B. f ( x ) và g ( x ) chẵn.

C. f ( x ) chẵn, g ( x ) lẻ.

D. f ( x ) và g ( x ) lẻ.
Lời giải

Chọn B
 Xét hàm số f ( x ) =

cos 2 x
.
1 + sin 2 3 x

TXĐ: D =  . Do đó "x Ỵ D  -x Î D.
Ta có f (-x ) =

cos (-2 x )

1 + sin 2 (-3 x )

 Xét hàm số g ( x ) =

=

cos 2 x
= f ( x ) ¾¾
 f (x )
1 + sin 2 3 x

sin 2 x - cos 3 x
2 + tan 2 x

ìp
ï
ï2
ỵ

là hàm s chn.

.

ỹ
ù
ù
ỵ

TX: D = \ ùớ + k p (k Ỵ )ïý . Do đó "x Ỵ D  -x Ỵ D.
Ta có g (-x ) =

sin (-2 x ) - cos (-3 x )
2 + tan 2 (-x )

=

sin 2 x - cos 3 x
2 + tan 2 x

= g ( x ) ¾¾
 g ( x ) là hàm số chẵn.

Vậy f ( x ) và g ( x ) chẵn.

Câu 12: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc ta ?
A. y =

ổ
ố

1
.
sin 3 x

pử
4ứ

B. y = sin ỗỗỗ x + ữữữ.

ổ

ố

pử
4ứ

C. y = 2 cos ỗỗỗ x - ÷÷÷.

D. y = sin 2 x .

Lời giải
Chọn A
ỉ
pư
1
Viết lại ỏp ỏn B l y = sin ỗỗỗ x + ÷÷÷ = (sin x + cos x ).
è

4ø

2

ỉ
pư
Viết lại đáp ỏn C l y = 2 cos ỗỗỗ x - ÷÷÷ = sin x + cos x .
è

4ø

Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ.

Xét đáp án D.
é
êë

p
2

ù
úû

 Hàm số xác định  sin 2 x ³ 0  2 x Ỵ [ k 2p; p + k 2p ]  x Î ê k p; + k p ú
é
ù
p
¾¾
 D = ê k p; + k p ú (k Ỵ ).
êë
úû
2

p
4

p
4

 Chọn x = Ỵ D nhưng -x = - Ï D. Vậy y = sin 2 x không chẵn, không lẻ.
Câu 13: Mệnh đề nào sau đây là sai?
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 16


A. Đồ thị hàm số y = sin x đối xứng qua gốc tọa độ O.
B. Đồ thị hàm số y = cos x đối xứng qua trục Oy.
C. Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua trục Oy.
D. Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua gốc tọa độ O.
Lời giải
Chọn A
Ta kiểm tra được hàm số y = sin x là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy .
Do đó đáp án A sai.

Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
1. Phương pháp:
Cho hàm số y  f(x) xác định trên tập D



 f(x)  M, x  D
M  max f(x)  
D
x 0  D : f(x 0 )  M



 f(x)  m, x  D
m  min f(x)  
D
x 0  D : f(x 0 )  m

Lưu ý:


1  s inx  1;  1  cos x  1.



0  sin2 x  1; 0  cos2 x  1.



0  sin x  1; 0  cosx  1.



Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình cơ bản
  0

o Phương trình bậc hai: ax2  bx  c  0 có nghiệm x  khi và chỉ khi 

a  0

o Phương trình asin x  bcosx  c có nghiệm x   khi và chỉ khi a2  b2  c2
o Nếu hàm số có dạng: y 

a1 s inx  b1 cos x  c1

a2 s inx  b2 cosx  c2

Ta tìm miền xác định của hàm số rồi quy đồng mẫu số, đưa về phương trình
asin x  bcosx  c .

2. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:




4

a) y  2sin  x    1 ;

b) y  2 cosx  1  3 .

Giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 17


a) Ta có:






1  sin  x    1  2  2sin  x    2  1  2sin  x    1  3

4
4
4




Hay 1  y  3 . Suy ra:



Maxy  3 khi sin  x    1  x   k2,k   .
4
4




3
Miny  1 khi sin  x    1  x    k2,k   .
4
4


b) Ta có:
1  cos x  1  0  cos x  1  2  0  cos x  1  2
 0  2 cos x  1  2 2  3  2 cos x  1  3  2 2  3

Hay 3  y  2 2  3 Suy ra
Maxy  2 2  3 khi cosx  1  x  k2,k   .

Miny  3 khi cos x  0  x 


 k,k   .
2

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y  sinx  cosx ;

b) y  3 sin 2x  cos2x .

Giải








a) Ta có: y  sinx  cosx  2 sin  x     2  y  2 .
4
Suy ra:



Maxy  2 khi sin  x    1  x   k2,k   .
4
4





3
Miny   2 khi sin  x    1  x    k2,k   .
4
4


 3


1

sin 2x  cos2x   2sin  2x  
 2

2
6




b) Ta có: y  3 sin 2x  cos2x  2 
Suy ra: 2  y  2 . Do đó:



 


Maxy  2 khi sin  2x    1  2x    k2  x   k2,k   .
6
6
2
3







Miny  2 khi sin  2x    1  2x     k2  x    k2,k   .
6
6
2
6



Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 18


a) y  cos2 x  2sin x  2 ;

b) y  sin 4 x  2cos2 x  1 .

Giải
a) Ta có:



y  cos2 x  2sin x  2  1  sin2 x



2

 2sin x  2

2

  sin 2 x  2sin x  3    sin x  1  4
2

Vì 1  s inx  1  2  sin x  1  0  4   sin x  1  0
2

2

 4    sin x  1  0  0    sin x  1  4  4

Hay 0  y  4
Do đó:
Maxy  4 khi sin x  1  x 


 k2,k   .
2

Miny  0 khi sin x  1  x  


 k2,k   .
2

Lưu ý:

Nếu đặt t  sin x,t   1;1 . Ta có (P): y  f  t   t 2  2t  3 xác định với mọi t  1;1 , (P) có
hồnh độ đỉnh t  1 và trên đoạn  1;1 hàm số đồng biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
t  1 hay sin x  1 và đạt giá trị lớn nhất khi t  1 hay sin x  1 .
b) Ta có


x  4 cos x  2   cos

  2cos x  1
x  2  2

y  sin 4 x  2cos2 x  1  1  cos2 x
 cos4

2

2

2

2

2





2

Vì 0  cos2 x  1  2  cos2 x  2  1  4  cos2 x  2  1



 2  cos2 x  2



2

 2  1  2  y  1

Do đó:
Maxy  2 khi

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 19


cos2 x  0  cos x  0  x 


 k,k   .
2

Miny  1 khi

cos2 x  1  sin x  0  x  k,k   .

Lưu ý:
Nếu đặt t  cos2 x,t   0;1 . Ta có (P): y  f  t   t 2  4t  2 xác định với mọi t   0;1 , (P) có hồnh
độ đỉnh t  2   0;1 và trên đoạn  0;1 hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t  1
và đạt giá trị lớn nhất khi t  0.

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y 

2sin x  cos x  1
sin x  cos x  2

Giải
π
Ta có: sin x  cos x  2  2 sin  x    2


4



Vì  2  2 sin  x    2, x   nên
4

π







π
π
2 sin  x    2  2  2  0, x    sin x  cos x  2  2 sin  x    2  0, x  
4
4



Do đó: D  
Biến đổi y 

2sin x  cos x  1
sin x  cos x  2

 ysin x  y cos x  2y  2sin x  cos x  1
  y  2  sin x   y  1 cos x  2y  1

 *

Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm x  là a 2  b2  c2
  y  2    y  1   2y  1  2y 2  6y  4  0 
2

2

Kết luận: max y 


2

3  17
3  17
y
2
2

3  17
3  17
;min y 

2
2

3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1:

Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 3 sin x - 2.

A. M = 1, m = -5.

B. M = 3, m = 1.

C. M = 2, m = -2.

D. M = 0, m = -2.
Lời giải

Chọn A
Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾
-3 £ 3 sin x £ 3 ¾¾
-5 £ 3 sin x - 2 £ 1

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 20


ỡM = 1
ù
.
ắắ
-5 Ê y Ê 1 ắắ
ớù
ù
ù
ợm = -5

Câu 2:

Tìm tập giá trị T của hàm số y = 3 cos 2 x + 5.

A. T = [-1;1].

B. T = [-1;11].

C. T = [2;8].

D. T = [5;8].

Lời giải
Chọn C
Ta có -1 £ cos 2 x £ 1 ¾¾
-3 £ 3 cos 2 x £ 3 ¾¾
 2 £ 3 cos 2 x + 5 £ 8
¾¾
 2 £ y £ 8 ¾¾
T = [2;8 ].

Câu 3:

Tìm tập giá trị T của hàm số y = 5 - 3 sin x .

A. T = [-1;1].

B. T = [-3;3].

C. T = [2;8].

D. T = [5;8].

Lời giải
Chọn C
Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾
 1 ³ - sin x ³ -1 ¾¾
 3 ³ -3 sin x ³ -3
¾¾
 8 ³ 5 - 3 sin x ³ 2 ¾¾
 2 £ y £ 8 ¾¾
T = [2;8 ].

Câu 4:

Hàm số y = 5 + 4 sin 2 x cos 2 x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải
Chọn C
Ta có y = 5 + 4 sin 2 x cos 2 x = 5 + 2 sin 4 x .
-2 £ 2 sin 4 x £ 2 ¾¾

 3 £ 5 + 2 sin 4 x £ 7
Mà -1 £ sin 4 x £ 1 ắắ
y ẻ
ắắ
3 Ê y Ê 7 ắắắ
y Ỵ {3;4;5;6;7} nên y có 5 giá trị ngun.

Câu 5:

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = - 2 sin (2016 x + 2017 ) .

A. m = -2016 2.

B. m = - 2.

C. m = -1.

D. m = -2017 2.

Lời giải
Chọn B
Ta có -1 £ sin (2016 x + 2017) £ 1 ¾¾
 2 ³ - 2 sin (2016 x + 2017 ) ³ - 2.
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là - 2.

Câu 6:

Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y =
1
2

A. m = .

B. m =

1
2

.

1
.
cos x + 1

C. m = 1.

D. m = 2.

Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 21


Chọn A
Ta có -1 £ cos x £ 1 .
Ta có

1

nhỏ nhất khi và chỉ chi cos x lớn nhất  cos x = 1 .
cos x + 1

Khi cos x = 1 ¾¾
y =

Câu 7:

1
1
= .
cos x + 1 2

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x . Tính
P = M - m.

A. P = 4.

B. P = 2 2.

C. P = 2.

D. P = 2.

Lời giải
Chọn B
ỉ
pư
Ta có y = sin x + cos x = 2 sin ỗỗỗ x + ữữữ.
ố

4ứ

ổ
ổ
pử
pử
- 2 Ê 2 sin ỗỗ x + ữữữ Ê 2
M -1 Ê sin ỗỗỗ x + ữữữ Ê 1 ắắ
ỗ
ố

4ứ

ố

4ứ

ỡù M = 2
ắắ
ùớ
P = M - m = 2 2.
ïïm = - 2
ỵ

Câu 8:

Tập giá trị T của hàm số y = sin 2017 x - cos 2017 x .

A. T = [-2;2 ].

C. T = éêë- 2; 2 ùúû .

B. T = [-4034;4034 ].

D. T = éêë0; 2 ùúû .

Lời giải
Chọn C
ỉ
pư
Ta có y = sin 2017 x - cos 2017 x = 2 sin ççç2017 x - ÷÷÷ .
è

4ø

ỉ
ỉ
pư
pư
Mà -1 £ sin ççç2017 x - ữữữ Ê 1 ắắ
- 2 Ê 2 sin ỗỗ2017 x - ữữữ Ê 2
ỗ
ố

4ứ

ố

4ứ

ắắ
- 2 Ê y Ê 2 ¾¾
T = éê- 2; 2 ùú .
ë
û

Câu 9:

ỉ
pư
Hàm số y = sin ỗỗỗ x + ữữữ - sin x cú tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
è

A. 1.

3ø

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức sin a - sin b = 2 cos

a+b
a-b

sin
, ta
2
2

cú

ổ
ổ
ổ
pử
pử
p
pử
sin ỗỗ x + ữữữ - sin x = 2 cos ỗỗ x + ữữữ sin = cos ỗỗ x + ữữữ.
ỗố
ỗ
ỗ
ố
ố
3ứ
6ứ
6
6ứ

Giỏo viờn cú nhu cu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 22

ổ
pử
y ẻ
Ta cú -1 Ê cos ỗỗỗ x + ữữữ Ê 1 ắắ
-1 Ê y Ê 1 ắắắ
y ẻ {-1;0;1}.
è

6ø

Câu 10: Hàm số y = sin 4 x - cos 4 x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = x 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. x 0 = k 2p, k Ỵ .

B. x 0 = k p, k Ỵ .

C. x 0 = p + k 2p, k Ỵ .

D. x 0 = + k p, k Ỵ .

p
2

Lời giải
Chọn B
Ta có y = sin 4 x - cos 4 x = (sin 2 x + cos2 x )(sin 2 x - cos2 x ) = - cos 2 x .
Mà -1 £ cos 2 x £ 1 ¾¾
-1 ³ - cos 2 x ³ 1 ¾¾
-1 ³ y ³ 1 .
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1 .

Đẳng thức xảy ra  cos 2 x = 1  2 x = k 2 p  x = k p (k Ỵ ).

Câu 11: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 1 - 2 cos 3 x .
A. M = 3, m = -1.

B. M = 1, m = -1.

C. M = 2, m = -2.

D. M = 0, m = -2.
Lời giải

Chọn B
Ta có -1 £ cos 3 x £ 1 ¾¾
 0 £ cos 3 x £ 1 ¾¾
 0 ³ -2 cos 3 x ³ -2
ìï M = 1
¾¾
 1 ³ 1 - 2 cos 3 x ³ -1 ¾¾
 1 ³ y ³ -1 ¾¾
 ïí
.
ïïỵm = -1
ỉ
pư
Câu 12: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 4 sin 2 x + 2 sin ỗỗỗ2 x + ữữữ.
ố

4ứ

A. M = 2.

B. M = 2 -1.

C. M = 2 + 1.

D. M = 2 + 2.
Lời giải

Chọn D
ỉ
ỉ1 - cos 2 x ư÷
pư
Ta có y = 4 sin 2 x + 2 sin ççç2 x + ÷÷÷ = 4 ççç
÷ + sin 2 x + cos 2 x
è
è
ø÷
4ø
2
ỉ
pư
= sin 2 x - cos 2 x + 2 = 2 sin ỗỗ2 x - ữữữ + 2.
ỗố
4ứ
ổ
ổ
pử
pử
- 2 + 2 Ê 2 sin ỗỗ2 x - ÷÷÷ + 2 £ 2 + 2 .

Mà -1 Ê sin ỗỗỗ2 x - ữữữ Ê 1 ắắ
ỗ
ố

4ứ

ố

4ứ

Vy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 + 2.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 23


Câu 13: Tìm tập giá trị T của hàm số y = sin 6 x + cos6 x .
é1 ù
êë 2 úû

A. T = [0;2 ].

é1 ù
êë 4 úû

B. T = ê ;1ú .

C. T = ê ;1ú .

é 1ù
êë 4 úû

D. T = ê0; ú .

Lời giải
Chọn C
Ta có y = sin 6 x + cos6 x = (sin 2 x + cos2 x ) - 3 sin 2 x cos2 x (sin 2 x + cos2 x )
2

3
3 1 - cos 4 x 5 3
= 1 - 3 sin 2 x cos 2 x = 1 - sin 2 2 x = 1 - .
= + cos 4 x .
4
4
2
8 8
1
4

5
8

3
8

1
4

Mà -1 £ cos 4 x £ 1 ¾¾
 £ + cos 4 x £ 1 ¾¾
 £ y £ 1.

Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y = sin 2 x + 2 cos2 x .
A. M = 3, m = 0.

B. M = 2, m = 0.

C. M = 2, m = 1.

D. M = 3, m = 1.

Lời giải
Chọn C
Ta có y = sin 2 x + 2 cos2 x = (sin 2 x + cos2 x ) + cos2 x = 1 + cos2 x
ìM = 2
ù
.
ù
ù
ợm = 1

Do -1 Ê cos x Ê 1 ắắ
0 £ cos 2 x £ 1 ¾¾
1 £ 1 + cos 2 x £ 2 ¾¾
 ïí

Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y =

2
.
1 + tan 2 x

2
3

1
2

A. M = .

B. M = .

C. M = 1.

D. M = 2.

Lời giải
Chọn D
Ta có y =

2
=
1 + tan 2 x

2
= 2 cos 2 x .
1

cos 2 x

 0 £ y £ 2 ¾¾
 M = 2.
Do 0 £ cos2 x £ 1 ¾¾

Câu 16: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 8 sin 2 x + 3 cos 2 x .
Tính P = 2 M - m 2 .

A. P = 1.

B. P = 2.

C. P = 112.

D. P = 130.

Lời giải
Chọn A
Ta có y = 8 sin 2 x + 3 cos 2 x = 8 sin 2 x + 3 (1 - 2 sin 2 x ) = 2 sin 2 x + 3.
Mà -1 £ sin x £ 1 ¾¾
 0 £ sin 2 x £ 1 ¾¾
 3 £ 2 sin 2 x + 3 £ 5

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 24

ìM = 5
ï
¾¾
 3 £ y £ 5 ¾¾
ï
¾¾
 P = 2 M - m 2 = 1.
í
ï
ï
ỵm = 3

Câu 17: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2 sin 2 x + 3 sin 2 x .
A. m = 2 - 3.

B. m = -1.

C. m = 1.

D. m = - 3.

Lời giải
Chọn B
Ta có y = 2 sin 2 x + 3 sin 2 x = 1 - cos 2 x + 3 sin 2 x
ỉ 3
ư÷
1
sin 2 x - cos 2 x ÷÷ + 1
= 3 sin 2 x - cos 2 x + 1 = 2 ỗỗỗ
ữứ

ỗố 2
2
ổ
ử
ổ
p
p
pử
= 2 ỗỗsin 2 x cos - sin cos 2 x ÷÷÷ + 1 = 2 sin ỗỗ2 x - ữữữ + 1.
ỗố
ỗ
ứ
ố
6
6
6ứ
ổ
ổ
pử
pử
M -1 Ê sin ỗỗỗ2 x - ữữữ Ê 1 ắắ
-1 Ê 1 + 2 sin ỗỗ2 x - ữữữ Ê 3 ắắ
-1 Ê y Ê 3.
ỗ
ố

6ứ

ố

6ứ

Do ú giỏ tr nh nht ca hàm số là -1.

Câu 18: Tìm tập giá trị T của hàm số y = 12 sin x - 5 cos x .
A. T = [-1;1].

B. T = [-7;7 ].

C. T = [-13;13].

D. T = [-17;17 ].

Lời giải
Chọn C
ỉ12
ư
5
sin x - cos x ÷÷÷.
è13
ø
13

Ta có y = 12 sin x - 5 cos x = 13 ỗỗỗ
t

12
5
= cos a ắắ
= sin a . Khi đó y = 13 (sin x cos a - sin a cos x ) = 13 sin ( x - a )

13
13

¾¾
-13 £ y £ 13 ¾¾
T = [-13;13].

Câu 19: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 4 sin 2 x - 3 cos 2 x .
A. M = 3.

B. M = 1.

C. M = 5.

D. M = 4.

Lời giải
Chọn C
ỉ4
è5

3
5

ư
ø

Ta có y = 4 sin 2 x - 3 cos 2 x = 5 ỗỗỗ sin 2 x - cos 2 x ữữữ .
t

4
3
= cos a ắắ
= sin a .
5
5

Khi đó y = 5 (cos a sin 2 x - sin a cos 2 x ) = 5 sin (2 x - a )

¾¾
-5 £ y £ 5 ¾¾
 M = 5.

Câu 20: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 2 x - 4 sin x + 5 .
Tính P = M - 2m 2 .

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 25