MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at + b = 0
trong đó a, b là các hằng số ( a ¹ 0) và t là một hàm số lượng giác.
Cách giải. Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho a , ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
2) Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx
Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx là phương trình có dạng asin x + bcos x = c
Cách giải. Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 ³ c2. Chia hai vế phng trỡnh cho
a
2

2

a +b
2

2

ổ a
ử
ổ b
ử
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
Do ỗ
+

= 1 nờn t
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ a2 + b2 ÷
÷ è
÷
è a2 + b2 ø
ø

sin x +

a
2

2

a +b

b
2

2

a +b

cos x =

= cosa ắắ
đ

Khi ú phng trỡnh trở thành cosa sin x + sin a cos x =

c
2

2

a +b

b
2

a + b2

c
2

a + b2

a2 + b2 , ta đựợc

.

= sin a.

 Û sin( x + a ) =

c
2

a + b2

.

3) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at2 + bt + c = 0
trong đó a, b, c là các hằng số ( a¹ 0) và t là một hàm số lượng giác.
Cách giải. Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta
đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.
4) Phương trình bậc hai đối với sin x và cosx
Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với sin x và cosx là phương trình có dạng asin2 x + bsin x cos x + ccos2 x = d
Cách giải.

● Kiểm tra cos x = 0 có là nghiệm của phương trình.

● Khi cos x ¹ 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta thu được phương trình atan2 x + btan x + c = d(1+ tan2 x).
BÀI TẬP
Câu 1. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2cos x- 3 = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
5p
11p
13p
13p
Ỵ S.
Ỵ S.
Ï S.
Ï S.

A.
B.
C.
D. 6
6
6
6
7p
Câu 2. Hỏi x =
là một nghiệm của phương trình nào sau đây?
3
A. 2sin x- 3 = 0. B. 2sin x+ 3 = 0. C. 2cos x- 3 = 0.
D. 2cos x+ 3 = 0.
ỉ
pư
p
p
7p
4x - ÷
- 1= 0. A. x = . B. x = .
÷
Câu 3. Tỡm nghim dng nh nht ca phng trỡnh 2sinỗ
C. x = .
ỗ
ữ
ỗ
ố
3ứ
8
4

24
x=

D.

p
.
12

ổ
pử
2x - ữ
ữ+ 3 = 0 trờn ng trũn lượng giác là?A. 4 . B. 3 .C. 2 .D. 1.
Câu 4. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phng trỡnh tanỗ
ỗ
ỗ
ố
ứ
3ữ
Cõu 5. Hi trờn on [ 0;2018p] , phương trình

3cot x- 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 6339. B. 6340. C. 2017. D. 2018.
Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2cos2 x = 1?

2
B. 2sin x+ 2 = 0.
C. tan x = 1.
D. tan2 x = 1.
.
2

Câu 7. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan2 x = 3 ?
1
1
1
.
.
A. cos x = - .
B. 4cos2 x = 1.
C. cot x =
D. cot x = 2
3
3
3
Câu 8. Với x thuộc ( 0;1) , hỏi phương trình cos2 ( 6px) = có bao nhiêu nghiệm?A. 8.
B. 10. C. 11. D. 12.
4
Câu 9. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3cos x + m- 1= 0 có nghiệm?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vơ số.
m
2108;2018
] để phương trình mcos x+1= 0 có nghiệm?
Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
thuộc đoạn [
A. 2018.
B. 2019.
C. 4036.
D. 4038.

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( m+1) sin x + 2- m= 0 có nghiệm.
A. sin x =

A. m£ - 1.

B. m³

1
.
2

C. - 1< m£

1
.
2

D. m>- 1.


Câu 12. Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos2x - sin2x = 1. Khẳng định nào sau đây l ỳng?
p
p
3p
5p
ẻ S.
ẻ S.
A. ẻ S.
B. ẻ S.
C.

D.
4
2
4
4
ổ pử
ữ
Cõu 13. Số nghiệm của phương trình sin2x + 3cos2x = 3 trờn khong ỗ
B. 2.
ỗ0; ữ
ữl?A. 1.
ỗ
ố 2ứ

C. 3.

D. 4.

Cõu 14. Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos2 x - sin2x = 2 + sin2 x trên khoảng ( 0;2p) .
7p
21p
11p
3p
.
.
A. T = .
B. T =
C. T =
D. T = .
8

8
4
4
ỉ pư
0; ÷
÷
Câu 15. Số nghiệm của phương trình sin5x + 3cos5x = 2sin7x trờn khong ỗ
ỗ
ữl? A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.
ỗ
ố 2ứ
ổ pử
ổ pử
x+ ữ
+ sinỗ
x- ữ
ữ
ữ
Cõu 16. Gii phng trỡnh 3cosỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ= 2sin2x.
ỗ
ỗ
ố
ố
2ứ
2ứ
ộ 5p

ộ
ộ 5p
ộ
5p
p
2p
ờx =
êx = êx =
êx = + k
+ k2p
- k2p
+ k2p
ê
ê
ê
ê 18
6
6
6
3
, k ẻ Â. B. ờ
, k ẻ Â. C. ờ
, k ẻ Â. D. ờ
, k ẻ Â.
A. ờ
ờ
p
2p
ờ
p

2p
ờ 7p
ê
p
2p
+k
+ k2p
+k
êx = + k
êx = êx =
êx = ê 18
ê
ê
ê
3
18
3
6
18
3
ë
ë
ë
ë
Câu 17. Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin9x + 3cos7x = sin7x + 3cos9x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
ỉ p ÷
ư
é p
é p pư
é p pử

pự
ỳ.
;0ữ
.
.
ữ
ữ
A. x0 ẻ ỗ
B. x0 ẻ ờ- ;C. x0 ẻ ờ- ;- ữ
D. x0 ẻ ờ- ;- ữ
ỗ
ữ
ữ
ữ.
ỗ
ờ
ỳ
ờ
ờ
ố 12 ø
ë 6 12û
ë 3 6ø
ë 2 3ø
Câu 18. Biến đổi phương trình cos3x - sin x = 3( cos x - sin3x) về dạng sin( ax + b) = sin( cx + d) với b , d thuộc khoảng
æ p pử
p
ỗ
- ; ữ
ữ
ỗ

ữ. Tớnh b+ d .A. b+ d = 12.
ỗ
ố 2 2ứ

p
p
B. b+ d = .
C. b+ d = - .
3
4
m
10;10
[
]
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
thuộc đoạn
để phương trình ( m+1) sin x A. 21.
B. 20.
C. 18.
D. 11.
ỉ
xCâu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để phng trỡnh sinỗ
ỗ
ỗ
ố

B. 20.
C. 18.
D. 9.
ộ pữ

ử
Cõu 21. Hi trờn ê0; ÷
, phương trình 2sin2 x - 3sin x +1= 0 có bao nhiêu nghiệm?A. 1.
ê 2÷
ø
ë

p
D. b+ d = .
2
mcos x = 1- m cú nghim.

pử
ữ
ữữ
3ứ

ổ pữ
ử
3cosỗ
x- ữ
ữ= 2m vụ
ỗ
ỗ
ố
3ứ

nghim.A. 21.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Cõu 22. S v trớ biu diễn các nghiệm của 2cos2 x + 5cos x + 3 = 0 trên đường tròn lượng giác là?A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 23. Số nghiệm của phương trình sin2 2x - cos2x +1= 0 trên đoạn [- p;4p] là?A. 2.
B. 4. C. 6. D. 8.
x
x
- 3cos = 0 trên đoạn [ 0;8p].
4
4
A. T = 0.
B. T = 8p.
C. T = 16p.
D. T = 4p.
17p
. B. T = 2p. C. T = 4p. D. T = 6p.
Câu 25. Tính tổng T tất cả các nghiệm của 2cos2x + 2cos x - 2 = 0 trên [ 0;3p] .A. T =
4
Câu 24. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2sin2

(

2
Câu 26. Giải phương trình sin x -

)

3 +1 sin x cos x + 3cos2 x = 0.

ộ p
ờx = + k2p
ờ
p
p
3
( k ẻ Â) .
A. x = + k2p ( k ẻ Â ) . B. x = + kp ( k ẻ Â ) . C. ê
ê p
3
4
êx = + k2p
ê
4
ë

é p
êx = + kp
ờ
3
( k ẻ Â) .
D. ờ
ờ p
ờx = + kp
ờ
ở 4
p
p

p
p
Câu 27. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 4sin2 x + 3 3sin2x - 2cos2 x = 4 là:A.
.
B. . C. . D. .
6
3
12
4
p
2p
p
p
2
2
Câu 28. Giải phương trình 2sin x + 1- 3 sin x cos x + 1- 3  cos x = 1. A. - . B. - . C. .
D. .
6
3
4
12

(

Câu 29. Cho phương trình

(

)

)

2 - 1 sin2 x + sin2x +

(

(

)

)

2 +1 cos2 x -

2 = 0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

7p
là một nghiệm của phương trình.
8
B. Nếu chia hai vế của phương trình cho cos2 x thì ta được phương trình tan2 x - 2tan x - 1= 0 .
C. Nếu chia hai vế của phương trình cho sin2 x thì ta được phương trình cot2 x + 2cot x - 1= 0 .
D. Phương trình đã cho tương đương với cos2x - sin2x = 1.
Câu 30. Tìm điều kiện để phương trình asin2 x + asin x cos x + bcos2 x = 0 với a¹ 0 có nghiệm.
4b
4b
£ 1.
£ 1.
A. a ³ 4b .
B. a £ - 4b .
C.

D.
a
a

A. x =