Tài liệu môn Toán lớp 11 Chương 1 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

TOAÙN 11

CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



LỜI NĨI ĐẦU

Q đọc giả, q thầy cơ và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn,
tơi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về mơn Tốn đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định.
Nội dung gồm 4 phần
Phần 1. Kiến thức cần nắm
Phần 2. Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị
Phần 3. Phần trắc nghiệm có đáp án.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ cịn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh.
Mọi góp ý xin gọi về số 0355334679 – 0916.620.899
Email:
Chân thành cảm ơn.
Lư Sĩ Pháp
Gv_Trường THPT Tuy Phong

MỤC LỤC
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
ƠN TẬP CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1–2

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

3 – 11

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

11 – 17

§3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN THƯỜNG GẶP

18 – 27

ƠN TẬP CHƯƠNG I

28 – 41

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I

41 – 58

ĐÁP ÁN

59 – 60


Tài liệu học tập

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

CHƯƠNG I
---0o0---

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
---0O0---

ƠN TẬP CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
sin α
π
;α ≠ + kπ , k ∈ ℤ
cos α
2
kπ
tan α .cot α = 1; α ≠
,k ∈ℤ
2
1
1 + cot 2 α =

; α ≠ kπ , k ∈ ℤ
sin 2 α

sin 2 α + cos2 α = 1

tan α =

cos α
; α ≠ kπ , k ∈ ℤ
sin α
1
π
1 + tan 2 α =
;α ≠ + kπ , k ∈ ℤ
2
2
cos α
2. Các công thức lượng giác
2.1. Công thức cộng
cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
cot α =

sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

tan α ± tan β
, với mọi α , β làm cho các biểu thức có nghĩa.
1 ∓ tan α tan β
2.2. Công thức nhân đôi
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α

2 tan α
π
tan 2α =
; α ,2α ≠ + kπ , k ∈ ℤ
2
2
1 − tan α
2.3. Công thức nhân ba
cos3α = 4 cos3 α − 3cos α
sin 3α = 3sin α − 4sin3 α
2.4. Công thức hạ bậc
1 + cos 2α
1 − cos 2α
cos2 α =
sin 2 α =
2
2
1
−
cos
2
α
, với α làm cho biểu thức có nghĩa.
tan 2 α =
1 + cos 2α
2.6. Công thức biến đổi tổng thành tích
α +β
α −β
α +β
α −β

cos α + cos β = 2 cos
.cos
cos α − cos β = −2sin
.sin
2
2
2
2
α +β
α −β
α +β
α −β
sin α + sin β = 2 sin
.cos
sin α − sin β = 2 cos
.sin
2
2
2
2
, với mọi α , β làm cho các biểu thức có nghĩa.
2.7. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
cos α .cos β =  cos (α + β ) + cos (α − β ) 
2
1
sin α .sin β = −  cos (α + β ) − cos (α − β ) 
2
1
sin α .cos β = sin (α + β ) + sin (α − β ) 

2
tan (α ± β ) =

2.8. Công thức rút gọn
Chương I. HSLG & PTLG

1

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp



π
π
sin α + cos α = 2 sin  α +  = 2 cos  α − 
4
4




π
π

sin α − cos α = 2 sin  α −  = − 2 cos  α + 
4
4


2
, với α làm cho biểu thức có nghĩa
sin 2α
3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặt biệt
3.1. Hai góc đối nhau ( cung đối) ( α làm cho các biểu thức có nghĩa)
cos(−α ) = cos α
sin(−α ) = − sin α
tan(−α ) = − tan α
cot(−α ) = − cot α
3.2. Hai góc bù nhau( cung bù)( α làm cho các biểu thức có nghĩa)
sin(π − α ) = sin α
cos(π − α ) = − cos α
tan(π − α ) = − tan α
cot(π − α ) = − cot α
3.3. Hai góc phụ nhau ( cung phụ)( α làm cho các biểu thức có nghĩa)
π

π

sin  − α  = cos α
cos  − α  = sin α
2

2


tan α + cot α =

π

π

tan  − α  = cot α
cot  − α  = tan α
2

2

3.4. Hai góc hơn kém π (cung hơn kém π ),( α làm cho các biểu thức có nghĩa)
sin(π + α ) = − sin α
cos(π + α ) = − cos α
tan(π + α ) = tan α
cot(π + α ) = cot α
3.5. Hai góc hơn kém

π
2

(cung hơn kém

π
2

),( α làm cho các biểu thức có nghĩa)

π


π

sin  + α  = cos α
cos  + α  = − sin α
2

2

π

π

tan  + α  = − cot α
cot  + α  = − tan α
2

2

3.6. Cung bội. ( k ∈ ℤ , α làm cho các biểu thức có nghĩa)
sin(α + k 2π ) = sin α
cos(α + k 2π ) = cos α
tan(α + kπ ) = tan α
cot(α + kπ ) = cot α
4. Bảng giá trị lượng giác các góc (cung) đặt biệt

α
HSLG

sin α

cos α
tan α
cot α

00

300

450

600

900

π

π

π

π

6

4

3

2

0

1
2

2
2

1

3
2

2
2

3
2
1
2

0

3
3

1

0

||

3

1

1
0

3

||

3
3

0

1200
2π
3

1350
3π
4

1500
5π
6

3
2
1
−
2

2
2

1
2

− 3
−

3
3

−

2
2

-1
-1

1800

π

0

−

3
2

-1

−

3
3

0

− 3

||

|| : Không xác định

Chương I. HSLG & PTLG

2

Phần Tự Luận

Tài liệu học tập

Tốn 11

GV. Lư Sĩ Pháp

§1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
•
•
•
•
•

•

Hàm số y = sin x
Có tập xác định là ℝ
Có tập giá trị là  −1;1

•
•
•
•
•

Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π
Đồng biến trên mỗi khoảng
 π


π
 − + k 2π ; + k 2π  và nghịch biến trên
2
 2


•
•
•
•

•

•

π
2

•

Có tập xác định là D2 = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

•
•
•
•

Có tập giá trị là ℝ
Là hàm số lẻ

Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π
Nghịch biến trên mỗi khoảng
( kπ ; π + kπ ) ; k ∈ ℤ

•

Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng
x = kπ ; k ∈ ℤ làm một đường tiệm cận

+ kπ ; k ∈ ℤ làm một đường tiệm cận

D

Có đồ thị là một đường hình sin

Hàm số y = cot x

π

Có tập xác định là D1 = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
2

Có tập giá trị là ℝ
Là hàm số lẻ
Là hàm số tuần hồn với chu kì là π
Đồng biến trên mỗi khoảng
 π

π
 − + kπ ; + kπ  ; k ∈ ℤ

2
 2

Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng
x=

Là hàm số chẵn
Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π
Đồng biến trên mỗi khoảng
( −π + k 2π ; k 2π ) và nghịch biến trên mỗi

khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) , k ∈ ℤ

π

3π
mỗi khoảng  + k 2π ;
+ k 2π  , k ∈ ℤ
2
2

Có đồ thị là một đường hình sin

Hàm số y = tan x
•

Hàm số y = cos x
Có tập xác định là ℝ
Có tập giá trị là  −1;1

B. BÀI TẬP

ạng 1. Tập xác định của hàm số
- Hàm số xác định với một điều kiện
- Hàm số xác định bởi hai hay nhiều điều kiện
- Hàm số y = sin x; y = cos x có tập xác định là ℝ
- Hàm số y = tan x xác định khi và chỉ khi cos x ≠ 0 ; Hàm số y = cot x xác định khi và chỉ khi sin x ≠ 0
Chương I. HSLG & PTLG

3

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập
Lưu ý:
1
2
3
4

sin u = 1 ⇔ u =

Toán 11

π
2

+ k 2π

cos u = 1 ⇔ u = k 2π

tan u = 1 ⇔ u =
cot u = 1 ⇔ u =

π
4

π

4

sin u = −1 ⇔ u = −

π
2

+ k 2π

cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π

+ kπ

tan u = −1 ⇔ u = −

+ kπ

cot u = −1 ⇔ u = −

π

4

π

4

GV. Lư Sĩ Pháp
sin u = 0 ⇔ u = kπ

cos u = 0 ⇔ u =

π
2

+ kπ

+ kπ

tan u = 0 ⇔ u = kπ

+ kπ

cot u = 0 ⇔ u =

1 + cos x
1 − cos x

d) y = 3 − sin x

π

2

+ kπ

1
xác định khi và chỉ khi A ≠ 0
A
- Hàm số y = A xác định khi và chỉ khi A ≥ 0
1
xác định khi và chỉ khi A > 0
- Hàm số y =
A
Bài 1.1. Tìm tập xác định các hàm số sau:

- Hàm số y =

a) y =

1 + cos x
sin x

b) y =

1 + sin x
cos x

c) y =

HD Giải
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π

π

+ kπ , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
2
2


1 + cos x
≥ 0 . Vì 1 + cos x ≥ 0 nên điều kiện là 1 − cos x > 0 hay
1 − cos x
1 − cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k 2π , k ∈ ℤ . Vậy D = ℝ \ {k 2π , k ∈ ℤ}

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi

d) Vì −1 ≤ sin x ≤ 1 nên 3 − sin x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy D = ℝ
Bài 1.2. Tìm tập xác định các hàm số sau:



π
π
π
a) y = tan  x − 
b) y = cot  x + 
c) y = tan  2 x + 
3

6
3




d) y = tan x + cot x

HD Giải


π
π π
5π
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos  x −  ≠ 0 ⇔ x − ≠ + kπ ⇔ x ≠
+ kπ , k ∈ ℤ .
3
3 2
6

 5π

Vậy D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ 
 6


π
π
π
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi sin  x +  ≠ 0 ⇔ x + ≠ kπ ⇔ x ≠ − + kπ , k ∈ ℤ .

6
6
6

 π

Vậy D = ℝ \ − + kπ , k ∈ ℤ 
 6


π
π π
π kπ
c) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos  2 x +  ≠ 0 ⇔ x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ +
,k ∈ℤ .
3
3 2
12 2

 π kπ

Vậy D = ℝ \  +
, k ∈ ℤ
12 2


cos x ≠ 0
kπ
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi 
,k ∈ℤ .

⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠
2
sin x ≠ 0

Chương I. HSLG & PTLG

4

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Toán 11

 kπ

Vậy D = ℝ \  , k ∈ ℤ 
 2

Bài 1.3. Tìm tập xác định các hàm số sau:
2x
x
a) y = cos
b) y = tan
x −1
3
1
d) y = sin 2
e) y = cos x + 1

x −1

c) y = cot2x
f) y =

2
cos x − cos3 x

1 − sin x
3sin x − 7
i) y =
1 + cos x
2 cos x − 5
HD Giải
2x
2x
a) Ta có y = cos
xác định trên ℝ khi và chỉ khi
∈ ℝ ⇔ x −1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.
x −1
x −1
2x
Vậy tập xác định của hàm số y = cos
là D = ℝ \ {1}
x −1
x
x
x π
3π
b) Hàm số y = tan xác định khi và chỉ khi cos ≠ 0 ⇔ ≠ + kπ ⇔ x ≠

+ k 3π , k ∈ ℤ .
3
3
3 2
2
 3π

Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \  + k 3π , k ∈ ℤ 
 2


g) y =

3
sin x − cos2 x

GV. Lư Sĩ Pháp

2

h) y =

 kπ

c) Tập xác định của hàm số D = ℝ \  , k ∈ ℤ 
 2

d) Tập xác định của hàm số D = ℝ \ {−1;1}

e) Ta có cos x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ

f) Ta có cos x − cos3 x = −2sin 2 x sin(− x ) = 4sin 2 x cos x .

 kπ

Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \  , k ∈ ℤ 
 2

 π kπ

g) Ta có sin 2 x − cos2 x = − cos 2 x . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \  +
, k ∈ ℤ
4 2

h) Ta có 1 − sin x ≥ 0,1 + cos x ≥ 0 . Do đó hàm số xác định ∀x ∈ ℝ khi cos x ≠ −1 . Vậy tập xác định của
hàm số D = ℝ \ {π + k 2π , k ∈ ℤ}
i) Ta có 3sin x − 7 < 0, 2 cos x − 5 < 0 nên

3sin x − 7
> 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ
2 cos x − 5

Bài 1.4. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y = cos x
d) y =

cot x
cos x − 1

b) y = sin
e) y =

1+ x
1− x

1 − cos 2 x
1 + cos2 2 x
tan x + cot x
f) y =
1 − sin 2 x

c) y =

2 − cos x

π
1 + tan  x − 
3


HD Giải
a) Ta có y = cos x xác định trên ℝ khi và chỉ khi
Vậy tập xác định của hàm số D = [0; +∞)

x ∈ℝ ⇔ x ≥ 0 .

1+ x
xác định trên ℝ khi và chỉ khi
1− x
Vậy tập xác định của hàm số D = [−1;1)

b) Ta có y = sin

Chương I. HSLG & PTLG

5

1+ x
1+ x
∈ℝ ⇔
≥ 0 ⇔ −1 ≤ x < 1 .
1− x
1− x

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Tốn 11

GV. Lư Sĩ Pháp

c) Ta có 1 − cos 2 x ≥ 0,1 + cos 2 x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ
sin x ≠ 0
 x ≠ kπ
cot x
d) Hàm số y =
xác định ⇔ 
⇔
⇔ x ≠ kπ ; k ∈ ℤ .

cos x − 1
cos x ≠ 1  x ≠ k 2π
2

Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ}

 
π

5π
cos  x −  ≠ 0
+ kπ
x≠

3
2 − cos x
 


6
e) Hàm số y =
xác định ⇔ 
;k ∈ℤ .
⇔

π
π


π

tan x −
x ≠
1 + tan  x − 
+ kπ
≠0
 

3
12
3



  5π

 π

Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \   + kπ  ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ 
 12

 6


kπ
cos x ≠ 0
x≠
tan x + cot x


2

xác định ⇔ sin x ≠ 0 ⇔ 
f) Hàm số y =
;k ∈ℤ.
1 − sin 2 x
π
sin 2 x ≠ 1  x ≠ + kπ


4
  kπ   π


Vậy tập xác định của hàm số D = ℝ \    ∪  + kπ  ; k ∈ ℤ 

 2   4

ạng 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Nhắc lại kiến thức: Về tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x )
Tìm tập xác định D của hàm số, kiểm chứng D là tập đối xứng hay không, tức là ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D (1)
Tính f (− x ) và so sánh f (− x ) với f ( x ) :
Nếu f (− x ) = f ( x ) thì f ( x ) là hàm số chẵn
(2)
Nếu f (− x ) = − f ( x ) thì f ( x ) là hàm số lẻ
(3)
Do vậy
Nếu điều kiện (1) khơng nghiệm đúng thì f ( x ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D
Nếu điều kiện (2) và (3) khơng nghiệm đúng thì f ( x ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D

D

Để kết luận f ( x ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D, ta chỉ cần tìm một điểm x0 sao
cho f (− x 0 ) ≠ f ( x0 ) và f (− x0 ) ≠ − f ( x0 )
Lưu ý: vận dụng hai góc (cung) đối nhau của HSLG
Bài 1.5. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
cos x
a) y =
b) y = x – sinx
x
 3π

d) y = 1 + cos x.sin 
e) y = sinx.cos2x + tanx
− 2x 
 2

g) y = sin3 x − tan x

h) y =

c) y = 1 − cos x
f) y = sinx – cosx

tan x + cot x
sin x
HD Giải

cos x
có tập xác định D = ℝ \ {0} . Ta có ∀x , x ∈ D ⇒ − x ∈ D và
x
cos x

cos(− x )
cos x
là hàm số lẻ.
=−
= − f ( x ) . Vậy hàm số y = f ( x ) =
f (− x ) =
x
(− x )
x
b) Hàm số lẻ
c) Là hàm số chẵn
d) Là hàm số chẵn
e) Là hàm số lẻ
f) Hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x có tập xác định D = ℝ .
a) Hàm số y = f ( x ) =

Chương I. HSLG & PTLG

6

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

π  1

π 
3  π
1
3
ta có : f   = −
; f −  = − −
. Suy ra f   ≠
6
2 2
6
6 2 2
 6
Vậy hàm số y = f ( x ) = sin x − cos x là hàm số không chẵn, không lẻ
g) Là hàm số lẻ
h) Là hàm số lẻ
Lấy x =

π

 π
f − 
 6

D

ạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định là D và hai hằng số M và m.

Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) ≤ M và ∃x0 sao cho f ( x0 ) = M thì M gọi là GTLN của hàm số y = f ( x ) trên D và

kí hiệu Max y = M
D

Nếu ∀x ∈ D, f ( x ) ≥ m và ∃x 0 sao cho f ( x0 ) = m thì m gọi là GTNN của hàm số y = f ( x ) trên D và kí
hiệu Min y = m
D

Chú ý:
−1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ sin 2 x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

−1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

0 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ

Bài 1.6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau
a) y = 2 cos x + 1

c) y = 2 (1 + cos x ) + 1

b) y = 3 − 2 sin x

π

d) y = 3sin  x −  − 2

6


HD Giải
cos x ≥ 0
a) y = 2 cos x + 1 . Điều kiện: 
⇔ 0 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ
−1 ≤ cos x ≤ 1
Ta có: 0 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 2 cos x ≤ 2 ⇔ 1 ≤ 2 cos x ≤ 3 hay 1 ≤ y ≤ 3
Vậy: Max y = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ
ℝ

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
b) y = 3 − 2 sin x . Tập xác định: D = ℝ
Ta có: −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 2 ≥ −2 sin x ≥ −2 ⇔ 2 + 3 ≥ 3 − 2 sin x ≥ −2 + 3 ⇔ 5 ≥ 3 − 2 sin x ≥ 1 hay 5 ≥ y ≥ 1
Min y = 1 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =
ℝ

Vậy:

Max y = 5 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = −
ℝ

Min y = 1 ⇔ sin x = 1 ⇔ x =
ℝ

π

2

π
2

+ k 2π , k ∈ ℤ

+ k 2π , k ∈ ℤ

c) y = 2 (1 + cos x ) + 1 . Tập xác định: D = ℝ

Ta có: −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (1 + cos x ) ≤ 4

⇔ 0 ≤ 2 (1 + cos x ) ≤ 2 ⇔ 1 ≤ 2 (1 + cos x ) + 1 ≤ 3
Vậy:

Max y = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ
ℝ

Min y = 1 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ℤ
ℝ

Bài 1.7. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau
π


π
a) y = 2 cos  + x  + 3
b) y = cos x + cos  x − 
3

3


d) y = cos 2 x + 2 cos 2 x

Chương I. HSLG & PTLG

e) y = 5 − 2 cos2 x.sin 2 x
HD Giải

7

c) y = 3 − 2 sin x
f) 2sin 2 x − cos 2 x

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

π

a) Hàm số y = 2 cos  + x  + 3 có tập xác định là D = ℝ .
3

π


π

π

Ta có: −1 ≤ cos  + x  ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2 cos  + x  ≤ 2 ⇔ −1 + 3 ≤ 2 cos  + x  + 3 ≤ 2 + 3
3

3

3

π

⇔ 1 ≤ 2 cos  + x  + 3 ≤ 5 hay 1 ≤ y ≤ 5
3

π

π
Vậy: Max y = 5 khi cos  + x  = 1 ⇔ x = − + k 2π , k ∈ ℤ
ℝ
3
3

π

2π
Min y = −1 khi cos  + x  = −1 ⇔ x =
+ k 2π , k ∈ ℤ

ℝ
3
3


π
b) Hàm số y = cos x + cos  x −  có tập xác định là D = ℝ .
3




π
π
π
π
Ta có cos x + cos  x −  = 2 cos  x −  cos = 3 cos  x −  .
3
6
6
6




π
Với mọi x ∈ ℝ ta luôn có: − 3 ≤ 3 cos  x −  ≤ 3 hay − 3 ≤ y ≤ 3
6



π
π
Vậy: GTLN của y là 3 , đạt đựơc khi cos  x −  = 1 ⇔ x = + k 2π ; k ∈ ℤ
6
6


π
7π
GTNN của y là − 3 , đạt được khi cos  x −  = −1 ⇔ x =
+ k 2π ; k ∈ ℤ
6
6

c) Hàm số y = 3 − 2 sin x có tập xác định là D = ℝ .
Ta có 0 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −2 ≤ −2 sin x ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 3 − 2 sin x ≤ 3 hay 1 ≤ y ≤ 3
Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ
GTNN của y là 1, đạt được khi sin x = ±1 ⇔ x = ±

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
d) Hàm số y = cos2 x + 2 cos 2 x có tập xác định là D = ℝ .
1 + cos 2 x
1 + 5cos 2 x
.
+ 2 cos 2 x =
2
2

1 + 5 cos 2 x
≤ 3.
Với mọi x ∈ ℝ ta ln có: −2 ≤
2
Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos 2 x = 1 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ

Ta có cos2 x + 2 cos 2 x =

GTNN của y là -2, đạt được khi cos 2 x = −1 ⇔ x =

π
2

+ kπ , k ∈ ℤ

e) Hàm số y = 5 − 2 cos2 x.sin 2 x có tập xác định là D = ℝ .
Ta có

1
5 − 2 cos2 x.sin 2 x = 5 − sin 2 2 x .
2

Vì 0 ≤ sin 2 2 x ≤ 1 nên −
Vậy: GTLN của y là

1
1
9
1
3 2

≤ − sin 2 2 x ≤ 0 ⇔ ≤ 5 − sin 2 2 x ≤ 5 hay
≤y≤ 5.
2
2
2
2
2

5 , đạt được khi sin 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ

3 2
π kπ
, đạt được khi sin 2 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = ±1 ⇔ x = ± +
,k ∈ℤ
2
4 2
f) Hàm số y = 2 sin 2 x − cos 2 x = 1 − 2 cos 2 x có tập xác định là D = ℝ .

GTNN của y là

Chương I. HSLG & PTLG

8

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Tốn 11

GV. Lư Sĩ Pháp

Ta có −1 ≤ 1 − 2 cos 2 x ≤ 3

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
GTNN của y là -1, đạt được khi cos 2 x = 1 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos 2 x = −1 ⇔ x =

Bài 1.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) y = 3 + sin x cos x
d) y =

3
5 − sin 2 x

b) y = 4 − 2 cos2 x

( )

e) y = 1 − sin x 2 − 1

c) y =

2
3 + cos x

f) y = 4 sin x

HD Giải
7
π
a) GTLN của y là , đạt được khi x = + kπ , k ∈ ℤ
2
4
5
π
GTNN của y là , đạt được khi x = − + kπ , k ∈ ℤ
2
4

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
GTNN của y là 2, đạt được khi x = k 2π ∨ x = π + k 2π , k ∈ ℤ
2
có tập xác định là D = ℝ .
c) Hàm số y =
3 + cos x
1
1
1
1
2
Ta có −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ 2 ≤ 3 + cos x ≤ 4 ⇔ ≤

≤ ⇔ ≤
≤1
4 3 + cos x 2
2 3 + cos x
GTLN của y là 1, đạt được khi x = π + k 2π , k ∈ ℤ
1
GTNN của y là , đạt được khi x = k 2π , k ∈ ℤ
2
3
π
d) GTLN của y là , đạt được khi x = + kπ , k ∈ ℤ
4
2
3
GTNN của y là , đạt đươc khi x = kπ , k ∈ ℤ
5

b) GTLN của y là 4, đạt được khi x =

( )

e) Hàm số y = 1 − sin x 2 − 1 có tập xác định là D = ℝ .

( )

Với mọi x ∈ ℝ ta ln có: −1 ≤ 1 − sin x 2 − 1 ≤ 2 − 1 . Vậy
GTLN của y là

2 − 1 , đạt được khi x 2 = −

GTNN của y là −1 , đạt được khi x 2 =

π
2

π
2

+ k 2π , k ≥ 1

+ k 2π , k > 0

f) Hàm số y = 4 sin x có tập xác định là D =  0; +∞ ) . Trên D ta có: −4 ≤ 4 sin x ≤ 4 .
Vậy: GTLN của y là 4, đạt được khi

x=

π
2

+ k 2π , k ≥ 0

π

+ k 2π , k ≥ 1
2
Bài 1.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a) y = sin 4 x − cos4 x
b) y = sin 4 x + cos4 x
GTNN của y là −4 , đạt được khi

c) y = sin 2 x + 2 sin x + 6

Chương I. HSLG & PTLG

x =−

d) y = cos4 x + 4 cos2 x + 5
HD Giải

9

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Toán 11

(

)(

GV. Lư Sĩ Pháp

)

a) y = sin 4 x − cos4 x = sin 2 x − cos2 x sin 2 x + cos2 x = − cos 2 x .
Mặt khác: −1 ≤ cos 2 x ≤ 1

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
GTNN của y là −1 , đạt được khi x = kπ , k ∈ ℤ
GTLN của y là 1, đạt được khi x =

(

b) y = sin 4 x + cos4 x = sin 2 x + cos2 x
Mặt khác

)

2

1
− 2sin 2 x cos2 x = 1 − sin 2 2 x .
2

1
1
≤ 1 − sin 2 2 x ≤ 1
2
2

kπ
,k ∈ℤ
2
1

π kπ
GTNN của y là , đạt được khi x = +
,k ∈ℤ
2
4 2
GTLN của y là 1, đạt được khi x =

c) Ta có y = sin 2 x + 2 sin x + 6 = ( sin x + 1) + 5 . Mặt khác: 5 ≤ ( sin x + 1) + 5 ≤ 9
2

GTLN của y là 9, đạt được khi x =

π
2

GTNN của y là 5, đạt được khi x = −

(

2

+ k 2π , k ∈ ℤ

π
2

+ k 2π , k ∈ ℤ

)

(

2

)

2

d) Ta có y = cos4 x + 4 cos2 x + 5 = cos2 x + 2 + 1 . Mặt khác: 5 ≤ cos2 x + 2 + 1 ≤ 10
GTLN của y là 10, đạt được khi x = kπ , k ∈ ℤ

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
ạng 4. Chu kì tuần hồn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số y = f ( x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số
T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:
i) x − T ∈ D và x + T ∈ D
ii) f ( x + T ) = f ( x).
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hồn đó.
Định lí:
2π
1. Hai hàm số y = sin( ax + b) và y = cos( ax + b) với a ≠ 0 là hai hàm số tuần hồn với chu kì T =
.
a
GTNN của y là 5, đạt được khi x =

D

2. Hai hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) với a ≠ 0 là hai hàm số tuần hoàn với chu kì T =

π
a

.

3. Hàm số y = y1 + y2 với T1 , T2 lần lượt là chu kì tuần hồn của hàm số y1 , y2 . Chu kì tuần hồn của hàm
số y là T = BCNN (T1 , T2 ) .
MTCT:
Nhập hàm số đã cho
Calc cho x = 1 và ghi nhớ kết quả nhận được.
Calc cho x + T so sánh với kết quả nhận được ở trên, đưa ra đáp án đúng. T là chu kì ở
bốn đáp án mà câu trắc nghiệm cho.
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1.10. Tìm tập xác định của các hàm số sau
tan x
1
a) y =
b) y =
1 + tan x
3 cot 2 x + 1

Chương I. HSLG & PTLG

c) y =

10

3sin x + 1
π

3 − 3cos  x + 
6


d) y =

sin x
π

1 − cos  x + 
4


Phần Tự Luận


Tài liệu học tập
e) y =

Toán 11

1+ cos9x
+ cot9x
1+ cos9x

f) y =

sin x
2 cos x + 2

g) y =

GV. Lư Sĩ Pháp
tan 2 x − 1
1 + sin x + 1

Bài 1.11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

π
c) y = 2 − 4 + 2sin 5x
a) y = 1 + cos 2 x − 5
b) y = 4 + 5cos  3x + 
3



π

e) y = 1 − 3sin  2 x − 
3


f) y = 1 − 8sin 2 2 x

g) y = 9 − 9 sin 9 x

h) y =

d) y =

2 − cot 3 x
1 − 1 + sin 3 x
3
+1
cot x + 1
2

h) y = sin 2 x − 5

§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Phương trình sin x = m (1)
Nếu m > 1 : phương trình (1) vơ nghiệm
Nếu m ≤ 1 : Nếu α là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sin α = m

 x = α + k 2π
sin x = m ⇔ 
;k ∈ℤ
 x = π − α + k 2π
 x = α + k 360 0
Nếu số đo của α được cho bằng độ thì: sin x = m ⇔ 
;k ∈ℤ
0
0
 x = 180 − α + k 360
Nhận thấy, trong một cơng thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai
đơn vị độ và radian.

Chú ý:
 π
π
− ≤ α ≤
i) Nếu số thực α thoả mãn điều kiện:  2
2 thì ta viết α = arcsin m .
sin α = m


 x = arcsin m + k 2π
Khi đó: sin x = m ⇔ 
,k ∈ℤ
 x = π − arcsin m + k 2π
ii) Các trường hợp đặc biệt

π

+ k 2π , k ∈ ℤ
2
• m = 0 , phương trình sin x = 0 có nghiệm là x = kπ ; k ∈ ℤ
π
• m = 1 , phương trình sin x = 1 có nghiệm là x = + k 2π ; k ∈ ℤ
2
 u = v + k 2π
iii) Tổng quát: sin u = sin v ⇔ 
,k ∈ℤ
 u = π − v + k 2π
2. Phương trình cos x = m (2)
•

m = −1 , phương trình sin x = −1 có nghiệm là x = −

Nếu m > 1 : phương trình (2) vơ nghiệm
Nếu m ≤ 1 : Nếu α là một nghiệm của phương trình (2), nghĩa là cos α = m

 x = α + k 2π
cos x = m ⇔ 
,k ∈ℤ
 x = −α + k 2π
 x = α + k 3600
Nếu số đo của α được cho bằng độ thì: cos x = m ⇔ 
,k ∈ℤ
0
 x = −α + k 360

Chương I. HSLG & PTLG

11

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

Chú ý:
i) Nếu α thoả điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cos α = m thì ta viết α = arccosm.

Khi đó pt (2) có nghiệm là : x = ± arccos m + k 2π ; k ∈ ℤ
ii) Các trường hợp đặc biệt khi m ∈ {0; ±1}

cos x = 0 ⇔ x =

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
• cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ℤ
• cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ ℤ
u = v + k 2π
iii) Tổng quát: cos u = cos v ⇔ 
,k ∈ℤ
u = −v + k 2π
•

π

•

+ kπ , k ∈ ℤ
2
Nếu α là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa là tan α = m thì tan x = m ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ℤ

•

Nếu số đo của α được cho bằng độ thì tan x = m ⇔ x = α + k1800 ; k ∈ ℤ

•

Nếu α thảo mãn điều kiện −

3. Phương trình tan x = m (3)

•

Điều kiện: x ≠

π

<α <

π

và tan α = m thì ta viết α = arctanm. Lúc đó nghiệm
2
2
của phương trình (3) là: x = arctan m + kπ , k ∈ ℤ
Các trường hợp đặc biệt biệt khi m ∈ {0; ±1}

tan x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ
π
tan x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ
4
tan x = 1 ⇔ x =

•

π

+ kπ , k ∈ ℤ
4
Tổng quát : tan u = tan v có nghiệm: u = v + kπ , k ∈ ℤ

4. Phương trình cot x = m (4)

Điều kiện: x ≠ kπ , k ∈ ℤ

Nếu α là một nghiệm của phương trình (4), nghĩa là cot α = m thì cot x = m ⇔ x = α + kπ , k ∈ ℤ
• Nếu số đo của α được cho bằng độ thì cot x = m ⇔ x = α + k1800 ; k ∈ ℤ
• Nếu α thảo mãn điều kiện 0 < α < π và cot α = m thì ta viết α = arc cot m . Lúc đó nghiệm của
phương trình (4) là: x = arc cot m + kπ , k ∈ ℤ
• Tổng quát : cot u = cot v có nghiệm: u = v + kπ , k ∈ ℤ
Chú ý: Kể từ đây, ta qui ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lương giác có
chứa k mà khơng giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc ℤ
Ghi nhớ cơng thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản
Với u = u( x ), v = v( x ) và u, v làm cho biểu thức có nghĩa, k ∈ ℤ

•

 u = v + k 2π
1/ sin u = sin v ⇔ 
 u = π − v + k 2π
3 / tan u = tan v ⇔ u = v + kπ

 u = v + k 2π
2 / cos u = cos v ⇔ 
 u = −v + k 2π
4 / cot u = cot v ⇔ u = v + kπ

B. BÀI TẬP
ạng 1. Giải phương trình lượng giác cơ bản
- Các cơng thức nghiệm của bốn phương trình lượng giác cơ bản
- Cung đối và cung bù
Bài 2.1. Giải các phương trình sau:

D

a) sin x =

1
2

b) sin x = −

Chương I. HSLG & PTLG

3
2

c) sin x =

12

2
3


π


π
d) sin  2 x −  = sin  + x 
5

5


Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Toán 11

x


1
π
1
e) sin  + 10 0  = −
f) sin  2 x +  = −
2
6
2
2



GV. Lư Sĩ Pháp

 2x π 
g) sin 
− =0
 3 3
HD Giải

π 1

h) sin  9 x −  =
3 2


1
π
= sin . Phương trình đã cho tương đương với:
2
6
π
π


x = + k 2π
x = + k 2π


π
6
6

sin x = sin ⇔ 
,k ∈ℤ
⇔
6
 x = π − π + k 2π
 x = 5π + k 2π


6
6
π
5π
+ k 2π , k ∈ ℤ
Vậy phương trình có các nghiệm là: x = + k 2π ; x =
6
6
 π
3
π
b) Ta có: −
= − sin = sin  −  (áp dụng cung đối đưa dấu trừ vào trong _ sin(−α ) = − sin α )
2
3
 3
a) Ta có: sin 300 =


π
 x = − 3 + k 2π
 π

Phương trình đã cho tương đương: ⇔ sin x = sin  −  ⇔ 
,k ∈ℤ
 x = 4π + k 2π
 3

3
2
2
2
c) Vì < 1 nên có số α để sin α = ⇒ α = arcsin . Do đó:
3
3
3

2
x = arcsin + k 2π

 x = α + k 2π
2
3
hay 
sin x = ⇔ sin x = sin α ⇔ 
,k ∈ℤ
3
 x = π − arcsin 2 + k 2π
 x = π − α + k 2π

3

π π


2π
2 x − = + x + k 2π
x=
+ k 2π



π

5 5
π
5

d) sin  2 x −  = sin  + x  ⇔
,k ∈ℤ
⇔
π

π
5

k 2π
π


5

 2 x − 5 = π −  5 + x  + k 2π
 x = 3 + 3




e) x = −80 0 + k 720 0 và x = 4000 + k 720 0 ; k ∈ ℤ
f) x = −

π
6

+ kπ và x =

π
2

+ kπ ; k ∈ ℤ

k 3π
;k ∈ℤ
2
2
π k 2π
7π k 2π
h) x = +
+
;x =
,k ∈ℤ
18
9
54
9

Bài 2.2. Giải các phương trình sau:
2
1
a) cos x =
b) cos x = −
2
2

g) x =

π

+

c) cos x =

4
5


π

π
d) cos  3 x −  = cos  + x 
6

3


 3x π 

π 3

g) cos  −  = −1 h) cos  2 x −  =
3 2

 2 6
HD Giải
π

x = + k 2π

2
π
π
4
a) Ta có:
= cos . Phương trình đã cho tương đương với: cos x = cos ⇔ 
,k ∈ℤ
2
4
4
 x = − π + k 2π

4

(

)

e) cos 3 x − 450 =

 3x π 
3
1
f) cos  −  = −
2
2
 2 4

Chương I. HSLG & PTLG

13

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Tốn 11

Vậy phương trình có nghiệm là x = ±
b) Ta có: −

π

GV. Lư Sĩ Pháp

+ k 2π , k ∈ ℤ

4

1
π
π
2π

(Áp dụng cung bù_ cos(π − α ) = − cos α )
= − cos = cos  π −  = cos
2
3
3
3


2π
2π
⇔ x=±
+ k 2π , k ∈ ℤ
3
3
4
4
4
c) Vì < 1 nên có số α để cos α = ⇒ α = arccos . Do đó:
5
5
5

4
x = arccos + k 2π


 x = α + k 2π
4
5
,k ∈ℤ
hay 
cos x = ⇔ cos x = cos α ⇔ 
5
 x = − arc c os 4 + k 2π
 x = −α + k 2π

5

π π

π
3 x − = + x + k 2π

 x = 12 + kπ

π

6
3
π
d) cos  3 x −  = cos  + x  ⇔ 
,k ∈ℤ
⇔
π


π
6

π


3

3 x − 6 = −  3 + x  + k 2π
 x = − 24 + kπ



Phương trình đã cho tương đương với: cos x = cos

3 x − 450 = 300 + k 3600
 x = 250 + k1200
3
⇔ cos 3 x − 450 = cos300 ⇔ 
⇔
,k ∈ℤ

0
0
0
0
0
2
 x = 5 + k120
3 x − 45 = −30 + k 360

 3 x π 2π

11π k 4π
− =
+ k 2π
+
x=


 3x π 
 3x π 
1
2π
3
18
3 ,k ∈ℤ
f) cos  −  = − ⇔ cos  −  = cos
⇔ 2 4
⇔
2
3
 3 x − π = − 2π + k 2π
 x = − 5π + k 4π
 2 4
 2 4
 2 4

3
18
3

 3x π 
3x π
7π
g) cos  −  = −1 ⇔
− = π + k 2π ⇔ x =
+ k 4π , k ∈ ℤ
2 6
9
 2 6
3
h) Vì > 1 nên phương trình đã cho vơ nghiệm.
2
Bài 2.3. Giải các phương trình sau:
3
3
1
π

a) tan x = 3
b) tan x = −
c) tan  − x  = tan 2 x
d) tan ( x − 150 ) =
e) tan 2 x =
3
3
2
4

HD Giải

(

)

(

e) cos 3 x − 450 =

a) tan x = 3 ⇔ tan x = tan

π

3

⇔ x=

)

π

3

+ kπ , k ∈ ℤ

3
π
 π
⇔ tan x = tan  −  ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ
3
6

 6
π
π kπ
π

c) tan  − x  = tan 2 x ⇔ − x = 2 x + kπ ⇔ x = −
,k ∈ℤ
4
12 3
4

3
d) tan ( x − 150 ) =
⇔ tan ( x − 150 ) = tan 300 ⇔ x − 150 = 300 + k1800 ⇔ x = 450 + k1800 , k ∈ ℤ
3
1
1
1
1 kπ
e) tan 2 x = ⇔ 2 x = arctan + kπ ⇔ x = arctan +
,k ∈ℤ
2
2
2
2 2
Bài 2.4. Giải các phương trình sau:
3
3
π


a) cot x =
b) cot x = − 3 c) cot  − x  = cot 2 x
d) cot ( x − 150 ) = 3
e) cot 3 x =
3
5
4

HD Giải

b) tan x = −

Chương I. HSLG & PTLG

14

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

3
π
π
⇔ cot x = cot ⇔ x = + kπ , k ∈ ℤ
3

3
3
π
π


b) cot x = − 3 ⇔ cot x = cot  −  ⇔ x = − + kπ , k ∈ ℤ
6
 6
π
π kπ
π

c) cot  − x  = cot 2 x ⇔ − x = 2 x + kπ ⇔ x = −
,k ∈ℤ
4
12 3
4

d) cot ( x − 150 ) = 3 ⇔ cot ( x − 150 ) = cot 300 ⇔ x − 150 = 300 + k1800 ⇔ x = 450 + k1800 , k ∈ ℤ
a) cot x =

3
3
1
3 kπ
⇔ 3 x = arc cot + kπ ⇔ x = arc cot +
,k ∈ℤ
5
5

3
5 3
Bài 2.5. Giải các phương trình sau:
sin 3 x
2π
a)
=0
b) cot 3 x = tan
c) ( sin x + 1) 2 cos 2 x − 2 = 0
cos3 x − 1
5
π



2π 
x
0
0
d) tan  + 12 x  = − 3
e) sin  x +
 = cos3 x f) tan 2 x + 45 tan  180 −  = 1
3 
2

 12



e) cot 3x =

(

(

)

)

HD Giải
a) Điều kiện : cos3 x ≠ 1 . Ta có sin 3 x = 0 ⇔ 3 x = kπ .

π

Do điều kiện, các giá trị k = 2m, m ∈ ℤ bị loại, nên 3 x = (2m + 1)π ⇔ x = (2m + 1) , m ∈ ℤ
3

π

Vậy nghiệm của phương trình là x = (2m + 1) , m ∈ ℤ
3
b) Nghiệm của phương trình là: x =

π
30

π

+k

π
3

,k ∈ℤ

x=−

π
24

+

+ k 2π và x = ±

π

+ kπ , k ∈ ℤ
2
8
5π kπ
d) Nghiệm của phương trình là: x = −
+
,k ∈ℤ
144 12


2π 
π
e) sin  x +
 = cos3 x ⇔ cos3 x − cos  x +  = 0 . Vậy nghiệm của phương trình:

3 
6


c) Nghiệm của phương trình là: x = −

kπ
π
; x = + kπ , k ∈ ℤ
2
12


 x
x
f) Với ĐKXĐ của phương trình, ta có tan 2 x + 450 = cot 450 − x và tan  180 0 −  = tan  −  nên
2

 2

 x
x
tan 2 x + 450 tan  180 0 −  = 1 ⇔ cot 450 − 2 x .tan  −  = 1
2

 2

(

(

)

(

)

(

)

)

 x
⇔ tan  −  = tan 450 − 2 x ⇔ x = 300 + k1200 , k ∈ ℤ
 2
ạng 2. Tìm nghiệm của phương trình trên một khoảng, đoạn.
- Giải phương trình và tìm nghiệm thỏa khoảng đề bài cho.
Bài 2.6. Giải các phương trình sau trong khoảng đã cho:

(

D

a) sin 2 x = −

1
với 0 < x < π
2

c) tan ( 2 x − 150 ) = 1 với −180 0 < x < 90 0

Chương I. HSLG & PTLG

)

3
với −π < x < π
2
1
π
d) cot 3 x = −
với − < x < 0
2
3
HD Giải
b) cos( x − 5) =

15

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp




π
π
 2 x = − 6 + k 2π
 x = − 12 + kπ
1
a) sin 2 x = − ⇔ 
⇔
,k ∈ℤ
2
 2 x = 7π + k 2π
 x = 7π + kπ


6
12
Xét điều kiện 0 < x < π , ta có
π
1
1
11π
• 0 < − + kπ < π ⇔
< k < + 1 ⇒ k = 1 ( Do k ∈ ℤ ). Vì vậy : x =
12
12
12
12
7π
7π
• 0<

+ kπ < π ⇒ k = 0 . Vì vậy: x =
12
12
11π
7π
và x =
Vậy: x =
12
12


π
π
 x − 5 = 6 + k 2π
 x = 6 + 5 + k 2π
3
b) cos( x − 5) =
⇔
⇔
,k ∈ℤ
2
 x − 5 = − π + k 2π
 x = − π + 5 + k 2π


6
6
Xét điều kiện −π < x < π , ta có:
π
11π

• −π < + 5 + k 2π < π ⇒ k = −1 . Do vậy, có x = 5 −
6
6
π
13π
• −π < − + 5 + k 2π < π ⇒ k = −1 . Do vậy, có x = 5 −
6
6
11π
13π
và x = 5 −
Vậy: x = 5 −
6
6
0
c) tan 2 x − 15 = 1 ⇔ 2 x = 150 + 450 + k1800 ⇔ x = 30 0 + k 90 0 , k ∈ ℤ

(

)

Xét điều kiện −1800 < x < 90 0 , ta có

1
−1800 < 300 + k 900 < 900 ⇔ −2 < + k < 1 ⇔ k ∈ {−2, −1,0}
3
Vậy các nghiệm của phương trình là: x = −150 0 , x = −60 0 và x = 30 0
1
π kπ
π

d) cot 3 x = −
⇔ x=− +
, k ∈ ℤ . Xét điều kiện − < x < 0 , ta có:
9 3
2
3
•

•

−

π
2

<−

π
9

+

kπ
< 0 ⇔ k ∈ {−1; 0}
3

4π
π
và x = −
9

9
Bài 2.7. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 400 bắc trong một ngày thứ t của một
 π

năm không nhuận được cho bởi hàm số: d (t ) = 3sin 
(t − 80) + 12 với t ∈ ℤ và 0 < t < 365 .
 182

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?
b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có it giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?
c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?
HD Giải
 π

a) Ta phải giải phương trình: 3sin 
(t − 80) + 12 = 12 với t ∈ ℤ và 0 < t < 365 .
 182

Vậy các nghiệm của phương trình là: x = −

 π

π
Phương trình dẫn đến sin 
(t − 80) = 0 ⇔
(t − 80) = kπ ⇔ t = 182k + 80,(k ∈ ℤ)
182
182

Mặt khác 0 < 182k + 80 < 365 ⇔ k ∈ {0;1}

Chương I. HSLG & PTLG

16

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 ( ứng với k = 0) và ngày thứ 262(
ứng với k = 1) trong năm.
b) Do sin x ≥ −1 với mọi x, nên thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi:
 π

sin 
(t − 80) = −1 với t ∈ ℤ và 0 < t < 365 . Từ đó suy ra t = 364k − 11, k ∈ ℤ
182

Mặt khác: 0 < 364k − 11 < 365 ⇔ k = 1
Vậy: Thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất (9 giờ) vào ngày thứ 353 trong năm.
 π

a) Tương tự, ta giải phương trình sin 
(t − 80) = 1 với t ∈ ℤ và 0 < t < 365 .
182


Vậy: Thành phố A có nhiếu giờ ánh sáng mặt trời nhất (15 giờ) vào ngày thứ 171 trong năm.

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.7. Giải các phương trình sau:
1. sin ( 2 x − 300 ) = −
4. sin 3 x =

π

2. sin  3 x +  = −1
6

π

 2π

5. sin  2 x −  = sin 
− 3x 
4

 3


2
2

2
3

7. cos ( 600 − 3 x ) = −
10. cos ( 2 x − 5 ) =

(

)




π

1
2

1
x

8. cos  + 100  = −
2
2

3π 
π


11. cos  3 x −
 = cos  x + 
4 
3




3
4


π
3
14. cot  5 x −  = −
9
3

o
17. sin(9 − 9 x) = 0

13. tan 2 x + 60 0 = − 3
16. cot  2 x −

 = −2
3

 2x π  1
3. sin  −  =
 3 4 2

π
3

6. sin  2 x −  = −

6
2

2π 

9. cos  2 x −
 =1
3 

12. cos ( 4 x + 1250 ) = −1

(

)

15. cos 3 x − 1350 =

3
2

π
2

18. sin  3x −  = −
3
2


Bài 2.8. Giải các phương trình sau:
1. sin x =

3
với 0 ≤ x ≤ 2π
2

π

4. −2 cos  x +  + 3 = 0
3

với −

π
2

≤x≤

π

2
π 
37π 
7. 3+3cos −x =0, x∈ ;30
4 
4 

2. cos x =

(

3
với 0 ≤ x ≤ 2π
2

)

5. 2 cos 450 − x + 2 = 0
với x ∈ 1800 ;3400 
8.

3 sin 5x + 3 = 0 với

x ∈ ( −90°;180°]

Bài 2.9. Giải các phương trình sau:
1. sin 3 x − cos 5 x = 0
2. tan 3 x.tan x = 1

π

2 sin  3x +  + 1 = 0 trên đoạn
6

[ −2π ; π ]

9.

cos3x
=0
sin 3x − 1


π
6. sin 2 x.tan  x −  = 0
4

9. sin 5 x + cos x = 0

3.

4. sin 3 x + sin 5 x = 0

5. cot 2 x.cot 3 x = 1

π

7. cot 9 x = − tan  + 9 x 
9


8. cos(50° + 4 x ) + sin 3 x = 0

Chương I. HSLG & PTLG

π
3
π
π

3. cos  x +  =
với − ≤ x ≤

2
2
3 2

π 1

6. sin  x +  = với −π ≤ x ≤ π
2 2


17

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Tốn 11

GV. Lư Sĩ Pháp

§3. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
THƯỜNG GẶP
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
Phương trình

Cách giải
Đặt ẩn phụ t = f ( x ) và đặt điều kiện cho ẩn phụ
(nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này và
từ đó suy ngược lại nghiệm x.

Khi đặt t = sinx hay t = cosx, điều kiện là t ≤ 1

1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một
hàm số lượng giác, trong đó f ( x ) là một biểu
thức lượng giác nào đó.

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có
dạng: a sin x + b cos x = c,(a 2 + b 2 ≠ 0) ( 2 )

Khi đặt t = tanx, t = cotx, cần lưu ý điều kiện xác
định của tanx và cotx.
Thực hiện các bước sau:
B1: Kiểm tra
• Nếu a 2 + b 2 < c2 thì phương trình (2) vơ
nghiệm
• Nếu a2 + b2 ≥ c2 , ta thực hiện tiếp B2
B2. Chia hai vế phương trình (2) cho a 2 + b 2 .
Từ đó áp dụng cơng thức cộng đưa phương trình
(2) về phương trình lượng giác cơ bản dạng:
sin u = sin v hay cos u = cos v .
Cách 1. Thực hiện các bước sau
B1. Xét cos x = 0 ⇔ x =

3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx
và cosx , có dạng:
a sin 2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 (3)

sin x = ±1 ) có phải là nghiệm của phương trình
(3) hay khơng ?
B2. Xét cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

(4)

(a + b + c ≠ 0)
2

2

π

+ kπ , chia hai vế
2
phương trình cho cos2 x ta sẽ có được phương
trình bậc hai theo một hàm số lượng giác tanx
Cách 2.
Áp dụng công thức hạ bậc, ta đưa phương trình
(3) về dạng phương trình bậc nhất đối với sin 2 x
và cos 2 x .
Viết d = d (sin 2 x + cos2 x ) rồi đưa về dạng
phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và
cosx ( đưa về dạng phương trình (3) )

(a 2 + b 2 + c2 ≠ 0)

Phương trình dạng
a sin 2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d

π
+ kπ ( nghĩa là
2

2

B. BÀI TẬP

D

ạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình dạng at + b = 0, a ≠ 0
- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc nhất
- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải
Bài 3.1. Giải các phương trình sau:

π
a) 2 cos 3 x − 60 0 + 1 = 0
b) 2sin  2 x −  + 3 = 0
6


(

c)

)

x

3 tan  + 20 0  + 1 = 0
4


Chương I. HSLG & PTLG


π
3 cot  x −  + 3 = 0
3

HD Giải
d)

18

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

(

Toán 11

)

GV. Lư Sĩ Pháp

1
⇔ cos 3 x − 60 0 = cos1200
2
3 x − 600 = 1200 + k 3600

 x = 900 + k1200
,k ∈ℤ
⇔
⇔
0
0
0
0
0
3 x − 60 = −120 + k 360
 x = 20 + k120

(

)

(

a) 2 cos 3 x − 60 0 + 1 = 0 ⇔ cos 3 x − 60 0 = −

)




 π
π
π
3
π

b) 2sin  2 x −  + 3 = 0 ⇔ sin  2 x −  = −
⇔ sin  2 x −  = sin  − 
6
6
2
6



 3
π
π
π


 2 x − 6 = − 3 + k 2π
 x = − 12 + kπ
,k ∈ℤ
⇔
⇔
 2 x − π = π + π + k 2π
 x = 3π + kπ

6
3
4

x

x


x

1
c) 3 tan  + 20 0  + 1 = 0 ⇔ tan  + 200  = −
⇔ tan  + 20 0  = tan −300
3
4

4

4


(

)

x
+ 200 = −300 + k1800 ⇔ x = −2000 + k 7200 , k ∈ ℤ
4



 π
π
π
π
3 cot  x −  + 3 = 0 ⇔ cot  x −  = − 3 ⇔ cot  x −  = cot  − 
3

3
3



 6
⇔

d)

⇔ x−

π

=−

3
Bài 3.2. Giải các phương trình sau:
a)

π
6

+ kπ ⇔ x =

π
6

(

3 tan 2 x + 3 = 0

+ kπ , k ∈ ℤ

)

b) cos x + 30 0 + 2 cos2 150 = 1

c) 2 cos x − 3 = 0

a)

d) 8 cos 2 x sin 2 x cos 4 x = 2
HD Giải
 π
π kπ
3 tan 2 x + 3 = 0 ⇔ tan 2 x = − 3 ⇔ tan 2 x = tan  −  ⇔ x = − +
6 2
 3

kπ
,k ∈ℤ
6 2
= 1 − 2 cos2 150 ⇔ cos x + 300 = − cos30 0

(lưu ý ĐK: cos 2 x ≠ 0 ). Vậy, nghiệm của phương trình là: x = −

(

)

(

b) cos x + 30 0 + 2 cos2 150 = 1 ⇔ cos x + 30 0

)

π

+

(

)

 x = 120 0 + k 360 0
;k ∈ℤ
⇔ cos x + 30 0 = cos150 0 ⇔ 
0
0
 x = −180 + k 360
Vậy, nghiệm của phương trình là: x = 1200 + k 3600 và x = −1800 + k 3600 , k ∈ ℤ

(

)

3
π
⇔ x = ± + k 2π

2
6

π kπ
 x = 32 + 4
2
,k ∈ℤ
d) 8 cos 2 x sin 2 x cos 4 x = 2 ⇔ sin 8 x =
⇔
2
 x = 3π + kπ

32 4
π kπ
3π kπ
và x =
, k ∈ℤ
Vậy, nghiệm của phương trình là x =
+
+
32 4
32 4
Bài 3.3. Giải các phương trình sau:
a) cos2x – sinx – 1 = 0
b) cosx.cos2x = 1 + sin2x.sinx
c) 4 sin x cos x cos 2 x = −1
d) tanx = 3cotx
HD Giải
2
a) cos 2 x − sin x − 1 = 0 ⇔ 1 − 2 sin x − sin x − 1 = 0

c) 2 cos x − 3 = 0 ⇔ cos x =

Chương I. HSLG & PTLG

19

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Toán 11

GV. Lư Sĩ Pháp


 x = kπ
sin x = 0

 x = − π + k 2π , k ∈ ℤ
⇔ sin x (2 sin x + 1) = 0 ⇔ 
⇔
sin x = 1

6


2
7π
x =

+ k 2π
6

Vậy, phương trình có các nghiệm là x = kπ , x = −

π

+ k 2π và x =

7π
+ k 2π với k ∈ ℤ
6

6
b) cos x cos 2 x = 1 + sin x sin 2 x ⇔ cos x cos 2 x − sin x sin 2 x = 1
k 2π
k 2π
⇔ cos3x = 1 ⇔ x =
, k ∈ ℤ . Vậy, phương trình có nghiệm là x =
,k ∈ℤ
3
3
π kπ
,k ∈ℤ
c) 4sin x cos x cos 2 x = −1 ⇔ sin 4 x = −1 ⇔ x = − +
8 2
kπ
d) tan x = 3cot x . Điều kiện sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠
,k ∈ℤ
2

3
π
⇔ tan 2 x = 3 ⇔ tan x = ± 3 ⇔ x = ± + kπ , k ∈ ℤ
Ta có tan x =
tan x
3
So với điều kiện, phương trình có nghiệm là x = ±

π
+ kπ , k ∈ ℤ
3

D

ạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình dạng at 2 + bt + c = 0, a ≠ 0
- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc hai
- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải
- Lưu ý điều kiện của bài tốn (nếu có)
Bài 3.4. Giải các phương trình sau:
a) 2sin 2 x + 5sin x − 3 = 0
b) cot 2 3 x − cot 3 x − 2 = 0

(

)

c) 4 cos2 x − 2 1 + 2 cos x + 2 = 0

d) 5tan x − 2 cot x − 3 = 0

HD Giải
1
a) Đặt sinx = t ( với t ≤ 1 (*)), ta được phương trình 2t 2 + 5t − 3 = 0 ⇔ t1 = , t2 = −3 (không thỏa (*))
2

π
 x = 6 + k 2π
1
1
Với: t = ⇒ sin x = ⇔ 
,k ∈ℤ .
2
2
 x = 5π + k 2π

6
π
5π
Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm là: x = + k 2π và x =
+ k 2π , k ∈ ℤ
6
6
b) Điều kiện: sin 3 x ≠ 0(*) Đặt t = cot3x, ta được phương trình t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t = −1, t = 2

π kπ
+
,k ∈ℤ
4 3
1

kπ

Với t = −1 ⇒ cot 3x = −1 ⇔ x =

Với t = 2 ⇒ cot 3 x = 2 ⇔ x = arc cot 2 +
,k ∈ℤ , k ∈ℤ
3
3
So với (*),vậy phương trình đã cho cáo các nghiệm x =

π kπ
1
kπ
và x = arc cot 2 +
, k ∈ℤ
+
4 3
3
3

(

)

1
2
c) Đặt t = cosx, ( với t ≤ 1 ), ta được phương trình 4t 2 − 2 1 + 2 t + 2 = 0 ⇔ t1 = , t2 =
2
2

Chương I. HSLG & PTLG

20

Phần Tự Luận


Tài liệu học tập

Tốn 11


 cos x =
Do đó: 4 cos2 x − 2 1 + 2 cos x + 2 = 0 ⇔ 

 cos x =


(

)

Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm là x = ±

π
3

GV. Lư Sĩ Pháp

1

2


π
 x = ± 3 + k 2π
, k ∈ℤ
⇔
2
 x = ± π + k 2π

4
2

+ k 2π và x = ±

π
4

+ k 2π , k ∈ ℤ

d) Điều kiện sin 2 x ≠ 0 , khi đó ta có tan x ≠ 0
1
5tan x − 2 cot x − 3 = 0 ⇔ 5tan x − 2
− 3 = 0 ⇔ 5tan 2 x − 3tan x − 2 = 0
tan x

π
 tan x = 1
 x = 4 + kπ
, k ∈ℤ

⇔
⇔
 tan x = − 2
 2

arctan
x
=
−
+
k
π


5


 5

So với ĐK, phương trình đã cho có các nghiệm x =

Bài 3.5. Giải các phương trình sau:
a) 2 cos2 x − 3cos x + 1 = 0
c)

(

 2
+ kπ và x = arctan  −  + kπ , k ∈ ℤ
4

 5

π

b) cos2 x + sin x + 1 = 0

)

(

)

(

)

d) cos 4 x + 600 − 5 cos 2 x + 30 0 + 4 = 0

3 tan 2 x − 1 + 3 tan x + 1 = 0

HD Giải
a) Phương trình đã cho có các nghiệm là x = k 2π và x = ±
b) Phương trình đã cho có nghiệm là x = −

π
2

c) Phương trình đã cho có các nghiệm là x =

(

)

(

)

π
+ k 2π , k ∈ ℤ
3

+ k 2π , k ∈ ℤ

π
π
+ kπ và x = + kπ , k ∈ ℤ
4
6

(

)

(

)

d) cos 4 x + 60 0 − 5 cos 2 x + 30 0 + 4 = 0 ⇔ 2 cos2 2 x + 30 0 − 5cos 2 x + 300 + 3 = 0

D

•
•

(
(

)
)

 cos 2 x + 30 0 = 1

0
0
0
0
⇔
3 ⇔ 2 x + 30 = k 360 ⇔ x = −15 + k180 , k ∈ ℤ
0
 cos 2 x + 30 =

2
ạng 3. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
- Phương trình có dạng a sin x + b cos x = c,(a 2 + b 2 ≠ 0)
- B1: Kiểm tra
Nếu a2 + b2 < c2 thì phương trình vơ nghiệm
Nếu a 2 + b 2 ≥ c2 , ta thực hiện tiếp B2

- B2. Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 . Từ đó áp dụng cơng thức cộng đưa phương trình về phương
trình lượng giác cơ bản dạng: sin u = sin v hay cos u = cos v .
Bài 3.6. Giải các phương trình sau:

3 sin x − cos x = 1

b) 2sin 3x + 5 cos3 x = −3

d) 5sin 2 x − 6 cos2 x = 13

e) 2sin 2 x − 2 cos 2 x = 2

a)

c) 3 cos x + 4sin x = −5
1
f) sin 2 x + sin2 x =
2

HD Giải
a)


π


x = + k 2π
π
π 1

, k ∈ℤ
3 sin x − cos x = 1 ⇔ 2sin  x −  = 1 ⇔ sin  x −  = ⇔
3


6
6 2


 x = π + k 2π

Chương I. HSLG & PTLG

21

Phần Tự Luận