Skkn giúp học sinh lớp 12 trường thpt quảng xương 1 giải bài toán tính thể tích khối đa diện thông qua ứng dụng của tỉ số thể tích

MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

1. Mở đầu
1.1

Lý do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

2

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1
2.2

Cơ sở lí luận:

2

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

4

2.3

Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

5

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

16

3. Kết luận, kiến nghị
3.1

Kết luận

17

3.2

Kiến nghị

17

1

skkn


1 – MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
- Bài tốn tính thể tích khối đa diện đa phần học sinh đều lúng túng do qn kiến
thức hình học khơng gian lớp 11.
- Thường xuyên có trong đề thi đại học với mức độ vận dụng cao
Vì vậy tơi chọn đề tài nghiên cứu của mình là “ Giúp học sinh lớp 12 trường
THPT Quảng Xương 1 giải bài toán tính thể tích khối đa diện thơng qua ứng
dụng của tỉ số thể tích ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Học sinh nắm được cách tính thể tích khối đa diện thơng qua tỉ số thể tích. Ngồi ra
cịn giúp học sinh phân dạng được các bài tập, mối liên hệ giữa bài tập này với bài
tập kia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Các khối đa diện : Khối chóp, khối tứ diện, khối lăng trụ, khối hộp.
- Đề tài được áp dụng trong chương trình hình học cơ bản lớp 12, học sinh ôn thi
học sinh giỏi , học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:

Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề ra trong
q trình nghiên cứu tơi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:
i) Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Nghiên cứu tài liệu.
- Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy.
- Nghiên cứu một số quan điểm , tư tưởng sáng tạo.
2i) Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập.
- Nghiên cứu các bài toán gốc và phát triển các bài tốn gốc.
- Nghiên cứu các bài tốn có cấu trúc tương tự.
2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận: Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:
i. Tỉ số diện tích của hai tam giác

2i. Tỉ số thể tích của khối chóp
A. Cơng thức tỉ số thể tích của hình chóp tam giác

Cơng thức trên chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác, do đó
trong nhiều trường hợp ta cầnhoạt phân chia hình chóp đã
cho thành nhiều hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.
B. Một số trường hợp đặc biệt

2

skkn


Nếu

và

thì

Kết quả vẫn đúng trong trường hợp đáy là n − giác.
3i. Tỉ số thể tích của khối lăng trụ
A. Lăng trụ tam giác
Gọi V là thể tích khối lăng trụ,
là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh
của lăng trụ,
là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó:

Ví dụ:
B. Mặt phẳng cắt các cạnh bên của lăng trụ tam giác
Gọi , và lần lượt là thể tích phần trên, phần dưới và lăng trụ. Giả sử

Khi đó:
Khi

thì

4i. Khối hộp
A. Tỉ số thể tích của khối hộp
Gọi V là thể tích khối hộp,
là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của
khối hộp. Khi đó:
(hai đường chéo của hai mặt phẳng song song)
(trường hợp còn lại)
3

skkn

Ví dụ:
B. Mặt phẳng cắt các cạnh của hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau)

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
i) Thuận lợi.
- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu
thích mơn học.
- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện đề tài.
- Được sự động viên của BGH, nhận được sự động viên và đóng góp ý kiến của
đồng nghiệp.
2i) Khó khăn.
- Đa số học sinh yếu hình học khơng gian hoặc là qn kiến thức hình học khơng
gian lớp 11, qn kiến thức hình học phẳng.Học sinh có tư tưởng sợ và ngại học
phần này.
- Giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy đối với các bài tốn tính thể tích khối
đa diện thơng qua tỉ số thể tích.
Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12T3,12T4 là hai lớp trọng
điểm chọn HS khá giỏi tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2021 - 2022 trường THPT
Quảng Xương 1, kết quả như sau:
Năm

Lớp

Sĩ số
Tỉ lệ%

Số học sinh làm
được bài tập

Số học sinh lúng túng
không làm được bài tập

50
15
35
Tỉ lệ %
30%
70%
2021 - 2022
52
13
39
12T4
Tỉ lệ %
25%
75%
Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải
quyết có hệ thống trên cơ sở kiến thức trong SGK các dạng tốn về tính thể tích
khối đa diện thơng qua tỉ số thể tích. Song song với việc cung cấp tri thức, tôi chú
trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán..., phát triển tư duy cho học
sinh đặc biệt là tư duy sáng tạo để trên cơ sở đó học sinh khơng chỉ học tốt phần
này mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức hình học khác của lớp 12 .
12T3

4

skkn

2.3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề.
Với vị trí của người trực tiếp dạy ơn thi ĐH-CĐ và ôn thi học sinh mũi nhọn
tôi đã tiến hành song song các giải pháp:
1.Chọn phương pháp tiếp cận để giải từng bài.
2. Áp dụng vào các bài tập cụ thể, phân tích cách giải.
3. Luyện bài tập từ bài toán gốc và phát triển các bài toán tương tự đến nâng cao.
4. Ơn lại kiến thức về hình học khơng gian lớp 11, kiến thức hình học phẳng.
5. Áp dụng vào việc ra đề thi và kiểm tra chất lượng cho HS.
2.3.1. Dạng 1: Ứng dụng tỉ số thể tích trong khối chóp, khối tứ diện
Ví dụ 1:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của
CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM
và S.ABCD
S
Phân tích tìm hướng giải
B1: Do hai khối chóp S.ICM và S.ABCD
Có chung đường cao nên tìm tỉ số

thơng

A

qua tỉ số diện tích.

D

O

B2:Tìm tỉ số

M

I

C

B

B2:Tìm tỉ số

Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD, do
đó

Vậy
Ví dụ 2:
Cho hình chóp
. Gọi , , ,
theo thứ tự là trung điểm của
. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp
và
.
A.

B.

C.
Hướng dẫn giải

Chọn C

5

skkn

D.

,

,

,


Ta có

.

Và

.

Suy ra

.

Ví dụ 3:
Cho hình chóp

đáy là hình bình hành. Gọi

. Mặt phẳng
A.

.

cắt
B.

tại
.

lần lượt là trung điểm của

. Tỉ số

bằng:

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn B

Ta có

là trung điểm của

nên

.

Cách 1: Áp dụng định lý Menelaus cho

ta có :
.

Cách 2: Kẻ
của
.
Ta có 
mà
Suy ra

, ta có

là trung điểm của

là trung điểm của

nên

nên

là trung điểm

là trung điểm của

.

.

Theo cơng thức tỉ số thể tích ta có :

6

skkn

.


Ví dụ 4:
(HSG 12-Sở Nam Định-2019) Cho tứ diện
có thể tích với
là trung điểm
. Gọi
lần lượt là thể tích của
và

lần lượt
. Tính tỉ lệ

.
A. .

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn B

Vì

lần lượt là trung điểm

nên ta có:
, do đó:

.
.
Ví dụ 5:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi , lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng
,

,
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Mặt phẳng
chia khối chóp
thành hai khối đa diện. Gọi là thể
tích của khối đa diện chứa đỉnh và là thể tích khối đa diện cịn lại. Tính tỉ số

A.

.

B.

.

C.

Hướng dẫn giải
Chọn D
7

skkn

.

D.

.

Gọi là thể tích khối chóp
Do
nên
cắt
cùng song song với
.

;

Ta có

lần lượt là trung điểm
lần lượt tại

.

. Suy ra
.
.

Tương tự:

.

Do đó
Vậy tỉ số

.

.

Ví dụ 6:
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
,
lần lượt là
trung điểm của các cạnh
,
. Điểm thuộc đoạn
. Biết mặt phẳng
chia khối chóp
phần cịn lại. Tính tỉ số
A.

.

thành hai phần, phần chứa đỉnh

có thể tích bằng

?
B.

.

C.

Hướng dẫn giải

Chọn B

8

skkn

.

D.

.

lần


S
E
S
I

K

E
I

D

A

P

M
B

N

C

P

A

Q

Hình 2

Hình 1

Mặt phẳng

D

H

cắt khối chóp theo thiết diện như hình 1. Đặt

Ta có

.

.

.
.

Do

.

Mà
Kẻ

.
(

.
) như hình 2. Ta có :
.
.
.
.

2.3.2. Dạng 2: Ứng dụng tỉ số thể tích trong khối lăng trụ, khối hộp
Ví dụ 7:

9

skkn


Cho lăng trụ
,

là trung điểm
. Mặt phẳng
chia khối lăng
trụ thành hai khối đa diện. Gọi là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh và
là thể
tích khối đa diện cịn lại. Tính tỉ số
A.

.

B.

.
.

C.

D.

.

Hướng dẫn giải

là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh
là

thể

tích

tức là

khối

đa

diện

cịn

lại

Khi đó ta có tỉ số
.
Ví dụ 8:
Cho lăng trụ

Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
Mặt phẳng
chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa
diện bao gồm khối chóp
có thể tích
và khối đa diện
có thể
tích

. Biết rằng
A.

.

tìm
B.

.
C.
Hướng dẫn giải

Chọn B

10

skkn

.

D.

.


Ta có:

Ví dụ 9:
Cho hình lăng trụ
thuộc cạnh
sao cho
A.

có thể tích là .Gọi là trung điểm
. Tính thể tích khối chóp
.

B.

.

C.

.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1:

11

skkn

.

, điểm
theo .
D.


B'

A'

C'
M

N

B

A
C

Ta có:

.

Theo cơng thức tỷ số thể tích:
.
Ta có:

.
.
.

Vậy:

.

Cách 2:
A'

B'
h

C'
N

M

B

k

h/2

A
C

Gọi
chóp

lần lượt là độ dài đường cao của hình lăng trụ
, S là diện tích tam giác
.

độ dài đường cao của hình chóp
12

skkn

là:

và hình


(1).
Mặt khác:
Ta có

(vì 2 tam giác

và

có cùng chiều cao và

).
(2).
Từ (1) và (2) ta có:

.

Ví dụ 10:
(Chun Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho khối hộp chữ nhật
có thể tích bằng
. Biết
;
;
. Mặt phẳng
chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng
D

A

C

B

N

P

M
C

D
B

A

A.

.

B.

.

C.

.

Hướng dẫn giải
D

A

C

B

N

D.

P

M
Q
C

D
B

A

Ta có:

.
.

Ví dụ 11:

13

skkn

.


(THPT Thạch Thanh 2 - Thanh Hóa - 2018) Cho khối hộp chữ nhật
có thể tích bằng
. Biết
,
,
như
hình vẽ. Mặt phẳng
chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích
khối đa diện nhỏ hơn bằng

A.

.

B.

.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi
Giả sử

là giao điểm của mặt phẳng
,

,

,

14

skkn

với
. Khi đó

.
.

.


.
2.3.3 . Bài tập tự luyện.
Câu 1:Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện. Gọi r 1, r2, r3, r4 lần
lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện.
Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối
diện của tứ diện. CMR:

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác
đáy là hình bình hành có thể tích bằng
Lấy điểm , lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Mặt phẳng qua
cắt cạnh
tại . Khi đó thể tích khối chóp
bằng
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

.

Câu 3: Cho tứ diện đều
có cạnh bằng . Trên các cạnh
và
lần lượt

lấy các điểm
và
sao cho
và
. Mặt phẳng
chứa
và song song với
chia khối tứ diện
thành hai khối đa diện, trong đó
khối đa diện chứa đỉnh có thể tích là . Tính .
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 4: Cho hình chóp
có đáy là hình vng cạnh a. Cạnh bên
vng
góc với mặt đáy và

. Gọi
lần lượt là hình chiếu vng góc của trên
các cạnh
. Mặt phẳng
cắt cạnh
tại . Tính thể tích của khối
chóp
A.

.

B.

Câu 5: Cho hình chóp
vng góc với đáy. Gọi
. Tính thể tích
A.

B.

.

Câu 7: Cho hình chóp
. là điểm thuộc cạnh
. Mặt phẳng
1. Khối đa diện

C.

có đáy

là trung điểm
của khối tứ diện

Câu 6: Cho khối tứ diện
trọng tâm của các tam giác
tứ diện
.
A.

.

.
có thể tích
,
,
,

B.

.

.

D.

là hình vng cạnh ,
,
là điểm thuộc cạnh
.
C.

.

và
sao cho

D.

.

. Gọi
, , ,
lần lượt là
. Tính theo thể tích của khối
C.

.

D.

.

có đáy
là hình bình hành. Gọi là trung điểm
sao cho
, là điểm thuộc cạnh
sao cho
cắt
tại
Biết khối chóp

có thể tích bằng
có thể tích bằng
15

skkn


A.

.

B.

.

C. .

D.

.

Câu 8: Cho khối chóp tứ giác
. Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác
chia khối chóp thành hai phần có thể tích là và
. Tính tỉ
lệ

.
A.

.

B.

Câu 9: Cho hình hộp
trung điểm của các cạnh
A.

.

,

.

,
B.

C.

.

D.

có thể tích bằng . Gọi
,
. Tính thể tích khối tứ diện
.

C.

.

,

.
lần lượt là
.

D.

.

Câu 10: (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối lăng trụ
có thể tích bằng
2018. Gọi
là trung điểm
;
lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh
,
sao cho
,
. Tính thể tích khối đa diện
.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
- Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia giảng dạy lớp
12T3,12T4 ôn luyện HS mũi nhọn và ôn thi đại học.Trong quá trình học chuyên đề
này, học sinh thực sự thấy tự tin ,biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo
cho học sinh niềm đam mê u thích mơn tốn ,mở ra cho học sinh cách nhìn
nhận ,vận dụng,linh hoạt ,sáng tạo các kiến thức đã học , tạo nền tảng cho học sinh
tự học , tự nghiên cứu . Kết quả khi thực hiện đề tài như sau:
Năm Lớp Sĩ số
Trước khi thực hiện đề tài
Sau khi thực hiện đề tài
Học
Tỉ lệ
Số học
Số học sinh lúng
Số học
Số học sinh
sinh làm
túng không làm
sinh làm
lúng túng
được bài

được bài tập
được bài
không làm
tập
tập
được bài tập
12T3
20212022

50
Tỉ lệ
12T4 52
Tỉ lệ

15
30%
13
25%

35
70%
39
75%

16

skkn

48
96%

47
90,4%

2
2%
5
9,4%


3 – KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận:
Tính khả thi của đề tài: Khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy học sinh bộ
mơn Tốn lớp 12T3,12T4 trường THPT Quảng Xương 1, tôi nhận thấy rằng các em
học sinh rất hứng thú với mơn học . Chính vì các em cảm thấy hứng thú với môn
học nên tôi nhận thấy chất lượng của mơn Tốn nói riêng, và kết quả học tập của
các em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo
dục của nhà trường. Ngoài ra các em cũng học được cách tìm tịi, khám phá, sáng
tạo và tự đặt ra câu hỏi và tìm cách giải quyết vấn đề đó như thế nào nhanh gọn,
chính xác và hiệu quả nhất.
Đề tài có thể áp dụng để các tổ trưởng chỉ đạo tổ chuyên môn bồi dưỡng HS
ôn thi ĐH-CĐ, học sinh ôn thi HSG và cho tất cả giáo viên tốn THPT.
Đề tài có thể được áp dụng thành công trong các năm tiếp theo và được
nhận rộng trong các trường phổ thông.
3.2. Kiến nghị:
- Đối với nhà trường, đồng nghiệp khi giảng dạy phần thể tích khối đa diện thơng
qua tỉ số thể tích nên để ý hơn đến việc hướng dẫn học sinh biết cách rút ra các đặc
điểm và dấu hiệu nhận biết đặc trưng để vận dụng để giải toán.
- Thời gian nghiên cứu và áp dụng đề tài trong một năm học, phạm vi nghiên cứu
chỉ là ở hai lớp thuộc một trường THPT, nên có nhiều vấn đề chưa được phân tích
một cách đầy đủ. Rất mong nhận được sự giúp đỡ góp ý bổ sung của đồng nghiệp

để đề tài của tơi có được thêm các kinh nghiệm bổ ích áp dụng cho các năm học
sau.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa và sách bài tập hình học cơ bản và hình học nâng cao 12
[2]. Tạp chí tốn học và tuổi trẻ.
[3]. Các đề thi THPT QG lớp 12 của các sở GD&ĐT và các trường THPT năm học
2021-2022 trên tồn quốc.
[4].Các nhóm Tốn trên facebook.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hố, ngày 23 tháng 5 năm 2022
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

TRẦN LÊ THUẤN
17

skkn


Duyệt của Hội đồng chuyên môn nhà trường:
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………
Duyệt của Hội đồng chuyên môn cấp trên:
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
…………………

18

skkn