Skkn phương pháp giải dạng toán tích phân hàm ẩn ôn thi tốt nghiệp thpt cho học sinh lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN TÍCH PHÂN HÀM ẨN
ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHO HỌC SINH LỚP 12

MỤC LỤC

Người thực hiện: Lê Trọng Nguyên
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

MỤC LỤC
Nội dung

skkn

Trang


MỤC LỤC
Nội dung
1.MỞ ĐẦU.
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2.NỘI DUNG

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.3. Giải pháp cụ thể.
Phương pháp giải bài tốn tích phân hàm ẩn.
2.3.1. Phương pháp sử dụng các tính chất của tích phân.
2.3.2. Phương pháp đổi biến số.
2.3.3. Phương pháp tích phân từng phần.
2.3.4. Phương pháp xác định hàm số
dựa vào các điều kiện
cho trước của bài toán.
2.3.5. Các bài tập rèn luyện.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
3.2. Kiến nghị.
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

skkn

Trang
1
1
1
1
1
1
1
2
2

2
2
5
9
11
16
19
20
20
20
21


1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài.
Khi gặp những bài tốn về tích phân của hàm số đã được cho bởi cơng thức cụ
thể thì đa số học sinh đã vận dụng tốt phương pháp để giải quyết các bài toán
dạng này. Tuy nhiên khi gặp những bài toán về tích phân của hàm số nhưng
khơng cho biết cơng thức mà chỉ cho biết thỏa mãn một số điều kiện thì nhiều
học sinh gặp nhiều khó khăn trong cách giải quyết bài toán này. Trong sách giáo
khoa, dạng toán này xuất hiện cũng rất ít cũng dẫn đến khả năng thực hành tính
tốn của học sinh cịn hạn chế.
Trong những năm gần đây, trong kì thi THPT Quốc gia và thi Tốt nghiệp
THPT ln xuất hiện bài tốn dạng này ở các mức độ khác nhau, khi gặp những
bài tốn này học sinh thường khó khăn trong việc tìm định hướng cũng như tính
tốn để ra được đáp số và khơng sử dụng được máy tính cầm tay để giải quyết
những bài tốn này được.
Từ lí do trên, tơi đã nghiên cứu và xây dựng đề tài: “Phương pháp giải dạng
tốn tích phân hàm ẩn” nhằm giúp cho học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng định
hướng, nhận dạng và giải được bài tốn tích phân hàm ẩn. Từ đó giúp học sinh

phát huy tốt kiến thức về tích phân hàm ẩn, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú học
khi gặp các dạng toán này. Tài liệu này cũng giúp học sinh học tập thuận tiện
nhất để hướng đến mục tiêu nâng cao điểm số trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Xây dựng cơ sở lí thuyết và các dạng tích phân hàm ẩn từ cơ bản đến nâng
cao, từ đó rèn luyện và phát triển kĩ năng cũng như tư duy của học sinh để giải
quyết các bài tốn dạng này. Qua đó giúp học sinh có thể giải được, giải đúng,
giải nhanh dạng tốn này trong các đề thi.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài viết về một mảng kiến thức phần tích phân thuộc chương trình giải tích
lớp 12 THPT. Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh THPT lớp 12 được
phân công giảng dạy, sau khi các em đã được học về phần tích phân.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Kết hợp giữa nghiên cứu xây dựng lý thuyết (dựa trên sách giáo khoa, các đề
minh họa, các đề thi Tốt nghiệp THPT của Bộ giáo dục và đào tạo, các đề thi
thử của các trường THPT trong cả nước) và thực nghiệm trong quá trình giảng
dạy (tiến hành soạn và thiết kế hệ thống bài tập theo chuyên đề, tiến hành thực
nghiệm tại các lớp 12 được phân công giảng dạy).
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Dựa vào các kiến thức về tích phân trong sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao.
1. Cơng thức định nghĩa tích phân: Cho hàm số f liên tục trên K và a,b là hai
số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

1

skkn


.

*) Ghi nhớ: Tính tích phân chỉ phụ thuộc vào biểu thức dưới dấu tích phân mà
khơng phụ thuộc vào biến ký hiệu:
2. Các tính chất của tích phân.
Các hàm số f, g liên tục trên K và a,b,c là ba số bất kì thuộc K. Khi đó ta có:
a)

;

c)

b)
d)

e)
với
3. Một số phương pháp tính tích phân.
a) Phương pháp đổi biến số:
b) Phương pháp tích phân từng phần: Các hàm số u, v có đạo hàm liên
tục trên K và a, b là hai số thuộc K;

2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn với những câu hỏi về tích phân hàm ẩn
ln gây khó khăn cho học sinh vì học sinh khơng dùng máy tính để tìm kết quả.
Để tìm được kết quả yêu cầu học sinh cần hiểu được phương pháp giải các dạng
tốn về tích phân hàm ẩn vận dụng vào bài giải.
Đề thi THPT Quốc gia các năm trước đây và thi Tốt nghiệp THPT các năm
gần đây và đề minh họa của Bộ GD&ĐT ln có những câu về tích phân hàm
ẩn ở các mức độ khác nhau, có câu ở mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao.
Trong quá trình giảng dạy học sinh tơi nhận thấy các em cịn gặp nhiều khó khăn
trong cách nhận dạng, phương pháp giải và kĩ năng giải dạng tốn này.

Vì vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu:“Phương pháp giải bài tốn tích phân hàm
ẩn” để ôn luyện cho học sinh thi Tốt nghiệp THPT.
2.3. Giải pháp cụ thể.
Phương pháp giải bài tốn tích phân hàm ẩn.
2.3.1. Phương pháp sử dụng các tính chất của tích phân.
Nhận dạng:
+) Tích phân cần tính thường có cận giống với tích phân ở giả thiết. Các cận
của các tích phân có dạng
2

skkn


+) Các hàm số dưới dấu tích phân khơng phải là hàm số hợp

Ví dụ 1. Biết

. Giá trị của

bằng

B. .

C. .

D.

.

C. .

bằng
D.

.

A. .

Lời giải
Ta có:

. Chọn C

Ví dụ 2. Nếu
A. .

và

thì
B.

.
Lời giải

Ta có

Chọn C

Ví dụ 3. Nếu
A. .

thì
B. .

bằng
C.

.

D.

.

Lời giải
Ta có

Chọn B

Ví dụ 4. Nếu
A.

thì

bằng

B.

C.

D.

Lời giải
Ta có:
Chọn D

Ví dụ 5. Cho

. Tính

.
3

skkn


A. 7.

B.

C. 3.

D.

Lời giải
-------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 2, ví dụ 4 tác giả tham khảo TLTK số 2, ví dụ 3 tác giả tham khảo TLTK số 1.

Ta có:

.

. Chọn A

Ví dụ 6. Cho
bằng
A.



. Khi đó
27
2 .

D. 1 .

C. 0 .

B. 1 .
Lời giải

Ta có

. Chọn A
10

Ví dụ 7. Cho hàm số

A. P  4 .

f  x

. Tính

liên tục trên đoạn

và

 f  x  dx  7
0

.
C. P  7 .

B. P  10 .

và

D. P  4

Lời giải

Ta có

. Vậy
Ví dụ 8. Cho

,

. Chọn A

là hai hàm liên tục trên đoạn

thoả mãn:
4

skkn


,
A. 7.

. Tính
C. 8.

B. 6.

.
D. 9.

-------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 6, ví dụ 8 tác giả tham khảo TLTK số 3, ví dụ 7 tác giả tham khảo TLTK số 4.

Nhận xét: Bài tốn chưa thể áp dụng các tính chất của tích phân để tính. Vì vậy
cần phải đặt ẩn phụ
,
, từ đó tính
rồi mới áp dụng tính chất của tích phân để tính kết quả bài tốn.
Lời giải

,

.

.
Đặt
Từ

,
và

.

ta có hệ phương trình:

Do đó ta được:

.

và

Vậy

.
. Chọn B

Ví dụ 9. Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn

,
A.

. Tính

B.

C.
Lời giải

D.

Ta có:
. Chọn D
5

skkn


2.3.2. Phương pháp đổi biến số.
Nhận dạng: Các hàm số của bài tốn có đặc trưng:
+) Tích phân cần tính có cận khác với tích phân ở giả thiết.
Các hàm số liên quan đến hàm số hợp, trong bài toán xuất hiện
+)
thì đặt
hàm số
+)Tính tích phân
cho trước thì có thể đổi biến

biết

với

hàm số
biết

+)Tính tích phân
số cho trước thì có thể đổi biến
Ví dụ 10. Nếu
A.
.

thì
B.

Đặt

là hàm số

với

.

bằng:
C. .
Lời giải

là hàm

D.

.

với

Ta có:

. Chọn A
1

Ví dụ 11. Cho hàm số
2

 f  3x  1 dx  6
0

A.

liên tục trên

thỏa

 f  x  dx  2
0

và

7

. Tính

I   f  x  dx
0

.

B.

.
.

C.

.

D.

.

Lời giải
1

2

A   f  x  dx  2 B   f  3x  1 dx  6

0
Giả sử
,
t

3
x

1


dt

3
dx
Đặt
, với

7

B

Ta có:
Vậy

0

;

7

.
7

1
f  t  dt  6   f  t  dt  18   f  x  dx =18
3 1
1
1
.

7

1

7

0

0

1

I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  20

. Chọn A

6

skkn


Ví dụ 12. Cho hàm số
Biết rằng
A.

liên tục trên

thỏa mãn

. Tính tích phân

B.

,

.
C.

.

D.

Lời giải
Ta có:

.

Đặt

, với

;

.
(do hàm số

tục trên

)

liên

.

-------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 10 tác giả tham khảo TLTK số 4, ví dụ 12 tác giả tham khảo TLTK số 3.

. Chọn A
Ví dụ 13. Cho hàm số f(x) liên tục trên

thỏa mãn

Tính
A.

B. .

C.

Nhận xét: Giả thiết bài tốn có dạng
của tích phân cần tính bằng 0 nên ta đặt

D.
và tổng các cận

hoặc
Lời giải

Đặt
Theo bài ra
Chọn D
Ví dụ 14. Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn
2

2

f ( x )  f (2  x )  x.e x , x   . Tính tích phân

I   f ( x )dx
0

.
7

skkn


A.

B.

C.

D.

Nhận xét: Giả thiết bài tốn có dạng
của tích phân cần tính bằng a nên ta đặt

và tổng các cận
Lời giải

0

Đặt x  2  t  dx   dt

2

2

2

 2 I    f  x   f  2  x   dx   xe x dx 
0

Vậy

I

2

2

0

0

 I   f  2  t   dt    f  2  t   dt    f  2  x  dx
2

0

2

1 x2
1 2
e d  x2   e x

20
2

2
0



e 1
2

.

4

.

e 1
4 . Chọn C
4

Ví dụ 15. Cho

A.

liên tục trên

thỏa mãn

Tính tích phân
B.

và

.
C.

D.

----------------------------------------------------Ví dụ 13, ví dụ 14 tác giả tham khảo TLTK số 4.

Lời giải
Đặt
Đổi cận:

. Khi đó

.
,

.

Khi đó

.
Suy ra

. Do đó

Ví dụ 16. Cho hàm số

liên tục trên

và
A. .

. Chọn B

và thỏa mãn

. Tính
B. .

.
C.

.

D. .

Lời giải
8

skkn

* Xét

.

Đặt

.

Đổi cận

Khi đó

.

* Xét

.

Đặt

.

Đổi cận
Khi đó

.

------------------------------------------Ví dụ 16 tác giả tham khảo TLTK số 3.

* Tính

. Đặt

.

Đổi cận

Khi đó

. Chọn D

2.3.3. Phương pháp tích phân từng phần.
Nhận dạng: Cho

là hàm số có đạo hàm liên tục trên

Tính

hoặc

, biết

;

) là hàm số liên tục trên

.
Ví dụ 17. Cho hàm số

có đạo hàm trên

,
9

skkn


Tính
A.

.

B.

.
C.
Lời giải

.

D.

Đặt
Chọn A

Ví dụ 18. Cho hàm số

A.

thỏa mãn

.

B.

Tính

.
C.
Lời giải

.

D.

.

Đặt
-------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ 17 tác giả tham khảo TLTK số 3, ví dụ 18 tác giả tham khảo TLTK số 4.

Chọn D
Ví dụ 19. Cho hàm số
2

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 f   x   dx  7
f  2   6 0 

2

2

,

A. 8

và

 x. f  x  dx 
0

17
2

 0; 2

thỏa mãn

2

. Tích phân

B. 6

C. 7

 f  x  dx
0

bằng
D. 5

Lời giải
2

Tính:

I   x. f  x  dx
0

.

du  f   x  dx

u  f  x 



1 2

dv  xdx
v  x

2
Đặt:

10

skkn

Ta có:

2
2 12 2
1 2
1 2
I  x . f  x    x f   x  dx  12   x f   x  dx
0 20
20
2
2

2

17
1 2
17
0 x. f  x  dx  2  2  12  2 0 x f   x  dx

Theo giả thiết:
2

  x 2 f   x  dx  7
0

2



 f   x  .  x

2

0

, (vì f  2   6 ).

2



2

2
 x f   x  dx    f   x   dx
0

 f   x   dx  0

0

  x f   x    f   x    dx  0
2

2

2

2



0

1 3

f
x

x C


 x  f  x  0  f  x  x
3
.
2

2

10
1
10
f  x   x3 
f  2  6  C  3
3
3 .
Với
. Khi đó:

2



Vậy

0

2
10 
10  2
1
1
f  x  dx    x 3   dx   x 4  x   8
3
3
3 0
 12
0
. Chọn A

Ví dụ 20. Giả sử hàm số
có đạo hàm cấp 2 trên thỏa mãn
2
f  1  f   1  1
f 1  x   x . f   x   2 x
và 
với mọi x   . Tính tích phân
1

I   xf   x  dx
0

A.

.
.

B.

.

C.

.

D.

.

------------------------------------------Ví dụ 19 tác giả tham khảo TLTK số 3.

Nhận xét: Tích phân cần tính có dạng
nên trước hết sử dụng
phương pháp tích phân từng phần, trong q trình tính tốn xuất hiện
nên tiếp tục sử dụng phương pháp đổi biến số. Đây là bài toán kết
hợp cả hai phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần.
Lời giải
du  f   x  dx
u  f   x 




x2
dv

x
d
x

v 

2
Đặt
.

11

skkn


1

Suy ra
Do

I   xf   x  dx 
0

1 2

1 1 x2
x2
1
x
f  x  
f   x  dx   
f   x  dx
0 0 2
2
2 0 2

f  1  x   x 2 . f   x   2 x 

x2
1
. f   x   x  f  1  x 
2
2
.

1

Vậy

1

1
1
 1


I     x  f  1  x  dx   f  1  x  dx
2 0 2
20

0

Đặt t  1  x suy ra

.

.

1

1

1
1
1
I    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx
21
20
20

.



u  f  x 
du  f   x  dx



dv  dx
v  x

Đặt 

Suy ra


1 1
1
1
1
I   xf  x    xf   x  dx   I   1  I   I 
0 0
2
2
3


. Chọn B

2.3.4. Phương pháp xác định hàm số
dựa vào các điều kiện cho trước
của bài toán.
* Để giải bài toán dạng này, từ điều kiện cho trước cần biến đổi để một vế là
đạo hàm có dạng quen thuộc (tích, thương, căn bậc hai,...). Thường gặp các
dạng trong các ví dụ sau:
Ví dụ 21. Cho hàm số

liên tục, có đạo hàm trên

và
A. .

B.

.

thỏa mãn điều kiện

. Tính
C. .

D.

.

Lời giải
Từ giả thiết

Mặt khác:

12

skkn


Ta có:

. Chọn A
Tổng

qt:

Bài

tốn

tích

phân

liên

quan

đến

đẳng

thức

Phương pháp: Ta thấy
Do đó
. Từ đây tính được

Suy ra
Ví dụ 22. Cho hàm số

liên tục trên

thỏa mãn

, với
tích phân
A.

.

B.

và

.

C.
Lời giải

. Tính

.

D.

.

Ta có:
vì

.

.
Mà

.

Ta có:
Chọn C
--------------------------------------Ví dụ 22 tác giả tham khảo TLTK số 4.

Tổng

qt:

Bài

tốn

tích

phân

liên

quan

đến

đẳng

thức

13

skkn


Phương pháp: Ta thấy
Do đó

. Từ đây tính được
f (2)  

Ví dụ 23. Cho hàm số f ( x) thỏa mãn
x   . Giá trị của f (1) bằng
A.



2
3



B.

2
9

1
2

f
(
x
)

x
f
(
x
)


3 và
với mọi

C.



7
6

D.



11

6

Lời giải
f ( x)  x  f ( x )

2

(1), suy ra f ( x)  0 với mọi x  [1; 2] . Do
đó f ( x) là hàm không giảm trên đoạn [1; 2] , ta có f ( x)  f (2)  0 với mọi
x  [1; 2] .
Từ hệ thức đề cho:

 f ( x) 
Chia 2 vế hệ thức (1) cho

2



f ( x )

 f ( x)

Suy ra
Thay

2

 x, x   1; 2 .

.
vào (2) ta được:
. Chọn A

Tổng quát: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức
Phương pháp:
Chia hai vế cho

ta được

Suy ra

.

Từ đây tính được
14

skkn


------------------------------------------Ví dụ 23 tác giả tham khảo TLTK số 4.

Trong bài toán trên, sau khi chia 2 vế hệ thức (1) cho
Nhận xét:

 f ( x) 

2



f ( x)

 f ( x) 

2

 x, x   1; 2 .

Ta có thể lấy tích phân 2 vế trên đoạn [1; 2] hệ thức

vừa tìm được, ta được:
2

f ( x)

  f ( x) 
1

Do

2

2

2

1

1

dx   xdx  

2

3
1
3
1
1
3
df (x )  
 


2
2
f ( x) 1 2
f (1) f (2) 2
f ( x) 
1



1
2
f (1)   .
3 nên suy ra
3

f (2)  

Ví dụ 24. Cho hàm số

liên tục, có đạo hàm trên
và

A.

.

thỏa mãn điều kiện

. Tính

B.

.

C.

.

D.

Nhận xét: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức
Phương pháp: Nhân hai vế với

ta được

Suy ra

. Từ đây ta tính được
Lời giải

Từ giả thiết
Ta nhận thấy:
Nhân hai vế của (1) với

Thay

ta được:

vào (2) ta được:
. Chọn B

Nhận thấy: Trong bài tốn này, có thể thay thay

vào (2) để tính
15

skkn


thể: Thay

vào (2) ta được:

Cụ

-----------------------------------------Ví dụ 24 tác giả tham khảo TLTK số 3.

0;1
f x
Ví dụ 25. Cho hàm số   có đạo hàm liên tục trên đoạn   thỏa mãn
2
f   x    4  6 x 2  1 . f  x   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4, x   0;1
f  1  1

và
. Tích phân
1

 f  x  dx

bằng?

0

23
A. 15 .

13
B. 15 .

C.



17

15 .

D.



7
15 .

Nhận xét: Từ giả thiết lấy tích phân từ 0 đến 1 cả hai vế, áp dụng phương pháp
tích phân từng phần để tìm ra công thức của hàm số

.

Lời giải

 f  x 
Từ giả thiết:
1

2

 4  6 x 2  1 . f  x   40 x 6  44 x 4  32 x 2  4

1

1

   f   x   dx   4  6 x  1 . f  x  dx    40 x 6  44 x 4  32 x 2  4  dx.    1
2

2

0

0

0

1

1

I   4  6 x  1 . f  x  dx    24 x 2  4  f  x  dx
2

Xét

0

0

.


u  f  x 
du  f   x  dx




2
dv

24
x

4
dx
v  8 x3  4 x






Đặt
.
1

1

0

0

 I   8 x 3  4 x  . f  x     8 x 3  4 x  . f   x  dx = 4  2   4 x 3  2 x  . f   x  dx.
1

0

Do đó:
1

 1    f   x  
0

1



2

1

1

0

0

1

dx  2   4 x 3  2 x  . f   x  dx    4 x 3  2 x  dx    56 x 6  60 x 4  36 x 2  8  dx.



2

0

2

   f   x   4 x3  2 x  dx  0  f   x   4 x 3  2 x  f  x   x 4  x 2  c.
0

16

skkn


Mà

f  1  1  c  1  f  x   x 4  x 2  1.
1

Do đó

1

 f  x  dx    x
0

4

 x 2  1 dx 

0

13
.

15

Chọn B

-----------------------------------------Ví dụ 25 tác giả tham khảo TLTK số 3.

Ví dụ 26. Cho hàm số

có đạo hàm và đồng biến trên

với mọi
A.

.

. Biết

B.

.

, thỏa mãn

. Tính
C.

.

D.

.

Lời giải
Do

đồng biến trên

nên

, ngồi ra

. Khi đó ta có biến đổi sau:

Mà

.

Vậy

. Chọn C

2.3.5. Các bài tập rèn luyện:
- Xây dựng các bài tập có đủ 4 mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng
thấp, vận dụng cao.
- Khi giải các bài tập sử dụng 4 phương pháp.
Câu 1. Nếu
A.

và
.

thì
B.

.

bằng
C. .

D.

.
17

skkn


Câu 2. Nếu
A. .

thì
B.

Câu 3. Biết

.

C.

.

D.

là một nguyên hàm của hàm số

của

bằng

Câu 4. Biết
A.

bằng

A. .

B. .

và
.

C.

.

C.

và

, khi đó

bằng

B.

C.

,

là hai hàm liên tục trên

và

.

B.

Câu 7. Cho hàm số

.

D. .

D.

thỏa:

. Tính
A. 7.

D.

. Giá trị

bằng:

Câu 5. Cho

Câu 6. Cho

.

. Khi đó:
B.

A.

trên

.

.
.

. Biết

C.

.

D.

và

.
, khi đó

bằng
A.

B.

Câu 8. Cho hàm số

A.

C.
có đạo hàm trên

. Tính tích phân
B.

D.
đồng thời thỏa mãn
.
C.

D.

18

skkn


Câu 9. Cho hàm số

liên tục trên

và thỏa mãn

. Tích phân

bằng
A.
Câu 10.

.

B.

Cho hàm số

A.

C.

.

Câu 12. Cho hàm số

.

C.

C.

liên tục trên

Tích phân
B.

Câu 13. Cho hàm số

D.

.

thỏa mãn

.

. Khi đó
B. .

.

.

liên tục trên đoạn

. Tính
B.

Câu 11. Cho
A. .

A.
.

.

liên tục trên

D.
bằng
D.

.

thỏa mãn

bằng
C.

.

.

.
và

.

D.

.

D.

và thỏa mãn

. Tính tích phân
A.

.

B.

Câu 14. Cho

liên tục trên

Tính

.
A.

.

B.

.

C.

thỏa mãn

.

.

và

C.

.

.

D.

.

19

skkn


Câu 15. Cho hàm số

A.

liên tục trên đoạn

.

B.

Câu 16. Cho hàm sớ

.

.

D.
. Biết

B. .

C.

.

D.

là hàm số có đạo hàm liên tục trên
. Giá trị của
.

B.

A.

.

C.

và

.

,

D.

và

B.

Câu 19. Cho hàm số

.

bằng

Câu 18. Cho hàm số
thỏa mãn
Giá trị của
bằng

.

với mọi

C.

D.

có đạo hàm liên tục trên

. Biết
trị của

và

bằng

.

Câu 17. Cho

A.

C.

. Tính

có đạo hàm liên tục trên

. Khi đó

A.

và

và
. Giá

bằng
A.

.

Câu 20. Cho hàm số

B.

.

C.

liên tục trên khoảng
Giá trị của

.

D.
Biết

.
và

bằng

20

skkn


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

ĐÁP ÁN CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Đáp án

B

D

A

B

A

D

A

C

D

C

Câu

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Đáp án

A

C

B

A

D

D

A

C

D

B

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12,
được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải bài tốn
tích phân hàm ẩn. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ
các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài
tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng

sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản
các dạng tốn nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau:
Năm
học

Lớp

2021
-2022

12 A3
12 A8

Tổng
số
44
43

Điểm 8
trở lên
Số
lượng
32
26

Tỷ
lệ
73%
60 %

Điểm từ 5 đến 8

Điểm dưới 5

Số
lượng
11
14

Số
lượng
1
3

Tỷ lệ
25%
33%

Tỷ lệ
2%
7%

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trên đây là những giải pháp mà tơi đúc rút được trong suốt q trình giảng
dạy tại trường THPT Yên Định 1.
Trong phạm vi đề tài, tơi đã trình bày phương pháp giải các dạng bài tập
thường gặp khi giải dạng tốn tích phân hàm ẩn, với mong muốn giúp học sinh
có được cái nhìn cơ bản và rõ ràng nhất khi giải toán, tạo thêm hứng thú và niềm
tin cho các em trong quá trình học tập. Đồng thời, đề tài sẽ là ý tưởng hữu ích

cho các thầy cơ trong việc định hướng phương pháp khi soạn bài và dạy cho học
sinh.
21

skkn


Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắc chắn cịn có nhiều thiếu sót và
hạn chế. Tơi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và
góp ý cho tơi. Tơi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị.
- Đối với nhà trường:
Nhà trường tạo điều kiện về trang thiết bị dạy học, để giáo viên có điều kiện
tìm tịi và thực hiện các phương pháp dạy học mới. Có tủ sách lưu lại các tài liệu
chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu
phát triển chun đề.
- Đối với tổ, nhóm chun mơn:
Tăng cường trao đổi chuyên môn, đặc biệt là các thành viên trong nhóm
chun mơn tích cực chia sẻ các phương pháp dạy học, phương pháp giải bài tập
mới, hiệu quả để đồng nghiệp trao đổi, đánh giá, hoàn thiện hơn và vận dụng
vào dạy học.

XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người viết SKKN

Lê Trọng Nguyên

22

skkn


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Đề thi chính thức của Bộ giáo dục và đào tạo trong kì thi TN THPT các năm
2019, 2020, 2021.
[2]. Đề thi minh họa thi TN THPT của Bộ giáo dục và đào tạo các năm 2020,
2021, 2022.
[3]. Đề thi thử theo cấu trúc đề thi TN THPT ở các năm 2021, 2022 của các Sở,
các trường trong cả nước.
[4]. Tài liệu trong nhóm Diễn đàn giáo viên Toán.

23

skkn