Skkn rèn kỹ năng sử dụng dữ kiện của đề bài để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho hs lớp 9 ở trường thcs lý thường kiệt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA

PHỊNG GD & ĐT HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN KỸ NĂNG SỬ DỤNG DỮ KIỆN CỦA ĐỀ BÀI ĐỂ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CHO HỌC SINH LỚP 9 Ở
TRƯỜNG THCS LÝ THƯỜNG KIỆT.

Người thực hiện: Trương Thị Hà
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Lý Thường Kiệt
SKKN thuộc mơn: Tốn học

HÀ TRUNG, NĂM 2022

skkn


skkn


MỤC LỤC
Nội dung
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu

1.5. Những điểm mới của SKKN
2. NỘI DUNG SKKN
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề
2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề
Bài tập vận dụng
2.4. Hiệu quả của SKKN
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
Danh mục SKKN đã được xếp loại
Tài liệu tham khảo

Trang
2
2
3
3
3
3
3
3
4
5 – 14
15
16
17
17
17
19

20

1

skkn


1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình THCS, tốn học là một mơn khoa học tự nhiên chiếm
một vị trí quan trọng trong suy nghĩ và trong phương pháp học tập của học sinh.
Toán học giúp cho các em phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tịi và
khám phá tri thức. Qua đó, các em vận dụng những hiểu biết của mình vào trong
thực tiễn và vào trong các mơn học khác. Tốn học là chìa khóa cơ bản ban đầu
để các em khám phá kho tàng tri thức nhân loại.Từ đó, các em có vốn khoa học
nhất định để phát triển nhân cách và phục vụ cho công tác xây dựng đất nước sau
này.
Với vai trò quan trọng trên việc giúp các em thích học, hiểu và sau đó là
đam mê mơn tốn để các em mở rộng và nâng cao kiến thức là việc làm bắt buộc
đối với người dạy toán. Tuy nhiên, nếu để các em tự học và tự tìm tịi thì chỉ định
hình trong đầu các em cách giải theo sự hiểu biết của bản thân mà không nắm
chắc được thực chất của vấn đề cũng như nhớ toàn bộ cách giải các dạng tốn đó.
Với chương trình đại số THCS, học sinh mới chỉ làm quen với bất đẳng thức và
bắt đầu tập suy luận để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
. Với yêu cầu về kĩ năng tương đối cao địi hỏi phải có sự suy luận lơgíc hợp lý,
khả năng sử dụng linh hoạt các phép biến đổi, ngôn ngữ chính xác thơng qua lập
luận và các bài tập chứng minh. Việc làm quen và tiếp cận với bài toán chứng
minh bất đẳng thức đối với học sinh THCS còn mới nên đại đa số học sinh chưa
biết chứng minh như thế nào và bắt đầu từ đâu.
Với các lý do trên nên tôi chọn đề tài “ Rèn kỹ năng sử dụng dữ kiện của

đề bài để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
cho học sinh lớp 9 ở Trường THCS Lý Thường Kiệt”. Với đề tài này rất mong
sẽ góp phần nhỏ vào phương pháp giải tốn bất đẳng thức trong chương trình
Tốn THCS, mong được gửi đến hội đồng giáo dục xem xét.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này củng cố và cung cấp cho học sinh một số kĩ năng suy luận để
giải một số bài toán về bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức, rèn cho học sinh tư duy linh hoạt, sáng tạo trong giải tốn.
Cũng thơng qua đề tài này nhằm giúp học sinh có thói quen tìm tịi trong
học tốn và sáng tạo trong giải tốn. Từ đó, tạo cho học sinh có phương pháp học
tập đúng đắn, biến cái đã học (kiến thức của thầy) thành cái của bản thân, nắm bắt
nó, vận dụng nó, phát triển nó một cách đúng hướng. Qua đó giúp các em tạo
niềm tin, hứng phấn, hứng thú và say mê học mơn tốn học.
Trong khn khổ của đề tài, dù biết rằng không thể đề cập hết các dạng
toán và phương pháp giải các bài toán về bất đẳng thức được, nhưng bản thân tôi
cũng hi vọng đây là tài liệu bổ ích cho học sinh và các thầy cô giáo tham khảo,
đặc biệt trong vấn đề chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất là một vấn đề khó đối với cả người dạy và người học toán.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Các bài tốn chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN và GTNN trong đề thi
HSG cấp huyệnTHCS.
2

skkn


- Nghiên cứu qua các bài tập tuyển sinh vào lớp 10, lớp 10 chuyên của các
tỉnh thành trong cả nước.
- Nghiên cứu qua học sinh lớp 9 Trường THCS Lý Thường Kiệt.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:

- Điều tra thực trạng của học sinh, phân tích kết quả điều tra.
- Tổng kết kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy.
- Tham khảo ý kiến cũng như phương pháp của các đồng nghiệp thông qua
các buổi sinh hoạt chuyên môn.
1.5. Những điểm mới của SKKN.
Qua đề tài này giúp cho sự thay đổi về mặt nhận thức và tư duy toán học
của học sinh trong việc sử dụng dữ kiện của đề bài để làm các bài tốn tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay chứng minh bất đẳng thức. Từ đó, giúp cho giáo
viên lựa chọn phương pháp dạy học tích cực và hiệu quả.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
Trong trường THCS mơn tốn được coi là mơn khoa học ln được chú
trọng nhất và cũng là mơn có nhiều khái niệm trừu tượng. Đặc biệt phải khẳng
định là phần bất đẳng thức có nhiều dạng tốn chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, kiến thức trong bài tập lại phong
phú, rất nhiều so với nội dung lý thuyết mới học. Bên cạnh đó yêu cầu bài tập lại
cao, nhiều bài tốn ở dạng chứng minh địi hỏi phải suy diễn chặt chẽ lơgíc và có
trình tự.
Trong các phương pháp chứng minh bất đẳng thức của một số tài liệu đã
viết trong chương trình THCS, phương pháp sử dụng dữ kiện của đề bài để
chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là phương pháp
giúp học sinh dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán bất đẳng thức một cách nhanh, logic,
hệ thống, chặt chẽ và có hiệu quả. Hiểu đơn giản hơn, trong quá trình thực hiện
phương pháp này, học sinh phải trả lời cho được các câu hỏi theo dạng: “ để
chứng minh kết luận này ta cần chứng minh gì? Như vậy, muốn chứng minh bất
đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A khơng có nghĩa
là ta đi chứng minh trực tiếp A mà thông qua việc sử dụng dữ kiện của đề bài để
ta chứng minh bất đẳng thức B thì ta đã chứng minh được A một cách gián tiếp
theo phương pháp sử dụng dữ kiện của đề bài.
Hệ thống các bài tập đa dạng phong phú được thể hiện dưới nhiều hình

thức, phần lớn là các bài tập chứng minh hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất, địi hỏi HS phải có phương pháp phân tích, suy luận hợp lí để tìm được lời
giải cho bài tốn. Vì vậy việc “Rèn kỹ năng sử dụng dữ kiện của đề bài để
chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh
lớp 9 ở Trường THCS Lý Thường Kiệt ” là hết sức quan trọng để khơi dậy hứng
thú học tập, giúp học sinh học phần nào bớt “căng thẳng” khi gặp các bài tập về
chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, học
sinh cảm thấy nhẹ nhàng hào hứng, và từ đó dám mạnh dạn tư duy, mạnh dạn
chứng minh, suy luận để đạt kết quả tốt hơn.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
2.2.1. Đối với giáo viên.
3

skkn


Qua tìm hiểu tơi thấy ngun nhân do trong q trình dạy học một số thầy
(cơ) giáo chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập, các hình thức tổ chức
các hoạt động dạy học trong giờ học chưa phong phú nên chưa kích thích được
học sinh hứng thú học tập.
Ngồi ra cịn bộ phận khơng nhỏ giáo viên cịn lúng túng trong việc phân
tích, hướng dẫn cho HS tìm ra lời giải cho bài toán chứng minh bất đẳng thức và
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. GV thường thấy dạng tốn này rất khó nên
việc giảng cho HS hiểu mà nắm được thường dành cho những đối tượng học sinh
giỏi. Vì vậy HS khơng hiểu tại sao và nguyên nhân nào đưa đến lời giải của bài
tốn nên khơng vận dụng được vào giải các bài tốn khác, do đó HS khơng biết
cách học tốn, cụ thể là cách suy nghĩ để tìm lời giải cho một bài toán. Đặc biệt là
các bài toán chứng minh bất đẳng thức, khiến HS tiếp thu một cách thụ động,
thiếu tự nhiên, thiếu tính sáng tạo, dẫn đến kết quả học tập thấp.
2.2.2. Đối với học sinh.

Một thực tế rất rõ ràng là đại đa số học sinh hiện nay cảm thấy rất sợ khi
phải “ đối mặt ” với các bài toán về chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất. Qua tìm hiểu thì bản thân tơi thấy một số ngun nhân tồn
tại ở học sinh như sau:
- Học sinh chưa nắm vững kiến thức về một số các bất đẳng thức cơ bản thường
dùng cũng như các đẳng thức hay gặp và vận dụng các bất đẳng thức còn rất lơ
mơ.
- Kĩ năng về suy luận, phân tích và sự sáng tạo cịn kém, lười suy nghĩ khơng hiểu
được đề bài yêu cầu điều gì và phải bắt đầu suy luận từ đâu để chứng minh bất
đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
- Các bài tập mẫu trong SKG hầu như khơng có nên học sinh không học hỏi được
các phương pháp, các bất đẳng thức cơ bản, các cách suy luận từ các bài tập mẫu
và các đẳng thức thường dùng để suy luận chứng minh.
Qua thực tế khảo sát làm bài tập chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại trường THCS Lý Thường Kiệt của 37 học sinh lớp 9
khi chưa áp dụng đề tài thì thu được kết quả như sau:
Kết quả kiểm tra
Tổng
Điểm 9-10
Điểm 7-8,5
Điểm 5-6,5
Điểm < 5
số HS
SL
%
SL
%
SL
%
SL

%
37
1
2,7
5
13,5
24
64,9
7
18,9
2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề.
2.3.1. Sử dụng dữ kiện thường thấy của đề bài để chứng minh bất đẳng
thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Với a, b, c là các số thực thì ta có:
(a + b)(a + c) = a2 + ab + ac + bc = a(a + b + c) + bc
Từ đẳng thức trên ta có các kết quả sau:
Kết quả 1: Nếu a + b + c = 1 thì (a + b)(a + c) = a(a + b + c) + bc = a + bc
Kết quả 2: Nếu a + b + c = k thì (a + b)(a + c) = a(a + b + c) + bc = k.a + bc
Kết quả 3: Nếu ab + bc + ca = 1 thì (a + b)(a + c) = a2 + ab + ac + bc = a2 + 1
Nếu ab + bc + ca = k thì (a + b)(a + c) = a2 + ab + ac + bc = a2 + k
4

skkn


Kết quả 4: Nếu ab + bc + ca = -1 thì
2.3.2. Các ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
(a + bc)(b + ac)(c + ab) ≥ 0.
Cách làm thường thấy của học sinh:

(a + bc)(b + ac)(c + ab) = (ab + a2c + b2c + abc2)(c + ab)
= abc + a2b2 + a2c2 + b2c2 + a3bc + ab3c + abc3 + a2b2c2
Đến đây thì học sinh sẽ rất bế tắc trong q trình biến đổi tiếp theo và khơng sử
dụng được dữ kiện của đề bài đã cho là a + b + c = 1.
Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết quả 1
Do a + b + c = 1 nên a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c)
Tương tự:
b + ac = b(a + b + c) + ac = (b + a)(b + c)
c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b)
Do đó:
(a + bc)(b + ac)(c + ab) = (a + b)2.(b + c)2.(c + a)2 ≥ 0
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Phân tích bài làm:
Như vậy với cách sử dụng kết quả 1 ta đã đưa tích của các biểu thức a + bc;
b + ca; c + ab về dạng tích của các bình phương và giải quyết được bài tốn một
cách nhanh chóng hơn.
Ví dụ 2: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng:

(Trích đề thi vào 10 chuyên Hà Tĩnh 2017 - 2018)
Cách làm thường thấy của học sinh:
Khi đó:
xy + z = xy + 1 – x – y = x(y - 1) + (1 - y) = (1 - x)(1 - y)

Đến đây, học sinh lại tiếp tục thay 1 – x = y + z; 1 – y = x + z
Ta được:

Tương tự:

Khi đó:
5

skkn


VT
Khi biến đổi đến đây thì việc chứng minh

sẽ rất khó khăn.

Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết quả 1
xy + z = xy + (x + y + z).z = (z + x)(z + y)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Chứng minh hồn tồn tương tự, ta có:

Khi đó:
VT

Hay
Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z =

.

Phân tích bài tốn:
Ở đây khi sử dụng BĐT Cauchy ta đã khéo léo trong việc nhóm

và

để tạo ra các biểu thức có thể rút gọn được. Trong đó, sử dụng hệ thức 1 sẽ
làm cho việc chứng minh nhanh hơn và không cần biến đổi và thay 2 lần sẽ phức

tạp thêm bài tốn.
Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=
(Trích đề thi tuyển sinh vào 10)
GV : Nhiều học sinh nhanh chóng biết sử dụng kết quả 2 biến đổi biểu thức
được kết quả như sau:
rồi áp dụng bất đẳng thức
Cachy được kết quả sau
6

skkn


đến đây lúng túng không biết sử lý
như thế nào được. Do đó giáo viên khéo léo hướng dẫn học sinh linh hoạt trong
sử dụng cách làm và áp dụng bất đẳng thức Cachy để đưa bài toán về dạng đơn
giản.
Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết quả 2 với k = 2
Vì a + b + c = 2 nên 2c + ab = c.(a +b+c) +ab = (c+a).(c+b)
Tương tự :
2a + bc = (a+b). (a+c)
2b +ca = (b+a). (b+c)
Do đó :

Vì a, b, c > 0 nên

nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

Tương tự :

Khi đó:

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c =
Vậy MaxP = 2 tại a = b = c =

.

Ví dụ 4: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
Cách làm thường thấy của học sinh:

Sử dụng bất đẳng thức Schwars ta được:

7

skkn


Khi biến đổi đến đây thì việc chứng minh
việc biến đổi để chứng minh

sẽ gặp rất nhiều khó khăn vì
và chưa sử dụng được dữ kiện

của bài toán đã cho là a + b + c = 1.
Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết quả 1
Do a + b + c = 1 nên c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b)
Tương tự:
b + ac = b(a + b + c) + ac = (b + a)(b + c)

a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c)
Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Schwars ta được:

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c =

.

Vậy
Phân tích bài tốn:
Ở đây, từ hệ thức 1 ta cịn có thể thay ngược lại: (a + b)(a + c) = a + bc như
trong cách biến đổi trên để làm cho mẫu thức trở thành đơn giản hơn và xuất hiện
được dữ kiện của đề bài là a + b + c = 1.
Như vậy, qua 3 ví dụ trên việc sử dụng kết quả 1 đã làm cho bài toán trở
thành đơn giản hơn, cách biến đổi của bài toán cũng nhanh hơn và thuận lợi hơn
trong việc triển khai các bước biến đổi tiếp theo. Sau đây, tơi xin trình bày thêm
các ví dụ về việc sử dụng các kết quả trên.
Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2016.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=
8

skkn


(Trích đề thi vào 10 chuyên Hà Tĩnh 2016 - 2017)
GV: Qua 3 ví dụ trên học sinh sẽ khéo léo biết vận dụng kết quả 2 với k=2016
Hướng dẫn cách làm:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

Suy ra
Suy ra
Tương tự:

Suy ra: P

.

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 672.
Vậy MaxP = 1 khi a = b = c = 672
Ví dụ 6: Cho
là ba số dương thỏa mãn

.

Chứng minh rằng:
(Trích đề thi học sinh giỏi tốn 9 Huyện Chí Linh – Hải Dương)
GV: Nhờ ví dụ 5 nhiều học sinh vận dụng ngay cách làm trên và giải quyết nhanh
chóng bài tốn, tuy nhiên ngồi cách trên cịn có thêm một hướng khai thác bài
toán nhờ áp dụng bất đẳng thức Cachy như sau:
Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết quả 2 với k = 3
Từ

(*)

Dấu “ = ” xảy ra
Ta có:
Suy ra :
Khi đó :
(1)

Tương tự :
(2);
9

skkn


(3)
Từ (1), (2) và (3)
Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z = 1.
Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng :
(Trích tạp trí tốn học tuổi thơ năm 2014)
GV: Từ ví dụ 6, quan sát yêu cầu của đề bài học sinh đã khéo léo sử dụng kết quả
1 rồi áp dụng bất đẳng thức Cachy để suy ra được điều phải chứng minh.
Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết quả 1
Ta có

Tương tự :

Do đó:

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c =

.

Ví dụ 8: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 11.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=
(Trích đề thi vào 10 chun Quảng Bình 2015 - 2016)

Phân tích bài tốn: Nhìn vào đề bài nhiều học sinh đã bắt tay vào làm sử dụng
ngay kết quả 3 với k = 11. Tuy nhiên, nhiều học sinh khơng quan sát kĩ bài tốn,
cứ nghĩ a, b, c có vai trị như nhau nên lúng túng trong việc áp dụng bất đẳng thức
Cauchy cho các số dương để sử lý các tích
;
;
mà khơng để ý rằng chỉ có a và b vai trị như nhau cịn vai trò của c
khác a và khác b.
Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết quả 3 với k = 11
Ta có:
a2 + 11 = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c)
Tương tự:
b2 + 11 = b2 + ab + bc + ca = (b + a)(b + c)
c2 + 11 = c2 + ab + bc + ca = (c + a)(c + b)
Khi đó:

10

skkn


P=

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm, ta có:
Tương tự:

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được:

Từ (*) và (**) suy ra P

Dấu “ = ” xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

khi a = b = 1 và c = 5.

Lưu ý : Khi làm các dạng toán này, học sinh cần quan sát vai trò của các biến
như thế nào để lựa chọn cách làm đúng và đôi khi từ đó dự đốn được kết quả, để
từ đó có hướng làm.
Ví dụ 9: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6a + 3b + 2c = abc.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B=
(Trích đề thi vào 10 chuyên Phú thọ 2014 - 2015)
Phân tích bài tốn :
Quan sát ban đầu nhiều học sinh chưa nhìn thấy sẽ sử dụng dữ kiện để áp
dụng phần lý thuyết ở kết quả nào, cách làm như thế nào, nhưng nhờ sự tư duy
logic khi làm toán hoặc nhờ sự hướng dẫn của giáo viên ( nếu cần) học sinh đã
biết cách đặt ẩn phụ nhờ sử dụng dữ kiện của đề bài cho 6a + 3b + 2c = abc
rồi đặt ẩn phụ

khi đó, ta được:

xy + yz + zx = 1. Bài tốn đã có dữ kiện quen thuộc.
Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết quả 3
Ta có: 6a + 3b + 2c = abc
11

skkn

Đặt
Khi đó: xy + yz + zx = 1
Biểu thức B được viết lại thành: B =
Mà xy + yz + zx = 1 nên x2 + 1 = x2 + xy + yz + zx = (x + y)(x + z)
Khi đó:
Tương tự

Ta được: B =
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm, ta có:

Cộng từng vế của bất đẳng thức ta được:
B=
B

Vậy giá trị lớn nhất của B là
Dấu “ = ” xảy ra khi
.
Ví dụ 10: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
(Trích tạp trí tốn học tuổi thơ năm 2014)
Sai lầm học sinh mắc phải : khi chưa học các dạng toán trên thì hầu hết các em
bình phương 2 vế, đưa về biểu thức phức tạp, cồng kềnh và chưa có hướng đi cho
bước tiếp theo. Để khắc phục sai lầm giáo viên phân tích dữ kiện đề bài đã cho để
12

skkn


sử dụng kết quả 1rồi căn cứ vào điều phải chứng minh để sử dụng bất đẳng thức
Cachy.
Hướng dẫn cách làm: Sử dụng kết quả 3

Suy ra
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương

ta được:

Tương tự:

Do đó

Dấu “ = ” xảy ra khi
Vậy
Ví dụ 11: Cho

là ba số thực dương thỏa mãn

.

Chứng minh rằng:
GV : Nhờ việc sử dụng kết quả của phần lý thuyết rồi đặt ẩn phụ thì học sinh đã
đưa 1 bài tốn từ phức tạp thành 1 bài toán quen thuộc như sau :
Sử dụng kết quả 1 với k=1
Từ giả thiết ta được:

Hoàn toàn tương tự ta được :

Đặt a = (x + y)(x + z); b = (y + z)(y + x); c = (z + x)(z + y)
Khi đó ta viết lại thành:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
13

skkn


;

;

Cộng từng vế của bất đẳng thức trên ta được:
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c .
Vậy
Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z =

.

Ví dụ 12: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

2a
1 a

2



b
1 b

2



c
1  c2

.

(Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Nghệ An năm học 2016 - 2017 )
GV : Nhờ việc quan sát vai trò của các biến sau khi rút ra từ ví dụ 7 học sinh cách
làm như sau :
Sử dụng kết quả 3 :
Theo giả thiết bài toán:
1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c)
Tương tự:
1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = (b + c)(b + a)
1 + c2 = ab + bc + ca + c2 = (c + a)(c + b)
Khi đó:
2a
b
c
P


 a  b  a  c  b  c  b  a   c  b  c  a 

 a.2

1

 a  b  a  c

 b.2

1
1
 c.2
4 b  c  b  a 
4 c  b  c  a 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Hoàn toàn tương tự:

Khi đó: P


1 
1
1  
1
1  9
 1
 a



  c

  b
a


b
a

c
4
b

c
b

a
4
c

b
c

a







 
 4
14

skkn

9
khi
;
4
Ví dụ 13: : Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a + b + c = 3.
Vậy GTLN của P =
Chứng minh rằng:
(Trích đề học sinh giỏi tốn 9 vịng 2 Tĩnh Gia năm học 2014 – 2015)
GV: Nhiều học sinh chưa biết sử dụng đề bài cho như thế nào nhưng nhờ phân
tích đặc điểm bài tốn ta có cách làm sau:
Hướng dẫn:
Ta có:

Tương tự:

Ví dụ 14: Cho x, y là hai số thực x + y ≠ 0.
Chứng minh rằng:
(Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thành phố Hồ Chí Minh năm 2015 - 2016)
Phân tích bài tốn : Nhìn vào u cầu đề bài ta thấy xuất hiện kết quả 4 ở phần
lý thuyết nên có cách làm sau :
Sử dụng kết quả 4
Từ giả thiết ta đặt:
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Ta có:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bằng cách làm tương tự giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh
nhiều bài tập khác bằng cách sử dụng các kết quả trên. Sau đây, tôi xin đưa ra
một số các bài toán áp dụng cụ thể cho phương pháp trên.

Các bài toán áp dụng
Bài 1: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
P

a3
b3
c3


 3abc.
3a  ab  ac  2bc 3b  ba  bc  2ac 3c  ca  cb  2ab

(Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Hưng Yên năm học 2015 - 2016)
Bài 2: Cho a, b, c là ba số thực dương và có tổng bằng 1.
15

skkn


Chứng minh:

.

(Trích đề thi vào 10 Chun Thái Bình năm học 2014 - 2015)
Bài 3: Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1.
Chứng minh rằng

.

(Trích đề thi vào 10 Chuyên Phú Thọ năm học 2015 - 2016)
Bài 4 : Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c =1.
Chứng minh rằng:

.

(Trích đề học sinh giỏi tốn 9 Tĩnh Gia năm học 2015 – 2016)
Bài 5 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  1 , tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
Q

x
x  x  yz



y
y  y  zx



z
z  z  xy

.

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán TP Hà Nội, 2014)
Bài 6 : Cho x, y,z là các số dương thỏa mãn xy  yz  zx  1 .
y
1

1
1
2 x
z






Chứng minh rằng:
2
2
2
2
2
3  1 x
1 x 1 y 1 z
1 y
1  z2


3


 .



( Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên KHTN, 2019-2020)

Bài 7: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
(Trích tạp trí tốn học tuổi thơ năm 2014)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Với cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề như trên khi truyền thụ cho học
sinh, tôi thấy học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống.
Học sinh phân biệt và nhận dạng được các dạng toán bất đẳng thức và tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có liên quan đến các kết quả trên, từ đó giải được các bài
tập có liên quan tốn bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, xóa đi
cảm giác khó và phức tạp ban đầu là khơng có quy tắc giải tổng qt và thấy
hứng thú với dạng toán này.
Giáo viên phải thấy được tầm quan trọng của việc hướng dẫn HS phân tích,
tìm lời giải bài tốn bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Từ đó
tuân thủ và áp dụng phương pháp vào giảng dạy trong việc ôn thi học sinh giỏi và
ôn thi vào lớp 10 THPT môn tốn để HS biết cách học tốn, từ đó các có thể tự
đọc và tự học.
Nghiên cứu nội dung, chương trình Tốn THCS, xác định rõ chuẩn kiến
thức kĩ năng của mơn học để từ đó áp dụng chun đề ở mức độ yêu cầu phù
hợp với mỗi đơn vị kiến thức.
Cụ thể kết quả khảo sát khi tổ chức giải bài tập bất đẳng thức và tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho 37 học sinh lớp 9 trường THCS Lý Thường Kiệt sau
khi áp dụng đề tài như sau:
16

skkn


Kết quả kiểm tra
Điểm 9-10
Điểm 7- 8,5
Điểm 5- 6,5

Điểm < 5
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
37
12 32,44
20
54,05
5
13,51
0
0
Vì vậy tơi mong rằng sẽ cịn tìm ra nhiều cách giải toán khác hay hơn nữa.
Qua các bài toán trên mong các em sẽ thực hành một cách thành thạo nhất, cũng
như có cái nhìn đơn giản nhất đối với dạng tốn bất đẳng thức và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Trên đây là một số ví dụ về sử dụng dữ kiện của đề bài để chứng minh bất
đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và dạng bài tập mà bản thân tôi
đã tổng hợp được qua quá trình giảng dạy. Thật ra đây là những bài tốn ta có thể
bắt gặp ở các sách và đề thi, tuy nhiên vì ở địa phương kinh tế cịn khó khăn nên
việc tiếp cận sách tham khảo của học sinh rất hạn chế, việc phân chia các dạng
bài tập này chỉ có tính tương đối để cho dễ tìm. Trong mỗi bài tốn tùy theo cách
nhìn ta sẽ có cách chứng minh tương ứng.

Việc tìm được lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất khơng phải là đơn giản và khơng có một quy trình sẵn
có nên địi hỏi trong q trình dạy học giáo viên phải thường xuyên chú ý đến các
phương pháp hướng dẫn học sinh tìm tịi cách chứng minh bài tốn. Qua đó, rèn
kĩ năng phân tích tổng hợp, tư duy lơgíc và kĩ năng trình bày bài giải. Đối với học
sinh lớp 9 đây là một chuyên đề rất khó địi hỏi kĩ năng cao nên giúp cho học sinh
sẽ từng bước được hoàn thiện dần về sau và ở các lớp trên.
3.2. Kiến nghị.
3. 2.1. Đối với học sinh:
- Muốn nâng cao, củng cố kĩ năng trong các bài tập trước tiên phải tự chuẩn bị
bài và đồ dùng học tập.
- Học sinh phải tự chủ, độc lập tư duy, phân loại được cá dạng bài tập.
- Học sinh có thể tổ chức các nhóm, đơi bạn học tập để nhận xét, đánh giá kết
quả của nhau.
3.2.2. Đối với giáo viên bộ môn:
- Lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp, phát huy tính tích cực, chủ động,
sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập.
- Giáo viên khơng ngừng học tập nâng cao trình độ chun môn, đặc biệt là ở
các lớp bồi dưỡng chuyên đề của phòng, của sở GD hoặc các buổi sinh hoạt cụm
để có nhiều điều kiện học hỏi kinh nghiệm của nhau.
3.2.3. Đối với Ban Giám Hiệu:
- Mua sắm thêm các thiết bị dạy học phục vụ cho bộ mơn tốn.
3.2.4. Đối với Phòng Giáo dục và đào tạo Hà Trung:
- Tổ chức cho giáo viên trong huyện được học tập các SKKN đã đạt giải cấp
tỉnh để nhân rộng và áp dụng trong thực tế giảng dạy.
Trong quá trình viết SKKN chắc chắn khơng tránh khỏi thiếu xót. Vì vậy,
tơi rất mong được Hội đồng giáo dục góp ý để cho SKKN này được hồn thiện
hơn. Tơi xin chân thành nhận và cảm ơn sự góp ý của Hội đồng giáo dục.
Tổng
số HS

17

skkn


Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Hà Trung, ngày 10 tháng 4 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác
Người viết SKKN

Trương Thị Hà

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
18

skkn


Họ và tên tác giả: Trương Thị Hà
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THCS Lý Thường Kiệt.

TT
1.
1

2.
2

Tên đề tài SKKN
Rèn kĩ năng giải các dạng bài
tập về phương trình bậc hai
thơng qua phương pháp phân
dạng cho học sinh lớp 9
trường THCS Lý Thường
Kiệt.

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)
Cấp huyện

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)
B

2015 –2016

Cấp tỉnh

C

2018 –2019

Rèn kĩ năng giải các dạng
toán về tỉ lệ thức thông qua
phương pháp phân dạng cho
học sinh khá, giỏi lớp 7
trường THCS Lý Thường
Kiệt.

Năm học
đánh giá
xếp loại

TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp huyện.
- Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào lớp 10 và thi tuyển sinh vào lớp 10
chuyên toán của các tỉnh trên cả nước.
19

skkn


- Tạp trí tốn học tuổi thơ.
- Các chủ đề bất đẳng thức ôn thi vào 10 của tác giả Nguyễn Ngọc Sơn,
Chu Đình nghiệp, Lê Trung Hải, Vũ Quốc Bá Cần - NXB Đại học quốc gia Hà

Nội.
- Phương pháp giảỉ toán bất đẳng thức và cực trị dành cho học sinh 8, 9 của
tác giả Nguyễn Văn Dũng, Võ Qốc Bá Cần, Trần Quốc Anh - NXB Đại học quốc
gia Hà Nội.

20

skkn


21

skkn