Bài giảng Hóa công 1: Thuyết đồng dạng và phương pháp phân tích thứ nguyên

Thuyết đồng dạng và
Phương pháp phân tích thứ ngun

Bộ mơn QT-TB CN Hóa học & Thực phẩm
Trường Đại học Bách khoa Hà nội


Thuyết đồng dạng và Phương pháp phân tích thứ ngun
• Dùng để nghiên cứu chuyển quy mơ của các q trình sản xuất: 
Phịng thí nghiệm – Pilot (bán sản xuất) – Sản xuất (cơng nghiệp)
• Phịng TN: tìm ra các thơng số thích hợp của q trình: to, P, xúc tác, …
• Chuyển quy mơ: tăng kích thước thiết bị, thời gian thực hiện, …
• Phương  pháp  nghiên  cứu  q  trình  và  thiết  bị  bằng  mơ  hình  thực 
nghiệm gọi là phương pháp mơ hình
­ Khi chuyển quy mơ: mơ hình trong sản xuất, pilot  đồng dạng với mơ 
hình trong phịng thí nghiệm, dựa trên Lý thuyết đồng dạng
­ Thực  chất  là  phương  pháp  đúc  kết,  khái  quát  hóa  các  số  liệu  thực 
nghiệm để rút ra các quy luật chung cho các quá trình đồng dạng với 
nhau


I. Thuyết đồng dạng
1. Những điều kiện đồng dạng
Các hiện tượng  đồng dạng nhau khi tỷ lệ của các đại lượng tượng tự đặc trưng 
của chúng là đại lượng không đổi theo 4 điều kiện sau:
a.  Đồng  dạng  hình  học:  hai  vật  đồng  dạng  về  hình  học  khi  kích  thước  tương 
ứng song song với nhau và có tỷ lệ khơng đổi
L2

D

D

L1

l2
l1

H

H
d
h

L3

l3

L1/l1 = L2/l2 = L3/l3 = al = const
a  ­ hằng số đồng dạng  

h
d

D/d = H/h = al = const

Hằng số đồng dạng là tỉ lệ giữa hai đại lượng tương ứng của hai hệ đồng 
dạng


I. Thuyết đồng dạng

+ Đồng dạng về thời gian: Tỷ lệ giữa các khoảng thời gian mà những điểm 
hay  những  phần  tử  của  hệ  thống  đồng  dạng  chuyển  động  theo  những  quĩ 
đạo đồng dạng hình học là một đại lượng khơng đổi

τ 1/τ ’1 = τ 2/τ ’2 = τ 3/τ ’3 = aτ = const 
+ Đồng dạng vật lý: Những thơng số vật lý của hai điểm hay hai phần tử 
tương ứng trong hệ thống đồng dạng về khơng gian và thời gian có tỷ lệ 
giữa những đại lượng cùng loại là một đại lượng khơng đổi

w1/w’1 = w2/w’2 = w3/w’3 = aw = const 
ρ 1/ ρ ’1 = ρ 2/ ρ ’2 = ρ  3/ ρ ’3 = aρ = const 
+ Đồng dạng về điều kiện đầu và điều kiện biên:  những điều kiện đầu 
và điều kiện biên của hai hệ đồng dạng nhau cũng phải đồng dạng với 
nhau. 


I. Thuyết đồng dạng
2. Định số đồng dạng và chuẩn số đồng dạng
Tỷ lệ của 2 đại lượng cùng kiểu, tại 2 điểm khác nhau của cùng một 
hệ thống với một hệ thống đồng dạng là một đại lượng khơng đổi 
L2

L1/l1 = L2/l2 = L3/l3 = al = const

L1

l2

L1/L2 = l1/l2 = il = const
L1/L3 = l1/l3 = i’l = const

l1

L2/L3 = l2/l3 = i’’l = const
L3

l3

a ­ hằng số đồng dạng 
i ­  định số đồng dạng (đơn hệ)

Là các đại lượng khơng có thứ 
ngun 


I. Thuyết đồng dạng
2. Định số đồng dạng và chuẩn số đồng dạng
Định số đồng dạng cấu tạo bởi các đại lượng khác nhau khơng cùng 
loại gọi là chuẩn số đồng dạng
Định luật Niu tơn

F

dw
m
d

Chuẩn số số Niu tơn

F

mw

idem

Chuẩn số đồng dạng:  Là đại lượng khơng có thứ ngun, 
Định số đồng dạng là chuẩn số đồng dạng đơn giản 

Re = chuẩn số Renold


I. Thuyết đồng dạng
Các chuẩn số đồng dạng
    ­  Lý  thuyết  đồng  dạng  cho  phép  biến  đổi  phương 
trình  vi  phân  mơ  tả  một  q  trình  thành  một 
phương trình chuẩn số
  ­  Các  quá  trình  vận  chuyển  chất  lỏng,  truyền  nhiệt, 
chuyển  khối,…  đều  có  thể  được  biểu  thị  qua 
chuẩn số đồng dạng
  ­  Mỗi  chuẩn  số  đồng  dạng  đều  phản  ánh  một  hiện 
tượng và mang tên người đã lập ra nó.


I. Thuyết đồng dạng
Các Định lý đồng dạng
Định lý 1: Các chuẩn số đồng dạng tương ứng của các hiện tượng đồng 
dạng với nhau có cùng trị số

F1 1
m1w1
F2 2

m2 w2

1 hay

F1 1
F2 2
m1w1
m2 w2

Trong đó

F1
F2
Rút ra

aF a
am a w

aF ;

1
2

1 C

w1
a;
w2

m1

aw ;
m2
Chỉ số 
đồng dạng

am

1


I. Thuyết đồng dạng
Các Định lý đồng dạng
Định lý 2: Mỗi phương trình biểu thị cho mối liên hệ giữa các đại lượng 
đặc trưng cho một q trình vật lý nào đó đều có thể viết dưới dạng một 
hàm của các chuẩn số đồng dạng

f K1 , K 2 , K 3 ,..., K n

0

Phương trình 
chuẩn số

Định lý 3: Các hiện tượng được coi là đồng dạng với nhau nếu các 
điều kiện đơn trị đồng dạng với nhau và những chuẩn số xác định 
được cấu tạo từ chúng có trị số như nhau.


II. Phương pháp phân tích thứ ngun
Nhiệm vụ:

1. Lập các chuẩn số độc lập cho một q trình cần nghiên cứu
2. Nếu q trình được mơ tả từ một phương trình vi phân thì các chuẩn 
số sẽ được lập trực tiếp từ phương trình đó.
3. Các q trình khác: từ các biến  ảnh hưởng đến q trình và các thứ 
ngun của chúng để lập các định số và các chuẩn số. 
4. Từ đó có thể xây dựng phương trình chuẩn số mơ tả q trình: 

 f(Π 1, Π 2, Π 3, Π 4,…) = 0.


Phương pháp phân tích thứ ngun
Định lý π
•

Một  hiện  tượng  (q  trình)  có  n  biến  số  (yếu  tố  ảnh  hưởng),  các 
biến số này có  m đơn vị cơ bản của thứ ngun thì có thể lập được 
(n­m) tích lũy thừa khơng thứ ngun của các biến ấy. Điều kiện (n­
m)>0.

•

Hiện tượng đó có (n­m) chuẩn số đồng dạng


Phương pháp phân tích thứ ngun
Ví dụ
Xét q trình: nước chảy trong  ống dẫn nằm ngang, dịng chảy  ổn định, 
liên tục, chốn đầy ống.

­ Các  biến  số  của  q  trình:  d(m),  l(m),  w(m/s),  ρ(kg/m3),  μ(Ns/m2), 

ΔP(N/m2), ε(m), λ(N)
­ n = 8, m = 3              Số chuẩn số có thể lập được: (n­m) = (8­3) = 5  

f(Eu, Re, Fr, l/d, ε /d, ) = 0
Eu = C. Rem, Frn, (l/d)k, (ε /d)q


Phương pháp phân tích thứ ngun
Vận dụng thực tiễn của phân tích thứ ngun
•

Các q trình vận chuyển chất lỏng, truyền nhiệt, chuyển khối,
… đều có thể được biểu thị qua phương trình chuẩn số. 

•

Lý  thuyết  đồng  dạng  cho  phép  biến  đổi  phương  trình  vi  phân 
mơ tả một q trình thành các chuẩn số đồng dạng của q trình 
đó.

•

Phương  pháp  phân  tích  thứ  ngun  cho  phép  thiết  lập  các 
chuẩn số đồng dạng của q trình từ các biến số ảnh hưởng đến 
q trình đó.

•

Phương  trình  chuẩn  số  mơ  tả  một  q  trình  được  xây  dựng  từ 
các chuẩn số vừa được thiết lập, hệ số và các số mũ được xác 

định từ thực nghiệm.


Phương pháp phân tích thứ ngun
Vận dụng thực tiễn của phân tích thứ ngun
­ u cầu q trình xác định bằng thực nghiệm: 
 ­ giảm tối đa các điểm đo, 
 ­ đảm bảo độ chính xác cần thiết
 ­ n­m chuẩn số độc lập được xác định từ phương trình vi phân 
tuyến tính với nhiều phương pháp
Phép thử hệ thống
Ngun tắc Kramer
Dùng đại lượng chuẩn (làm đại lượng dẫn)
Cấu tạo từ các thơng số vật lý
Lập từ phương trình vi phân


Ưu điểm
•

Phương pháp phân tích thứ ngun

Ứng dụng trực tiếp các chuẩn số vào tính tốn chuyển qui mơ, trên cơ 
sở đặt chúng bằng nhau  Mơ hình lý thuyết dựa trên nghiên cứu các qui luật 
tự nhiên sẽ tương hợp hồn tồn với mơ hình thực, nếu mọi chuẩn số được 
thiết lập từ mơ hình lý thuyết có giá trị bằng giá trị của các chuẩn số tương 
ứng của mơ hình thực

•

Giảm lượng biến cơ bản Tiết kiệm thời gian thực nghiệm. 

•

Các biến và hàm (khơng thứ ngun) độc lập với hệ đơn vị đo  giảm thời 
gian tổng kết số liệu

•

Làm  xuất  hiện  những  điều  mà  trước  đây  chưa  biết:  Khi  quan  sát  q 
trình, có thể phát hiện một số đại lượng (biến) mà trước đó chưa biết.Ngược 
lại, từ các đại lượng chưa biết, xuất hiện ra các q trình chưa biết

•

Đưa ra qui luật định tính cho tồn bộ diễn biến q trình được đặc trưng 
chỉ qua một chuẩn số


Giới hạn
•

Phương pháp phân tích thứ ngun

Bằng phân tích thứ ngun, khó hình thành một quan hệ hàm số giữa các 
biến khơng thứ ngun, mà phải dựa trên biểu thức vật lý Phân tích thứ 
ngun dựa trên qui luật tốn học: cơ sở, điều kiện, phương trình, thuật tốn. 
Kết quả của phân tích thứ ngun là đưa ra chuẩn số. Phải tiến hành thực 
nghiệm mới đưa ra hàm số. Địi hỏi phải có hàng loạt giả thiết mới: quan hệ 
giữa các biến riêng lẻ, dạng phương trình,….

•

Xuất hiện đồng dạng cục bộ dẫn tới sự tồn tại của các chuẩn số khác nhau 
ở hai qui mơ, nên sẽ khơng có đồng dạng hồn tồn. Trong nhiều q trình phức 
tạp, có những biến cùng loại và khác loại (thơng số vật lý, thơng số trạng thái) 
khơng có khả năng giữ ngun đồng dạng hồn tồn. Trong trường hợp này 
phải xử lý theo ngun tắc đồng dạng cục bộ từ pt vi phân thì dễ nhận biết về 
mặt ý nghĩa vật lý hơn là từ các phương pháp phân tích đơn thuần


Giới hạn
•

Phương pháp phân tích thứ ngun

Thiếu kiến thức về q trình thì khơng thể vận dụng hữu hiệu lý thuyết 
đồng dạng phải phân tích các qui luật của q trình đúng rồi mới lập được các 
chuẩn số độc lập và phân tích thứ ngun mới có ý nghĩa

•

Các dạng chuẩn số cần được phân tích rõ, để khẳng định là nó thực sự 
độc lập nhau dạng thực, hay phụ thuộc nhau dạng giả Các chuẩn số thiết 
lập từ phương trình vi phân thì dễ nhận biết về mặt ý nghĩa vật lý hơn là từ 
các phương pháp phân tích đơn thuần


Phương pháp phân tích thứ ngun
Sơ đồ xác định chuẩn số

 (1) Tìm hiểu kỹ luỡng về các nhiệm vụ cần giải quyết Có sơ đồ khối 
cho các bước thực hiện chính, xác định u cầu của việc chuyển qui 
mơ, u cầu độ chính xác cần thiết, chỉ rõ khó khăn phát sinh, …
(2) Đặt các giả thiết cần có cho các bước thực hiện chuyển qui mơ 
(ví dụ: dịng ổn định, q trình đẳng nhiệt,…)
(3)  Tổng  hợp  các  đại  lượng  cơ  bản  ảnh  hưởng  đến  q  trình  bao 
gồm:
­ Thiết bị
­ Các thơng số q trình
­ Các thơng số vật lý
­ Các biến q trình
­ Các điều kiện biên


Phương pháp phân tích thứ ngun
Sơ đồ xác định chuẩn số
(4) Lập bảng danh sách các đại lượng ở mục 3. Một cột là tên đại 
lượng, một cột là thứ ngun, Các đại lượng có thứ ngun xếp 
trước, khơng thứ ngun xếp sau
(5) Ước lược các đại lượng cùng loại để có một đại lượng duy nhất 
bằng cách lập tỉ số các đại lượng cùng loại, mỗi tỷ số này thay thế 
cho cặp đại lượng đó
(6) Xác định các chuẩn số quen biết
(7) Xác định tiếp các chuẩn số cịn lại Mỗi chuẩn số đã xác định được 
cho phép loại bỏ dần các đại lượng có mặt. Sau 6 bước, tiếp tục lập 
những chuẩn số mới có trong dnah sách đến khi khơng cịn đại lượng 
nào có thứ ngun trong danh sách


Phương pháp phân tích thứ ngun

Sơ đồ xác định chuẩn số

(8) Đưa ra các chuẩn số hợp lý. Thu được các chuẩn số độc lập với 
nhau. Phân loại thành các chuẩn số thơng dụng và chuẩn số đặc 
trưng riêng.
(9) Kiểm tra: ­ đơn vị của các chuẩn số  =1
­ Một trong n các đại lượng có thứ ngun phải có mặt trong ít nhất một 
chuẩn số. Loại trừ các địa luợng phụ thuộc và những địa lượng có 
chứa đơn vị cơ sở
­ Các chuẩn số lập được phải độc lập với nhau. Để dễ dàng biết được 
sự xuất phát của các chuẩn số
(10) Xử lý tiếp tục các chuẩn số vừa tìm được.  Những chuẩn số tìm 
được sẽ là cơ sở cho mơ mình hóa, Mơ hình tốn học được lập rất 
cần thiết cho việc chuyển qui mơ


Phương pháp lập các chuẩn số từ phương trình vi phân

(1) Tìm hiểu kỹ luỡng về các nhiệm vụ cần giải quyết 
(2) Đặt các giả thiết cần có cho các bước thực hiện chuyển qui mơ 
(ví dụ: dịng ổn định, q trình đẳng nhiệt,…)
(3) Lập phương trình vi phân mơ tả q trình và các điều kiện biên
(4) Lập danh sách các hằng số đồng dạng cho tất cả các đại lượng 
tồn tại trong phương trình vi phân và điều kiện biên


Phương pháp lập các chuẩn số từ phương trình vi phân
(5) Lập các phương trình điều kiện cho các hằng số đồng dạng từ 
phương trình vi phân và điều kiện biên:
­  ước lược tất cả các đại lượng tồn tại trong phương trình vi 

phân và điều kiện biên qua tích số giữa các đại lượng và hằng 
số đồng dạng thuộc nó.
­ đưa các hằng số đồng dạng ra khỏi dấu tích phân
­ đặt các hệ số bằng nhau (chỉ cho các đại lượng độc lập)
(6) Đưa ra các chuẩn số từ các phương trình điều kiện
(7) Đưa ra các chuẩn số độc lập phù hợp cho q trình
(8) Xử lý tiếp tục các chuẩn số để đạt được mục tiêu sử dụng


Các chuẩn số đồng dạng thủy động lực học 
1. Chuẩn số Reynold:
2. Chuẩn số Euler:
3. Chuẩn số Fruit:
3. Chuẩn số Galile:
­ l: kích thước hình học đặc trưng, m ­ ρ: khối lượng riêng của chất lỏng, 
­ w: vận tốc của dịng, m/s

kg/m3

­ g: gia tốc trọng trường, m/s2

­ μ: độ nhớt động lực của chất lỏng, 
Ns/m2
­ ν: độ nhớt động học của chất lỏng, St