Giáo án đại số 11 phương trình lượng giác cơ bản

BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Mục tiêu: Nắm vững 4 phương trình lượng giác cơ bản và cách giải.
 Kiến thức
+ Biết cách áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.
+

Vận dụng để giải những trường hợp mở rộng của 4 phương trình lượng giác cơ bản.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình sin x = a
 Nếu a  1 : Phương trình vơ nghiệm.
 Nếu a  1 . Đặt a  sin  hoặc a  sin   , phương trình tương đương với

 x    k 2
sin x  sin   
k   .
 x      k 2
 x     k .360
sin x  sin    
k   .
 x  180     k .360
 x  arcsin a  k 2
sin x  a  
k   .
 x    arcsin a  k 2

Tổng quát:
 f  x   g  x   k 2
sin f  x   sin g  x   
k   .
 f  x     g  x   k 2

Các trường hợp đặc biệt



sin x  1  x 



sin x  1  x  



sin x  0  x  k

2

k   .

 k 2




2

 k 2

k   .

k   .

2. Phương trình cos x  a

 Nếu a  1 : Phương trình vơ nghiệm.
 Nếu a  1 . Đặt a  cos  hoặc a  cos   , phương trình tương đương với
cos x  cos   x    k 2

k   .

cos x  cos    x      k .360  k    .
cos x  a  x   arccos a  k 2

k   .

Tổng quát:
cos f  x   cos g  x   f  x    g  x   k 2

k   .

Các trường hợp đặc biệt
 

Trang 1


 

k   .



cos x  1  x  k 2



cos x  1  x    k 2



cos x  0  x 


2

 k

k   .

k   .

3. Phương trình tan x  a
Điều kiện cos x  0 .



tan x  tan   x    k  k    .



tan x  tan    x     k .180  k    .



tan x  a  x  arctan a  k  k    .

Tổng quát:
tan f  x   tan g  x   f  x   g  x   k  k    .

5. Phương trình cot x = a
Điều kiện sin x  0 .



cot x  cot   x    k  k    .



cot x  cot    x     k .180  k    .



cot x  a  x  arc cot a  k  k    .

Tổng quát:
cot f  x   cot g  x   f  x   g  x   k  k    .

TOANMATH.com

Trang 2

 

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Điều kiện: x 


2

 k , k   .

Đặt a  tan  .

 đặc biệt  x    k .
 không đặc biệt
 x  arctan a  k .

Phương trình vơ nghiệm.
Trường hợp 2: a  1 .
Đặt a  sin  .

Trường hợp 1: a  1 .

tan x = a

Trường hợp 1: a  1 .

sin x = a

Phương

Phương trình vơ nghiệm.
Trường hợp 2: a  1 .

cos x  a

Đặt a  cos  .

 đặc biệt

trình lượng

 đặc biệt

 x    k 2

 x      k 2
k  

giác cơ bản

 x    k 2

 x    k 2
k  

cot x = a

 không đặc biệt
 x  arcsin a  k 2

 x    arcsin a  k 2
k  

 không đặc biệt
 x  arccos a  k 2

 x   arccos a  k 2
k   .

Điều kiện x  k , k   .
Đặt a  cot  .

 đặc biệt  x    k .
 không đặc biệt
 x  arc cot a  k .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình sin x = a
Ví dụ mẫu

TOANMATH.com

Trang 3


 



Ví dụ 1. Giải phương trình 2sin  3 x    3 . 1
4

Hướng dẫn giải

1  sin  3x 




3



 sin  3 x    sin

4 2
4
3


 
 

2




3 x  4  3  k 2
3 x   4  3  k 2
 x  36  k 3



k   .
3 x        k 2
3 x        k 2
 x  5  k 2



4
3
3 4
36
3

2

 x  36  k 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
k   .
 x  5  k 2

36
3
2


Ví dụ 2. Giải phương trình sin  3 x 
3


7


  sin  x 
5




  0 .  2


Hướng dẫn giải

 2   sin  3x 


2 
2 
2 
2 



  sin  x 
  0  sin  3 x 

  sin  x 

3 
5 
3 
5 




2
2

8

3 x  3  x  5  k 2
 x   15  k


3 x  2     x  2   k 2
 x  11  k




3
5 
60
2


k   .

8

 x   15  k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
k   .
 x  11  k

60
2







Ví dụ 3. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình sin  3 x  9 x 2  16 x  80   0 .
4

Hướng dẫn giải












3 x  9 x 2  16 x  80  k
Ta có sin  3 x  9 x 2  16 x  80   0 
4
4

 3x  9 x 2  16 x  80  4k  9 x 2  16 x  80  3 x  4k

3 x  4k
3 x  4k

 2


2k 2  10 .
2
2
x

9 x  16 x  80  9 x  24kx  16k

3k  2

Xét x 

2

2k 2  10
18k 2  90 2  9k  4   98
98
 9x 

 2  3k  2  
.
3k  2
3k  2
3k  2
3k  2

TOANMATH.com

Trang 4


 

Vì x  * nên 9 x  *  3k  2  Ư  98   1; 2; 7; 14; 49; 98 .
 x  *
Lại có  2
 3k  2  0  3k  2  1; 2;7;14; 49;98  k  1;3;17 .
2k  10  0  k   
 Với k  1 thì x  12 (thỏa mãn 3x  4k ).
 Với k  3 thì x  4 (thỏa mãn 3 x  4k ).
 Với k  17 thì x  12 (khơng thỏa mãn 3 x  4k ).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là x  4;12 .

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho phương trình sin  x    

m2
, m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình có
m 1

nghiệm?

1
A. m   .
4

1
B. m   .
2

C. m   .

D. Không tồn tại giá trị của m

Câu 2: Phương trình sin x 
A. x 
C. x 

1


có nghiệm thỏa mãn
 x  là
2

2
2

5
 k 2 , k   .
6


3

B. x 

 k 2 , k   .

D. x 

Câu 3: Số nghiệm của phương trình
A. 8.

B. 7.

Câu 4: Cho phương trình sin


6


3

.

.

sin 2 x
 0 trên đoạn  0;3  là
1  cos x
C. 4.

D. 5.

x
 m 2  9 , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình vơ
3

nghiệm?
A. 3  m  3 .

B. m  3 .

C. m   .

D. Không tồn tại giá trị của m .

ĐÁP ÁN
1-B

2-B

3-D

4-C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Phương trình sin  x    

TOANMATH.com

m2
có nghĩa x    D   , m  1 .
m 1

Trang 5


 

m  2 1

1  m  1
Ta có 1  sin  x     1  
.
m  2 1 2
 
 m  1
m  1
m2
2m  1
.
Giải 1 . Ta có 1 


0
 m  1
m 1
m 1

2

Giải  2  . Ta có

3
m2
1
 0  m 1  0  m  1 .
m 1
m 1

1
Kết hợp nghiệm ta có m   .
2
Câu 2.

Phương trình sin x 

1
có nghĩa x    D   .
2






x   k 2
x   k 2


1

 1
6
6
Do sin  nên sin x   sin x  sin  

k   .
2
6
6 2
 x      k 2
 x  5  k 2


6
6
Vì 


2

x


2

nên x 


6

.

Câu 3.

Phương trình
Ta có

sin 2 x
 0 có nghĩa  1  cos x  0  cos x  1  x  k 2  D   \ k 2  .
1  cos x

sin 2 x
k
 0  sin 2 x  0  x 
k   .
1  cos x
2

 x   2k  1 
Kết hợp với điều kiện ta có 
k   .
 x    k


2
Do x   0;3   x 


2

, x  , x 

3
5
, x
, x  3 .
2
2

Vậy phương trình có 5 nghiệm.

Câu 4.
Phương trình sin
Ta có 1  sin

x
 m 2  9 có nghĩa x    D   .
3

x
 1  1  m 2  9  1  10  m 2  8 (vơ lí).
3

Vậy phương trình vơ nghiệm với m   .

Dạng 2: Phương trình cos x = b

TOANMATH.com

Trang 6


 

Ví dụ mẫu



Ví dụ 1. Giải phương trình 2 cos  2 x    2 .
6


1

Hướng dẫn giải

1  cos  2 x 




2


6 2






 cos  2 x    cos  2 x     k 2  k    .
6
4
6
4

 




 2 x  6  4  k 2
 2 x  12  k 2
x 



 2 x       k 2
 2 x  5  k 2
x 


6

4
12


x 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
x 




 k
24
k   .
5
 k
24



 k
24
k   .
5
 k
24



Ví dụ 2. Giải phương trình cos  2 x    sin 5 x  0 .

3


 2

Hướng dẫn giải

 2   cos  2 x 








  sin 5 x  cos  2 x    cos   5 x 
3
3

2


 
 k 2


 2 x  3  2  5 x  k 2
 x  42  7



 2 x       5 x  k 2
 x  5  2k


3
2
18
3

k   .

 k 2

 x  42  7
Vậy nghiệm của phương trình là 
k   .
 x  5  2k

18
3
Ví dụ 3. Cho phương trình cos  x    

m2
, m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
m 1

Hướng dẫn giải
Phương trình cos  x    

m2
có nghĩa x    D   , m  1 .
m 1

m  2 1

1  m  1
.
Ta có 1  cos  x     1  
2
m


 1  2
 m  1

TOANMATH.com

Trang 7


 
m  1
m2
2m  1
.
Giải 1 . Ta có 1 

0
 m  1

m 1
m 1

2

m2
3
1
 0  m 1  0  m  1 .
m 1
m 1

Giải  2  . Ta có

1
Kết hợp nghiệm ta có m   .
2
Vậy với m  

1
thì phương trình đã cho có nghiệm.
2

Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Phương trình 2 cos x  2  0 có nghiệm là



 x  4  k 2
,k  .

A. 
 x  3  k 2

4

3

 x  4  k 2
,k  .
B. 
 x  3  k 2

4

5

 x  4  k 2
,k  .
C. 
 x  5  k 2

4



 x  4  k 2
D. 
,k  .
 x    k 2


4

x
Câu 2: Phương trình 2 cos  3  0 có nghiệm là
2

A. x  

5
 k 2 , k   .
3

B. x  

5
 k 2 , k   .
6

C. x  

5
 k 4 , k   .
6

D. x  

5
 k 4 , k   .
3

Câu 3: Phương trình cos 3 x  cos
A. x  
C. x  


15


45

C. x 


4


2

15

có nghiệm là

 k 2 , k   .


k

B. x  

k 2

,k .
3

Câu 4: Phương trình cos 2 x 
A. x 





D. x 

45


45





k 2
,k  .
3

k 2
,k  .
3

1

có nghiệm là
2

,k  .

B. x  

 k 2 , k   .

D. x  

2




2


2

 k , k   .
 k 2 , k   .

Câu 5: Phương trình cos 2 x  cos x có cùng tập nghiệm với phương trình

TOANMATH.com

Trang 8

 

A. sin

3x
 0.
2

B. sin x  1 .

D. sin 2 x  1 .



2 cos  x    1 với 0  x  2 là
3


Câu 6: Số nghiệm của phương trình
A. 1.

C. sin 4 x  1 .

B. 0.

C. 2.

D. 3.

 5
 1
Câu 7: Phương trình sin 
cos  x   có bao nhiêu họ nghiệm?
 3
 2

A. 1 họ nghiệm.

B. 4 họ nghiệm.

C. 6 họ nghiệm.

D. 2 họ nghiệm.

ĐÁP ÁN
1-B

2-D

3-B

4-A

5-A

6-C

7-C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
Phương trình 2 cos x  2  0 có nghĩa x    D   .
Ta có 2 cos x  2  0  cos x 

 2
.
2

3

x
 k 2

3
 2
3  2
4
nên cos x 
Do cos
 cos x  cos


k   .
2
4
4
2
 x  3  k 2


4

Câu 2.
x
Phương trình 2 cos  3  0 có nghĩa x    D   .
2
x
x  3
.
Ta có 2 cos  3  0  cos 
2
2
2
Do cos

5  3
5
5
x  3
x

nên cos 
 cos  cos
 x
 k 4  k    .
6
2
2
2
2

6
3

Câu 3.
Phương trình cos 3 x  cos12 có nghĩa x    D   .
Do cos12  cos


15

nên cos 3x  cos12  cos 3 x  cos




3 x  15  k 2
x 


3 x    k 2
x 

15





15

k 2
45
3
k   .
 k 2

45
3


Câu 4.
Phương trình cos 2 x 

TOANMATH.com

1
có nghĩa x    D   .
2

Trang 9


 

cos x 
1
Ta có cos 2 x   
2

cos x 



2


 cos x  cos  x    k 2  k    .
2
4
4

Xét cos x 

Xét cos x 

2
2 .
 2
2

 2
3
3
 cos x  cos
x
 k 2  k    .
2
4
4

Kết hợp nghiệm ta được x 


4



k
k   .
2

Câu 5.

Phương trình cos 2 x  cos x có nghĩa x    D   .
 2 x  x  k 2  x  k 2
k 2
Ta có cos 2 x  cos x  
x
k   .

2
k
 2 x   x  k 2  x 
3
3

sin

3x
3x
2 k

0
 k  x 
k   ;
2
2
3

sin x  1  x 


2

sin 4 x  1  4 x 
sin 2 x  1  2 x 

 k 2  k    ;


2


2

 k 2  x 
 k 2  x 

Vậy phương trình sin


8


4



k
k   ;
2

 k  k    .

3x
 0 có cùng tập nghiệm với phương trình cos 2 x  cos x .
2

Câu 6.
Phương trình

Ta có



2 cos  x    1 có nghĩa x    D   .
3




x    k 2




1


12
.
 x     k 2  
2 cos  x    1  cos  x   
3
3
3
4
2




 x   7  k 2

12


Do 0  x  2 nên x 



23
17

; x
.
12
12

Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 0  x  2 .

Câu 7.
 5
 1
Phương trình sin 
cos  x   có nghĩa x    D   .
 3
 2

TOANMATH.com

Trang 10


 


 5
 3 cos  x  6  k 2
1

 5
 1
 5


cos  x    sin 
cos  x   sin  
Vì sin  nên sin 
6
6 2
 3
 2
 3

 5 cos  x  5  k 2
 3
6


1

cos  x 

1
6
10


 cos  x  10  k 5
1
(vì 1  cos  x  1 ).

  cos  x 


2
 cos  x  1  k 6


2
5
 cos  x  7

10
Ta có cos  x 

1
1
  x   arc cos  k 2
10
10

cos  x 

1


 cos   x    k 2
2
3
3

cos  x 

7

7
  x   arc cos
 k 2
10
10

k   ;

k    x  

1
 2k  k    ;
3

k    x  

1



arc cos

7
 2k  k    .
10

Vậy phương trình có 6 họ nghiệm.

Dạng 3: Phương trình tan x = m
Ví dụ mẫu



Ví dụ 1. Giải phương trình 3 tan  5 x    3 .
4


1

Hướng dẫn giải


 
 k

, k   .

Điều kiện cos  5 x    0  5 x    k  x 
4
4 2
20 5


1  tan  5 x 





 5x 


4




6

3



 tan  5 x    tan

4 3
4
6


 k  5 x  


12

 k  x  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  



60


60

k

k



Ví dụ 2. Giải phương trình tan  2 x    cot x .
4



5


5

, k   .

, k   .

 2

Hướng dẫn giải
 


3 k
 



cos  2 x    0
 2 x    k
x 


Điều kiện  
4
8
2
4 2
sin x  0
 x  l
 x  l


 2   tan  2 x 


k;l   .



 
 k



, k   .
  tan   x   2 x    x  k  x  
4
4 2
4 3
2


TOANMATH.com

Trang 11


 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 


4

k
, ( k  ) .
3



Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Nghiệm của phương trình tan  x  15   1 với 90  x  270 là
A. x  210 .

B. x  135 .

C. x 


3


6

D. x  120 .

3 tan x  3  0 có nghiệm là

Câu 2: Phương trình
A. x 

C. x  60 .

 k , k   .

B. x  

 k , k   .

D. x  


3


3

 k 2 , k   .
 k , k   .

Câu 3: Phương trình tan 2 x  3 có nghiệm là
A. x  


3

 k , k   .

B. x  
D. x 

C. Vô nghiệm.
Câu 4: Nghiệm của phương trình tan x   tan
A.

4
.
5

B.




3

3

 k , k   .

 k , k   .



2
.
3

 
trong khoảng  ;   là
5
2 
C.

3
.
5

D.

2
.
5


 3
Câu 5: Phương trình tan  sin 4 x   có bao nhiêu họ nghiệm?
4
 2
A. 2 họ nghiệm.

B. 6 họ nghiệm.

Câu 6: Phương trình lượng giác
A. x  k


2

C. Vô nghiệm.

D. 4 họ nghiệm.



2 tan   2 x   2  0 có nghiệm là
4

B. x 

,k  .

C. x  k , k   .


2

D. x  

k


3


2

,k  .

 k , k   .

ĐÁP ÁN
1-A

2-D

3-B

4-A

5-C

6-A

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Ta có tan 45  1  tan  x  15   tan 45  x  15  45  k .180  x  30  k .180  k    .
Với 90  x  270  90  30  k .180  270  k  1  x  210 .
Câu 2.

Phương trình

3.tan x  3  0 có nghĩa  cos x  0  x 

TOANMATH.com





 k  D   \   k  .
2
2

Trang 12


 

3 tan x  3  0  tan x   3  tan x  tan

Ta có



 x    k  k    .
3
3

Câu 3.

Phương trình tan 2 x  3 có nghĩa  cos x  0  x 





 k   D   \   k  .
2
2



 tan x  3
Ta có tan 2 x  3  
.
 tan x   3
Xét tan x  3  tan x  tan


3

Xét tan x   3  tan x  tan
Vậy x  


3

x


3

 k  k    .



x
 k  k    .
3
3

 k  k    .

Câu 4.

Phương trình tan x   tan
Ta có tan x   tan


5


5

có nghĩa  cos x  0  x 

 tan x  tan





 k  D   \   k  .
2
2




x
 k  k    .
5
5

4
 
.
Do x   ;   nên x 
5
2 
Câu 5.

Ta có

 



 sin 4 x   cos  sin 4 x   0 , x   .
4 4
4
4


Phương trình xác định với x    D   .


3
4
3

 3
tan  sin 4 x    sin 4 x  arc tan  k  sin 4 x  arc tan  4k .
4
2
2

4
 2
Với k  0 thì

3
arc tan  4k  1  sin 4 x  1 (vơ lí).

2

Với k  1 thì

4

4

3
arc tan  4k  1  sin 4 x  1 (vơ lí).
2


Vậy đã cho phương trình vơ nghiệm.
Câu 6.

Phương trình



2 tan   2 x   2  0 có nghĩa
4




 k



  k 
 cos   2 x   0   2 x   k  x 

 D \

 k   .
4
2
8
2
2 
4

 8
Ta có








2 tan   2 x   2  0  tan   2 x   1   2 x   k  x  k  k    .
4
4
2
4


4


TOANMATH.com

Trang 13


 

Dạng 4: Phương trình cot x = n
Ví dụ mẫu

 1

. 1
Ví dụ 1. Giải phương trình cot  2 x   
6
3

Hướng dẫn giải



 k

Điều kiện sin  2 x    0  2 x   k  x  
, k   .
6

6
12 2


1  cot  2 x 





 2x 


2







  cot  2 x    k
6
3
6 3

 k  x 


4

k


2

, k   .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x 


4

k


2

, k   .

 4



Ví dụ 2. Giải phương trình tan 
 x   2 cot   x   3 .  2 
 9

 18


Hướng dẫn giải

Điều kiện
  4



 4

 x   k
x   k
cos  9  x   0



 

 9

2
18


 x   k ,  k ; m    .

18
sin    x   0
   x  k
 x    k



  18
18
18


 4
 
 
 4



 x     x    tan 
 x   cot   x  .
Ta có 
 9
  18
 2
 9

 18






 x   2 cot   x   3  3cot   x   3
 18


 18

 18


 2   cot 



3


5


 cot   x  
  x   k  x  
 k ,  k    .
18
3
18
 18
 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  

5
 k ,  k    .
18

Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Phương trình 3cot x  3  0 có nghiệm là
A. x 
C. x 


6


3



 k , k   .

B. x 

 k 2 , k   .

D. Vô nghiệm.

3

Câu 2: Cho phương trình cot  x 
4

trên vơ nghiệm?
A. m  2 .

TOANMATH.com

3

 k , k   .


2
  m  4 , m là tham số. Với giá trị nào của m thì phương trình

B. 2  m  2 .

Trang 14


 

C. m   .

D. Không tồn tại giá trị của m .

Câu 3: Phương trình cot x.cot 2 x  1  0 có nghiệm là
A. x 

C. x 


4


6

 k , k   .



 x  6  k
,k  .
B. 
 x  5  k

6

 k , k   .

D. x 


2

k


3

,k  .

ĐÁP ÁN
1-B

2-D

3-B

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Phương trình 3cot x  3  0 có nghĩa sin x  0  x  k  D   \ k   k    .
Ta có 3cot x  3  0  cot x 

3


 cot x  cot  x   k  k    .
3
3
3

Câu 2.

3

Tập giá trị y  cot  x 
4



   nên với m   phương trình ln có nghiệm.


Vậy khơng tồn tại giá trị m để phương trình vơ nghiệm.

Câu 3.

sin x  0
 x  k
k
Phương trình cot x.cot 2 x  1  0 có nghĩa  

x
.
2
sin 2 x  0
 2 x  k

k 

Tập xác định D   \  x 
.
2 

Ta có cot x.cot 2 x  1 

cos x cos 2 x
cos x 1  2sin 2 x
1  2sin 2 x
1
.
.
1 
1 
1 

2.
2
sin x sin 2 x
sin x 2sin x cos x
2sin x
2sin 2 x


1


sin x  sin
sin x 


1
1
6
2 
.
cot x.cot 2 x  1  0 
 2  0  sin 2 x   

2
2sin x
4
sin x  sin 
sin x  1



2
6


x   k 2


6
Nếu sin x  sin  
.
6
 x  5  k 2

6


 k 2
x


6
.
Nếu sin x  sin

6
 x  7  k 2

6

TOANMATH.com

Trang 15


 



 x  6  k
Kết hợp nghiệm ta có 
k   .
 x  5  k

6

TOANMATH.com

Trang 16