Trắc nghiệm toán lớp 12 có đáp án bài (10)

BÀI ƠN TẬP CHƯƠNG III. NGUN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Câu 1. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
Tính F ( 0 ) .

sin 2 x
 
thỏa mãn F   = 0 .
1 + cos x
2

A. F ( 0 ) = 2ln 2 + 2 .
B. F ( 0 ) = 2ln 2 .
C. F ( 0 ) = ln 2 .
D. F ( 0 ) = 2ln 2 − 2 .
Lời giải
Đáp án D
sin 2 x
2sin x.cos x
=
.
1 + cos x
1 + cos x
Đặt u = 1 + cos x  du = − sin xdx và cos x = u −1 .
f ( x) =

Khi đó: F ( x ) =  f ( x ) dx = 

−2 ( u − 1)
2sin x.cos x
2


dx = 
du =   − 2 du
1 + cos x
u
u


= 2ln u − 2u + C = 2ln 1 + cos x − 2 (1 + cos x ) + C .



 

F   = 0  2ln 1 + cos − 2 1 + cos  + C = 0
2
2
2

 C = 2  F ( x ) = 2ln 1 + cos x − 2cos x .
Vậy F ( 0 ) = 2ln 2 − 2 .
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x + 1).sin 2 x .

1

A.

 f ( x)dx = 2 (sin 2 x − 2cos 2 x − 2 x cos 2 x) + C .

B.

 f ( x)dx = 4 (sin 2 x − cos 2 x + 2 x cos 2 x ) + C .

C.

 f ( x)dx = 4 (sin 2 x − 2cos 2 x − 2 x cos 2 x) + C .

D.

 f ( x)dx = − 2 ( x

1

1

1

2

+ x)cos 2 x + C .


Lời giải
Đáp án C

du = dx
u = x + 1


Đặt 
.

1
d
v
=
sin
2
x
d
x
v
=
−
cos2
x


2
Khi đó:

1
1
1
1
(
x
+
1).sin
2
x
d

x
=
−
.(
x
+
1)cos
2
x
+
cos2
x
d
x
=
−
.(
x
+
1)cos
2
x
+
sin 2 x + C

2
2
2
4
1

= (sin 2 x − 2cos 2 x − 2 x cos 2 x) + C .
4
Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có

9

3

0

0

 f ( x ) dx = 9 . Tính  f ( 3x ) dx .

3

A.

 f ( 3x ) dx = 3 .

B.

0

3

3

3

0

0

0

 f ( 3x ) dx = 27 . C.  f ( 3x ) dx = −3 . D.  f ( 3x ) dx = 1 .
Lời giải

Đáp án A
1
Đặt t = 3 x  dt = 3dx  dx = dt .
3

Đổi cận x = 0  t = 0
x = 3t = 9
3

9

9

1
1
  f ( 3x ) dx =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx = 3 .
30
30
0

Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

dx
A.  = ln x + C .
x

C.  a x dx =

ax
+ C . ( 0  a  1)
ln a

x +1
+ C ,   −1 .
B.  x dx =
 +1


D.

1
 cos2 x dx = tan x + C .


Lời giải
Đáp án A
Ta có



dx
= ln x + C nên đáp án A sai.

x

Câu 5. Tính I =  2 x x 2 + 1dx bằng cách đặt u = x 2 + 1 , mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. I = 2 u du .

B. I =  udu .

C. I =  u 2du .

D. I = 2 u 2du .

Lời giải
Đáp án D
2
2
2
Đặt u = x + 1  u = x + 1  2udu = 2 xdx .

 I =  2u.u.du = 2 u 2du .
3

Câu 6. Cho I =  | x − 2 | dx . Khẳng định nào sau đây đúng?
0

3

A. I =

 ( x − 2 ) dx .

2

3

0

2

B. I = −  ( x − 2 ) dx +  ( x − 2 ) dx .

0

2

3

0

2

C. I =  ( x − 2 ) dx +  ( x − 2 ) dx .

Đáp án B
 x − 2, x  2
Ta có: x − 2 = 
− ( x − 2 ) , x  2
3

2

3

0

0

2

Suy ra: I =  | x − 2 | dx = −  ( x − 2 ) dx +  ( x − 2 ) dx .
3

0

2

Vậy I = −  ( x − 2 ) dx +  ( x − 2 ) dx .

3

0

2

D. I =  ( x − 2 ) dx −  ( x − 2 ) dx .
Lời giải

2

2

x3
Câu 7. Hàm số F ( x ) = − cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
3
A. f ( x ) = 3x 2 + cos x .

B. f ( x ) = x 2 + sin x .

C. f ( x ) = x − sin x .

x4
D. f ( x ) = + sin x .
12

2

Lời giải
Đáp án B
Hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x )  F  ( x ) = f ( x ) .

 x3

Ta có F  ( x ) =  − cos x  = x 2 + sin x .
3

Câu 8. Tìm
A.

 ( 2x + 1)

5

1
6
( 2 x + 1) + C .
12

C. ( 2 x + 1) + C .
4

dx ta được
B.

1
5
( 2 x + 1) + C .
6

D. 5( 2 x + 1) + C .
4

Lời giải
Đáp án A
1
( 2 x + 1) + C .
5
Ta có  ( 2 x + 1) dx =  ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) =
2
12
6

5

Câu 9. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x 2 − 3x +
x3 3x 2
−
+ ln x + C .
A.
3
2

C. x − 3x + ln x + C .
3

2

1
với x  0 là
x

x3 3x 2 1
−
+ 2 +C.
B.
3
2
x

x3 3x 2
−

− ln x + C .
D.
3
2
Lời giải

Đáp án A


Ta có



1
x3 3x 2

f ( x ) dx =   x 2 − 3x +  dx = −
+ ln x + C .
x
3
2


Câu 10. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =

2 x4 + 3
, x  0 là
x2

2 x3 3

+ +C.
A. F ( x ) =
3
x

B. F ( x ) = −3 x 3 −

x3 3
C. F ( x ) = − + C .
3 x

2 x3 3
− +C.
D. F ( x ) =
3
x

3
+C.
x

Lời giải
Đáp án D
 2 x4 + 3 
2 x3 3
 2 3
Ta có  
− +C.
 dx =   2 x + 2  dx =
2

x 
3
x

 x


a
1
a
dx
=
.
Với
là
các
số
nguyên
và
tối giản. Trong các
a
,
b
0 x 2 − x + 1 b 3
b
1

Câu 11.

Biết

khẳng định sau khẳng định nào đúng?
B. a + b  5 .

A. a + b  10 .

Lời giải
Đáp án C
1

1

1
1
dx
=
0 x2 − x + 1 0  1 2 3 dx
x−  +
2 4

Đặt x −

 dx =

1
3

 
=
tan t  −  t   .

2 2
2
 2

3 1
dt .
2 cos 2 t

Đổi cận x = 0  t = −


6

C. a + b  6 .

D. a + b  8 .


x =1 t =


6

.


1

1
 2

dx =
x
−
x
+
1
0

6



−

6





6
3 1
1
3 1
2 6
2
. 2 dt = 
. 2 dt =
t =
3

3
3 − 3 3

(tan 2 t + 1) 2 cos t
(tan 2 t + 1) 2 cos t
−
6
6 4
4

1

.

 a = 2, b = 3 .
Câu 12. Cho đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ bên.

Diện tích S của hình phẳng phần tơ đậm trong hình được tính theo công thức nào sau
đây?
3

A. S =

 f ( x)dx .

B. S =

−2

C. S =

0

0

−2

3

 f ( x)dx +  f ( x)dx .

D. S =

−2

3

0

0

0

3

−2

0

 f ( x)dx +  f ( x)dx .

 f ( x)dx +  f ( x)dx .
Lời giải

Đáp án D
3

Theo hình vẽ, ta có S =



−2

0

3

−2

3

−2

0

0

0

f ( x) dx = −  f ( x)dx +  f ( x)dx =

 f ( x)dx +  f ( x)dx .

Câu 13. Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x3 , y = 2 − x và trục
hồnh Ox (như hình vẽ) được tính bởi cơng thức nào dưới đây?


1

2

2

B. S =  ( x 3 + x − 2)dx .

A. S =  x dx +  ( x − 2)dx .
3

0

0

1

1

1

1
D. S = +  x 3 dx .

2 0

C. S =  x − (2 − x) dx .
3

0

Lời giải
Đáp án D
Xét các phương trình hồnh độ giao điểm
+) x3 = 2 − x  x3 + x − 2 = 0  x = 1.
+) x3 = 0  x = 0
+) 2 − x = 0  x = 2.
1

2

1

1
Dựa vào hình vẽ, ta có S =  x dx +  (2 − x)dx = +  x 3 dx.
2 0
0
1
3

Câu 14. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3 , biết
rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x

(1  x  3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3 x 2 − 2 .

A. V =

124
.
3

C. V = 32 + 2 15 .

(

)

B. V = 32 + 2 15  .
D. V =

124
.
3

Lời giải


Đáp án D
Diện tích thiết diện (hình chữ nhật) là S ( x) = 3x 3x2 − 2 .
Suy ra thể tích cần tính
3

3

3

3
1
1
124
V =  S ( x)dx =  3x 3x − 2dx =  3x 2 − 2d ( 3 x 2 − 2 ) = (3 x 2 − 2) 2 |13 =
.
2
3
3
1
1
1

2

Câu 15. Tìm  sin3x dx .
A.

1
cos3 x + C.
3

1
B. − cos3x + C.
3

C. − cos3x + C.

D. cos3x + C.

Lời giải
Đáp án B
Ta có:
1

−1

 sin 3x.dx = 3  sin 3x d ( 3x ) = 3 cos3x + C .
Câu 16. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
. Biết F (1) = 2 . Giá trị
2x − 1

 e +1
của F 
 là
 2 
A.

3
.
2

B. 3 .

C.
Lời giải

Đáp án D



f ( x ) dx = 

1
1
dx = ln 2 x − 1 + C ( C 
2x − 1
2

).

1
F (1) = 2  C = 2 . Vậy F ( x ) = ln 2 x − 1 + 2 .
2
 e +1 5
Do đó, F 
= .
 2  2

−3
.
2

D.

5
.

2


Câu 17. Giả sử f là hàm số liên tục trên khoảng K và a , b , c là ba số bất kỳ trên
khoảng K . Khẳng định nào sau đây sai?
a

A.

 f ( x ) dx = 1.
a

B.

C.

D.

b

a

a

b

 f ( x ) dx = − f ( x ) dx .
c

b

b

a

c

a

b

b

a

a

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx , c  ( a ;b ) .

 f ( x ) dx =  f ( t ) dt .
Lời giải

Đáp án A
a

Ta có:  f ( x ) dx = 0 .
a

Câu 18. Cho các số thực a, b ( a  b ) . Nếu hàm số y = F ( x ) là một nguyên hàm của hàm
số y = f ( x ) thì

b

A.

 f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) .
a

b

B.  F ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) .

C.  F ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) . D.
a

b

a

b

 f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) .
a

Lời giải
Đáp án D
Theo giả thiết y = F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) nên ta có
b

 f ( x ) dx = F ( x )
a

b
a

= F (b ) − F ( a ) .


f ( x)

Câu 19. Cho hàm số
f ( x ) + xf ( x

2

) = 2x

xác định và liên tục trên

0;1

thỏa mãn

1

2

+ 1 . Giá trị

 f ( x ) dx bằng
0

A.

5
.
3

B.

10
.
9

C.

5
.
9

D.

10
.
3

Lời giải
Đáp án B
Theo đề f ( x ) + xf ( x 2 ) = 2 x 2 + 1
1

Xét A =  xf ( x 2 ).dx . Đặt t = x 2  dt = 2 x.dx
0

Đổi cận:
0
0

x
t
1

 A=

1

1
1
f
t
.
dt
=
f ( x ).dx .
(
)
2 0
2 0
1

Từ đó:

1
1


0

1

1

1

1

1
5
f ( x ).dx +  xf ( x ).dx =  ( 2 x + 1).dx   f ( x ).dx +  f ( x ).dx =
20
3
0
0
0

1

2

2

1

3
5
10
  f ( x ) .dx =   f ( x ) .dx = .
20
3
9
0

Câu 20. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 x − x 2 và trục hồnh. Tính thể
tích V của khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh.
A. V =

16
.
15

B. V =

11
.
15

C. V =
Lời giải

Đáp án A
x = 0

Phương trình hồnh độ giao điểm: 2 x − x 2 = 0  
 x = 2.

12
.
15

D. V =

4
.
15


2

Thể tích cần tính là: V =   ( 2 x − x

)

2 2

0

 4 x3
x5  2 16
4
dx =  
− x +  |0 =
.

5
15
 3

Câu 21. Để tính  x ln ( 2 + x )dx theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt
u = ln ( x + 2 )
A. 
.
d
v
=
x
d
x


u = x ln ( x + 2 )
B. 
.
d
v
=
ln
x
+
2
d
x
(
)



u = x
C. 
.
d
v
=
ln
x
+
2
d
x
(
)


u = ln ( x + 2 )
D. 
.
d
v
=
d
x


Lời giải
Đáp án A

u = ln ( x + 2 )
Đặt 
dv = xdx

Câu 22. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) được tính theo
cơng thức
b

A. S =   f ( x ) dx .
a

b

B. S =  f ( x ) dx .
a

b

C. S =  f ( x )dx .
a

b

D. S =   f 2 ( x )dx
a

.
Lời giải
Đáp án B
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai
b

đường thẳng x = a , x = b , ( a  b ) được tính theo công thức S =  f ( x ) dx .
a

Câu 23. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên 3;4 . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = 3 , x = 4 . Thể tích khối trịn
xoay tạo thành khi quay D quanh trục hồnh được tính theo cơng thức


4

A. V =   f

2

( x ) dx .

B. V = 

3

4

C. V =  f ( x ) dx .
3

4

2

 f ( x ) dx .
2

3

4

D. V =  f 2 ( x ) dx .
3

Lời giải
Đáp án A
4

Thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là: V =   f 2 ( x ) dx
3

Câu 24. Hàm số f ( x ) = x x + 1 có một nguyên hàm là F ( x ) . Nếu F ( 0 ) = 2 thì F ( 3)
bằng
A.

146
.
15

B.

116
.
15

C.

886
.
105

D.

105
.
886

Lời giải
Đáp án A
Đặt t = x + 1  x = t 2 − 1  2tdt = dx .
2 5 2 3
2
4
2
x
x
+
1d
x

=
2
t
−
2
t
d
t
=
t
−
t
+
C
=
(
)


5
3
5

Vì F ( 0 ) = 2 nên C =

(

)

5

x +1 −

2
3

(

)

3

x + 1 + C.

34
2
2
34 146
=
. Vậy F ( 3) = .25 − .23 +
.
5
3
15 15
15

Câu 25. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.


Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y = f  ( x ) trên đoạn

−2 ;1 và 1; 4 lần
f ( −2 ) + f ( 4 ) bằng

lượt bằng 9 và 12. Cho f (1) = 3. Giá trị của biểu thức

A. 21.

B. 9.

C. 3.

D. 3.

Lời giải
Đáp án C
Từ đồ thị hàm số y = f  ( x )  f  ( x )  0 trên mỗi đoạn  −2 ;1 và 1; 4.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox với đồ thị hàm số y = f  ( x ) trên đoạn  −2 ;1
là:
1

S1 =



−2

1

f  ( x ) dx = −  f  ( x ) dx = f ( −2 ) − f (1)  f ( −2 ) − f (1) = 9  f ( −2 ) = 9 + f (1) = 12.

−2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox đồ với đồ thị hàm số y = f  ( x ) trên đoạn 1; 4
là
4

4

1

1

S2 =  f  ( x ) dx = −  f  ( x ) dx = f (1) − f ( 4 )  f (1) − f ( 4 ) = 12  f ( 4 ) = f (1) − 12 = −9.

Vậy f ( −2 ) + f ( 4 ) = 12 − 9 = 3
ln x + eln x
Câu 26. Cho tích phân I = 
dx = e a − b , giá trị của a + 2b bằng
x
1
e

A. 3 .

B.

3
.
2

C.
Lời giải

Đáp án D
1
Đặt t = ln x  dt = dx .
x

Đổi cận x = 1  t = 0

x = e  t =1

5
.
2

D. 2 .


1

1
1
Ta có I =  (t + et )dt = e − . Suy ra a = 1 và b = . Tính được a + 2b = 2.
2
2
0
Câu 27. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và f ( x) + f (− x) = cos 4 x x  R . Giá trị của

2

biểu thức I =

 f ( x)dx là

−

A.

2

3
.
8

B.

3
.
16

C.

5
.
8

D.

5

.
16

Lời giải
Đáp án B
Đặt x = −t  dx = −dt .
Đổi cận x =

x=−


2


2

t =
−

Ta có I =

t =−

2


2







2

2

2



f (−t )d(−t ) =



 f (−t )dt =  f (− x)dx .

−

2







2

−

2





3 1
1
3
.
 2  f ( x)dx =   f ( x) + f (− x) dx =  cos xdx =  ( + cos 2 x + cos 4 x)dx =
2
8
8



 8
2

2

2

2

4

−

−

2

I =

2

−

2

−

2

3
.
16

Câu 28. Cho hàm số đa thức bậc ba y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d (a  0) có đồ thị như
hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) và trục hoành.


A. 6 .

B.

19
.
4

C.

27
.
4

D. 8 .

Lời giải.
Đáp án C
Đồ thị hàm số y = f ( x) cắt và tiếp xúc trục hoành lần lượt tại tại điểm ( −2;0 ) và (1;0 )
nên hàm số có dạng y = f ( x) = a( x + 2)( x − 1)2 = a( x3 − 3x + 2)
Mặt khác đồ thị hàm số lại đi qua điểm

( −1;4)

nên ta có a = 1 . Vậy

y = f ( x) = x 3 − 3x + 2 .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) và trục hoành là:
1

S=

x

−2

3

− 3x + 2dx =

27
.
4

Câu 29. Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính
giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC = 6m , chiều dài
CD = 12m (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN = 4m ; cung EIF có
hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua
hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/ m 2 . Hỏi công ty X cần bao nhiêu
tiền để làm bức tranh đó?


A. 20.400.000 đồng.

B. 20.600.000 đồng.

C. 20.800.000 đồng.

D. 21.200.000 đồng.
Lời giải

Đáp án C

Gọi O là trung điểm MN. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Khi đó, ta có phương trình đường parabol đỉnh I (0;6) và đi qua hai điểm
C ( 6;0 ) , D ( −6;0 ) là ( P) : y = 6 =

1 2
x
6

Diện tích bức tranh là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol ( P ) trục Ox và
hai đường thẳng x = −2, x = 2 . Khi đó
1
1 
208 2

S =  6 − x 2 dx =   6 − x 2  dx =
(m ).
6
6 
9
−2
−2 
2

2

Vậy, số tiền công ty X cần dùng để làm bức tranh là
T = 900.000.

208
= 20.800.000 (đồng)

9

Câu 30. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vng cạnh bằng
10 cm bằng cách kht đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết
AB = 3 cm, OH = 4 cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.


A.

140 2
cm
3

B.

160 2
cm .
3

C.

14 2
cm .
3

D. 50cm2 .

Lời giải
Đáp án A

Chọn hệ trục tọa độ sao cho O là gốc tọa độ, OH thuộc Oy, Ox vng góc với OH tại

5 
O chiều dương hướng từ A đến B . Khi đó ta có B  ;4  . Giả sử parabol ( P ) đi qua
2 
O, A, B nhận O làm đỉnh có dạng: y = ax 2 + bx + c .

O  ( P) 
c=0
 −b

16 2

x .
Dễ dàng ta có hệ phương trình  = 0  b = 0 . Do đó: y =
25
2
a


16
 B  ( P)
a =
25

Gọi diện tích hình phẳng giới hạn các đường y =

16 2
−5
5

x , y = 4, x = , x = là S1 .
25
2
2


2,5

16 
16 
40


Kho đó ta có: S1 =   4 − x 2 dx =  4 x − x3 
.
=
25
75
3




−2,5
−2.5
2,5

Do đó diện tích hình hoa văn là: S = 102 −

40

140
.4 =
(cm 2 ).
3
3