PHÂN TÍCH THỨ NGUYÊN VÀ ĐỒNG DẠNG

PHÂN TÍCH THỨ NGUN VÀ
ĐỒNG DẠNG
1. Phân tích thứ ngun
1.1 Khái niệm
1.2 Phương pháp phân tích thứ nguyên - Định
luật  (Buckingham)
1.3 Các ví dụ áp dụng
2. Quy luật đồng dạng
2.1 Khái niệm
2.2 Các tiêu chuẩn đồng dạng
2.3 Đồng dạng khơng hồn hảo và thử nghiệm
mơ hình


1. Phân tích thứ ngun
1.1 Khái niệm
- Đại lượng có thứ nguyên : giá trị bằng số của nó phụ
thuộc vào từng hệ đơn vị đo lường.
Ví dụ chiều dài L(m), vận tốc V(m/s)…
- Đại lượng vô thứ nguyên: giá trị bằng số của nó không
phụ thuộc vào bất kỳ hệ đơn vị đo lường nào. Ví dụ Re,
Mach, Froude, , hệ số co hẹp …
- Đại lượng cơ bản: là những đại lượng thứ nguyên đơn
giản nhất, có 1 đơn vị đo lường cơ bản. Ví dụ trong hệ SI
có các đại lượng cơ bản như khối lượng (M), chiều dài
(L), thời gian (T)
- Đại lượng dẫn xuất: Là những đại lượng thứ nguyên được
diễn tả dưới dạng là biểu thức của những thứ nguyên
cơ bản. Ví dụ : V(m/s), F(N = kgm/s2)
- Thứ nguyên của một đại lượng nào đó được biểu diễn
trong trong dấu [ ] biểu diễn đơn vị dẫn suất qua các đơn

vị cơ bản.


1.2 Phương pháp phân tích thứ nguyên Định luật  (Buckingham)

Xét 1 hiện tượng vật lý phụ thuộc vào n biến
số f(a1,a2,a3,a4…an) = 0 trong đó có k
đơn vị thứ nguyên cơ bản (L, M, T hay
L, F, T)
Hiện tượng này có thể được diễn tả theo
hàm số của m = n-k đại lượng vô thứ
nguyên 1, 2,3...m theo mối liên hệ :
Φ(1, 2,3...m )=0


1.2 Phương pháp phân tích thứ
nguyên - Định luật  (Buckingham)
a k +i
 i = 1  2  3
a1 .a 2 .a3 ....a k k
Trong đó a1, a2, . . . ak là những đại lượng độc lập, 1, 2, 3. . . k là
những hằng số
Các thứ nguyên độc lập thường :
Chiều dài (L)
Khối lượng (M)
Thời gian (S)
Các biến gần với L,M,S
Không chọn biến đầu tiên
Không chọn biến ảnh hường trong một phạm vi nhỏ

1.2 Phương pháp phân tích thứ nguyên - Định luật 
Ví dụ: Tìm công thức ứng suất ma sát trên bề mặt oáng dẫn
lưu chất:

 = f(D, ,V, , )
n=6
k = 3 (D,V,) => Số các đại lượng vô thứ nguyên : n-k = 3
1 = g(2, 3)

D : đường kính ống

: kích thước mơ nhám của bề mặt
: khối lượng riêng của lưu chất
 : độ nhớt lưu chất

1 =


D a V b  c =>

ML −1T −2
L M T = a
L ( LT −1 ) b ( ML −3 ) c
0

0

0

L0 M0 L0 = L-a-b+3c-1 M-c+1 T-2+b
-a-b+3c-1 = 0
a=0
-c+1 = 0
=>
c=1
-2+b=0
b=2


1.2 Phương pháp phân tích thứ nguyên - Định luật 

2 =


D aV b  c




 2  =  a b c 
D V  
L
L M T = a
L ( LT −1 ) b ( ML −3 ) c
0

0

0

L0 M0 L0 = L1-a-b+3c M-c T-b
1-a-b+3c = 0
a=1
-c = 0
=>
c=0
-b = 0
b=0

2 =



D

Tương tự

3 =


DV 

1
3 =
Re
Vậy

 1 
= F ,


2
V 
 D Re 
=>

 1 
 = V  F ,

 D Re 
2


2. Quy luật đồng dạng
2.1 Khái niệm
Hai hiện tượng vật lý gọi là đồng dạng nếu như tất cả các
đại lượng đặc trưng của chúng đồng dạng : tại điểm
tương ứng, tại thời điểm tương ứng, đại lượng có
hướng phải đồng dạng hình học, đại lượng vơ hướng
tương ứng tỉ lệ
Đặc tính của các loại mơ hình máy thủy khí (bơm, quạt,
máy nén..), tàu thuyền, máy bay chỉ được áp dụng trên
mơ hình thực khi chúng thoả mãn các điều kiện về đồng
dạng :
• Đồng dạng hình học
• Đồng dạng động học
• Đồng dạng động lực học


2. Quy luật đồng dạng

a) Đồng dạng hình học:
Chiều dài : aL = Lm/Lt
Diện tích : aA = Am/At = (LM/LT)2 = aL2,
Thể tích : a = m/t = aL3
Các tỉ số đồng dạng hình học thường
được xác định khi chế tạo mô hình


2. Quy luật đồng dạng

Đồng dạng hình học của (a) mơ hình thật
(protoype) và (b) mơ hình thu nhỏ với tỉ lệ 1/10


2. Quy luật đồng dạng
Thỏa mãn đồng dạng hình học của (a) mơ hình thật
(prototype) và (b) mơ hình thu nhỏ với tỉ lệ 1/10 khi:
•Bán kính tại đầu mũi theo đúng tỉ lệ 1/10
•Độ nhám bề mặt trên mơ hình thu nhỏ theo đúng tỉ
lệ 1/10
•Nếu mơ hình thật có bề dày lớp biên là 5mm tại vị
trí cách mũi 1.5mm ➔ mơ hình thu nhỏ phải có bề
dày lớp biên là 0.5mm tại vị trí cách mũi 0.15mm


2. Quy luật đồng dạng
Chuyển động trong hai hệ thống được xem là đồng
dạng nếu như các phần tử lưu chất tương đương ở tại
những vị trí tương ứng và tại những thời điểm tương
ứng nhau

b) Đồng dạng động học:
Thời gian: aT = Tm/Tt
Vận tốc : aV = Vm/Vt = aL/aT
Gia tốc : aa = am/at = aL/(aT )2
Lưu lượng : aQ = Qm/Qt = (aL)3/aT
.....
Các tỉ số đồng dạng động lực học xác định
được nếu biết đồng dạng về thời gian


2. Quy luật đồng dạng
c) Đồng

dạng động lực học:
Trong trường hợp tổng quát tại một điểm có thể
có các lực tác dụng sau : trọng lực G, áp lực P, lực
ma sát T, lực căng bề mặt Fc … và tổng các lực
nầy cân bằng với lực quán tính I = ma.

  
 
G + P + T + Fc + ..... = ma = I

Một mô hình được gọi là đồng dạng động lực học
khi có được một tỉ số đồng dạng aF cho tất ca û loại lực

trên
m
a


G




G m Pm Tm
Im
a F =  =  =  = ..... 

It
Pt
Tt
Gt
P

aL
a F = a  (a L ) 2 =
at
3

a  (a L ) 4
a

2
t


T

Fc

2. Quy luật đồng dạng
c) Đồng dạng động lực học:

The forces acting

on the flow element are due to
gravity FG, pressure Fp, viscosity FV, surface tension FT
(when the prototype model is on the boundary of water
and air), inertia FI, and elasticity FE.
The forces can be expressed as shown below.


2. Quy luật đồng dạng
Trong thực tế khi chế tạo mô hình không thể có
được tỉ số đồng dạng a F cho tất cả các lực, do
đó phải chấp nhận một sự đồng dạng không
hoàn hảo đưa đến các loại mô hình sau.
2.2 Các tiêu chuẩn về đồng dạng
2.2.1 Mơ hình Reynolds
Khi ảnh hưởng của tính nén được là khơng đáng kể
Khi khơng có ảnh hưởng của mặt thống
➔Ảnh hưởng của lực ma sát và trọng lực là đáng kể
➔Ví dụ: dòng chuyển động trong ống, chuyển động
tàu ngầm, hay chuyển động của máy bay trong
khơng khí ở vận tốc thấp


2. Quy luật đồng dạng

2.2 Các tiêu chuẩn về đồng dạng
2.2.1 Mơ hình Reynolds

which defines the Reynolds number Re,
Re = LV/v


2.2.1 Mơ hình Reynolds : khi xem ảnh hưởng của ma
sát là quan trọng


2. Quy luật đồng dạng
2.2 Các tiêu chuẩn về đồng dạng
2.2.2 Tiêu chuẩn Froude

Khi khảo sát ảnh hưởng của lực cản sóng
lên chuyển động của tàu thuyền, tỉ lệ giữa
lực qn tính và trọng lực có ảnh hưởng
quan trọng:


2. Quy luật đồng dạng
2.2 Các tiêu chuẩn về đồng dạng
2.2.2 Tiêu chuẩn Froude
Để tương ứng với trường hợp số Reynolds (Re có bậc 1 theo vận
tốc V). Số Froude được định nghĩa bằng (u2/gL)0.5
Froude number Fr,

• Đồng dạng Froude cho phép tính tốn lực cản sóng trên vật thể thật từ mơ
hình. Nếu tính tốn lực cản tồn thể, cần xác định thêm lực cản ma sát

• Mô hình Froude dùng cho :
• Dòng chảy qua đập tràn
• Lực cản do sóng (lên tàu thuyền, công trình biển …)
• Dòng chảy trong máy thủy lực (bơm, tuabin …)


Tiêu chuẩn Froude


2. Quy luật đồng dạng
2.2 Các tiêu chuẩn về đồng dạng
2.2.3 Tiêu chuẩn Mach