Luận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
---------------------------------------

NGUYỄN NGỌC ÁNH

HÀM A IU HềA DI
VI K D YU

Luận văn thạc sỹ KHOA HỌC to¸n häc

THÁI NGUN - 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
--------------------------------------

NGUYỄN NGỌC ÁNH

HÀM A IU HềA DI
VI K D YU

Chuyên ngành: TON giải tích
MÃ số: 60.46.01.02

Luận văn thạc sỹ KHOA HC toán học

Ngi hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN – 2014

Soá hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

LI CAM OAN
Tổi xin cam oan bÊn luên vôn ny l cổng trẳnh nghiản cựu ởc
lêp cừa riảng tổi. CĂc số liằu, kát quÊ trong luên vôn l trung
thỹc v ch½nh x¡c.
Tỉi xin ho n to n chàu tr¡ch nhi»m v· líi cam oan cừa mẳnh.

XĂc nhên cừa
khoa chuyản mổn

ThĂi Nguyản, thĂng 4 nôm 2014

Hồc viản

Nguyạn Ngồc nh

i
Soỏ hoựa bụỷi Trung taõm Học liệu –ĐHTN

/>

Mửc lửc

Mé U

1. Lỵ do chồn à ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1

2. Mưc ½ch v  nhi»m vư nghi¶n cùu . . . . . . . . . .

2

2.1. Mửc ẵch nghiản cựu . . . . . . . . . . . . .

2

2.2. Nhi»m vư nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . .

2

3. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . .

2

4. Bè cöc cõa luên vôn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 CĂc kián thực chuân b

6

1.1

Hm a iÃu hỏa dữợi . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

To¡n tû Monge- Ampere phùc . . . . . . . . . . .

8

1.3

Nguyản lỵ so s¡nh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 Hm a iÃu hỏa dữợi vợi kẳ d yáu

6

18

2.1

CĂc xĐp x¿ chu©n t­c . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

C¡c lỵp nông lữủng cõ trồng . . . . . . . . . . . .

23

2.3

ìợc lữủng dung lữủng . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4

Mi·n gi¡ trà cõa to¡n tû Monge-Ampere phùc . .

31

K˜T LUŠN
T€I LI›U THAM KHƒO

19

37
38

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

Mé U

1. Lỵ do chồn à ti
Lỵ thuyát a thá v l mởt nhĂnh cừa GiÊi tẵch phực nhiÃu
bián, ữủc phĂt trin mÔnh m trong vỏng 30 nôm tr lÔi Ơy.
NhiÃu kát quÊ quan trồng cừa lỵ thuyát ny ữủc biát án tứ
trữợc nhỳng nôm 80 cừa thá k XX. Tuy nhiản sỹ phĂt trin cừa
lỵ thuyát ny cũng vợi viằc tẳm thĐy nhỳng ựng dửng vo cĂc
lắnh vỹc khĂc nhau cừa toĂn hồc nhữ GiÊi tẵch phực nhiÃu bián,
GiÊi tẵch hyperbolic, Hẳnh hồc vi phƠn phực,. . . ch thỹc sỹ mÔnh
m sau khi E. Berfod v B.A. Taylor nôm 1982, xƠy dỹng thnh
cổng toĂn tỷ Monge-Ampere phực cho lợp hm a iÃu hỏa dữợi
b chn a phữỡng v ữa ra khĂi niằm dung lữủng cừa mởt têp
Borel trong mởt têp m cừa Cn .
Ta biát rơng toĂn tỷ Monge-Ampere phực ữủc xĂc nh vợi
hm F() nhữ l giợi hÔn yáu cừa dÂy ở o (ddc j )n , trong
õ (j ) l dÂy giÊm tũy ỵ cĂc hm a iÃu hỏa dữợi thuởc lợp

E0 () hởi tử án . M rởng lợp ny, nôm 2005, Cegrell  ữa ra
lợp hm E() m trản mội compact , nõ trũng vợi mởt hm
trong lợp F(). GƯn Ơy  m rởng lợp F() (nôm 2009) v
lợp Ep () (nôm 2011), S. Benelkourchi  ữa ra lợp nông lữủng
phực cõ trồng E (). Theo hữợng nghiản cựu ny chúng tổi chồn
à ti "Hm a iÃu hỏa dữợi vợi ký dà y¸u".
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

Mửc ẵch cừa luên vôn l trẳnh by cĂc kát quÊ gƯn Ơy cừa
S.Benelkourchi, V.Guedj v A.Zeriahi và toĂn tỷ Monge-Ampere
phực trong miÃn siảu lỗi b chn cừa Cn . Nghiản cựu mởt số lợp

hm a iÃu hỏa dữợi vợi ký d yáu: õ l cĂc hm vợi nông lữủng
Monge-Ampere cõ trồng hỳu hÔn. Tờng quĂt hõa cĂc lợp hm
ữủc giợi thiằu bi U.Cegrell v cho sỹ phƠn lợp cĂc khổng gian
cừa hƯu nhữ tĐt cÊ cĂc hm a iÃu hỏa dữợi khổng b chn. CĂc
lợp nhữ thá s ữủc mổ tÊ bơng thuêt ngỳ tốc ở giÊm cừa dung
lữủng Monge-Ampere cừa cĂc têp mực dữợi.

2. Mửc ẵch v nhiằm vử nghiản cựu
2.1. Mửc ẵch nghiản cựu

Mửc ẵch chẵnh cừa luên vôn l trẳnh by mởt số kát quÊ trong

viằc nghiản cựu và lợp hm a iÃu hỏa dữợi vợi im ký d yáu.

2.2. Nhiằm vử nghiản cựu

Luên vôn têp trung vo cĂc nhiằm vử chẵnh sau Ơy:

+ Trẳnh by têng quan v  h» thèng c¡c k¸t qu£ v· c¡c tẵnh chĐt
cừa hm a iÃu ho dữợi, toĂn tỷ Monge-Ampere.
+ Trẳnh by mởt số kát quÊ và cĂc hm vợi nông lữủng MongeAmpere cõ trồng hỳu hÔn. Tờng quĂt hõa cĂc lợp hm ữủc giợi
thiằu bi U.Cegrell v cho sỹ phƠn lợp cĂc khổng gian cừa cĂc
hm a iÃu hỏa dữợi khổng b chn.

3. Phữỡng phĂp nghiản cựu

- Sỷ dửng cĂc phữỡng phĂp cừa giÊi tẵch phực kát hủp vợi cĂc
phữỡng phĂp cừa giÊi tẵch hm hiằn Ôi, cĂc phữỡng phĂp cừa lỵ
thuyát thá v phực.
- Trẳnh by lÔi cĂc k¸t qu£ cõa S.Benelkourchi, V.Guedj v  A.zeriahi.

2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

4. Bố cửc cừa luên vôn

Nởi dung luên vôn gỗm 40 trang, trong õ cõ phƯn m Ưu, hai

chữỡng nởi dung, phƯn kát luên v danh mửc ti liằu tham khÊo.
Chữỡng 1: Trẳnh by tờng quan v hằ thống cĂc kát quÊ vÃ
cĂc tẵnh chĐt cừa hm a iÃu ho dữợi, toĂn tỷ Monge-Ampere,
nguyản lỵ so sĂnh v cĂc hằ quÊ cừa nõ.
Chữỡng 2: L nởi dung chẵnh cừa luên vôn, trẳnh by cĂc kát
quÊ nghiản cựu và cĂc lợp hm a iÃu hỏa dữợi vợi ký d yáu:
õ l cĂc hm vợi nông lữủng Monge-Ampere cõ trồng hỳu hÔn.
Tờng quĂt hõa cĂc lợp hm ữủc giợi thiằu bi U.Cegrell v cho
sỹ phƠn lợp cĂc khổng gian cừa cĂc hm a iÃu hỏa dữợi khổng
b chn.
PhƯn Ưu cừa chữỡng ny nhưc lÔi mởt vi nh nghắa cỡ bÊn
liản quan án lợp Cegrell () cĂc hm a iÃu hỏa dữợi vợi ở
o Monge  Ampere b chn Ãu a phữỡng trản miÃn siảu lỗi

b Cn . Tứ õ cho c trững theo ngổn ngỳ dung lữủng cừa hm
trong lợp ().
Trong mửc 2.1, trẳnh by cĂc xĐp x chẵnh tưc vợi kát quÊ
chẵnh cừa mửc ny l: Náu u DM A() thẳ vợi mội têp Borel
R
R

B \ {u = −∞}, (ddc u)n = lim
(ddc uj )n , vỵi uj :=
j

B

B{u>j}

max(u, j) l cĂc xĐp x chẵnh tưc.
Trong mửc 2.2 trẳnh by cĂc kát quÊ và cĂc lợp nông lữủng
cõ trồng, E () cõ nhiÃu tẵnh chĐt khĂc nhau phö thuëc v o
χ(0) = 0 ho°c χ(0) 6= 0, χ(−∞) = hoc () 6= , l
hm lỗi hay lóm.
Trong mửc 2.3 trẳnh by cĂc kát quÊ và ữợc lữủng dung lữủng.
Hằ quÊ 2.3.4 Â cho c trững cừa lợp E p () theo nghắa tốc ở
giÊm cừa dung lữủng cừa têp mực con. Cử th l: Vợi p > 0 tịy

3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

þ, ta câ
−

p

E (Ω) = {ϕ ∈ PSH (Ω);

Z

+∞

tn+p−1 CapΩ ({ < t})dt < +}.

0

Ơy Cap kẵ hiằu l dung lữủng Monge- Ampere ữủc giợi thiằu
bi E. Bedford v B.A. Taylor. E p(Ω) = Eχ(Ω), vỵi χ(t) := −(−t)p.
Trong mửc 2.4 trẳnh by cĂc kát quÊ nghiản cựu và miÃn giĂ tr
cừa toĂn tỷ Monge-Ampere trản cĂc lợp ny. Kát quÊ chẵnh cừa
mửc ny l :

GiÊ sỷ vợi mồi têp compact K , à(K) F(Cap(K)),
õ F(x) = x( lnn x )n. Khi õ tỗn tÔi duy nhĐt hm F()
1
sao cho à = (ddcϕ)n v  CapΩ({ϕ < −s}) ≤ exp(−nH
(s)) vỵi
x
R
måi s > 0, ð â H −1 l  h m ng÷đc cõa H(x) = e (t)dt + s0(à).
0
1
Nõi riảng E() vợi (t) = exp(nH (t)/2).
Khi à < Cap (nghắa l 1) thẳ à = (ddc )n vợi F(Ω) sao
cho CapΩ ({ϕ < −s}) gi£m nhanh theo c§p mụ.
Cuối cũng l phƯn kát luên trẳnh by tõm tưt kát quÊ Ôt ữủc.
BÊn luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm
- Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa PGS.TS
PhÔm Hián Bơng. NhƠn dp ny tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn

PGS.TS PhÔm Hián Bơng và sỹ hữợng dăn hiằu quÊ cũng nhỳng
kinh nghiằm trong quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v hon thnh
luên vôn.
Xin chƠn thnh cÊm ỡn Phỏng Sau Ôi hồc, Ban chừ nhiằm
Khoa ToĂn, cĂc thƯy cổ giĂo Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc
ThĂi Nguyản, Viằn ToĂn hồc v Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi
 giÊng dÔy v tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi trong quĂ trẳnh
hồc têp v nghiản cựu khoa hồc.
Xin chƠn thnh cÊm ỡn Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi
Nguyản, Trữớng PTDTNT Phõ BÊng Huyằn ỗng Vôn Tnh H
Giang, cũng cĂc ỗng nghiằp  tÔo iÃu kiằn giúp ù tổi và måi
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

mt trong quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh bÊn luên vôn ny.
BÊn luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám
khuyát vẳ vêy rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc
thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn hồc viản  luên vôn ny ữủc hon chnh
hỡn.
Cuối cũng xin cÊm ỡn gia ẳnh v bÔn b  ởng viản, khẵch
lằ tổi trong thới gian hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn.
ThĂi Nguyản, thĂng 4 nôm 2014
T¡c gi£
Nguy¹n Ngåc nh

5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

Chữỡng 1

CĂc kián thực chuân b
1.1 Hm a iÃu hỏa dữợi
nh nghắa 1.1.1. Cho X l mởt khổng gian tổpổ, h m
u : X → [−∞, +∞) ÷đc gåi l  nûa liản tửc trản trản X
vợi mồi R têp hñp {x ∈ X : u(x) < α} l  mð trong X .

nh nghắa 1.1.2. Cho

náu

l mởt têp con m cõa Cn v 
u : Ω → [−∞, ∞) l  mët hm nỷa liản tửc trản v khổng trũng
vợi trản bĐt ký thnh phƯn liản thổng no cừa . Hm u
ữủc gồi l a iÃu ho dữợi náu vợi mội a ∈ Ω v  b ∈ Cn, h m
λ 7→ u(a + b) l iÃu ho dữợi hoc trũng trản mội thnh
phƯn cừa têp hủp { C : a + b }. Trong trữớng hủp ny
ta viát u PSH(). (é Ơy kẵ hiằu PSH() l lợp hm a iÃu
hỏa dữợi trong ).


Sau Ơy l mởt vi tẵnh chĐt cừa hm a iÃu ho dữợi:

Mằnh à 1.1.3. Náu u, v ∈ PSH(Ω) v  u = v h¦u kh­p nìi

trong Ω, th¼ u ≡ v.
M»nh · 1.1.4. H m a iÃu ho dữợi thoÊ mÂn nguyản lỵ cỹc

tr trong miÃn b chn, tực l náu l mởt têp con mð li¶n thỉng
bà ch°n cõa Cn v  u ∈ P SH(), thẳ hoc u l hơng hoc vợi mội
6
Soỏ hoựa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

z ∈ Ω,
u(z) < sup lim
sup u(y).
y→ω
ω∈∂Ω y∈Ω

ành ngh¾a 1.1.5. Têp hủp E

ữủc gồi l a cỹc náu
vợi mội im a E Ãu cõ mởt lƠn cên V cừa a v  mët h m
u ∈ PSH(V ) sao cho E ∩ V ⊂ {z ∈ V : u(z) = −∞}.
H» qu£ 1.1.6. C¡c tªp a cüc câ ë o (Lebesgue) khổng.
nh lỵ 1.1.7. Cho l mởt têp con m trong Cn. Khi õ
(i) Hồ PSH() l nõn lỗi, tực l náu , l cĂc số khổng Ơm v
u, v PSH(), thẳ u + v PSH().
(ii) Náu Ω l  li¶n thỉng v  {uj }j∈N ⊂ PSH(Ω) l  dÂy giÊm,
thẳ u = j
lim uj PSH() hoc u ≡ −∞.
⊂ Cn

(iii) N¸u u : Ω → R v  náu {uj }jN PSH() hởi tử Ãu tợi u
trản cĂc têp con compact cừa , thẳ u PSH().
(iv) Gi£ sû {uα}α∈A ⊂ PSH(Ω) sao cho bao tr¶n cõa nõ u =

sup u l b chn trản a phữỡng. Khi õ hm chẵnh qui nỷa
A
liản tửc trản u l hm a iÃu hỏa dữợi trong .
Hằ quÊ 1.1.8. Cho Ω l  mët tªp mð trong Cn v  ω l  mởt têp con
m thỹc sỹ khĂc rộng cừa . Náu u ∈ PSH(Ω), v ∈ PSH(ω) v 
lim v(x) ≤ u(y) vợi mội y , thẳ cổng thực
xy
trong ω
u
trong Ω \ ω
x¡c ành mët h m a i·u háa dữợi trong .
nh lỵ 1.1.9. Cho l mởt têp con mð cõa Cn.
(i) Cho u, v l  c¡c h m a i·u háa trong Ω v  v > 0. N¸u cõ
: R R l lỗi, thẳ v(u/v) l a iÃu hỏa dữợi trong .
=

(
max{u, v}

7
Soỏ hoựa bụỷi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

(ii) Cho

u ∈ PSH(Ω), v ∈ PSH(Ω) v  v > 0 trong .
: R R l lỗi v tông dƯn, thẳ v(u/v) l a iÃu hỏa
trong .

Náu
dữợi

(iii) Cho u, −v ∈ PSH(Ω), u ≥ 0 trong Ω, v  v > 0 trong Ω. N¸u
φ : [0, ∞) → [0, ) l lỗi v (0) = 0 thẳ v(u/v) PSH().
nh lỵ 1.1.10. Cho l mởt têp con mð cõa Cn v 
F = {z ∈ Ω : v(z) = }

l mởt têp con õng cừa , Ơy v ∈ PSH(Ω). N¸u u ∈ PSH(Ω\
F ) l  bà chn trản, thẳ hm u xĂc nh bi
u(z) =



u(z)

(z Ω \ F )

lim sup u(y)

 y→z

(z ∈ F )

y F
/

l a iÃu ho dữợi trong . Náu u l a i·u ho  v  bà ch°n trong
Ω \ F , thẳ u l a iÃu hỏa trong . Náu l liản thổng thẳ \ F
cụng liản thổng.

nh nghắa 1.1.11. (MiÃn siảu lỗi) Mởt miÃn b chn Cn
ữủc gồi l miÃn siảu lỗi náu tỗn tÔi hm a iÃu hỏa dữợi liản tửc
: (, 0) sao cho Ωc = {z ∈ Ω : ψ(z) < c} b Ω vỵi måi
c < 0.

1.2 To¡n tû Monge- Ampere phực
Cho u l hm a iÃu hỏa dữợi trản miÃn Cn . Náu u C 2 (Ω)
th¼ to¡n tû:
h ∂u i
(dd u) := (dd u) ∧ ... ∧ (dd u) = 4 n! det
dV,
|
{z
}
∂zj ∂z k 1j,kn
c

n

c

c

n

n

vợi dV l yáu cõ th tẵch trong Cn gåi l  to¡n tû Monge- Ampere.
To¡n tû n y câ thº xem nhữ ở o Radon trản , tực l phiám
8

Soỏ hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

hm tuyán tẵnh liản tửc trản khổng gian cĂc hm liản tửc vợi giĂ
compact C0 () trản

C0 () 3 7

Z

(ddc u)n .



Bedford v Taylor  chựng minh rơng náu u l a iÃu ho dữợi b
chn a phữỡng trản thẳ tỗn tÔi dÂy {un }n>1 PSH() ∩ C ∞
sao cho un & u v  {(ddc un )n } hởi tử yáu tợi ở o Radon à trản

tực l:
Z

lim

c

n

Z

(dd un ) =

n



dà, C0 ().



Hỡn nỳa à khổng phử thuởc vo viằc chồn dÂy {un } nhữ trản ta
kẵ hiằu:

(ddc u)n = à
v gồi l to¡n tû Monge-Ampere cõa u.
Sau ¥y chóng ta s³ xem xt mởt vi tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa toĂn
tỷ Monge-Ampe.

Mằnh à 1.2.1. Náu C(p,p)
l (p, p)- dÔng lợp C trản têp

m Cn v T l (q, q)- dáng vỵi p + q = n − 1 th¼

ψ ∧ (ddc T )n − ddc ψ ∧ T = d(ψ ∧ dc T − dc ψ ∧ T ).

Chùng minh. Ta câ:
d(ψ ∧ dc T − dc ψ ∧ T ) = dψ ∧ dc T + ψ ∧ ddc T − ddc ψ ∧ T + dc ψ ∧ dT.
Nh÷ng p + q + 1 = n n¶n

dψ ∧ dc T = i(∂ψ + ∂ψ) ∧ (∂T − ∂T )

= i(∂ψ ∧ ∂T − ∂ψ ∧ ∂T + ∂ψ ∧ ∂T − ∂ψ ∧ ∂T ).
= i(∂ψ ∧ ∂T − ∂ψ ∧ ∂T ) = −dc ψ ∧ dT.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

Do â d(ψ ∧ dc T − dc ψ ∧ T ) = ψ ∧ ddc T − ddc ψ ∧ T .
Tø m»nh · tr¶n v  dịng cỉng thùc Stokes ối vợi dỏng ta cõ: náu

()
T l (q, q)- dỏng trản têp m Cn v C0,(n−q−1,n−q−1)
l  (n − q − 1, n − q − 1)- dÔng lợp C vợi hằ số dữỡng trong D(Ω)
th¼
Z
Z
Z
c
c
ψ ∧ dd T − dd ψ ∧ T = d(ψ ∧ dc T − dc ψ ∧ T )
Ω

Ω

Ω

Z

=

ψ ∧ dc T − dc ψ ∧ T = 0.

∂Ω

Vªy hddc T, ψi =

Z

ψ ∧ ddc T =

Ω

Z

ddc ψ ∧ T = hT, ddc ψi. (1.1)

Ω

Gi£ sû T l  dáng dữỡng cõ bêc (q, q) trản têp m Cn v 
 i q
P
∞
dzJ ∧ d¯
zK vỵi
u ∈ PSH(Ω) ∩ Lloc (Ω). Khi â T = J,K TJK
2
TJK l  c¡c ở o phực trản . Vêy tứ u PSH()L
loc () nản u
P
l hm khÊ tẵch ối vợi cĂc TJK . Do â uT = J,K uTJK ( 2i )q dzJ ∧

d¯
zK l  (q, q)- dáng vỵi h» sè ë o. Ta ữa ra nh nghắa nhữ
sau:
ddc u T = ddc (uT ).
Tø (1.1) ta câ
Z
ddc u ∧ T ∧ ψ = hddc u ∧ T, ψi = hddc (uT ), ψi = huT, ddc ψi
Ω

Z

=

uT ∧ ddc ψ,

Ω
∞
óng cho måi ψ ∈ C0,(n−q−1,n−q−1)
(Ω).

M»nh · 1.2.2. Gi£ sû {µj } l dÂy cĂc ở o Radon trản têp
m Rn hởi tử yáu tợi ở o Radon à. Khi õ
i) Náu G l têp m thẳ µ(G) ≤ j→∞
lim inf µj (G).
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

ii) Náu K l têp compact thẳ à(K) j
lim sup àj (K).
iii) Náu E compact tữỡng ối trong sao cho à(E) = 0 thẳ
à(E) = lim µj (E).
j→∞

Chùng minh.

i) Ta câ µ(G) = sup{µ(K) : K b G}. GiÊ sỷ

K b G l têp compact. LĐy ϕ ∈ C0 (G), 0 ≤ ϕ ≤ 1 v  = 1
trản K . Khi õ
à(K) à() = lim µj (ϕ) ≤ lim inf µj (G).
j→∞

j→∞

Tø â µ(G) ≤ lim inf µj (G).
j→∞

ii) Ta câ µ(K) = inf{µ(V ) : V ⊃ K, V ⊂ Ω, V = V 0 }. GiÊ sỷ V
l mởt lƠn cên m cõa K v  ϕ ∈ C0 (V ), 0 ≤ ϕ ≤ 1 v  ϕ = 1
tr¶n K . Khi â

µ(V ) ≥ µ(ϕ) = lim µj (ϕ) ≥ lim sup àj (K).
j

j

Tứ õ

à(K) lim sup àj (K).
j

iii) Viát E = IntE ∪ ∂E. Khi â

µ(E) = µ(intE) ≤ lim inf µj (intE) ≤ lim inf µj (E).
j→∞

j→∞

M°t kh¡c

µ(E) ≥ lim sup µj (E) ≥ lim sup µj (E).
j→∞

j→∞

Tø õ

à(E) lim sup àj (E).
j

Vêy

à(E) = lim àj (E)
j

11
Soỏ hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

M»nh · 1.2.3. Gi£ sû

Ω ⊂ Cn l  mi·n bà ch°n v 
u, v ∈ PSH(Ω)∩L∞
loc (Ω) sao cho u, v ≤ 0 tr¶n Ω v  lim u(z) = 0.
z→∂Ω

Gi£ sû T l  (n − 1, n − 1)- dáng d÷ìng, âng tr¶n Ω. Khi â
Z

c

vdd u ∧ T ≤

Ω

Z

uddc v T.



c biằt, náu z
lim v(z) = 0 thẳ

vddc u T =

R


R


uddc v T .

Chựng minh. Chú ỵ r¬ng ddcu ∧ T v  ddcv ∧ T l  c¡c ở o Borel
dữỡng trản . Vợi > 0, t uε = max{u, −ε}. Khi â uε < 0 v 
l  hm a iÃu hỏa dữợi trản v u tông tợi 0 khi giÊm và 0.
Tứ nh lỵ hởi tư ìn i»u Lebesgue ta câ
Z
Z
c
udd v ∧ T = lim (u − uε )ddc v ∧ T
ε→0

Ω

v 

Z

Ω

c

(u − uε )dd v ∧ T = lim

Z

ε→0

Ω

Ω

(u − uε ) ∗ χ 1j ddc v ∧ T.

Do lim uε (z) = 0 nản {u u 6= 0} l têp compact tữỡng ối
z

trong . LĐy miÃn 0 b sao cho {u − uε 6= 0} b Ω0 b Ω.
Khi â vỵi j õ lỵn, (u − uε ) ∗ χ 1j ∈ C0∞ (Ω) v  do gi£ thi¸t T l 

(n 1, n 1)- dỏng dữỡng, õng trản nản ddc u T l (n, n)dỏng dữỡng, õng vỵi måi u ∈ PSH(Ω) ∩ L∞
loc (Ω), suy ra
Z
Z
(u − uε ) ∗ χ 1j ddc v ∧ T = vddc ((u − uε ) ∗ χ 1j ) ∧ T
Ω

Z

=

Ω

Z

vddc ((u − uε ) ∗ χ 1j ) ∧ T +

Ω0

vddc ((u − uε ) ∗ χ 1j ) ∧ T

Ω\Ω0

Z

=

vddc (u ∗ χ 1j ) ∧ T −

Ω0

Z

vddc ((uε ) ∗ χ 1j ) ∧ T

Ω0

≥

Z

vddc (u ∗ χ 1j ) ∧ T.

Ω0

12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

Nh÷ng ddc (u ∗ χ 1j ) ∧ T = ddc (u ∗ χ 1j T ) hëi tư y¸u tỵi ddc u ∧ T .

Khi â vddc (u ∗ 1j ) T hởi tử yáu tợi ddc u ∧ T . Vªy
Z
Z
Z
c
c
vdd u ∧ T ≤ lim inf vdd (u ∗ χ 1j ) ∧ T ≤ (u − uε )ddc v ∧ T.
j→∞

Ω0

Ω0

Ω0

Tø â cho ε & 0 ta ÷đc
Z
Z
c
vdd u ∧ T ≤ vddc u T.
0

Cho 0 % ta ữủc bĐt ng thực cƯn chựng minh.

1.3 Nguyản lỵ so sĂnh
nh lỵ 1.3.1. (Nguyản lỵ so sĂnh) GiÊ sỷ Cn l miÃn bà
ch°n v  u, v ∈ PSH(Ω)∩L∞(Ω) sao cho z→∂Ω
lim inf(u(z)−v(z)) 0.
Khi õ
Z
Z
(ddc v)n

{u
(ddc u)n .

(1.2)

{u
Chựng minh. Trữợc hát ta gi£i th½ch i·u ki»n
lim inf(u(z) − v(z)) ≥ 0.

z→∂Ω

i·u ny cõ nghắa l vợi mồi > 0 tỗn tÔi K b sao cho

z \K thẳ u(z)v(z) ≥ −ε. Hìn núa khi thay u bði u+δ, δ >
0
th¼

{u + δ < v} ↑ {u < v} khi 0. Náu bĐt ng thực (1.2) úng
trản u+ < v th¼ cho δ ↓ 0 suy ra (1.2) úng trản {u < v}. Vẳ vêy
cõ th giÊ sỷ lim inf z→∂Ω (u(z) − v(z)) ≥ δ > 0. Vªy {u < v} b Ω.
a). Gi£ sû u, v l  c¡c h m li¶n tưc. Khi â Ω0 = {u < v} l
têp m, u, v liản tửc trản 0 v u = v trản 0 . Vợi > 0, °t
uε = max{u + ε, v}.
Tø gi£ thi¸t lim inf(u(z) − v(z)) ≥ δ n¶n u(z) − v(z) > δ − ε hay
z→∂Ω

13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

u(z) + ε ≥ v(z) + δ > v(z) vỵi z gƯn biản . Vêy u = u(z) +
gƯn bi¶n ∂Ω v  uε ↓ v tr¶n Ω0 . Theo cæng thùc Stokes
Z
Z
(ddc uε )n = (ddc u)n ,
Ω0

hay

Ω0

Z

c

Z

n

(ddc u)n .

(dd uε ) =
{u
{u
Do uε ↓ v n¶n (ddc uε )n → (ddc v)n . Vªy
Z
Z
Z
c n
c
n
(dd v) ≤ lim inf
(dd uε ) =
(ddc u)n .
ε→0

{u
{u
{u
b). Gi£ sû u, v tũy ỵ v l miÃn sao cho {u v + /2} b b .
Tỗn tÔi hai dÂy uj v vk cĂc hm a iÃu hỏa dữợi trỡn trản lƠn

cên cừa giÊm tợi u v v sao cho uj vk trản vợi mồi i, k .
Câ thº coi −1 ≤ uj , vk ≤ 0. L§y ε > 0 v  gi£ sû G ⊂ Ω l  tªp mð
sao cho Cn (G, Ω) < ε, u, v l  c¡c h m li¶n tưc tr¶n Ω \ G. Theo
nh lỵ Tietze tỗn tÔi hm liản tửc trản Ω sao cho v = ϕ tr¶n

F = Ω \ G. Ta câ
Z

(ddc v)n = lim

{u
Z

j→∞
{uj
(ddc v)n .

Nh÷ng {uj < v} ⊂ {uj < ϕ} ∪ G v  v¼ {uj < } l têp m nản
R
R
R
R
(ddc v)n
(ddc v)n + (ddc v)n ≤ lim
(ddc vk )n + ε,
{uj
{uj ,ϕ}

k→∞ {u j
c n

G

bði Cn (G, Ω) < ε v  (ddc vk )n hởi tử yáu tợi (dd v) .

Tứ {uj < ϕ} ⊂ {uj < v} ∪ G v  {uj < v} ⊂ {uj < vk } suy ra
Z
Z
Z
Z
c
n
c
n
c
n
(dd vk ) ≤
(dd vk ) + (dd vk ) ≤
(ddc vk )n + ε.
{uj <ϕ}

{uj
G

{uj

p döng a) v o c¡c h m li¶n tưc uj v  vk ta thu ÷đc
Z
Z
c
n
(dd vk ) =
(ddc uj )n .
{uj
{uj 14

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

Do â
Z

(ddc v)n ≤ lim inf lim inf
j→∞

Z

k→∞

{u
(ddc uj )n + 2ε

{uj
Z

≤ lim sup

(ddc uj )n + 2ε.

j→∞

{uj ≤u}

Hìn núa

Z

c

Z

n

(dd uj ) ≤

{uj ≤v}

(ddc uj )n + ε

{uj ≤v}∩F

v  tø {u ≤ v} ∩ F l  tªp compact v  {uj ≤ v} ⊂ {u ≤ v} n¶n
Z
Z
Z
(ddc u)n ≤
(ddc u)n .
lim sup
(ddc uj )n ≤
j→∞

{uj ≤v}∩F

{u≤v}∩F

{u≤v}

Do ε > 0 tũy ỵ nản ta i án
Z
Z
(ddc v)n
(ddc u)n .
{u
{u≤v}

Tø â vỵi måi η > 0 ta câ
Z
Z
(ddc v)n ≤

{u+η
Z

(ddc (u + η))n =

{u+η≤v}

(ddc u)n .

{u+η≤v}

Nh÷ng {u + η < v} ↑ {u < v} v  {u + η ≤ v} ↑ {u < v} khi η ↓ 0.
Do â

Z

c

Z

n

(dd v) ≤

{u
(ddc u)n .

{u

H» qu£ 1.3.2. Gi£ sû

⊂ Cn l  mi·n bà ch°n v 
u, v ∈ PSH(Ω)∩L∞ (Ω) sao cho u ≤ v v  lim u(z) = lim v(z) =
0.

Khi â

Ω

z→∂Ω

Z

(ddc v)n ≤

Ω

Z

z→∂Ω

(ddc u)n .

Ω
15

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>

Chựng minh. Tứ

nguyản lỵ cỹc Ôi suy ra u < 0 trản (náu

ngữủc lÔi thẳ u = v = 0 v kát luên l hin nhiản). Khi õ náu

> 1 thẳ u < u trản . Vêy u < v tr¶n Ω. Tø â
Z
Z
Z
c n
c
n
n
(dd v) ≤ (dd λu) = λ
(ddc u)n .
(Ω)

(Ω)

(Ω)

Cho λ ↓ 1 ta ÷đc iÃu cƯn chựng minh.

Hằ quÊ 1.3.3. (Nguyản lỵ so sĂnh) Gi£ sû Ω ⊂ Cn l  mi·n bà

ch°n v  u, v ∈ PSH(Ω)∩L∞(Ω) sao cho z→∂Ω
lim inf(u(z)−v(z)) ≥ 0.

Gi£ sû (ddcu)n ≤ (ddcv)n tr¶n Ω. Khi â u ≤ v trản .
Chựng minh. t (z) = ||z||2 M vợi M ữủc chồn ừ lợn sao
cho < 0 trản Ω. Gi£ sû {u < v} kh¡c réng. Khi â câ ε > 0
sao cho {u < v + εψ} kh¡c réng v  do â nâ câ ë o Lebesgue
d÷ìng. Do nh lỵ 1.3.1 ta cõ
Z
Z
c n
(dd u)
(ddc (v + εψ))n
{u
{u
≥

Z

(ddc v)n + εn

{u
≥

Z

Z

(ddc ψ)n

{u
(ddc v)n + εn 4n n!λn ({u < v + εψ})

{u
Z

c

Z

n

(dd v) ≥

>
{u
(ddc u)n .

{u
v  ta gp phÊi mƠu thuăn. Vêy u v trản Ω.

H» qu£ 1.3.4. Gi£ sû

l  mi·n bà ch°n v 
u, v ∈ PSH(Ω) ∩ L∞ (Ω) sao cho lim inf(u(z) − v(z)) = 0 v 
z→∂Ω

(ddc u)n = (ddc v)n . Khi â u = v .
H» qu£ 1.3.5. Gi£ sû Ω ⊂ Cn l  mi·n bà ch°n v 
Ω

⊂

Cn

16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN

/>