Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
---------------------------------------

NGUYỄN NGỌC ÁNH

HÀM A IU HềA DI
VI K D YU

Luận văn thạc sỹ KHOA HỌC to¸n häc

THÁI NGUN - 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
--------------------------------------

NGUYỄN NGỌC ÁNH

HÀM A IU HềA DI
VI K D YU

Chuyên ngành: TON giải tích

MÃ số: 60.46.01.02

Luận văn thạc sỹ KHOA HC toán học

Ngi hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN – 2014

Soá hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤ë❝
❧➟♣ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉✱ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr✉♥❣
t❤ü❝ ✈➔ ❝❤➼♥❤ ①→❝✳
❚ỉ✐ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳

❳→❝ ♥❤➟♥ ❝õ❛
❦❤♦❛ ❝❤✉②➯♥ ♠æ♥

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✹

❍å❝ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ⑩♥❤

✐
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

ử ử
é

ỵ ồ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶

✶

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✷✳✶✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✷✳✷✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✹✳ ❇è ❝ö❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶ tự





ỏ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✷

❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣❡r❡ ♣❤ù❝ ✳ ✳





ỵ s♦ s→♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✷ ỏ ữợ ợ

①➾ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷

❈→❝ ❧ỵ♣ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝â trå♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳





ìợ ữủ ữủ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✷✳✹

▼✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ♣❤ù❝ ✳ ✳

✸✶

❑➌❚ ▲❯❾◆
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖

✸✼
✸✽

✐✐
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

✶✾

ĐHTN

/>

é
ỵ ồ t
ỵ tt t ✈à ❧➔ ♠ët ♥❤→♥❤ ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♥❤✐➲✉
❜✐➳♥✱ ✤÷đ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ♠↕♥❤ ♠➩ tr♦♥❣ ✈á♥❣ ✸✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐
t q q trồ ừ ỵ tt ữủ t tứ
trữợ ỳ ừ t sỹ t tr ừ
ỵ tt ũ ợ ✈✐➺❝ t➻♠ t❤➜② ♥❤ú♥❣ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ❝→❝
❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ♥❤÷ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥✱
●✐↔✐ t➼❝❤ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝✱ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ♣❤ù❝✱✳ ✳ ✳ ❝❤➾ t❤ü❝ sü ♠↕♥❤
♠➩ s❛✉ ❦❤✐ ❊✳ ❇❡r❢♦❞ ✈➔ ❇✳❆✳ ❚❛②❧♦r ♥➠♠ ✶✾✽✷✱ ①➙② ❞ü♥❣ t❤➔♥❤
❝æ♥❣ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ♣❤ù❝ ❝❤♦ ợ ỏ ữợ
ữỡ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ♠ët t➟♣
❇♦r❡❧ tr♦♥❣ ♠ët t➟♣ ♠ð ❝õ❛ Cn ✳
❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ t♦→♥ tû r ự ữủ ợ
F() ữ ❧➔ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ②➳✉ ❝õ❛ ❞➣② ✤ë ✤♦ (ddc ϕj )n tr
õ (j ) tũ ỵ ỏ ữợ tở ợ

E0 () ở tư ✤➳♥ ϕ✳ ▼ð rë♥❣ ❧ỵ♣ ♥➔②✱ ♥➠♠ ✷✵✵✺✱ ❈❡❣r❡❧❧ ữ r
ợ E() tr ộ t ⊂ Ω✱ ♥â trị♥❣ ✈ỵ✐ ♠ët ❤➔♠
tr♦♥❣ ❧ỵ♣ F(Ω)✳ ●➛♥ ✤➙② ✤➸ ♠ð rë♥❣ ❧ỵ♣ F(Ω) ✭♥➠♠ ✷✵✵✾✮ ✈➔
❧ỵ♣ Ep () r ữ r ợ ữủ

ự õ trồ E () ữợ ự ú tổ ồ
t ỏ ữợ ợ ❦ý ❞à ②➳✉✧✳
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❣➛♥ ✤➙② ❝õ❛
❙✳❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❱✳●✉❡❞❥ ✈➔ ❆✳❩❡r✐❛❤✐ ✈➲ t♦→♥ tû r
ự tr s ỗ ừ Cn ự ởt số ợ
ỏ ữợ ợ ý õ ợ ữủ
r õ trồ ỳ ờ qt õ ợ
ữủ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❜ð✐ ❯✳❈❡❣r❡❧❧ ✈➔ ❝❤♦ sü ♣❤➙♥ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
❝õ❛ ❤➛✉ ♥❤÷ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ ổ
ợ ữ t s ữủ ♠ỉ t↔ ❜➡♥❣ t❤✉➟t ♥❣ú tè❝ ✤ë ❣✐↔♠ ❝õ❛ ❞✉♥❣
❧÷đ♥❣ r ừ t ự ữợ

ử ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✷✳✶✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣

✈✐➺❝ ự ợ ỏ ữợ ợ ✤✐➸♠ ❦ý ❞à ②➳✉✳

✷✳✷✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❝→❝ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝❤➼♥❤ s❛✉ ✤➙②✿

✰ ❚r➻♥❤ ❜➔② tê♥❣ q✉❛♥ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝→❝ t t
ừ ữợ t tỷ r
❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ ✈ỵ✐ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ▼♦♥❣❡✲
❆♠♣❡r❡ ❝â trå♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❚ê♥❣ q✉→t ❤â❛ ợ ữủ ợ
t r sỹ ♣❤➙♥ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝õ❛ ❝→❝
❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ổ

Pữỡ ự

ỷ ử ữỡ ừ t ự t ủ ợ ❝→❝
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ❤✐➺♥ ✤↕✐✱ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ừ ỵ
tt t ự
r ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❙✳❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❱✳●✉❡❞❥ ✈➔ ❆✳③❡r✐❛❤✐✳

✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

ố ử ừ

ở ỗ ✹✵ tr❛♥❣✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❤❛✐

❝❤÷ì♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣✱ ♣❤➛♥ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ö❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② tê♥❣ q✉❛♥ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲
❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ữợ t tỷ r
ỵ s s q✉↔ ❝õ❛ ♥â✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ▲➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t

q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ ❧ỵ♣ ỏ ữợ ợ ý
õ ợ ữủ r õ trồ ỳ
ờ qt õ ợ ữủ ợ t r ✈➔ ❝❤♦
sü ♣❤➙♥ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ỏ ữợ ổ

P ừ ữỡ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët ✈➔✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝ì ❜↔♥
❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ợ r () ỏ ữợ ợ ✤ë
✤♦ ▼♦♥❣❡ ✕ ❆♠♣❡r❡ ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ s ỗ

Cn ứ õ trữ t ổ ỳ ữủ ừ
tr ợ ()
r ử ✷✳✶✱ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ①➜♣ ①➾ ❝❤➼♥❤ t➢❝ ✈ỵ✐ ❦➳t q✉↔
❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♠ö❝ ♥➔② ❧➔✿ ◆➳✉ u ∈ DM A(Ω) t❤➻ ✈ỵ✐ ♠é✐ t➟♣ ❇♦r❡❧
B ⊂ Ω \ {u = −∞}✱ (ddc u)n = lim
(ddc uj )n ✱ ✈ỵ✐ uj :=
j→∞

B

B∩{u>−j}

max(u, −j) ❧➔ ❝→❝ ①➜♣ ①➾ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ✷✳✷ tr t q ợ ữủ
õ trå♥❣✱ Eχ (Ω) ❝â ♥❤✐➲✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦
χ(0) = 0 ❤♦➦❝ χ(0) = 0, χ(−∞) = () =
ỗ ó
r ử tr t q ữợ ữủ ữủ
q trữ ừ ợ E p (Ω) t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ tè❝ ✤ë
❣✐↔♠ ❝õ❛ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ♠ù❝ ❝♦♥✳ ❈ư t❤➸ ❧➔✿ ❱ỵ✐ p > 0 tị②

✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

þ✱ t❛ ❝â
+∞

−

p

tn+p−1 CapΩ ({ϕ < −t})dt < +∞}.

E (Ω) = {ϕ ∈ PSH (Ω);
0

ð ✤➙② CapΩ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ữủ r ữủ ợ t
r ❇✳❆✳ ❚❛②❧♦r✳ E p(Ω) = Eχ(Ω)✱ ✈ỵ✐ χ(t) := −(−t)p✳
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ✷✳✹ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà
❝õ❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ tr➯♥ ❝→❝ ❧ỵ♣ ♥➔②✳ ❑➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛
♠ư❝ ♥➔② ❧➔ ✿

●✐↔ sû ✈ỵ✐ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t K ⊂ Ω, µ(K) ≤ Fε(CapΩ(K))✱ ð
✤â Fε(x) = x( lnn x )n õ tỗ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ϕ ∈ F(Ω)
−1
s❛♦ ❝❤♦ µ = (ddcϕ)n ✈➔ CapΩ({ϕ < −s}) ≤ exp(−nH
(s)) ✈ỵ✐

x
♠å✐ s > 0✱ ð ✤â H −1 ❧➔ ❤➔♠ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ H(x) = e (t)dt + s0(à)
0
1
õ r E() ợ −χ(−t) = exp(nH (t)/2)✳
❑❤✐ µ < CapΩ ✭♥❣❤➽❛ ❧➔ ε 1 t à = (ddc )n ợ F(Ω) s❛♦
❝❤♦ CapΩ ({ϕ < −s}) ❣✐↔♠ ♥❤❛♥❤ t❤❡♦ ❝➜♣ ♠ơ✳
❈✉è✐ ❝ị♥❣ ❧➔ ♣❤➛♥ ❦➳t ❧✉➟♥ tr➻♥❤ ❜➔② tâ♠ t➢t ❦➳t q✉↔ ✤↕t ✤÷đ❝✳
❇↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ rữớ ồ ữ
ồ ữợ sỹ ữợ t t ừ P
P ❞à♣ ♥➔② tỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥
P●❙✳❚❙ P❤↕♠ ❍✐➳♥ sỹ ữợ q ũ ỳ
tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤
❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ P❤á♥❣ ❙❛✉ ✣↕✐ ❤å❝✱ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠
❑❤♦❛ ❚♦→♥✱ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐
✤➣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❝❤♦ tỉ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤
❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳
❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐
◆❣✉②➯♥✱ ❚r÷í♥❣ P Põ ỗ
ũ ỗ t ú ù tổ ♠å✐
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

♠➦t tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳

❇↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ s➩ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❦❤✐➳♠
❦❤✉②➳t ✈➻ ✈➟② r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü õ õ ỵ ừ
t ổ ❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤
❤ì♥✳
❈✉è✐ ❝ị♥❣ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❦❤➼❝❤
❧➺ tỉ✐ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✹
❚→❝ ❣✐↔
◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ⑩♥❤

✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

❈❤÷ì♥❣ ✶

❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶ ❍➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ
X ởt ổ tổổ ❤➔♠
u : X → [−∞, +∞) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ tr➯♥ X
✈ỵ✐ ♠å✐ α ∈ R t➟♣ ❤ñ♣ {x ∈ X : u(x) < α} ❧➔ ♠ð tr♦♥❣ X ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦

♥➳✉

❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❝õ❛ Cn ✈➔

u : Ω → [−∞, ∞) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ trị♥❣
✈ỵ✐ −∞ tr➯♥ ❜➜t ❦ý t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ♥➔♦ ❝õ❛ Ω✳ ❍➔♠ u
ữủ ồ ữợ ợ ộ a ∈ Ω ✈➔ b ∈ Cn✱ ❤➔♠
λ → u(a + b) ữợ trũ tr ♠é✐ t❤➔♥❤
♣❤➛♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②
t❛ ✈✐➳t u ∈ PSH(Ω)✳ ✭Ð ✤➙② ❦➼ ❤✐➺✉ PSH(Ω) ❧➔ ❧ỵ♣ ❤➔♠
ỏ ữợ tr


ởt t t ừ ữợ

u, v ∈ PSH(Ω) ✈➔ u = v ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐

tr♦♥❣ Ω✱ t❤➻ u ≡ v✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✹✳ ❍➔♠ ✤❛ ữợ t ỵ ỹ
tr tr ❜à ❝❤➦♥✱ tù❝ ❧➔ ♥➳✉ Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❧✐➯♥ t❤æ♥❣
❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ Cn ✈➔ u ∈ P SH(Ω)✱ t❤➻ ❤♦➦❝ u ❧➔ ❤➡♥❣ ❤♦➦❝ ✈ỵ✐ ♠é✐
✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

z ∈ Ω✱
u(z) < sup lim
sup u(y).
y→ω
ω∈∂Ω y∈Ω

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ủ E

ữủ ồ ỹ
ợ ộ a ∈ E ✤➲✉ ❝â ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ V ❝õ❛ a ✈➔ ♠ët ❤➔♠
u ∈ PSH(V ) s❛♦ ❝❤♦ E ∩ V ⊂ {z ∈ V : u(z) = −∞}✳
❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳✻✳ ❈→❝ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ ❝â ✤ë ✤♦ ✭▲❡❜❡s❣✉❡✮ ổ
ỵ ởt t tr Cn õ
ồ PSH() õ ỗ tự ❧➔ ♥➳✉ α, β ❧➔ ❝→❝ sè ❦❤æ♥❣ ➙♠ ✈➔
u, v ∈ PSH(Ω)✱ t❤➻ αu + βv ∈ PSH(Ω)✳
✭✐✐✮ ◆➳✉ Ω ❧➔ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✈➔ {uj }j∈N ⊂ PSH(Ω) ❧➔ ❞➣② ❣✐↔♠✱
t❤➻ u = j→∞
lim uj ∈ PSH(Ω) ❤♦➦❝ u ≡ −∞✳
⊂ Cn

✭✐✐✐✮ ◆➳✉ u : Ω → R ✈➔ ♥➳✉ {uj }j∈N ⊂ PSH(Ω) ❤ë✐ tư ✤➲✉ tỵ✐ u
tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t ❝õ❛ Ω✱ t❤➻ u ∈ PSH(Ω)✳
✭✐✈✮ ●✐↔ sû {uα}α∈A ⊂ PSH(Ω) s❛♦ ❝❤♦ ❜❛♦ tr➯♥ ❝õ❛ ♥â u =
sup uα ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â ❤➔♠ ❝❤➼♥❤ q✉✐ ♥û❛
α∈A
❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ u∗ ❧➔ ỏ ữợ tr
q Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ Cn ✈➔ ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥
♠ð t❤ü❝ sü ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ Ω✳ ◆➳✉ u ∈ PSH(Ω), v ∈ PSH(ω) ✈➔
lim v(x) ≤ u(y) ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ ∂ω ∩ Ω✱ t❤➻ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝
x→y
tr♦♥❣ ω
u
tr♦♥❣ Ω \ ω
①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ tr
ỵ ởt t ❝♦♥ ♠ð ❝õ❛ Cn✳
✭✐✮ ❈❤♦ u, v ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ tr♦♥❣ Ω ✈➔ v > 0✳ ◆➳✉ õ

: R R ỗ t v(u/v) ỏ ữợ tr
=

max{u, v}


Soỏ hoựa bụỷi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

✭✐✐✮ ❈❤♦

u ∈ PSH(Ω), v ∈ PSH(Ω) ✈➔ v > 0 tr
: R R ỗ t t v(u/v) ỏ
tr


ữợ

u, −v ∈ PSH(Ω), u ≥ 0 tr♦♥❣ Ω✱ ✈➔ v > 0 tr♦♥❣ Ω✳ ◆➳✉
φ : [0, ∞) → [0, ) ỗ (0) = 0 t v(u/v) PSH().
ỵ ởt t ♠ð ❝õ❛ Cn ✈➔
F = {z ∈ Ω : v(z) = −∞}

❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ Ω✱ ð ✤➙② v ∈ PSH(Ω)✳ ◆➳✉ u ∈ PSH(Ω\
F ) ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥✱ t❤➻ ❤➔♠ u ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
u(z) =



u(z)

(z ∈ Ω \ F )

lim sup u(y)

 y→z

(z ∈ F )

y F
/

ữợ tr u ✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣
Ω \ F ✱ t❤➻ u ❧➔ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ tr♦♥❣ Ω✳ ◆➳✉ Ω ❧➔ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣ t❤➻ Ω \ F
❝ơ♥❣ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ s ỗ ởt Cn
ữủ ồ s ỗ tỗ t ỏ ữợ tử
: (, 0) s❛♦ ❝❤♦ Ωc = {z ∈ Ω : ψ(z) < c} Ω ✈ỵ✐ ♠å✐
c < 0✳

✶✳✷ ❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲ r ự
u ỏ ữợ tr ♠✐➲♥ Ω ⊂ Cn ✳ ◆➳✉ u ∈ C 2 (Ω)
t❤➻ t♦→♥ tû✿

(ddc u)n := (ddc u) ∧ ... ∧ (ddc u) = 4n n! det
n

∂u
∂zj ∂z k

dV,
1≤j,k≤n

✈ỵ✐ dV ❧➔ ②➳✉ ❝â t❤➸ t➼❝❤ tr♦♥❣ Cn ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣❡r❡✳
❚♦→♥ tû ♥➔② ❝â t❤➸ ①❡♠ ♥❤÷ ✤ë ✤♦ ❘❛❞♦♥ tr➯♥ Ω✱ tù❝ ❧➔ ♣❤✐➳♠
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ ✈ỵ✐ ❣✐→
❝♦♠♣❛❝t C0 (Ω) tr➯♥ Ω

C0 (Ω)

ϕ(ddc u)n .

ϕ→
Ω

❇❡❞❢♦r❞ ✈➔ ❚❛②❧♦r ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♥➳✉ u ❧➔ ữợ
ữỡ tr t tỗ t {un }n>1 PSH() C
s ❝❤♦ un

u ✈➔ {(ddc un )n } ❤ë✐ tö ②➳✉ tợ ở à tr

tự
(ddc un )n =

lim
n

Ω

ϕdµ, ∀ϕ ∈ C0 (Ω).
Ω

❍ì♥ ♥ú❛ µ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❝❤å♥ ❞➣② {un } ♥❤÷ tr➯♥ t❛
❦➼ ❤✐➺✉✿

(ddc u)n = µ
✈➔ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ❝õ❛ u✳
❙❛✉ ✤➙② ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ①❡♠ ①➨t ♠ët ✈➔✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t♦→♥
tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡✳
∞
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✳ ◆➳✉ ψ ∈ C(p,p)
❧➔ (p, p)✲ ❞↕♥❣ ❧ỵ♣ C ∞ tr➯♥ t➟♣

♠ð Ω ⊂ Cn ✈➔ T ❧➔ (q, q)✲ ❞á♥❣ ✈ỵ✐ p + q = n − 1 t❤➻

ψ ∧ (ddc T )n − ddc ψ ∧ T = d(ψ ∧ dc T − dc ψ ∧ T ).

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝â✿
d(ψ ∧ dc T − dc ψ ∧ T ) = dψ ∧ dc T + ψ ∧ ddc T − ddc ψ ∧ T + dc ψ ∧ dT.
◆❤÷♥❣ p + q + 1 = n ♥➯♥

dψ ∧ dc T = i(∂ψ + ∂ψ) ∧ (∂T − ∂T )
= i(∂ψ ∧ ∂T − ∂ψ ∧ ∂T + ∂ψ ∧ ∂T − ∂ψ ∧ ∂T ).
= i(∂ψ ∧ ∂T − ∂ψ ∧ ∂T ) = −dc ψ ∧ dT.
✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

❉♦ ✤â d(ψ ∧ dc T − dc ψ ∧ T ) = ψ ∧ ddc T − ddc ψ ∧ T ✳
❚ø ♠➺♥❤ ✤➲ tr➯♥ ✈➔ ❞ị♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❙t♦❦❡s ✤è✐ ✈ỵ✐ ❞á♥❣ t❛ ❝â✿ ♥➳✉
∞
T ❧➔ (q, q)✲ ❞á♥❣ tr➯♥ t➟♣ ♠ð Ω ⊂ Cn ✈➔ ψ ∈ C0,(n−q−1,n−q−1)
(Ω)
❧➔ (n − q − 1, n − q − 1) ợ C ợ số ữỡ tr D(Ω)
t❤➻

ψ ∧ ddc T −
Ω

ddc ψ ∧ T =
Ω

d(ψ ∧ dc T − dc ψ ∧ T )
Ω

ψ ∧ dc T − dc ψ ∧ T = 0.

=
∂Ω

❱➟② ddc T, ψ =

ddc ψ ∧ T = T, ddc ψ . ✭✶✳✶✮

ψ ∧ ddc T =
Ω

Ω

●✐↔ sû T ❧➔ ❞á♥❣ ❞÷ì♥❣ ❝â ❜➟❝ (q, q) tr➯♥ t➟♣ ♠ð Ω ⊂ Cn ✈➔
i q
u ∈ PSH(Ω) ∩ L∞
(Ω)
✳
❑❤✐
✤â
T
=
T
dzJ ∧ d¯
zK ✈ỵ✐
J,K JK
loc
2
TJK ❧➔ ❝→❝ ✤ë ✤♦ ♣❤ù❝ tr➯♥ Ω✳ ❱➟② tø u ∈ PSH(Ω)∩L∞
loc (Ω) ♥➯♥ u
❧➔ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ TJK ✳ ❉♦ ✤â uT =

uTJK ( 2i )q dzJ ∧
d¯
zK ❧➔ ✭q✱ q✮✲ ❞á♥❣ ✈ỵ✐ ❤➺ sè ✤ë ✤♦✳ ❚❛ ✤÷❛ r❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷
s❛✉✿
ddc u ∧ T = ddc (uT ).
J,K

❚ø ✭✶✳✶✮ t❛ ❝â

ddc u ∧ T ∧ ψ = ddc u ∧ T, ψ = ddc (uT ), ψ = uT, ddc ψ
Ω

uT ∧ ddc ψ,

=
Ω

∞
✤ó♥❣ ❝❤♦ ♠å✐ ψ ∈ C0,(n−q−1,n−q−1)
(Ω).

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✳ ●✐↔ sû {µj } ❧➔ ❞➣② ❝→❝ ✤ë ✤♦ ❘❛❞♦♥ tr➯♥ t➟♣
♠ð Ω Rn ở tử tợ ở à ❑❤✐ ✤â
✐✮ ◆➳✉ G ⊂ Ω ❧➔ t➟♣ ♠ð t❤➻ µ(G) ≤ j→∞
lim inf µj (G)✳
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

✐✐✮ ◆➳✉ K ⊂ Ω ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t t❤➻ µ(K) j
lim sup àj (K)
E t tữỡ ố tr♦♥❣ Ω s❛♦ ❝❤♦ µ(∂E) = 0 t❤➻
µ(E) = lim µj (E).
j→∞

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✐✮ ❚❛ ❝â µ(G) = sup{µ(K) : K

G}✳ ●✐↔ sû
K G ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t✳ ▲➜② ϕ ∈ C0 (G), 0 ≤ ϕ ≤ 1 ✈➔ ϕ = 1
tr➯♥ K ✳ ❑❤✐ ✤â
µ(K) ≤ µ(ϕ) = lim µj (ϕ) ≤ lim inf µj (G).
j→∞

j→∞

❚ø ✤â µ(G) ≤ lim inf µj (G).
j→∞

✐✐✮ ❚❛ ❝â µ(K) = inf{µ(V ) : V ⊃ K, V ⊂ Ω, V = V 0 }✳ ●✐↔ sû V
❧➔ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð ❝õ❛ K ✈➔ ϕ ∈ C0 (V ), 0 ≤ ϕ ≤ 1 ✈➔ ϕ = 1
tr➯♥ K ✳ ❑❤✐ ✤â

µ(V ) ≥ µ(ϕ) = lim µj (ϕ) ≥ lim sup µj (K).
j→∞

j→∞

❚ø ✤â

µ(K) ≥ lim sup µj (K).
j→∞

✐✐✐✮ ❱✐➳t E = IntE ∪ ∂E. ❑❤✐ ✤â

µ(E) = µ(intE) ≤ lim inf µj (intE) ≤ lim inf µj (E).
j→∞

j→∞

▼➦t ❦❤→❝

µ(E) ≥ lim sup µj (E) ≥ lim sup µj (E).
j→∞

j→∞

❚ø ✤â

µ(E) ≥ lim sup µj (E).
j→∞

❱➟②

µ(E) = lim µj (E)

j→∞

✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû

Ω ⊂ Cn ❧➔ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔
u, v ∈ PSH(Ω)∩L∞
loc (Ω) s❛♦ ❝❤♦ u, v ≤ 0 tr➯♥ Ω ✈➔ lim u(z) = 0✳
z→∂Ω

●✐↔ sû T ❧➔ (n − 1, n − 1)✲ ❞á♥❣ ❞÷ì♥❣✱ ✤â♥❣ tr➯♥ Ω✳ ❑❤✐ ✤â
vddc u ∧ T ≤
Ω

uddc v ∧ T.
Ω

✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉ z→∂Ω
lim v(z) = 0 t❤➻

vddc u T =

uddc v T

ự ú ỵ r➡♥❣ ddcu ∧ T ✈➔ ddcv ∧ T ❧➔ ❝→❝ ở r
ữỡ tr ợ > 0 t uε = max{u, −ε}✳ ❑❤✐ ✤â uε < 0 ✈➔
❧➔ ỏ ữợ tr u t tợ
ứ ỵ ở tư ✤ì♥ ✤✐➺✉ ▲❡❜❡s❣✉❡ t❛ ❝â

uddc v ∧ T = lim

(u − uε )ddc v ∧ T

ε→0

Ω

Ω

✈➔

(u − uε )ddc v ∧ T = lim

ε→0

Ω

Ω

(u − uε ) ∗ χ 1j ddc v ∧ T.

❉♦ lim uε (z) = 0 ♥➯♥ {u − uε = 0} ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t t÷ì♥❣ ✤è✐
z→∂Ω

tr♦♥❣ Ω✳ ▲➜② ♠✐➲♥ Ω

Ω s❛♦ ❝❤♦ {u − uε = 0}
Ω
Ω✳
❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ j ✤õ ❧ỵ♥✱ (u − uε ) ∗ χ 1j ∈ C0∞ (Ω) ✈➔ ❞♦ ❣✐↔ t❤✐➳t T ❧➔
(n − 1, n − 1)✲ ❞á♥❣ ❞÷ì♥❣✱ ✤â♥❣ tr➯♥ Ω ♥➯♥ ddc u ∧ T ❧➔ (n, n)
ỏ ữỡ õ ợ ồ u PSH() L
loc (Ω)✱ s✉② r❛
(u − uε ) ∗ χ 1j ddc v ∧ T =
Ω

vddc ((u − uε ) ∗ χ 1j ) ∧ T
Ω

vddc ((u − uε ) ∗ χ 1j ) ∧ T +

=
Ω

vddc ((u − uε ) ∗ χ 1j ) ∧ T
Ω\Ω

vddc (u ∗ χ 1j ) ∧ T −

=
Ω

vddc ((uε ) ∗ χ 1j ) ∧ T
Ω

vddc (u ∗ χ 1j ) ∧ T.

≥
Ω

✶✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

◆❤÷♥❣ ddc (u ∗ χ 1j ) ∧ T = ddc (u ∗ χ 1j T ) ❤ë✐ tö ②➳✉ tỵ✐ ddc u ∧ T ✳
❑❤✐ ✤â vddc (u ∗ χ 1j ) ∧ T ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ ddc u ∧ T ✳ ❱➟②

vddc u ∧ T ≤ lim inf

vddc (u ∗ χ 1j ) ∧ T ≤

j→∞

Ω

Ω

❚ø ✤â ❝❤♦ ε

Ω

0 t❛ ✤÷đ❝
vddc u ∧ T ≤

vddc u ∧ T.

Ω

❈❤♦ Ω

(u − uε )ddc v ∧ T.

Ω

Ω t❛ ✤÷đ❝ t tự ự

ỵ s s
ỵ ỵ s s sỷ Cn ❧➔ ♠✐➲♥ ❜à
❝❤➦♥ ✈➔ u, v ∈ PSH(Ω)∩L∞(Ω) s❛♦ ❝❤♦ z→∂Ω
lim inf(u(z)−v(z)) ≥ 0✳
❑❤✐ ✤â
(ddc v)n ≤
{u
(ddc u)n .

✭✶✳✷✮

{u
❈❤ù♥❣ rữợ t t t
lim inf(u(z) v(z)) ≥ 0.

z→∂Ω

✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ ε > 0 tỗ t K

s
z \K t u(z)−v(z) ≥ −ε✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ❦❤✐ t❤❛② u ❜ð✐ u+δ, δ >
0
t❤➻
{u + δ < v} ↑ {u < v} ❦❤✐ δ ↓ 0✳ ◆➳✉ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✷✮ ✤ó♥❣
tr➯♥ u+δ < v t❤➻ ❝❤♦ δ ↓ 0 s✉② r❛ ✭✶✳✷✮ ✤ó♥❣ tr➯♥ {u < v}✳ ❱➻ ✈➟②
❝â t❤➸ ❣✐↔ sû lim inf z→∂Ω (u(z) − v(z)) ≥ δ > 0✳ ❱➟② {u < v} Ω✳
❛✮✳ ●✐↔ sû u, v ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✳ ❑❤✐ ✤â Ω = {u < v} ❧➔
t➟♣ ♠ð✱ u, v ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ Ω ✈➔ u = v tr➯♥ ∂Ω ✳ ❱ỵ✐ ε > 0✱ ✤➦t
uε = max{u + ε, v}✳
❚ø ❣✐↔ t❤✐➳t lim inf(u(z) − v(z)) ≥ δ ♥➯♥ u(z) − v(z) > δ − ε ❤❛②
z→∂Ω

✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

u(z) + ε ≥ v(z) + δ > v(z) ✈ỵ✐ z ❣➛♥ ❜✐➯♥ ∂Ω✳ ❱➟② uε = u(z) + ε

❣➛♥ ❜✐➯♥ ∂Ω ✈➔ uε ↓ v tr➯♥ Ω ✳ ❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❙t♦❦❡s
(ddc uε )n =
Ω

(ddc u)n ,
Ω

❤❛②

(ddc uε )n =
{u
(ddc u)n .
{u
❉♦ uε ↓ v ♥➯♥ (ddc uε )n → (ddc v)n ✳ ❱➟②

(ddc v)n ≤ lim inf

(ddc uε )n =

0

{u
{u
(ddc u)n .
{u

sỷ u, v tũ ỵ ✈➔ ω ❧➔ ♠✐➲♥ s❛♦ ❝❤♦ {u ≤ v + /2}


ỗ t uj vk ỏ ữợ trỡ tr
ừ tỵ✐ u ✈➔ v s❛♦ ❝❤♦ uj ≥ vk tr➯♥ ∂ω ✈ỵ✐ ♠å✐ i, k ✳
❈â t❤➸ ❝♦✐ −1 ≤ uj , vk ≤ 0✳ ▲➜② ε > 0 ✈➔ ❣✐↔ sû G ⊂ Ω ❧➔ t➟♣ ♠ð
s❛♦ ❝❤♦ Cn (G, Ω) < ε, u, v ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tử tr \ G
ỵ t tỗ t ❤➔♠ ϕ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ Ω s❛♦ ❝❤♦ v = ϕ tr➯♥
F = Ω \ G✳ ❚❛ ❝â
(ddc v)n = lim

j→∞
{uj
{u
(ddc v)n .

◆❤÷♥❣ {uj < v} ⊂ {uj < ϕ} ∪ G ✈➔ ✈➻ {uj < ϕ} ❧➔ t➟♣ ♠ð ♥➯♥

(ddc v)n ≤
{uj
(ddc v)n + (ddc v)n ≤ lim

k→∞ {u j
c n

G

{uj ,ϕ}

(ddc vk )n + ε✱

❜ð✐ Cn (G, Ω) < ε ✈➔ (ddc vk )n ❤ë✐ tö ②➳✉ tỵ✐ (dd v) ✳

❚ø {uj < ϕ} ⊂ {uj < v} ∪ G ✈➔ {uj < v} ⊂ {uj < vk } s✉② r❛

(ddc vk )n ≤
{uj <ϕ}

(ddc vk )n +

(ddc vk )n ≤
G

{uj
(ddc vk )n + ε.
{uj
⑩♣ ❞ö♥❣ ❛✮ ✈➔♦ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ uj ✈➔ vk t❛ t❤✉ ✤÷đ❝

(ddc vk )n =
{uj
(ddc uj )n .
{uj

✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học lieäu

ĐHTN

/>

❉♦ ✤â

(ddc v)n ≤ lim inf lim inf
j→∞

(ddc uj )n + 2ε

k→∞

{u
{uj
(ddc uj )n + 2ε.

≤ lim sup
j→∞

{uj ≤u}

❍ì♥ ♥ú❛

(ddc uj )n ≤

{uj ≤v}

(ddc uj )n + ε
{uj ≤v}∩F

✈➔ tø {u ≤ v} ∩ F ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ✈➔ {uj ≤ v} ⊂ {u ≤ v} ♥➯♥

(ddc uj )n ≤

lim sup

j→∞

{uj ≤v}∩F

(ddc u)n ≤
{u≤v}∩F

(ddc u)n .
{u≤v}

❉♦ ε > 0 tũ ỵ t

(ddc v)n
{u
(ddc u)n .
{u≤v}

❚ø ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ η > 0 t❛ ❝â

(ddc v)n ≤
{u+η
(ddc (u + η))n =
{u+η≤v}

(ddc u)n .
{u+η≤v}

◆❤÷♥❣ {u + η < v} ↑ {u < v} ✈➔ {u + η ≤ v} ↑ {u < v} ❦❤✐ η ↓ 0✳
❉♦ ✤â

(ddc v)n ≤
{u
(ddc u)n .
{u
❍➺ q✉↔ ✶✳✸✳✷✳ ●✐↔ sû

⊂ Cn ❧➔ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔
u, v ∈ PSH(Ω)∩L∞ (Ω) s❛♦ ❝❤♦ u ≤ v ✈➔ lim u(z) = lim v(z) =
0✳

Ω

z→∂Ω

❑❤✐ ✤â

(ddc v)n ≤
Ω

z→∂Ω

(ddc u)n .
Ω

✶✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

ự ứ

ỵ ỹ s r u < 0 tr➯♥ Ω ✭♥➳✉

♥❣÷đ❝ ❧↕✐ t❤➻ u = v = 0 ✈➔ ❦➳t ❧✉➟♥ ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥✮✳ ❑❤✐ ✤â ♥➳✉

λ > 1 t❤➻ λu < u tr➯♥ Ω✳ ❱➟② λu < v tr➯♥ Ω✳ ❚ø ✤â
(ddc v)n ≤
(Ω)

(ddc λu)n = λn
(Ω)

(ddc u)n .

(Ω)

❈❤♦ λ ↓ 1 t❛ ✤÷đ❝ ✤✐➲✉ ❝➛♥ ự

q ỵ s s sỷ Ω ⊂ Cn ❧➔ ♠✐➲♥ ❜à

❝❤➦♥ ✈➔ u, v ∈ PSH(Ω)∩L∞(Ω) s❛♦ ❝❤♦ z→∂Ω
lim inf(u(z)−v(z)) ≥ 0✳
●✐↔ sû (ddcu)n ≤ (ddcv)n tr➯♥ Ω✳ ❑❤✐ ✤â u ≤ v tr➯♥ Ω✳
❈❤ù♥❣ t (z) = ||z||2 M ợ M ữủ ❝❤å♥ ✤õ ❧ỵ♥ s❛♦
❝❤♦ ψ < 0 tr➯♥ Ω✳ ●✐↔ sû {u < v} ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❑❤✐ ✤â ❝â ε > 0
s❛♦ ❝❤♦ {u < v + εψ} ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ ❞♦ ✤â ♥â ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡
❞÷ì♥❣✳ ❉♦ ✣à♥❤ ỵ t õ

(ddc u)n
{u
(ddc (v + ))n
{u
(ddc v)n + εn

≥
{u
(ddc ψ)n

{u

(ddc v)n + εn 4n n!λn ({u < v + εψ})

≥
{u
(ddc v)n ≥

>
{u
(ddc u)n .
{u
✈➔ t❛ ❣➦♣ ♣❤↔✐ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❱➟② u ≤ v tr➯♥ Ω✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✸✳✹✳ ●✐↔ sû

❧➔ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔
u, v ∈ PSH(Ω) ∩ L∞ (Ω) s❛♦ ❝❤♦ lim inf(u(z) − v(z)) = 0 ✈➔
z→∂Ω
(ddc u)n = (ddc v)n ✳ ❑❤✐ ✤â u = v ✳
❍➺ q✉↔ ✶✳✸✳✺✳ ●✐↔ sû Ω ⊂ Cn ❧➔ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔
Ω

⊂

Cn

✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

s❛♦ ❝❤♦ z→∂Ω
lim inf(u(z) − v(z)) ≥ 0 ✈➔
(ddc u)n = 0✳ ❑❤✐ ✤â u ≥ v tr➯♥ Ω✳

u, v ∈ PSH(Ω) ∩ L∞ (Ω)
{u
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr♦♥❣ ❍➺ q✉↔ ✶✳✸✳✸✳ ●✐↔ sû {u < v} =
∅✳ ❑❤✐ ✤â ε > 0 s❛♦ ❝❤♦ {u < v + εψ} = ∅ ✈➔ ❞♦ ✤â ❝â ✤ë ✤♦

▲❡❜❡s❣✉❡ ❞÷ì♥❣✳ ú ỵ r < 0 {u < v + εψ} ⊂ {u <

v}✳ ❑❤✐ ✤â ♥❤÷ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ❤➺ q✉↔ ✶✳✸✳✸ t❛ ❝â
(ddc u)n ≥

0=
{u
(ddc u)n
{u
(ddc v)n + εn 4n n!λn ({u < v + εψ}) > 0

≥
{u

✈➔ t❛ ❣➦♣ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳

✶✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

ữỡ

ỏ ữợ ợ

Cn s ỗ ợ q trå♥❣ ✤➛✉ t✐➯♥
✤÷đ❝ ①❡♠ ①➨t ❜ð✐ ❈❡❣r❡❧❧ ✭❦➼ ❤✐➺✉ E0 (Ω) tr♦♥❣ [Ce1]✱ ❧➔ t➟♣ T (Ω)

❝→❝ ❤➔♠ t❡st ✤❛ ỏ ữợ tr õ ỗ
ỏ ữợ tr Ω t❤ä❛ ♠➣♥ lim ϕ(z) = 0
z→ζ

✈ỵ✐ ♠é✐ ζ ∈
ợ s

(dd ) < + ỗ tớ t ụ ❝➛♥ ❝→❝
c

n

Ω

DM A(Ω) = {u ∈ PSH(Ω) : ∀z0 ∈ Ω, ∃Vz0 , uj ∈ T (Ω), uj
tr♦♥❣ Vz0 ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ sup

u

(ddc uj )n < +∞}.

j

Ω

❯✳ ❈❡❣r❡❧❧ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ [Ce2] t♦→♥ tû (ddc )n ❧➔ ①→❝ ✤à♥❤ tèt tr➯♥

DM A(Ω) ✈➔ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❣✐↔♠✳ ▲ỵ♣ DM A(Ω) ê♥ ✤à♥❤
tr➯♥ ✈✐➺❝ ❧➜② ♠❛①✐♠✉♠ ✈➔ ♥â ợ ợ t õ t t
ỵ tr♦♥❣ [Ce2]✮✳
F(Ω) = {ϕ ∈ PSH(Ω) : ∃{ϕj } ⊂ ε0 (Ω), ϕj

(ddc ϕj )n < +∞}.

ϕ, sup
j

Ω

✶✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

▲ỵ♣ Fa (Ω) ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ u ∈ F ♠➔ ✤ë ✤♦ ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣❡r❡

(ddc u)n ❝õ❛ ♥â ❧➔ ❧✐➯♥ tử tt ố ố ợ ữủ
E p () = {u ∈ PSH(Ω) : ∃uj ∈ T (Ω), sup

(−uj )p (ddc uj )n < +∞}

j
Ω

F p (Ω) = {u ∈ PSH(Ω) : ∃uj ∈ T (Ω), uj

[1+(−uj )p ](ddc ϕ)n < +∞}

u; sup
j
Ω

ε0 (Ω) = {ϕ ∈ PSH− (Ω)∩L∞ (Ω) : lim ϕ(z) = 0,

(ddc uj )n < +∞}

z→ξ∈∂Ω

Ω

εp (Ω) = {ϕ ∈ PSH(Ω) : ∃ε0 (Ω)

ϕj

(−ϕj )p (ddc ϕj )n < +∞, p ≥ 1}

ϕ; sup
j
Ω

❈❤♦ ❤➔♠ t➠♥❣ χ : R− → R− t❛ ①➨t t➟♣ εχ (Ω) ❝→❝
ỏ ữợ ợ ữủ r ❝â trå♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✳
❑❤✐ ✤â ❝â ❝→❝ ❤➔♠ u ∈ PSH() s tỗ t uj T ()
tợ u ✈ỵ✐

(−χ) ◦ uj (ddc uj )n < +∞.

sup
j∈N

Ω

❙✉② r❛ Eχ (Ω) ⊂ DM A(Ω)✳

✷✳✶ ❈→❝ ①➜♣ ①➾ ❝❤✉➞♥ t➢❝
❈❤♦ u ∈ PSH(Ω)✳ ❊✳❇❡❞❢♦r❞ ✈➔ ❇✳❆✳ ❚❛②❧♦ ✤➣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr♦♥❣
❬❇❚✷❪ ✈➲ ♣❤➛♥ ❦❤æ♥❣ ✤❛ ❝ü❝ ❝õ❛ ✤ë ✤♦ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ❝õ❛ u✿ ❉➣②
(j)

✶

µu := {u>−j} (ddc max[u, −j])n ❧➔ ❞➣② ổ ở
ữỡ ợ àu ừ õ ❧➔ ♣❤➛♥ ❦❤æ♥❣ ✤❛ ❝ü❝ ❝õ❛ (ddc u)n ✱ ①→❝
✤à♥❤
àu (B) = lim

j
B{u>j}

(ddc max[u, j])n ,

ợ t ý t ❇♦r❡❧ B ⊂ Ω✳
◆â✐ ❝❤✉♥❣✱ µu ❦❤ỉ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❣➛♥ {u = −∞} ✭①❡♠
❬❑✐❪✮✱ ♥❤÷♥❣ ♥➳✉ u ∈ DM A(Ω) t❤➻ µu ❧➔ ✤ë ✤♦ ❇♦r❡❧ ❝❤➼♥❤ q✉②✿
✶✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

ỵ u DM A() t ợ ✈ỵ✐ ♠å✐ t➟♣ ❇♦r❡❧
B ⊂ Ω \ {u = −∞}✱

t❛ ❝â

(ddc u)n = lim

j→∞
B∩{u>−j}

B

(ddc uj )n ,

tr♦♥❣ ✤â uj := max(u, −j)✳ ◆â✐ r✐➯♥❣✱ µu = ✶{u>−∞}(ddcu)n✳ ✣ë
✤♦ (ddcu)n tr✐➺t t✐➯✉ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝ E ⊂ {u > }
ự ú ỵ r sỹ ở tử ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ♠ët ❝→❝❤ tü
♥❤✐➯♥✱ ❞♦ ✤â ❦❤ỉ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t t❛ ❣✐↔ sû u ∈ F(Ω)✳ ❱ỵ✐

s > 0 t ỏ ữợ hs := max( us + 1, 0) ú ỵ r
hs t tỵ✐ ❤➔♠ ❇♦r❡❧ {u>−∞} ✈➔ {hs = 0} = {u ≤ −s}✳
❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

✶

hs (ddc max(u, −s))n = hs (ddc u)n , ✈ỵ✐ ♠å✐ s > 0,
t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ✤ë ✤♦ tr➯♥ Ω✳

❚❤➟t ✈➟②✱ ♥❤➢❝ ❧↕✐ r➡♥❣ t❛ ❝â t❤➸ t➻♠ ❞➣② ❝→❝ ❤➔♠ t❡st ❧✐➯♥ tö❝

uk tr♦♥❣ T (Ω) tợ u ỵ tr ♥➔②
s✉② r❛ r➡♥❣ hs (ddc max(uk , −s))n ❤ë✐ tö ②➳✉ tỵ✐ hs (ddc max(u, −s))n
✈➔ hs (ddc uk )n ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ hs (ddc u)n ❦❤✐ k → ∞ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲
✺✳✶ tr♦♥❣ ❬❈❡✷❪✳
❱➻ max(uk , −s) = uk tr➯♥ {uk > −s}✱ ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð ❝õ❛ t➟♣
{u > −s}✱ ♥➯♥ t❛ ❝â
hs (ddc max(u, −s))n = hs (ddc u)n .
ú ỵ r

hs (ddc max(u, s))n = hs

t s + tợ

{u>s}(ddcu)n = hsà(s)u

{u>}àu = àu s r tứ ỵ

ở tử ỡ ỵ ữỡ tỹ hs (ddc u)n
ở tử tợ

{u>}(ddcu)n õ àu = {u>}(ddcu)n ứ õ


Soỏ hoựa bụỷi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

s✉② r❛

(ddc u)n = lim

j→∞
B∩{u>−j}

B

(ddc uj )n

tr➯♥ t➟♣ ❇♦r❡❧ tò② þ B ⊂ Ω \ {u = −∞}✳

◆❤÷ ❧➔ ♠ët ử t õ tờ qt ừ ỵ s s s

ỵ sỷ u DM A() ✈➔ v ∈ PSH−(Ω)✳ ❑❤✐ ✤â
✶{u>v}(ddcu)n = ✶{u>v}(ddc max(u, v))n.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t uj = max(u, −j) ✈➔ vj = max(v, −j)✳ ◆❤➢❝ ❧↕✐
r➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❧➔ ✤➣ ❜✐➳t ✤è✐ ợ ỏ ữợ
tr ❬❇❚✷❪✮✱

✶{u >v
j

j+1 }

(ddc uj )n =

✶{u >v
j

j+1 }

(ddc max(uj , vj+1 ))n .

ú ỵ r {u > v} {uj > vj+1 }✱ ♥➯♥

✶{u>v}.✶{u>−j}(ddcuj )n

=
=

❙✉② r❛

✶{u>v}.✶{u>−j}(ddc max(u, v, −j))n
✶{u>v}.✶{max(u,v)>−j}(ddc max(u, v, −j))n.

✶{u>−j}(ddcuj )n ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ t❤❡♦ ✤ë ✤♦ ❇♦r❡❧ tợ àu =

{u>}(ddcu)n t ỵ
õ {u>v} .{u>} = {u>v} ỷ ử ỵ ỳ
ợ max(u, v) t❛ ✤÷đ❝

✶{u>v}(ddcu)n = ✶{u>v}(ddc max(u, v))n.
❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✸✳ ●✐↔ sû ϕ ∈ F(Ω) ✈➔ u ∈ DM A(Ω) t❤ä❛ ♠➣♥
u ≤ 0✳

❑❤✐ ✤â

(ddc u)n ≤
{ϕ
(ddc ϕ)n
{ϕ
✷✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>