Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






NGUYỄN NGỌC ÁNH



HÀM ĐA ĐIỀU HỊA DƯỚI
VỚI KỲ DỊ YẾU





Ln v¨n th¹c sü KHOA HỌC to¸n häc








THÁI NGUN - 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />ĐẠI HỌC THÁI NGUN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




NGUYỄN NGỌC ÁNH


HÀM ĐA ĐIỀU HỊA DƯỚI
VỚI KỲ DỊ YẾU


Chuyªn ngµnh: TỐN gi¶i tÝch
M· sè: 60.46.01.02


Ln v¨n th¹c sü KHOA HỌC to¸n häc


Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG





THÁI NGUN – 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />C
n
ϕ ∈ F(Ω) (dd

c
ϕ
j
)
n
(ϕ
j
)
E
0
(Ω) ϕ
E(Ω) ω ⊂ Ω
F(Ω) F(Ω)
E
p
(Ω)
E
χ
(Ω)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />C
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />ε(Ω)
Ω  C
n
ε(Ω)
u ∈ DMA(Ω)
B ⊂ Ω \ {u = −∞}

B
(dd

c
u)
n
= lim
j→∞

B∩{u>−j}
(dd
c
u
j
)
n
u
j
:=
max(u, −j)
E
χ
(Ω)
χ(0) = 0 χ(0) = 0, χ(−∞) = −∞ χ(−∞) = −∞ χ
E
p
(Ω)
p > 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />E
p
(Ω) = {ϕ ∈ PSH
−
(Ω);


+∞
0
t
n+p−1
Cap
Ω
({ϕ < −t})dt < +∞}.
Cap
Ω
E
p
(Ω) = E
χ
(Ω) χ(t) := −(−t)
p
K ⊂ Ω, µ(K) ≤ F
ε
(Cap
Ω
(K))
F
ε
(x) = x(ε −
ε ln x
n
)
n
ϕ ∈ F(Ω)
µ = (dd

c
ϕ)
n
Cap
Ω
({ϕ < −s}) ≤ exp(−nH
−1
(s))
s > 0 H
−1
H(x) = e
x

0
ε(t)dt +s
0
(µ)
ϕ ∈ E
χ
(Ω) −χ(−t) = exp(nH
−1
(t)/2)
µ < Cap
Ω
ε ≡ 1 µ = (dd
c
ϕ)
n
ϕ ∈ F(Ω)
Cap

Ω
({ϕ < −s})
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />X
u : X → [−∞, +∞) X
α ∈ R {x ∈ X : u(x) < α} X
Ω C
n
u : Ω → [−∞, ∞)
−∞ Ω u
a ∈ Ω b ∈ C
n
λ → u(a + λb) −∞
{λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}
u ∈ PSH(Ω) PSH(Ω)
Ω
u, v ∈ PSH(Ω) u = v
Ω u ≡ v
Ω
C
n
u ∈ P SH(Ω) u
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />z ∈ Ω
u(z) < sup
ω∈∂Ω
lim
y →ω
y∈Ω
sup u(y).
E ⊂ C
n

a ∈ E V a
u ∈ PSH(V ) E ∩ V ⊂ {z ∈ V : u(z) = −∞}
Ω C
n
PSH(Ω) α, β
u, v ∈ PSH(Ω) αu + βv ∈ PSH(Ω)
Ω {u
j
}
j∈N
⊂ PSH(Ω)
u = lim
j→∞
u
j
∈ PSH(Ω) u ≡ −∞
u : Ω → R {u
j
}
j∈N
⊂ PSH(Ω) u
Ω u ∈ PSH(Ω)
{u
α
}
α∈A
⊂ PSH(Ω) u =
sup
α∈A
u

α
u
∗
Ω
Ω C
n
ω
Ω u ∈ PSH(Ω), v ∈ PSH(ω)
lim
x→y
v(x) ≤ u(y) y ∈ ∂ω ∩ Ω
ω =

max{u, v} ω
u Ω \ ω
Ω
Ω C
n
u, v Ω v > 0
φ : R → R vφ(u/v) Ω
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />u ∈ PSH(Ω), v ∈ PSH(Ω) v > 0 Ω
φ : R → R vφ(u/v)
Ω
u, −v ∈ PSH(Ω), u ≥ 0 Ω v > 0 Ω
φ : [0, ∞) → [0, ∞) φ(0) = 0 vφ(u/v) ∈ PSH(Ω).
Ω C
n
F = {z ∈ Ω : v(z) = −∞}
Ω v ∈ PSH(Ω) u ∈ PSH(Ω\
F ) u

u(z) =





u(z) (z ∈ Ω \ F )
lim
y →z
y /∈F
sup u(y) (z ∈ F )
Ω u
Ω \ F u Ω Ω Ω \ F
Ω ⊂ C
n
ψ : Ω → (−∞, 0) Ω
c
= {z ∈ Ω : ψ(z) < c}  Ω
c < 0
u Ω ⊂ C
n
u ∈ C
2
(Ω)
(dd
c
u)
n
:= (dd
c

u) ∧ ∧ (dd
c
u)
  
n
= 4
n
n! det

∂u
∂z
j
∂z
k

1≤j,k≤n
dV,
dV C
n
Ω
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />C
0
(Ω) Ω
C
0
(Ω)  ϕ →

Ω
ϕ(dd
c

u)
n
.
u
Ω {u
n
}
n>1
⊂ PSH(Ω) ∩ C
∞
u
n
 u {(dd
c
u
n
)
n
} µ
Ω
lim
n

Ω
ϕ(dd
c
u
n
)
n

=

Ω
ϕdµ, ∀ϕ ∈ C
0
(Ω).
µ {u
n
}
(dd
c
u)
n
= µ
u
ψ ∈ C
∞
(p,p)
(p, p) C
∞
Ω ⊂ C
n
T (q, q) p + q = n − 1
ψ ∧ (dd
c
T )
n
− dd
c
ψ ∧ T = d(ψ ∧ d

c
T − d
c
ψ ∧ T ).
d(ψ ∧d
c
T − d
c
ψ ∧T ) = dψ ∧d
c
T + ψ ∧dd
c
T − dd
c
ψ ∧T +d
c
ψ ∧dT.
p + q + 1 = n
dψ ∧ d
c
T = i(∂ψ +
∂ψ) ∧ (∂T − ∂T )
= i(∂ψ ∧ ∂T − ∂ψ ∧ ∂T + ∂ψ ∧ ∂T − ∂ψ ∧ ∂T ).
= i(∂ψ ∧ ∂T − ∂ψ ∧ ∂T ) = −d
c
ψ ∧ dT.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />d(ψ ∧ d
c
T − d
c

ψ ∧ T ) = ψ ∧ dd
c
T − dd
c
ψ ∧ T
T (q, q) Ω ⊂ C
n
ψ ∈ C
∞
0,(n−q−1,n−q−1)
(Ω)
(n − q − 1, n − q − 1) C
∞
D(Ω)

Ω
ψ ∧ dd
c
T −

Ω
dd
c
ψ ∧ T =

Ω
d(ψ ∧ d
c
T − d
c

ψ ∧ T )
=

∂Ω
ψ ∧ d
c
T − d
c
ψ ∧ T = 0.
dd
c
T, ψ =

Ω
ψ ∧ dd
c
T =

Ω
dd
c
ψ ∧ T = T, dd
c
ψ.
T (q, q) Ω ⊂ C
n
u ∈ PSH(Ω) ∩ L
∞
loc
(Ω) T =


J,K
T
JK

i
2

q
dz
J
∧ d¯z
K
T
JK
Ω u ∈ PSH(Ω)∩L
∞
loc
(Ω) u
T
JK
uT =

J,K
uT
JK
(
i
2
)

q
dz
J
∧
d¯z
K
dd
c
u ∧ T = dd
c
(uT ).

Ω
dd
c
u ∧ T ∧ ψ = dd
c
u ∧ T, ψ = dd
c
(uT ), ψ = uT, dd
c
ψ
=

Ω
uT ∧ dd
c
ψ,
ψ ∈ C
∞

0,(n−q−1,n−q−1)
(Ω).
{µ
j
}
Ω ⊂ R
n
µ
G ⊂ Ω µ(G) ≤ lim
j→∞
inf µ
j
(G)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />K ⊂ Ω µ(K) ≥ lim
j→∞
sup µ
j
(K)
E Ω µ(∂E) = 0
µ(E) = lim
j→∞
µ
j
(E).
µ(G) = sup{µ(K) : K  G}
K  G ϕ ∈ C
0
(G), 0 ≤ ϕ ≤ 1 ϕ = 1
K
µ(K) ≤ µ(ϕ) = lim

j→∞
µ
j
(ϕ) ≤ lim
j→∞
inf µ
j
(G).
µ(G) ≤ lim
j→∞
inf µ
j
(G).
µ(K) = inf{µ(V ) : V ⊃ K, V ⊂ Ω, V = V
0
} V
K ϕ ∈ C
0
(V ), 0 ≤ ϕ ≤ 1 ϕ = 1
K
µ(V ) ≥ µ(ϕ) = lim
j→∞
µ
j
(ϕ) ≥ lim
j→∞
sup µ
j
(K).
µ(K) ≥ lim

j→∞
sup µ
j
(K).
E = IntE ∪ ∂E.
µ(E) = µ(intE) ≤ lim
j→∞
inf µ
j
(intE) ≤ lim
j→∞
inf µ
j
(E).
µ(E) ≥ lim
j→∞
sup µ
j
(E) ≥ lim
j→∞
sup µ
j
(E).
µ(E) ≥ lim
j→∞
sup µ
j
(E).
µ(E) = lim
j→∞

µ
j
(E)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Ω ⊂ C
n
u, v ∈ PSH(Ω)∩L
∞
loc
(Ω) u, v ≤ 0 Ω lim
z→∂Ω
u(z) = 0
T (n − 1, n − 1) Ω

Ω
vdd
c
u ∧ T ≤

Ω
udd
c
v ∧ T.
lim
z→∂Ω
v(z) = 0

Ω
vdd
c
u ∧ T =


Ω
udd
c
v ∧ T
dd
c
u ∧ T dd
c
v ∧ T
Ω ε > 0 u
ε
= max{u, −ε} u
ε
< 0
Ω u
ε
ε

Ω
udd
c
v ∧ T = lim
ε→0

Ω
(u − u
ε
)dd
c

v ∧ T

Ω
(u − u
ε
)dd
c
v ∧ T = lim
ε→0

Ω
(u − u
ε
) ∗ χ
1
j
dd
c
v ∧ T.
lim
z→∂Ω
u
ε
(z) = 0 {u − u
ε
= 0}
Ω Ω

 Ω {u − u
ε

= 0}  Ω

 Ω
j (u − u
ε
) ∗ χ
1
j
∈ C
∞
0
(Ω) T
(n − 1, n − 1) Ω dd
c
u ∧ T (n, n)
u ∈ PSH(Ω) ∩ L
∞
loc
(Ω)

Ω
(u − u
ε
) ∗ χ
1
j
dd
c
v ∧ T =


Ω
vdd
c
((u − u
ε
) ∗ χ
1
j
) ∧ T
=

Ω

vdd
c
((u − u
ε
) ∗ χ
1
j
) ∧ T +

Ω\Ω

vdd
c
((u − u
ε
) ∗ χ
1

j
) ∧ T
=

Ω

vdd
c
(u ∗ χ
1
j
) ∧ T −

Ω

vdd
c
((u
ε
) ∗ χ
1
j
) ∧ T
≥

Ω

vdd
c
(u ∗ χ

1
j
) ∧ T.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />dd
c
(u ∗ χ
1
j
) ∧ T = dd
c
(u ∗ χ
1
j
T ) dd
c
u ∧ T
vdd
c
(u ∗ χ
1
j
) ∧ T dd
c
u ∧ T

Ω

vdd
c
u ∧ T ≤ lim

j→∞
inf

Ω

vdd
c
(u ∗ χ
1
j
) ∧ T ≤

Ω

(u − u
ε
)dd
c
v ∧ T.
ε  0

Ω

vdd
c
u ∧ T ≤

Ω
vdd
c

u ∧ T.
Ω

 Ω
Ω ⊂ C
n
u, v ∈ PSH(Ω)∩L
∞
(Ω) lim
z→∂Ω
inf(u(z)−v(z)) ≥ 0

{u<v}
(dd
c
v)
n
≤

{u<v}
(dd
c
u)
n
.
lim
z→∂Ω
inf(u(z) − v(z)) ≥ 0.
ε > 0 K  Ω
∀z ∈ Ω\K u(z)−v(z) ≥ −ε u u+δ, δ >

0
{u + δ < v} ↑ {u < v} δ ↓ 0
u+δ < v δ ↓ 0 {u < v}
lim inf
z→∂Ω
(u(z) − v(z)) ≥ δ > 0 {u < v}  Ω
u, v Ω

= {u < v}
u, v Ω

u = v ∂Ω

ε > 0
u
ε
= max{u + ε, v}
lim
z→∂Ω
inf(u(z) − v(z)) ≥ δ u(z) − v(z) > δ − ε
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />u(z) + ε ≥ v(z) + δ > v(z) z ∂Ω u
ε
= u(z) + ε
∂Ω u
ε
↓ v Ω


Ω


(dd
c
u
ε
)
n
=

Ω

(dd
c
u)
n
,

{u<v}
(dd
c
u
ε
)
n
=

{u<v}
(dd
c
u)
n

.
u
ε
↓ v (dd
c
u
ε
)
n
→ (dd
c
v)
n

{u<v}
(dd
c
v)
n
≤ lim
ε→0
inf

{u<v}
(dd
c
u
ε
)
n

=

{u<v}
(dd
c
u)
n
.
u, v ω {u ≤ v +δ/2}  ω  Ω
u
j
v
k
ω u v u
j
≥ v
k
∂ω i, k
−1 ≤ u
j
, v
k
≤ 0 ε > 0 G ⊂ Ω
C
n
(G, Ω) < ε, u, v Ω \ G
ϕ Ω v = ϕ
F = Ω \ G

{u<v}

(dd
c
v)
n
= lim
j→∞

{u
j
<v}
(dd
c
v)
n
.
{u
j
< v} ⊂ {u
j
< ϕ} ∪ G {u
j
< ϕ}

{u
j
<v}
(dd
c
v)
n

≤

{u
j
,ϕ}
(dd
c
v)
n
+

G
(dd
c
v)
n
≤ lim
k→∞

{u
j
<v}
(dd
c
v
k
)
n
+ ε
C

n
(G, Ω) < ε (dd
c
v
k
)
n
(dd
c
v)
n
{u
j
< ϕ} ⊂ {u
j
< v} ∪ G {u
j
< v} ⊂ {u
j
< v
k
}

{u
j
<ϕ}
(dd
c
v
k

)
n
≤

{u
j
<v}
(dd
c
v
k
)
n
+

G
(dd
c
v
k
)
n
≤

{u
j
<v
k
}
(dd

c
v
k
)
n
+ ε.
u
j
v
k

{u
j
<v
k
}
(dd
c
v
k
)
n
=

{u
j
<v
k
}
(dd

c
u
j
)
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />
{u<v}
(dd
c
v)
n
≤ lim
j→∞
inf lim
k→∞
inf

{u
j
<v
j
}
(dd
c
u
j
)
n
+ 2ε

≤ lim
j→∞
sup

{u
j
≤u}
(dd
c
u
j
)
n
+ 2ε.

{u
j
≤v}
(dd
c
u
j
)
n
≤

{u
j
≤v}∩F
(dd

c
u
j
)
n
+ ε
{u ≤ v} ∩ F {u
j
≤ v} ⊂ {u ≤ v}
lim
j→∞
sup

{u
j
≤v}∩F
(dd
c
u
j
)
n
≤

{u≤v}∩F
(dd
c
u)
n
≤


{u≤v}
(dd
c
u)
n
.
ε > 0

{u<v}
(dd
c
v)
n
≤

{u≤v}
(dd
c
u)
n
.
η > 0

{u+η<v}
(dd
c
v)
n
≤


{u+η≤v}
(dd
c
(u + η))
n
=

{u+η≤v}
(dd
c
u)
n
.
{u + η < v} ↑ {u < v} {u + η ≤ v} ↑ {u < v} η ↓ 0

{u<v}
(dd
c
v)
n
≤

{u<v}
(dd
c
u)
n
.
Ω ⊂ C

n
u, v ∈ PSH(Ω)∩L
∞
(Ω) u ≤ v lim
z→∂Ω
u(z) = lim
z→∂Ω
v(z) =
0

Ω
(dd
c
v)
n
≤

Ω
(dd
c
u)
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />u < 0 Ω
u = v = 0
λ > 1 λu < u Ω λu < v Ω

(Ω)
(dd
c

v)
n
≤

(Ω)
(dd
c
λu)
n
= λ
n

(Ω)
(dd
c
u)
n
.
λ ↓ 1
Ω ⊂ C
n
u, v ∈ PSH(Ω)∩L
∞
(Ω) lim
z→∂Ω
inf(u(z)−v(z)) ≥ 0
(dd
c
u)
n

≤ (dd
c
v)
n
Ω u ≤ v Ω
ψ(z) = ||z||
2
− M M
ψ < 0 Ω {u < v} ε > 0
{u < v + εψ}

{u<v+εψ}
(dd
c
u)
n
≥

{u<v+εψ}
(dd
c
(v + εψ))
n
≥

{u<v+εψ}
(dd
c
v)
n

+ ε
n

{u<v+εψ}
(dd
c
ψ)
n
≥

{u<v+εψ}
(dd
c
v)
n
+ ε
n
4
n
n!λ
n
({u < v + εψ})
>

{u<v+εψ}
(dd
c
v)
n
≥


{u<v+εψ}
(dd
c
u)
n
.
u ≤ v Ω
Ω ⊂ C
n
u, v ∈ PSH(Ω) ∩ L
∞
(Ω) lim
z→∂Ω
inf(u(z) − v(z)) = 0
(dd
c
u)
n
= (dd
c
v)
n
u = v
Ω ⊂ C
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />u, v ∈ PSH(Ω) ∩ L
∞
(Ω) lim
z→∂Ω

inf(u(z) − v(z)) ≥ 0

{u<v}
(dd
c
u)
n
= 0 u ≥ v Ω
{u < v} =
∅ ε > 0 {u < v + εψ} = ∅
ψ < 0 {u < v + εψ} ⊂ {u <
v}
0 =

{u<v}
(dd
c
u)
n
≥

{u<v+εψ}
(dd
c
u)
n
≥

{u<v+εψ}
(dd

c
v)
n
+ ε
n
4
n
n!λ
n
({u < v + εψ}) > 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Ω ⊂ C
n
E
0
(Ω) [Ce1] T (Ω)
Ω
ϕ Ω lim
z→ζ
ϕ(z) = 0
ζ ∈ ∂Ω

Ω
(dd
c
ϕ)
n
< +∞
DMA(Ω) = {u ∈ PSH(Ω) : ∀z
0
∈ Ω, ∃V

z
0
, u
j
∈ T (Ω), u
j
 u
V
z
0
sup
j

Ω
(dd
c
u
j
)
n
< +∞}.
[Ce2] (dd
c
)
n
DMA(Ω) DMA(Ω)
[Ce2]
F(Ω) = {ϕ ∈ PSH(Ω) : ∃{ϕ
j
} ⊂ ε

0
(Ω), ϕ
j
 ϕ, sup
j

Ω
(dd
c
ϕ
j
)
n
< +∞}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />F
a
(Ω) u ∈ F
(dd
c
u)
n
E
p
(Ω) = {u ∈ PSH(Ω) : ∃u
j
∈ T (Ω), sup
j

Ω
(−u

j
)
p
(dd
c
u
j
)
n
< +∞}
F
p
(Ω) = {u ∈ PSH(Ω) : ∃u
j
∈ T (Ω), u
j
 u; sup
j

Ω
[1+(−u
j
)
p
](dd
c
ϕ)
n
< +∞}
ε

0
(Ω) = {ϕ ∈ PSH
−
(Ω)∩L
∞
(Ω) : lim
z→ξ∈∂Ω
ϕ(z) = 0,

Ω
(dd
c
u
j
)
n
< +∞}
ε
p
(Ω) = {ϕ ∈ PSH(Ω) : ∃ε
0
(Ω)  ϕ
j
 ϕ; sup
j

Ω
(−ϕ
j
)

p
(dd
c
ϕ
j
)
n
< +∞, p ≥ 1}
χ : R
−
→ R
−
ε
χ
(Ω)
χ
u ∈ PSH(Ω) u
j
∈ T (Ω)
u
sup
j∈N

Ω
(−χ) ◦ u
j
(dd
c
u
j

)
n
< +∞.
E
χ
(Ω) ⊂ DMA(Ω)
u ∈ PSH(Ω)
u
µ
(j)
u
:=
{u>−j}
(dd
c
max[u, −j])
n
µ
u
(dd
c
u)
n
µ
u
(B) = lim
j→∞

B∩{u>−j}
(dd

c
max[u, −j])
n
,
B ⊂ Ω
µ
u
{u = −∞}
u ∈ DMA(Ω) µ
u
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />u ∈ DMA(Ω)
B ⊂ Ω \ {u = −∞}

B
(dd
c
u)
n
= lim
j→∞

B∩{u>−j}
(dd
c
u
j
)
n
,
u

j
:= max(u, −j) µ
u
=
{u>−∞}
(dd
c
u)
n
(dd
c
u)
n
E ⊂ {u > −∞}
u ∈ F(Ω)
s > 0 h
s
:= max(
u
s
+ 1, 0)
h
s
{u>−∞}
{h
s
= 0} = {u ≤ −s}
h
s
(dd

c
max(u, −s))
n
= h
s
(dd
c
u)
n
, s > 0,
Ω
u
k
T (Ω) u
h
s
(dd
c
max(u
k
, −s))
n
h
s
(dd
c
max(u, −s))
n
h
s

(dd
c
u
k
)
n
h
s
(dd
c
u)
n
k → ∞
max(u
k
, −s) = u
k
{u
k
> −s}
{u > −s}
h
s
(dd
c
max(u, −s))
n
= h
s
(dd

c
u)
n
.
h
s
(dd
c
max(u, −s))
n
= h
s
{u>−s}
(dd
c
u)
n
= h
s
µ
(s)
u
s ↑ +∞
{u>−∞}
µ
u
= µ
u
h
s

(dd
c
u)
n
{u>−∞}
(dd
c
u)
n
µ
u
=
{u>−∞}
(dd
c
u)
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />
B
(dd
c
u)
n
= lim
j→∞

B∩{u>−j}
(dd
c
u

j
)
n
B ⊂ Ω \ {u = −∞}
u ∈ DMA(Ω) v ∈ PSH
−
(Ω)
{u>v}
(dd
c
u)
n
=
{u>v}
(dd
c
max(u, v))
n
.
u
j
= max(u, −j) v
j
= max(v, −j)
{u
j
>v
j+1
}
(dd

c
u
j
)
n
=
{u
j
>v
j+1
}
(dd
c
max(u
j
, v
j+1
))
n
.
{u > v} ⊂ {u
j
> v
j+1
}
{u>v}
.
{u>−j}
(dd
c

u
j
)
n
=
{u>v}
.
{u>−j}
(dd
c
max(u, v, −j))
n
=
{u>v}
.
{max(u,v)>−j}
(dd
c
max(u, v, −j))
n
.
{u>−j}
(dd
c
u
j
)
n
µ
u

=
{u>−∞}
(dd
c
u)
n
{u>v}
.
{u>−∞}
=
{u>v}
max(u, v)
{u>v}
(dd
c
u)
n
=
{u>v}
(dd
c
max(u, v))
n
.
ϕ ∈ F(Ω) u ∈ DMA(Ω)
u ≤ 0

{ϕ<u}
(dd
c

u)
n
≤

{ϕ<u}∪{ϕ=−∞}
(dd
c
ϕ)
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />