Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu ( Luận án tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
---------------------------------------

NGUYỄN NGỌC ÁNH

HÀM ĐA ĐIỀU HỊA DƯỚI
VỚI KỲ DỊ YẾU

Ln v¨n th¹c sü KHOA HỌC to¸n häc

THÁI NGUN - 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
--------------------------------------

NGUYỄN NGỌC ÁNH

HÀM ĐA ĐIỀU HỊA DƯỚI
VỚI KỲ DỊ YẾU

Chuyªn ngµnh: TỐN gi¶i tÝch
M· sè: 60.46.01.02

Ln v¨n th¹c sü KHOA HỌC to¸n häc

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUN – 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤ë❝
❧➟♣ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tỉ✐✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉✱ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr✉♥❣
t❤ü❝ ✈➔ ❝❤➼♥❤ ①→❝✳
❚ỉ✐ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳

❳→❝ ♥❤➟♥ ❝õ❛
❦❤♦❛ ❝❤✉②➯♥ ♠ỉ♥

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✹

❍å❝ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ⑩♥❤

✐
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

▼ư❝ ❧ư❝
▼Ð ✣❺❯

✶✳ ▲þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶

✶

✷✳ ▼ư❝ ✤➼❝❤ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ư ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✷✳✶✳ ▼ư❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✷✳✷✳ ◆❤✐➺♠ ✈ư ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

✹✳ ❇è ❝ư❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✻

✶✳✶

❍➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✷

❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣❡r❡ ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✸

◆❣✉②➯♥ ❧þ s♦ s→♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✷ ❍➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐ ✈ỵ✐ ❦➻ ❞à ②➳✉

✻

✶✽

✷✳✶

❈→❝ ①➜♣ ①➾ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷

❈→❝ ❧ỵ♣ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝â trå♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✸

×ỵ❝ ❧÷đ♥❣ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✷✳✹

▼✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ♣❤ù❝ ✳ ✳

✸✶

❑➌❚ ▲❯❾◆
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖

✸✼
✸✽

✐✐
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

✶✾

ĐHTN

/>

▼Ð ✣❺❯
✶✳ ▲þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐
▲þ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à ❧➔ ♠ët ♥❤→♥❤ ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♥❤✐➲✉
❜✐➳♥✱ ✤÷đ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ♠↕♥❤ ♠➩ tr♦♥❣ ✈á♥❣ ✸✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✳
◆❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ♥➔② ✤÷đ❝ ❜✐➳t ✤➳♥ tø
tr÷ỵ❝ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✽✵ ❝õ❛ t❤➳ ❦✛ ❳❳✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛
❧þ t❤✉②➳t ♥➔② ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ ✈✐➺❝ t➻♠ t❤➜② ♥❤ú♥❣ ù♥❣ ❞ư♥❣ ✈➔♦ ❝→❝
❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ♥❤÷ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥✱
●✐↔✐ t➼❝❤ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝✱ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ♣❤ù❝✱✳ ✳ ✳ ❝❤➾ t❤ü❝ sü ♠↕♥❤
♠➩ s❛✉ ❦❤✐ ❊✳ ❇❡r❢♦❞ ✈➔ ❇✳❆✳ ❚❛②❧♦r ♥➠♠ ✶✾✽✷✱ ①➙② ❞ü♥❣ t❤➔♥❤
❝ỉ♥❣ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ♣❤ù❝ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐
❜à ❝❤➦♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ♠ët t➟♣
❇♦r❡❧ tr♦♥❣ ♠ët t➟♣ ♠ð ❝õ❛ Cn ✳
❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ♣❤ù❝ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ✈ỵ✐
❤➔♠ ϕ ∈ F(Ω) ♥❤÷ ❧➔ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ②➳✉ ❝õ❛ ❞➣② ✤ë ✤♦ (ddc ϕj )n ✱ tr♦♥❣
✤â (ϕj ) ❧➔ ❞➣② ❣✐↔♠ tò② þ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐ t❤✉ë❝ ❧ỵ♣

E0 (Ω) ❤ë✐ tư ✤➳♥ ϕ✳ ▼ð rë♥❣ ❧ỵ♣ ♥➔②✱ ♥➠♠ ✷✵✵✺✱ ❈❡❣r❡❧❧ ✤➣ ✤÷❛ r❛
❧ỵ♣ ❤➔♠ E(Ω) ♠➔ tr➯♥ ♠é✐ ❝♦♠♣❛❝t ω ⊂ Ω✱ ♥â trò♥❣ ✈ỵ✐ ♠ët ❤➔♠
tr♦♥❣ ❧ỵ♣ F(Ω)✳ ●➛♥ ✤➙② ✤➸ ♠ð rë♥❣ ❧ỵ♣ F(Ω) ✭♥➠♠ ✷✵✵✾✮ ✈➔
❧ỵ♣ Ep (Ω) ✭♥➠♠ ✷✵✶✶✮✱ ❙✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❧ỵ♣ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣
♣❤ù❝ ❝â trå♥❣ Eχ (Ω)✳ ❚❤❡♦ ❤÷ỵ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤å♥
✤➲ t➔✐ ✧❍➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐ ✈ỵ✐ ❦ý ❞à ②➳✉✧✳

✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

▼ư❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❣➛♥ ✤➙② ❝õ❛
❙✳❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❱✳●✉❡❞❥ ✈➔ ❆✳❩❡r✐❛❤✐ ✈➲ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡
♣❤ù❝ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ s✐➯✉ ❧ç✐ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ Cn ✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè ❧ỵ♣
❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐ ✈ỵ✐ ❦ý ❞à ②➳✉✿ ✤â ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ✈ỵ✐ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣
▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ❝â trå♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❚ê♥❣ q✉→t ❤â❛ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❤➔♠
✤÷đ❝ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❜ð✐ ❯✳❈❡❣r❡❧❧ ✈➔ ❝❤♦ sü ♣❤➙♥ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥
❝õ❛ ❤➛✉ ♥❤÷ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐ ❦❤ỉ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❈→❝
❧ỵ♣ ♥❤÷ t❤➳ s➩ ✤÷đ❝ ♠ỉ t↔ ❜➡♥❣ t❤✉➟t ♥❣ú tè❝ ✤ë ❣✐↔♠ ❝õ❛ ❞✉♥❣
❧÷đ♥❣ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ ♠ù❝ ❞÷ỵ✐✳

✷✳ ▼ư❝ ✤➼❝❤ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ư ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✷✳✶✳ ▼ư❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

▼ư❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣

✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐ ✈ỵ✐ ✤✐➸♠ ❦ý ❞à ②➳✉✳

✷✳✷✳ ◆❤✐➺♠ ✈ư ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❝→❝ ♥❤✐➺♠ ✈ư ❝❤➼♥❤ s❛✉ ✤➙②✿

✰ ❚r➻♥❤ ❜➔② tê♥❣ q✉❛♥ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t
❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷ỵ✐✱ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡✳

✰ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ ✈ỵ✐ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ▼♦♥❣❡✲
❆♠♣❡r❡ ❝â trå♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❚ê♥❣ q✉→t ❤â❛ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✤÷đ❝ ❣✐ỵ✐
t❤✐➺✉ ❜ð✐ ❯✳❈❡❣r❡❧❧ ✈➔ ❝❤♦ sü ♣❤➙♥ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝õ❛ ❝→❝
❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐ ❦❤ỉ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳

✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉

✲ ❙û ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ ❝→❝
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ❤✐➺♥ ✤↕✐✱ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝õ❛ ❧þ
t❤✉②➳t t❤➳ ✈à ♣❤ù❝✳
✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❙✳❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❱✳●✉❡❞❥ ✈➔ ❆✳③❡r✐❛❤✐✳

✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

✹✳ ❇è ❝ư❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥

◆ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❣ç♠ ✹✵ tr❛♥❣✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❤❛✐

❝❤÷ì♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣✱ ♣❤➛♥ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ư❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② tê♥❣ q✉❛♥ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲
❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷ỵ✐✱ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡✱
♥❣✉②➯♥ ❧þ s♦ s→♥❤ ✈➔ ❝→❝ ❤➺ q✉↔ ❝õ❛ ♥â✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ▲➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t
q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐ ✈ỵ✐ ❦ý ❞à ②➳✉✿
✤â ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ✈ỵ✐ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ❝â trå♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✳

❚ê♥❣ q✉→t ❤â❛ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✤÷đ❝ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❜ð✐ ❯✳❈❡❣r❡❧❧ ✈➔ ❝❤♦
sü ♣❤➙♥ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐ ❦❤ỉ♥❣
❜à ❝❤➦♥✳
P❤➛♥ ✤➛✉ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët ✈➔✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝ì ❜↔♥
❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧ỵ♣ ❈❡❣r❡❧❧ ε(Ω) ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐ ✈ỵ✐ ✤ë
✤♦ ▼♦♥❣❡ ✕ ❆♠♣❡r❡ ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ ♠✐➲♥ s✐➯✉ ❧ç✐

Ω Cn ✳ ❚ø ✤â ❝❤♦ ✤➦❝ tr÷♥❣ t❤❡♦ ♥❣ỉ♥ ♥❣ú ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠
tr♦♥❣ ❧ỵ♣ ε(Ω)✳
❚r♦♥❣ ♠ư❝ ✷✳✶✱ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ①➜♣ ①➾ ❝❤➼♥❤ t➢❝ ✈ỵ✐ ❦➳t q✉↔
❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♠ư❝ ♥➔② ❧➔✿ ◆➳✉ u ∈ DM A(Ω) t❤➻ ✈ỵ✐ ♠é✐ t➟♣ ❇♦r❡❧
B ⊂ Ω \ {u = −∞}✱ (ddc u)n = lim
(ddc uj )n ✱ ✈ỵ✐ uj :=
j→∞

B

B∩{u>−j}

max(u, −j) ❧➔ ❝→❝ ①➜♣ ①➾ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳
❚r♦♥❣ ♠ư❝ ✷✳✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝→❝ ❧ỵ♣ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣
❝â trå♥❣✱ Eχ (Ω) ❝â ♥❤✐➲✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦
χ(0) = 0 ❤♦➦❝ χ(0) = 0, χ(−∞) = −∞ ❤♦➦❝ χ(−∞) = −∞✱ χ ❧➔
❤➔♠ ❧ç✐ ❤❛② ❧ã♠✳
❚r♦♥❣ ♠ư❝ ✷✳✸ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ÷ỵ❝ ❧÷đ♥❣ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣✳
❍➺ q✉↔ ✷✳✸✳✹ ✤➣ ❝❤♦ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❧ỵ♣ E p (Ω) t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ tè❝ ✤ë
❣✐↔♠ ❝õ❛ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ♠ù❝ ❝♦♥✳ ❈ư t❤➸ ❧➔✿ ❱ỵ✐ p > 0 tò②

✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

þ✱ t❛ ❝â
+∞

−

p

tn+p−1 CapΩ ({ϕ < −t})dt < +∞}.

E (Ω) = {ϕ ∈ PSH (Ω);
0

ð ✤➙② CapΩ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣❡r❡ ✤÷đ❝ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉
❜ð✐ ❊✳ ❇❡❞❢♦r❞ ✈➔ ❇✳❆✳ ❚❛②❧♦r✳ E p(Ω) = Eχ(Ω)✱ ✈ỵ✐ χ(t) := −(−t)p✳
❚r♦♥❣ ♠ư❝ ✷✳✹ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà
❝õ❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ tr➯♥ ❝→❝ ❧ỵ♣ ♥➔②✳ ❑➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛
♠ư❝ ♥➔② ❧➔ ✿

●✐↔ sû ✈ỵ✐ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t K ⊂ Ω, µ(K) ≤ Fε(CapΩ(K))✱ ð
✤â Fε(x) = x(ε − ε lnn x )n✳ ❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ϕ ∈ F(Ω)
−1
s❛♦ ❝❤♦ µ = (ddcϕ)n ✈➔ CapΩ({ϕ < −s}) ≤ exp(−nH
(s)) ✈ỵ✐
x
♠å✐ s > 0✱ ð ✤â H −1 ❧➔ ❤➔♠ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ H(x) = e ε(t)dt + s0(µ)✳

0
−1
◆â✐ r✐➯♥❣ ϕ ∈ Eχ(Ω) ✈ỵ✐ −χ(−t) = exp(nH (t)/2)✳
❑❤✐ µ < CapΩ ✭♥❣❤➽❛ ❧➔ ε ≡ 1✮ t❤➻ µ = (ddc ϕ)n ✈ỵ✐ ϕ ∈ F(Ω) s❛♦
❝❤♦ CapΩ ({ϕ < −s}) ❣✐↔♠ ♥❤❛♥❤ t❤❡♦ ❝➜♣ ♠ơ✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣ ❧➔ ♣❤➛♥ ❦➳t ❧✉➟♥ tr➻♥❤ ❜➔② tâ♠ t➢t ❦➳t q✉↔ ✤↕t ✤÷đ❝✳
❇↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠
✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❞÷ỵ✐ sü ❤÷ỵ♥❣ ❞➝♥ t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ P●❙✳❚❙
P❤↕♠ ❍✐➳♥ ❇➡♥❣✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔② tỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥
P●❙✳❚❙ P❤↕♠ ❍✐➳♥ ❇➡♥❣ ✈➲ sü ❤÷ỵ♥❣ ❞➝♥ ❤✐➺✉ q✉↔ ❝ò♥❣ ♥❤ú♥❣
❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤
❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ P❤á♥❣ ❙❛✉ ✣↕✐ ❤å❝✱ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠
❑❤♦❛ ❚♦→♥✱ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐
✤➣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❝❤♦ tỉ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤
❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳
❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐
◆❣✉②➯♥✱ ❚r÷í♥❣ P❚❉❚◆❚ P❤â ❇↔♥❣ ❍✉②➺♥ ✣ç♥❣ ❱➠♥ ❚➾♥❤ ❍➔
●✐❛♥❣✱ ❝ò♥❣ ❝→❝ ✤ç♥❣ ♥❣❤✐➺♣ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ ✈➲ ♠å✐
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

♠➦t tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳
❇↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ s➩ ❦❤ỉ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❦❤✐➳♠
❦❤✉②➳t ✈➻ ✈➟② r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü ✤â♥❣ ❣â♣ þ ❦✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝

t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤
❤ì♥✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❦❤➼❝❤
❧➺ tỉ✐ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✹
❚→❝ ❣✐↔
◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ⑩♥❤

✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

❈❤÷ì♥❣ ✶

❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶ ❍➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷ỵ✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ X ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tỉ♣ỉ✱ ❤➔♠
u : X → [−∞, +∞) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ tr➯♥ X
✈ỵ✐ ♠å✐ α ∈ R t➟♣ ❤đ♣ {x ∈ X : u(x) < α} ❧➔ ♠ð tr♦♥❣ X ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦

♥➳✉

❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❝õ❛ Cn ✈➔
u : Ω → [−∞, ∞) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ trò♥❣
✈ỵ✐ −∞ tr➯♥ ❜➜t ❦ý t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣ ♥➔♦ ❝õ❛ Ω✳ ❍➔♠ u

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷ỵ✐ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ a ∈ Ω ✈➔ b ∈ Cn✱ ❤➔♠
λ → u(a + λb) ❧➔ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷ỵ✐ ❤♦➦❝ trò♥❣ −∞ tr➯♥ ♠é✐ t❤➔♥❤
♣❤➛♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤đ♣ {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②
t❛ ✈✐➳t u ∈ PSH(Ω)✳ ✭Ð ✤➙② ❦➼ ❤✐➺✉ PSH(Ω) ❧➔ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉
❤á❛ ❞÷ỵ✐ tr♦♥❣ Ω✮✳
Ω

❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët ✈➔✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷ỵ✐✿

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✸✳ ◆➳✉ u, v ∈ PSH(Ω) ✈➔ u = v ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐

tr♦♥❣ Ω✱ t❤➻ u ≡ v✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✹✳ ❍➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ❞÷ỵ✐ t❤♦↔ ♠➣♥ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ❝ü❝
trà tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥✱ tù❝ ❧➔ ♥➳✉ Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣
❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ Cn ✈➔ u ∈ P SH(Ω)✱ t❤➻ ❤♦➦❝ u ❧➔ ❤➡♥❣ ❤♦➦❝ ✈ỵ✐ ♠é✐
✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Luận án đầy đủ ở file: Luận án Full