BÁO CÁO NHÓM MÔN GIẢI TÍCH CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP HÀ NỘI
KHOA: CƠ KHÍ
-----------------------------------------------------------BÁO CÁO NHĨM
MƠN: GIẢI TÍCH
CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN
NHÓM: 03
Sinh viên: 29. Nguyễn Văn Hưng

30. Trần Thế Hưng ( Trưởng nhóm)

31. Võ Kim Tuấn Hưng

32. Vũ Quốc Khánh

33. Phạm Gia Khiêm

34. Đồng Đức Thiên Khôi

35. Hồ Việt Lâm

36. Ngơ Tiến Linh

37. Đỗ Đình Long

38. Nguyễn Thái Long

39. Quan Văn Mạnh

40. Nguyễn Quang Minh

41. Vũ Ngọc Minh
Lớp: 2021DHCODT04K16
Khóa: 16
Giáo viên hướng dẫn: NGUYỄN PHƯƠNG THẢO

Hà Nam, tháng 12 năm 2021


MỤC LỤC
PHẦN 1. MỞ ĐẦU……………………………………………………….Trang 3
PHẦN 2. NỘI DUNG…………………………………………………….Trang 4
A. Ứng dụng đạo hàm và tích phân của hàm số một biến………………..Trang 4
• Ứng dụng của đạo hàm trong hàm một biến trong phân tích kinh tế…...Trang 4
• Ứng dụng tích phân trong hàm một biến………………………………..Trang 4
Ứng dụng trong kinh tế xã hội…………………………………………Trang 4
Ứng dụng trong tính diện tích và thể tích vật thể……………………...Trang 5
• Mở rộng…………………………………………………………………Trang 6
B. Ứng dụng cực trị của hàm số hai biến…………………………………Trang 6
• Ứng dụng cực trị hàm hai biến trong bài toán kinh tế lợi nhuận tối đa…Trang 6
• Ứng dụng cực trị hàm hai biến trong bài tốn kinh tế chi phí tối thiểu… Trang 9
• Mở rộng…………………………………………………………………. Trang 11
PHẦN 3. ĐÁNH GIÁ………………………………………….…………. Trang 12
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………….……......Trang 13


PHẦN I: MỞ ĐẦU
Giải tích là nhánh của tốn học liên quan đến giới hạn và các lý thuyết liên quan,
chẳng hạn như đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, vi phân, chuỗi vơ hạn và các hàm
giải tích… Phép tốn cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Phương tiện chủ
yếu của nó là nghiên cứu đại lượng vô cùng bé và đều liên quan tới các vấn đề của

chuyển động.
Giải tích có ứng dụng rất rộng trong khoa học kĩ thuật để giải quyết các bài toán
mà với phương pháp đại số thông thường tỏ ra không hiệu quả. Việc tính diện tích
hình phẳng tính thể tích vật thể khơng gian, mà hình dạng chúng khơng thể áp
dụng cơng thức mơn hình học sơ cấp. Tuy nhiên, tích phân lại có những ứng dụng
rất cụ thể và hiệu quả như đo chiều dài của một đường cong, tính diện tích của một
hình phẳng, tính diện tích bề mặt và thể tích của một vật thể. Và hơn thế nữa, trong
lĩnh vực đời sống thực tiễn ln có rất nhiều bài tốn liên quan đến tối ưu hóa
nhằm đạt được lợi ích cao nhất , chi phí sản xuất thấp nhất.
Chúng em đã khai thác được một số ứng dụng thú vị của đạo hàm, tích phân của
hàm số một và cực trị hàm số hai biến thông qua các ứng dụng thực tế sau đây:
➢Ứng dụng của tích phân trong kinh tế xã hội.
➢Ứng dụng tích phân để tính diện tích và thể tích vật thể.
➢Ứng dụng của đạo hàm trong hàm một biến trong phân tích kinh tế.
➢Ứng dụng cực trị hàm hai biến trong bài toán kinh tế lợi nhuận tối đa.
➢Ứng dụng cực trị hàm hai biến trong bài tốn kinh tế chi phí tối thiểu.


PHẦN II: NỘI DUNG.
A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
1.Ứng dụng của đạo hàm trong hàm một biến trong phân tích kinh tế.
Bài tốn: Hàm cầu đối với sản phẩm của một hãng độc quyền P=1400−4 Q. Tính
hệ số co giãn của cầu theo P tại mức giá P=80và nêu ý nghĩa kinh tế.
Giải:
1400 P
-4
4
P −1 P
−P
'

∙ =
ε QP = Q(P) ∙ =
Q
4 Q
1400−P
P=1400−4 Q ↔ Q=

−80
−2
=
1400−80 33
Tại mức giá P=80, tăng giá thêm 1% thì cầu đối với sản phẩm giảm một lượng
2
%
33

ε QP ( P=80 )=

Cho hàm sản xuất ngắn hạn

Q=30 √ L( L ≥0)

a) Tìm hàm sản xuất cận biến của lao động MPL.
b) Tại L0=144 , nếu L tăng 1 đơn vị hỏi sản lượng sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị.
Giải:
a) Hàm sản phẩm cận biến của lao động
MPL=Q (L)=

15
√L

15
=1,25( đơn vị sản phẩm )
√ 144
Vậy tại L0=144 nếu L tăng thêm đơn vị thì sản lượng sẽ tăng môt lượng xấp xỉ 1,25

b) MPL ( 144 )=

đơn vị
2. Ứng dụng tích phân trong hàm một biến.
a) Ứng dụng trong kinh tế xã hội.

Chúng ta đã biết tích phân có rất nhiều ứng dụng trong khoa học xã hội, đặc biệt là
trong kinh tế.     
Trong bài viết này chúng tôi xin giới thiệu một ứng dụng của tích phân trong
kinh tế. Bài toán tích phân là một bài toán ngược lại  của đạo hàm, khi người ta cho
một đại lượng kinh tế như chi phí, doanh thu hay lợi nhuận thì người ta yêu cầu
mình tìm hàm chi phí cận biên, doanh thu cận biên, đạo hàm cận biên thì ta đi tìm


đạo hàm của các hàm tương ứng đó. Còn nếu gặp bài toán là cho hàm chi phí cận
biên, doanh thu cận biên v..v.. và yêu cầu tìm hàm chi phí, doanh thu v..v. thì ta
dùng tích phân để giải bài toán như vậy.
Bài tốn:  Nếu chi phí cận biên của việc sản xuất x đơn vị sản phầm được cho
bởi C′(x) = 0.3x2 + 2x và chi phí cố định là $2,000, tìm hàm chi phí C(x) và chi phí
sản xuất 20 đơn vị sản phẩm.
Giải:
Ta biết rằng chi phí cận biên là đạo hàm của hàm chi phí và chi phí cố định là chi
phí tại mức khơng sản phẩm. Do đó để tìm hàm C(x) thì ta lấy nguyên hàm của
hàm chi phí cận biên, suy ra

C(x) = 0.1x3 + x2 + K      với  K tùy ý
Ta xác định hằng số bất kì của tích phân dựa vào C(0) = 2,000, suy ra K = 2000
Vậy chi phí sản xuất của 20 đơn vị sản phẩm là C(20)= 3200$.
b) Ứng dụng trong tính diện tích và thể tích vật thể.
Bài tốn: Tính thể tích của vật thể:
π

a) Nằm giữa hai mặt phẳng x=0 và x= 2 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi
π

mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 2 ) là một hình

vng cạnh √ sin3 x.
b) Nằm giữa hai mặt phẳng x=1 va x=4, biết rằng thiết diện của vật thê bị cắt bởi
mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x (1≤ x ≤ 4) là motot tam giác
đều cạnh là √ x−1.
Giải
a) Diện tích thiết diện S( x ) được cho bởi:
S ( x )=¿

Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:
1

V =∫ S ( x ) dx=
−1

π
2

π 2

1
1
1
( 3 sinx−sin 3 x ) dx= (−3 cosx + cos 3 x ) 2 =
∫
4 0
4
3
3
0

|

b) Diện tích thiết diện S( x ) được cho bởi:
2
3
3
S ( x )= √ ( √ x−1) = √ ( x−2 √ x +1 ) .
4
4

Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:
1

V =∫ S ( x ) dx=
−1

4

3

|

√ 3 ( x−2 √ x+1 ) dx= √ 3 ( 1 x 2− 4 x 2 + x) 4 = 7 √ 3
∫
4

1

4 2

3

1

24


3.Mở rộng
Bài tốn: Chiếc dù lớn cho hội nghị ngồi trời có dạng mái vịm trịn cong với bán
kính là 4m va chiều cao từ mặt phẳng chứa bán kính tới đỉnh đủ dù là 2m.Ta có thể
coi chiếc dù la vật thể trịn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường
y=2−

2

x
và y=0 quay quanh trục Oy với đơn vị hệ trục Oxy là mét.
8

a) Tính diện tích hình phẳng trên.
b) Tính diện tích vải cần thiết để may một chiếc dù.
Giải:
a) Diện tích hình phẳng là:
4

(

S=∫ 2−
−4

)

2

(

)

x2
x2
dx=2∫ 2−
dx=32
8
8
0

b) Diện tích xung quanh của chiếc dù khi quay nửa phải hình phẳng quanh trục Oy
là:

√

2

S xq=2 π ∫ √16−8 y 1+
0

2

¿ 2 π ∫ √ 32−8 y dy=
0

16
dy
16−8 y

32 π
( √ 8−1)≈ 61,3
3

Vậy diện tích vải cần thiết để may chiếc dù là 61,3m2.
B. ỨNG DỤNG CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN
1. Ứng dụng cực trị hàm hai biến trong bài toán kinh tế lợi nhuận tối đa.
Bài toán 1: Cho 1 doanh nghiệp độc quyền và sản xuất kinh doanh 2 loại hàng
quần và áo, biết hàm cầu của quần và áo là:
Q D =50−3 P 1+2 P2
1

Q D =20−P1+ P 2
2

Hàm chi phí: Q21 +Q1 Q2 +Q22
Trong đó: Q D ,Q D lần lượt là lượng hàng cầu của quần và áo, P1 , P2 lần lượt là giá
bán của quần và áo. Tìm mức sản lượng quần áo cần sản xuất để lợi nhuận doanh
nghiệp đạt cực đại.
1

2

Giải:
Gọi Q1 ,Q2 lần lượt là mức sản lượng cần tìm của quần và áo


Để doanh nghiệp bán hết hàng thì:

{

P1 =70−Q1−Q 2
Q1=Q D
Q 1 =50−3 P1 +2 P2
↔
↔
3
P2=80−Q 1− Q2
Q2=Q D
Q 2 =20+2 P 1−2 P2
2

{

{

1

2

Doanh thu của doanh nghiệp là:

(

3
T =Q1 P 1+Q2 P2=Q1 ( 70−Q 1−Q 2) +Q 2 80−Q1 − Q2
2

)

3 2
2
T =−Q1− Q 2−2Q1 Q2+ 70Q1 +80 Q2
2

Chi phí sản xuất của doanh nghiệp: C=Q21 +Q1 Q2 +Q22
 Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được:
5
L=T −C=−2Q21− Q22 −3Q 1 Q2 +70 Q1+ 80Q2
2

Vậy bài tốn trở thành tìm Q1 ,Q2 để hàm L cực đại

{

'

LQ =−4 Q 1−3 Q2 +70
1

'
Q2

L =−3Q1 −5Q 2 +80

Ta dừng là nghiệm của hệ:

{ {
'

LQ =0

{

'

LQ =10
−4 Q1−3 Q2 +70=0
↔
↔ '
'
−3 Q1−5 Q2+ 80=0
LQ =0
LQ =10

1

2

Xét các đạo hàm riêng cấp 2
''

LQ =−4
2
1

L'Q' Q =L'Q' Q =−3
1

''

2

2

1

LQ =−5
2
2

Ta có ma trận Hess

1

2


H=

→

{

[

−4 −3
−3 −5

]

H 1=−4

−3
|−4
−3 −5|

H 2=

Để hàm L đạt cực đại thì:
H 1=−4< 0
H2 =

−3
= 11 > 0

|−4
−3 −5|

Vậy hàm L đạt cực đại tại mức sản lượng Q1=10 , Q2=10
Bài tốn 2: Một cơng ty sản xuất 2 loại chi tiết máy với giá bán lần lượt là:
Q 1 với giá bán P1=301(đơn vị tiền)
Q2 với giá bán P2=502(đơn vị tiền)

Biết hàm chi phí là:C=Q21 +2Q 22+Q1 +2 Q2+ 750. Xác định cơ cấu sản xuất (Q1 ,Q2 )
để lợi nhuận của công ty thu được là tối đa.
Giải:
Ta có hàm lợi nhuận của cơng ty:
π=P1 Q1+ P 2 Q2−C
2

2

π=301 Q1+ 502Q2−Q1 −2Q2 −Q 1−2Q 2−750
2

2

π=−Q1 −2Q 2 +300 Q1 +500 Q2−750

Xét hệ:

{

π 'Q =0
1

'
Q2

π =0

↔

{

{

−2 Q1=300=0
Q =150
↔ 1
−4 Q2+500=0
Q 2=125

''
''
''
Ta có: A=π Q =−2 , C=π Q =−4 , B=π Q Q =0
1

2

1

2

→ B2 −AC =02 −(−2 )(−4 )=−8< 0


Mà A = -2 < 0
Suy ra hàm lợi nhuận đạt cực đại tại

( Q1 ,Q 2) =( 150 ,125 ) ; π max =5300
2. Ứng dụng cực trị hàm hai biến trong bài tốn kinh tế chi phí tối thiểu.
Bài toán 1: Xét trường hợp 1 doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất 1 loại
sản phẩm. Mục tiêu của doanh nghiệp là thu lợi nhuận tối đa trên cơ sở sử dụng
hợp lí các yếu tố đầu vào là lao động và tư bản (với giả thiết các yếu tố giữ
nguyên). Mọi doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy phải chấp nhận giá cả thị
trường, kể cả giá đầu vào và giá đầu ra. Giả sử hàm lợi nhuận của 1 công ty đối
với sản phẩm là:
π = R – C = P.Q – wL – rK
Trong đó: π là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w là
tiền lương của 1 lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất cảu tiền vốn, P là đơn giá
bán.
Giải:
Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng:
1

1

Q=L 3 K 3 ,W =2 , r=0,01 , P=5

Khi đó ta có:
1

1

π=R – C=P . Q – wL – rK =5 L3 K 3 −2 L−0,01 K

Vậy bài tốn trở thành tìm L, K sao cho π đạt giá trị lớn nhất
Điều kiện để hàm đạt giá trị cực đại tại (L,K) là:

{

−2

1

{

−2
1
5
6
3
3
π 'L = L 3 K 3 −2=0
L
K
=
3
5
↔
1
−2
1

−2
5
'
π K = L 3 K 3 −0,01=0
L 3 K 3 =0,006
3


{

{

216
1
2 216
K =L .
↔
125 ↔
125
1 −2
3
1
L K =(0,006)
L =(0,006)3 . K 2
−2

1

L K =

↔

{

L=1550453,596
( K , L>0 )
K =4,153950177 ×1012

Ta có ma trận Hesse:

H=

−2
Ta có: H 1= L
3
1
H 2=det ( H )= L
3

−5
3

−4
3

[

''

π¿

''

''

π LK
''

π KL π KK

]

[

−5

1

−2 3 3
L K
3
=
−2
−2
1 3
L K3
3

−2

−2

1 3
L K 3
3
1
−5
−2 3 3
L K
3

]

1
3

K <0 ∀ K , L>0(1)

K

−4
3

>0 ∀ L, K >0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra π đạt cực đại toàn cục tại
(K, L) = (4,153950177.1012; 1550453,596)
Bài toán 2: Một cửa hàng muốn nhập về một mặt hàng mới với số lượng là
2000 sản phẩm từ 2 nguồn cung khác A và B.
Tại nguồn A với số lượng x sản phẩm, hàm chi phí là:
C A=0,05 x +25 x+225 (đồng)

2

Tại nguồn B với số lượng y sản phẩm, hàm chi phí là:
C B=0,1 y 2 +30 y +150 (đồng)

Cửa hàng cần điều phối số lượng sản phẩm nhập từ 2 nguồn A và B như thế nào để
chi phí bỏ ra là thấp nhất?
Giải:
Ta có hàm chi phí của cửa hàng là:


2

2

π=C A +C B =0,05 x +25 x +225+0,1 y + 30 y +150

với x + y=2000
Đặt g ( x , y )=x + y−2000
Xét hàm số lagrange:
L ( x , y , λ )=0,05 x 2+ 25 x +225+ 0,1 y 2 +30 y +150+ λ( x+ y −2000)

¿ 0,05 x 2+ 0,1 y 2 +25 x+ 30 y +375+ λ( x + y−2000)

Ta có hệ phương trình:

{ {

{

'

Lx

0,1 x+ 25+ λ=0
x =1350
'
L y ↔ 0,2 y +30+ λ=0 ↔ y=650
x+ y=2000
λ=−160
L'λ

'

'

''

''

''

''

Ta thấy: g x =1; g y =1 ; L x =0,1 ; L y =0,2 ; Lxy =0 ; L yx=0
2

|

0

2

'

gx

|H|= g 'x L'x'

2

'

gy

''

L yx

'

gy

||

|

0 1
1
L'xy' = 1 0,1 0 =−0,3< 0

''
1 0 0,2
L
y

2

Nên π đạt cực tiểu tại (1350; 650), π min =187000 đồng
Vậy cửa hàng nên nhập 1350 sản phẩm từ nguồn A và 650 sản phẩm từ nguồn
B để chi phí bỏ ra thấp nhất
3. Mở rộng.
Bài toán: Một nhà thám hiểm dự định thực hiện 1 chuyến đi thám hiểm. Trước
khi đi, anh ta phải chuẩn bị 1 số nhu yếu phẩm cho chuyến thám hiểm, trong đó
lương khơ và nước ngọt là 2 thứ được ưu tiên. Nhà thám hiểm định dùng số tiền
160 USD để mua 2 loại này, biết rằng giá 1 kg lương khô là 6 USD và 1 lít
nước ngọt là 5 USD. Giả sử nhà thám hiểm mua x kg và y lít nước ngọt thì thời
gian sử dụng 2 loại này được tính bằng biểu thức:
T ( x , y )=4 xy −50 x−35 y+ 149( giờ )


Hãy xác định số lượng từng loại yếu phẩm mà nhà thám hiểm cần mua sao cho
thời gian sử dụng lâu nhất
Giải:
Theo u cầu bài tốn thì ta sẽ đi tìm cực trị của hàm:
T ( x , y )=4 xy −50 x−35 y+ 149 với 6 x+ 5 y =160

Xét: L ( x , y , λ )=4 xy−50 x−35 y +149+ λ (160−6 x−5 y )

{

{

'

Lx =4 y−50−6 λ=0
x=12,5
'
→ L y =4 x−35−5 λ=0 ↔ y=17
λ=3
L'λ =160−6 x−5 y=0

| |

0 6
Vì|H|= 6 0
5 4

5
4 =240>0
0

{

→ Hàm số đạt cực đạitại x=12,6 và T =338,83 h
y=17

Do hàm số chỉ có 1 cực đại suy ra giá trị cực đại là GTLN

{

→ 12,5 kg lương khơ
17 lít nước

PHẦN 3: ĐÁNH GIÁ
- Lĩnh vực toán học ngày càng được con người nghiên cứu và khai thác nhiều hơn.
Ứng dụng đạo hàm, tích phân của hàm một biến và ứng dụng cự trị của hàm hai
biến được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống. Từ những bài toán
kinh tế cũng như những bài toán về kĩ thuật ta đều có thể áp dụng đạo hàm, tích
phân và cực trị, nó sẽ cho ta thấy cái nhìn tổng quan khái quát về các vấn đề trong
cuộc sống. Từ những vấn đề khó giải quyết thì qua các phương pháp trên sẽ được
sử lý một cách dễ dàng. Qua quá trình tìm tịi và học hỏi, tất cả thành viên đã hiểu
rõ và nắm chắc hơn về đạo hàm, tích phân của hàm một biến cũng như cực trị của
hàm hai biến nhờ đó có thể vận dụng sáng tạo vào các bài tốn thực tiễn cùng với
đó các bạn trong nhóm đã tham gia sơi nổi, tích cự đóng góp ý kiến xây dựng bài
nâng cao hiệu quả làm việc nhóm.


TÀI LIỆU THAM KHẢO:
[1] />%C3%A0m_t%C3%ADch_ph%C3%A2n_%E1%BB%A9ng_d
%E1%BB%A5ng_%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c_g%C3%AC
[2] />[3] />[4] />%E1%BB%A7a+%C4%91%E1%BA%A1o+h%C3%A0m+trong+
%C4%91%E1%BB%9Di+s%E1%BB%91ng.htm
[5] />[6] />[7] />[8] />[9] o/mt-s-ng-dng-ca-cc-tr-hm-hai-bin-s-vo-trong-cc-biton-kinh-t-th.html
[10] />