sách điện tử môn giải tích hàm số một biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Vũ Thanh Hiếu
SÁCH ĐIỆN TỬ
MÔN GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.40
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Mục lục
Mở đầu 6
1 Dãy số và chuỗi số 9
1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Một số tính chất của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Một số phép toán trên giới hạn . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng . . . . . . . . 11
1.2.1 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Một số giới hạn quan trọng . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Sự tồn tại điểm tụ trong dãy bị chặn . . . . . . . . . 12
1.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Dấu hiệu so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương . . . . . . . . . 14
1.3.5 Chuỗi đan dấu và dấu hiệu Leibniz . . . . . . . . . . 14
1.3.6 Dấu hiệu Dirichlet và Abel . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 1 . . . . 15
1.4.1 Giới thiệu về phần mềm Maple . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Minh họa dãy số bằng lệnh vẽ dãy điểm . . . . . . . 19
1.4.3 Tìm quy luật của một dãy số . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.4 Tính tổng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.5 Tính tổng vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.6 Tính tích của hữu hạn hoặc vô hạn thừa số . . . . . 22
1.4.7 Tính giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
2 Hàm số 24
2.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Khái niệm hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Một số hàm có cấu trúc đặc biệt . . . . . . . . . . . 25
2.1.4 Các phép toán trên hàm số . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Các hàm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Các hàm sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 2 . . . . 27
2.3.1 Định nghĩa hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 Tìm tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3 Vẽ đồ thị của hàm số trong không gian hai chiều . . 29
2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 31
3.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Giới hạn tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Một số tính chất của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 Định lý về tính duy nhất của giới hạn . . . . . . . . 33
3.2.3 Định lý về tính bảo toàn thứ tự . . . . . . . . . . . 33
3.3 Các phép toán trên giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Các phép toán số học . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Giới hạn của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng . . . . . . . . 34
3.4.1 Nguyên lý về giới hạn của hàm đơn điệu bị chặn . . 34
3.4.2 Nguyên lý về giới hạn của hàm bị kẹp . . . . . . . . 34
3.4.3 Áp dụng trong việc tính giới hạn của các hàm cơ bản 34
3.5 Tính liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.1 Khái niệm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.2 Khái niệm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Các định lý cơ bản về hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.1 Các định lý về giá trị trung gian . . . . . . . . . . . 35
3.6.2 Các phép toán trên các hàm liên tục . . . . . . . . . 36
3.6.3 Hàm số liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6.4 Hàm liên tục trên tập compact . . . . . . . . . . . . 36
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
3.7 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 3 . . . . 37
3.7.1 Tính giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7.2 Tìm điểm gián đoạn của hàm số . . . . . . . . . . . 38
3.7.3 Tính giới hạn của hàm số khi đối số dần đến một

điểm nào đó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7.4 Tính giới hạn của hàm số theo từng bước . . . . . . 40
3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Đạo hàm 43
4.1 Khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Các phép toán trên đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Các phép toán số học trên đạo hàm . . . . . . . . . 44
4.2.2 Đạo hàm của hàm hợp và hàm ngược . . . . . . . . 45
4.2.3 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản . . . . . . . 45
4.3 Các định lý quan trọng về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . 46
4.3.1 Định lý Fermat về điều kiện cực trị . . . . . . . . . 46
4.3.2 Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . 47
4.4 Một số ứng dụng của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.1 Tính giới hạn dạng không xác định . . . . . . . . . . 47
4.4.2 Tìm cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.3 Khảo sát các tính chất của hàm số . . . . . . . . . . 48
4.5 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 4 . . . . 49
4.5.1 Tính đạo hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.2 Tính đạo hàm của hàm số theo từng bước . . . . . . 50
4.5.3 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Phép tính tích phân 54
5.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định . . . . 54
5.1.2 Các tính chất và quy tắc cơ bản . . . . . . . . . . . 55
5.1.3 Bảng các tích phân bất định cơ bản . . . . . . . . . 55
5.2 Tích phân xác định Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.1 Khái niệm tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 56
5.2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.3 Một số phương pháp tính tích phân xác định . . . . 58
5.2.4 Một số ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 5 . . . . 61
5.3.1 Minh họa và tính tổng Riemann . . . . . . . . . . . 61
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
5.3.2 Tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.3 Tính tích phân từng bước . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.4 Tính diện tích và thể tích . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.5 Tính nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Kết luận 73
Tài liệu tham khảo 74
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Mở đầu
Phần mềm Maple được xây dựng bởi một nhóm các nhà khoa học thuộc
trường Đại học Waterloo – Canada, và được tiếp tục phát triển tại những
phòng thí nghiệm ở các trường đại học, bao gồm: Phòng thí nghiệm Tính
toán hình thức tại Đại học Waterloo; Trung tâm nghiên cứu Tính toán
hình thức Ontario tại Đại học Tây Ontario; và những phòng thí nghiệm
khắp nơi trên thế giới. Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy được trên
nhiều hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để tận dụng tối ưu cấu hình
máy và có trình trợ giúp rất dễ sử dụng. Maple có môi trường tính toán
rất phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực của toán học với khả năng
tính toán trên các kí hiệu (symbolic). Từ version 7, Maple cung cấp ngày
càng nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán
học phổ thông và đại học. Về lập trình tính toán, Maple vượt xa các ngôn
ngữ thông thường khác trên cả hai phương diện: mạnh và đơn giản. Ngoài
ra, sử dụng Maple, ta có thể dễ dàng biên soạn các sách giáo khoa điện tử

với chức năng Hyperlink tạo các siêu văn bản rất đơn giản mà không cần
đến sự hỗ trợ của bất kỳ một phần mềm nào khác. Với những ưu điểm đó,
Maple đã được nhiều người trên thế giới lựa chọn và là một trong những
bộ phần mềm toán học được sử dụng rộng rãi nhất hiện nay.
Maple có thể trợ giúp hữu hiệu cho việc dạy và học toán. Rất nhiều
công việc như giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tính
đạo hàm, tích phân, vẽ đồ thị . . . được thực hiện bằng những câu lệnh rất
đơn giản chứ không phải lập trình tính toán phức tạp như trước kia. Nếu
biết khai thác một cách hiệu quả, Maple sẽ là công cụ minh họa hoàn hảo,
hỗ trợ cho giáo viên trong việc dạy những kiến thức khó và trừu tượng
(chẳng hạn như khái niệm tích phân), giúp giáo viên nâng cao chất lượng
giảng dạy và giảm thiểu thời gian đứng lớp; giúp học sinh hiểu sâu hơn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
bài giảng, nâng cao kỹ năng tính toán và phát triển khả năng sáng tạo
Luận văn ”Sách điện tử môn giải tích Hàm số một biến” có mục
đích hệ thống một số lệnh thông dụng bổ trợ cho phần giải tích Hàm số
một biến. Chúng tôi sử dụng Maple version 13 và đã cố gắng tận dụng
những tính năng ưu việt của Maple như chức năng đóng gói, bookmark,
hyperlink . . . để giúp người sử dụng dễ dàng tra cứu; và viết các câu lệnh
thông dụng thành nhóm lệnh, để những người chưa từng làm quen với
Maple vẫn có thể thực hiện những lệnh đó chỉ bằng thao tác ấn phím
Enter, đồng thời cung cấp mẫu cho người sử dụng có thể tự thực hiện với
bài toán của mình và phát triển thêm. Hy vọng điều này sẽ tạo được hứng
thú và giúp người sử dụng làm quen, khai thác Maple để làm toán một
cách dễ dàng, nhanh chóng hơn.
Luận văn gồm 5 chương:
Chương 1. Dãy số và chuỗi số
Chương 2. Hàm số
Chương 3. Giới hạn và tính liên tục của hàm số

Chương 4. Đạo hàm
Chương 5. Phép tính tích phân
Cấu trúc của mỗi chương gồm ba phần
- Kiến thức lý thuyết: Các kiến thức cơ bản (các định nghĩa, định lý. . .)
được đưa vào, với khả năng đóng gói và hyperlink của Maple giúp người
sử dụng có thể dễ dàng tra cứu, tham khảo để ôn lại kiến thức khi cần
thiết.
- Ứng dụng Maple: Tương ứng với các kiến thức được nêu trong chương,
chúng tôi giới thiệu các lệnh thông dụng của Maple dùng để hỗ trợ thực
hành tính toán. Ngoài các câu lệnh riêng lẻ, còn có một số chương trình
(gồm nhiều câu lệnh được viết thành nhóm) thực hiện những công việc
phổ biến như khảo sát hàm số, tính tích phân theo từng bước . . . giúp
người sử dụng có thể dùng Maple giải quyết bài toán của mình mà không
phải trực tiếp gõ các lệnh, đồng thời có mẫu để tham khảo tự viết chương
trình khi đã quen với Maple.
- Bài tập: Chúng tôi đưa vào một số bài tập nhằm giúp người sử dụng
nắm được cách gõ các biểu thức toán học theo quy định của Maple, minh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
họa cho khả năng tính toán của Maple. Một số bài tập được nêu cả cách
giải ”truyền thống” và cách giải bằng Maple để người sử dụng có thể tham
khảo và so sánh.
Kèm theo luận văn này là một đĩa CD chứa nội dung sách điện tử được
biên soạn trên Maple.
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Tạ Duy
Phượng (Viện Toán học - Viện Khoa học Việt Nam). Tác giả xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy về sự tận tình hướng dẫn trong quá trình
làm luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa
Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô

giảng dạy lớp Cao học Toán K3 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và truyền
thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, các
thầy cô tổ Toán - Tin trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc, bạn bè đồng
nghiệp cùng gia đình đã tạo điều kiện giúp đỡ, khích lệ tôi hoàn thành bản
luận văn này.
Thái Nguyên 2011
Vũ Thanh Hiếu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Chương 1
Dãy số và chuỗi số
1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số
1.1.1 Một số khái niệm
Định nghĩa 1.1 (Dãy số). Dãy số là một tập đếm được các số thực, được
đánh số và sắp xếp theo thứ tự chỉ số tăng dần. Dãy số thường được ký
hiệu là (a
n
).
Ta gọi a
n
là số hạng tổng quát của dãy số, dãy số được hoàn toàn xác
định khi biết công thức biểu diễn số hạng tổng quát a
n
.
Chú ý 1.1. Có nhiều phương pháp cho dãy số: cho công thức biểu diễn
số hạng tổng quát, liệt kê, mô tả tính chất, truy hồi, . . .
Định nghĩa 1.2 (Dãy số bị chặn - giới nội). Dãy số (a
n
) được gọi là bị

chặn trên (bị chặn dưới) nếu tồn tại số c sao cho a
n
 c (c  a
n
) với mọi
n. Khi dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới ta nói nó là bị chặn (hay
còn gọi là giới nội).
Định nghĩa 1.3 (Giới hạn của dãy số). Số a được gọi là giới hạn của dãy
số (a
n
) nếu với mỗi số dương ε bất kỳ ta có thể tìm được một số tự nhiên
N (phụ thuộc vào ε) sao cho a
n
∈ (a −ε; a + ε), (tức là |a
n
− a| < ε) với
mọi n ≥ N. Khi đó ta viết
lim
n→∞
a
n
= a hay a
n
→ a, khi n → ∞
và nói rằng dãy số (a
n
) là hội tụ (tới a). Dãy không hội tụ thì được gọi là
dãy phân kỳ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10

Chú ý 1.2. Trong kí hiệu trên, nếu không sợ nhầm lẫn ta có thể bỏ
n → ∞, tức là, viết lim a
n
thay cho lim
n→∞
a
n
.
Mệnh đề 1.1. Nếu (a
n
) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.
Định nghĩa 1.4 (Dãy con). Giả sử (a
n
) là dãy số và n
1
< n
2
< . . . là
một tập con những số tự nhiên xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó dãy (a
n
k
)
được gọi là dãy con của dãy (a
n
).
Mệnh đề 1.2. Nếu (a
n
) hội tụ tới a thì mọi dãy con vô hạn của nó cũng
hội tụ tới a.
Định nghĩa 1.5 (Giới hạn trên và giới hạn dưới). Giả sử (a

n
k
) là một dãy
con của (a
n
) và lim
k→∞
a
n
k
= a thì a được gọi là một giới hạn riêng của (a
n
).
Kí hiệu A là tập tất cả các giới hạn riêng. sup A được gọi là giới hạn trên
của (a
n
), ký hiệu lim
n→∞
sup a
n
; inf A được gọi là giới hạn dưới của (a
n
), ký
hiệu lim
n→∞
inf a
n
.
Mệnh đề 1.3. Dãy số (a
n

) hội tụ khi và chỉ khi
lim
n→∞
sup a
n
= lim
n→∞
inf a
n
.
Ta nhớ lại, với tập con A ⊂ R, một điểm x ∈ R được gọi là điểm tụ của
A nếu tồn tại một dãy các phần tử của A hội tụ về x. Như vậy, một giới
hạn riêng của một dãy chính là một điểm tụ của dãy đó. Ta có mệnh đề
Mệnh đề 1.4. Điểm a là một điểm tụ của dãy số (a
n
) khi và chỉ khi có
dãy con (a
n
k
) hội tụ tới a.
1.1.2 Một số tính chất của dãy hội tụ
Mệnh đề 1.5 (Tính giới nội). Mọi dãy hội tụ đều giới nội.
Mệnh đề 1.6 (Tính bảo toàn thứ tự). Giả sử a = lim
n→∞
a
n
, b = lim
n→∞
b
n

.
Khi đó
i) Nếu tồn tại n
0
sao cho a
n
≥ b
n
với mọi n ≥ n
0
thì a ≥ b.
ii) Nếu a > b thì tồn tại n
0
sao cho với mọi n ≥ n
0
, ta có a
n
> b
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
1.1.3 Một số phép toán trên giới hạn
Định nghĩa 1.6 (Dãy vô cùng bé). Ta nói (a
n
) là dãy vô cùng bé nếu
lim a
n
= 0.
Mệnh đề 1.7. i) Nếu (a

n
) và (b
n
) là các dãy vô cùng bé thì (a
n
+b
n
) cũng
là dãy vô cùng bé.
ii) Nếu (a
n
) là dãy vô cùng bé và (b
n
) giới nội thì (a
n
· b
n
) là dãy vô
cùng bé.
Hệ quả 1.1. Nếu (a
n
) là dãy vô cùng bé và (b
n
) hội tụ thì (a
n
·b
n
) là dãy
vô cùng bé.
Mệnh đề 1.8. Cho lim a

n
= a, lim b
n
= b. Khi đó
• lim(a
n
+ b
n
) = a + b,
• lim(a
n
− b
n
) = a −b,
• lim(a
n
· b
n
) = a ·b,
• lim

a
n
b
n

=
a
b
(khi b = 0).

1.2 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng
1.2.1 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn
Định nghĩa 1.7 (Dãy đơn điệu). Ta gọi (a
n
) là dãy không giảm nếu
a
n+1
≥ a
n
với mọi n ∈ N. Nếu bất đẳng thức là chặt ta sẽ có dãy đơn điệu
tăng. Tương tự như vậy ta có khái niệm về dãy không tăng và dãy đơn
điệu giảm.
Định lý 1.1 (Weierstrass). Mọi dãy không giảm và bị chặn trên (hay
không tăng và bị chặn dưới) đều hội tụ.
Chú ý 1.3. Nếu (a
n
) không giảm (không tăng) và không bị chặn trên
(dưới) thì lim a
n
= +∞ (lim a
n
= −∞).
Định nghĩa 1.8. Ta nói rằng dãy số (c
n
) bị kẹp giữa hai dãy số (a
n
) và
(b
n
) nếu như tồn tại chỉ số n

0
sao cho khi n > n
0
thì a
n
≤ c
n
≤ b
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Định lý 1.2 (Nguyên lý về dãy bị kẹp). Giả sử hai dãy (a
n
), (b
n
) cùng có
giới hạn a. Khi đó mọi dãy số (c
n
) bị kẹp giữa hai dãy (a
n
), (b
n
) cũng có
giới hạn là a.
1.2.2 Một số giới hạn quan trọng
1. lim
n→∞

1 +

1
n

n
= e.
2. lim
n→∞

1 +
c
n
2

n
= 1.
3. lim
n→∞

1 +
x
n

n
= e
x
với mọi số thực x.
4. lim
n→∞

1 +

a
n
+
b
n
2

n
= lim
n→∞

1 +
a
n

n
với mọi số thực a, b.
5. lim
n→∞

1 +
x + y
n

n
= lim
n→∞

1 +
x

n

n
· lim
n→∞

1 +
y
n

n
.
1.2.3 Sự tồn tại điểm tụ trong dãy bị chặn
Định lý 1.3 (Bolzano - Weierstrass). Mọi dãy giới nội đều có điểm tụ.
1.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy
Định nghĩa 1.9 (Dãy cơ bản). Dãy (a
n
) được gọi là dãy cơ bản (hay dãy
Cauchy) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại n
0
∈ N
∗
sao cho |a
n
−a
m
| < ε với mọi
n, m ≥ n
0
.

Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy). Dãy (a
n
) hội tụ khi và chỉ khi
nó là dãy cơ bản.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
1.3 Chuỗi số
1.3.1 Một số khái niệm
Định nghĩa 1.10. Cho dãy số (a
n
). Tổng hình thức
∞

n=1
a
n
(1.1)
gọi là một chuỗi số, a
n
được gọi là số hạng tổng quát, số
S
n
= a
1
+ a
2
+ ··· + a
n
gọi là tổng riêng thứ n của dãy. Nếu dãy (S
n

) hội tụ tới S (hữu hạn) thì
ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ, có tổng bằng S. Ký hiệu
S =
∞

n=1
a
n
.
Nếu dãy (S
n
) không hội tụ, ta nói chuỗi là phân kỳ.
Nếu a
n
 0 với mọi n ∈ N
∗
thì chuỗi (1.1) được gọi là chuỗi số dương.
Định nghĩa 1.11. Chuỗi
∞

n=1
a
n
gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
∞

n=1
|a
n
|

hội tụ. Nếu chuỗi
∞

n=1
a
n
hội tụ mà chuỗi
∞

n=1
|a
n
| phân kỳ thì ta nói chuỗi
∞

n=1
a
n
bán hội tụ hay hội tụ có điều kiện.
1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy
Mệnh đề 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi số
∞

n=1
a
n
là hội tụ khi và chỉ
khi, với mỗi số ε > 0 (nhỏ bao nhiêu tùy ý), tồn tại số N ∈ N sao cho với
mọi số tự nhiên n > N và mọi m ∈ N ta luôn có



S
n+m
n


< ε, trong đó
S
n+m
n
= a
n+1
+ ··· + a
n+m
.
Hệ quả 1.2. Nếu
∞

n=1
a
n
hội tụ thì lim
n→∞
a
n
= 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
1.3.3 Dấu hiệu so sánh
Mệnh đề 1.10. Nếu

∞

n=1
a
n
hội tụ và | b
n
|≤ a
n
với mọi n thì chuỗi
∞

n=1
b
n
hội tụ.
Mệnh đề 1.11. Cho hai chuỗi bất kỳ
∞

n=1
a
n
và
∞

n=1
b
n
với b
n

> 0. Khi đó
i) Nếu
∞

n=1
b
n
hội tụ và lim
n→∞
|a
n
|
b
n
< ∞ thì
∞

n=1
a
n
hội tụ.
ii) Nếu
∞

n=1
b
n
phân kỳ và lim
n→∞
|a

n
|
b
n
> 0 thì
∞

n=1
a
n
phân kỳ.
1.3.4 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương
Cho
∞

n=1
a
n
là chuỗi số dương.
Mệnh đề 1.12 (Dấu hiệu Cauchy). Giả sử tồn tại lim
n→∞
n
√
a
n
= c. Khi đó
nếu c > 1 thì chuỗi phân kỳ, c < 1 thì chuỗi hội tụ.
Mệnh đề 1.13 (Dấu hiệu D

lambert). Giả sử tồn tại lim

n→∞
a
n+1
a
n
= d. Khi
đó nếu d > 1 thì chuỗi phân kỳ, d < 1 thì chuỗi hội tụ.
Mệnh đề 1.14 (Dấu hiệu Raabe). Giả sử tồn tại lim
n→∞
n

a
n
a
n+1
− 1

= r.
Khi đó nếu r > 1 thì chuỗi hội tụ, r < 1 thì chuỗi phân kỳ.
1.3.5 Chuỗi đan dấu và dấu hiệu Leibniz
Chuỗi có dạng
∞

n=1
(−1)
n
a
n
, (1.2)
trong đó a

n
 0 với mọi n được gọi là chuỗi đan dấu.
Mệnh đề 1.15 (Dấu hiệu Leibniz). Nếu dãy (a
n
) là đơn điệu giảm, hội
tụ về 0 thì chuỗi đan dấu (1.2) hội tụ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
1.3.6 Dấu hiệu Dirichlet và Abel
Mệnh đề 1.16 (Dấu hiệu Dirichlet). Giả sử rằng
i) Dãy tổng riêng (S
n
) của chuỗi
∞

n=1
a
n
là bị chặn;
ii) Dãy (b
n
) là dãy đơn điệu giảm dần về 0.
Khi đó chuỗi
∞

n=1
a
n
b
n

là hội tụ.
Mệnh đề 1.17 (Dấu hiệu Abel). Giả sử rằng
i) Dãy tổng riêng (S
n
) của chuỗi
∞

n=1
a
n
là hội tụ;
ii) Dãy (b
n
) là đơn điệu và bị chặn.
Khi đó chuỗi
∞

n=1
a
n
b
n
là hội tụ.
1.4 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán
chương 1
1.4.1 Giới thiệu về phần mềm Maple
Việc cài đặt Maple 13 được thực hiện đơn giản bằng cách cho chạy file
Setup.exe có sẵn trong bộ chương trình cài đặt và thực hiện các khai
báo theo đúng trình tự. Khi Maple đã được cài đặt đúng quy trình, việc
khởi động Maple cũng đơn giản giống như khởi động các chương trình ứng

dụng khác trên Windows: ta có thể chọn
Start → Programs → Maple 13 → Maple 13
hoặc nháy đúp chuột vào biểu tượng của Maple 13 trên màn hình:
Hình 1.1: Biểu tượng chương trình Maple 13.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Khi đó màn hình làm việc của Maple sẽ xuất hiện. Giao diện của Maple
13 gồm các thành phần cơ bản như sau:
Hình 1.2: Giao diện của Maple 13.
Những thao tác cơ bản như quản lý các file hay định dạng các đối
tượng. . . trong Maple 13 hoàn toàn tương tự các phần mềm quen thuộc:
Word, Excell. Để tìm hiểu đầy đủ, chi tiết hơn về giao diện, môi trường
làm việc cũng như các lệnh của Maple có thể xem trong [2] hoặc [4].
Cụm xử lý (Execution Group)
Cụm xử lý là thành phần tính toán cơ bản trong môi trường làm việc
của Maple, có thể bao gồm các đối tượng cơ bản của Maple như lệnh, kết
quả tính toán, đồ thị . . . . Có thể dễ dàng nhận biết một cụm xử lý bằng
dấu ngoặc vuông bên trái dấu nhắc lệnh của Maple.
Để tạo một cụm xử lý mới, ta kích chuột vào biểu tượng ”[> ” trên thanh
công cụ hoặc chọn Insert → Execution Group → After Cursor (Ctrl+J).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Lệnh và kết quả của Maple
Lệnh của Maple (Maple Input) là những từ tựa tiếng Anh (gọi là từ
khóa lệnh) được sử dụng theo một nghĩa nhất định và phải tuân theo cú
pháp của Maple. Lệnh được nhập sau dấu nhắc lệnh ”[> ” và kết thúc bởi
dấu ” : ” hoặc dấu ”; ”. Lệnh được thực hiện nếu ta ấn phím Enter khi
con trỏ ở trong dòng lệnh. Nếu kết thúc lệnh bằng dấu ”; ” kết quả sẽ hiển
thị ngay ra màn hình, còn nếu kết thúc bằng dấu ” : ” thì Maple vẫn tiến
hành tính toán bình thường nhưng kết quả không hiển thị ra màn hình.

Maple có hai dạng lệnh: lệnh trơ và lệnh trực tiếp, hai dạng lệnh này
luôn đi theo cặp và cú pháp của chúng chỉ khác nhau ở chỗ chữ cái đầu
tiên trong tên lệnh của lệnh trơ viết in hoa. Lệnh trực tiếp cho ta kết quả
tính toán, còn lệnh trơ chỉ cho ta biểu thức tượng trưng.
Kết quả của việc tính toán (Maple Output) hiện trên màn hình được
ngầm định có màu xanh.
Hình 1.3: Ví dụ về lệnh trơ, lệnh trực tiếp và kết quả.
Mục (Section)
Một trang làm việc (worksheet) trong Maple thường bao gồm nhiều
mục, mỗi mục có thể chứa những đoạn (paragraph) và những mục con
(subsection). Một mục trong trang làm việc của Maple cũng tương tự như
một mục trong các văn bản thông thường. Tuy nhiên điều đặc biệt là Maple
có khả năng đóng gói: ta có thể mở một mục ra đọc hoặc gói lại khi đã
đọc xong bằng cách kích chuột vào nút chỉ mục đứng ở đầu mục.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Hình 1.4: Hình ảnh các mục đóng, mở trong Maple 13.
Muốn đưa thêm một mục mới vào trang văn bản ta sử dụng chức năng
Insert → Section. Muốn thêm một mục con trong một mục ta chọn Insert
→ Subsection.
Siêu liên kết (Hyperlink)
Một siêu liên kết là một đối tượng mà nếu ta kích hoạt vào đó thì con
trỏ sẽ được di chuyển đến một đoạn, một mục hay một trang làm việc
khác. Để tạo siêu liên kết ta đưa con trỏ đến vị trí đặt siêu liên kết rồi
chọn Insert → Hyperlink. Trong hộp thoại Hyperlink Properties, nhập
nhóm kí tự đại diện vào ô Link Text hoặc chọn nút check box Image rồi
kích chuột vào nút lệnh Choose Image . . .để chọn hình ảnh đại diện cho
Hyperlink; Tại hộp cuốn Type, chọn Worksheet sau đó nhập tên file cần
liên kết tới vào ô Target, hoặc chọn nút lệnh Browse. . . để duyệt tìm file.
Nhập tên của bookmark (nếu có) vào ô Bookmark.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Một số quy ước, kí hiệu trong Maple
• Các phép toán số học: phép cộng (+), phép trừ (−), phép nhân (∗),
phép chia (/), phép lũy thừa (∧) được viết trực tiếp vào dòng lệnh và thực
hiện theo thứ tự quen biết.
• Cách viết các hàm toán học: tên hàm(đối số), ví dụ sin(x), cos(x), . . .
• Căn bậc hai của x: kí hiệu sqrt(x).
• Hàm e
x
: kí hiệu exp(x).
• Số π có thể dùng kí hiệu P i, số e được xem là một giá trị của hàm
mũ exp(x) tại x = 1, tức là ta có thể viết exp(1) để biểu diễn hằng số e.
Chú ý 1.4. Các lệnh của Maple rất phong phú, tuy nhiên ở đây chúng tôi
chỉ giới thiệu một số lệnh cơ bản trong phạm vi ứng dụng khi làm việc với
hàm số một biến. Nếu muốn tìm hiểu sâu hơn về một lệnh nào đó, trên
màn hình làm việc của Maple, ở chế độ gõ công thức toán (Math) hoặc
sau dấu nhắc lệnh, ta chỉ cần gõ ?<tên lệnh> rồi ấn phím Enter, khi đó
cú pháp đầy đủ của lệnh này sẽ được hiển thị. Ví dụ, khi muốn tìm hiểu
về lệnh tính tích phân, ta gõ ?int rồi ấn phím Enter, hướng dẫn về lệnh
sẽ hiển thị để trợ giúp cho người sử dụng.
1.4.2 Minh họa dãy số bằng lệnh vẽ dãy điểm
Lệnh vẽ m phần tử đầu tiên của dãy số có số hạng tổng quát là a
n
, mỗi
phần tử được biểu diễn bởi dấu + (cross) có cú pháp như sau
[> pointplot([seq([n, a
n
], n = 1 m)], symbol = cross);
Chú ý 1.5. - Các tính toán với đồ họa thường yêu cầu bộ nhớ lớn, vì vậy

trước tiên ta nên khởi tạo lại bộ nhớ bằng lệnh
[> restart :
- Trước khi dùng lệnh vẽ cần nạp gói chức năng chuyên dụng cho vẽ đồ
thị bằng lệnh
[> with(plots) :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Ví dụ 1.1. Đoạn lệnh sau vẽ 200 phần tử đầu tiên của dãy số
a
n
=
n + sin
2
(n)
n + cos(n)
,
mỗi phần tử được biểu diễn bởi một dấu + màu tím
[> restart :
with(plots) :
pointplot([seq([n,
n + sin
2
(n)
n + cos(n)
], n = 1 200)], symbol = cross, color =
magenta);
Hình 1.5: Minh họa dãy số bằng lệnh vẽ dãy điểm.
Nhận xét 1.1. Maple thực hiện rất dễ dàng và nhanh chóng công việc
mà chúng ta khó có thể làm bằng tay. Chúng ta có thể sử dụng phương
pháp này để minh họa cho khái niệm giới hạn của dãy số, hay dự đoán

dãy hội tụ, dãy phân kỳ. . .
1.4.3 Tìm quy luật của một dãy số
Để tìm số hạng tổng quát của một dãy số được cho bởi các điều kiện
đk1, đk2,. . ., đki, ta thực hiện lệnh sau
[> rsolve({đk1,đk2,. . .,đki}, a(n));
(rsolve: recurrence equation solver: giải phương trình truy hồi).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Ví dụ 1.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (a
n
) biết
a
1
= 1, a
2
= 2, a
n+1
= n ·(a
n
+ a
n−1
)
[> rsolve({a(1) = 1, a(2) = 2, a(n + 1) = n · (a(n) + a(n − 1))}, a(n));
Kết quả hiển thị: Γ(n + 1), trong đó Γ là ký hiệu của hàm Gamma được
xác định như sau

Γ(1) = 1
Γ(n + 1) = n!
1.4.4 Tính tổng hữu hạn
Để hiển thị biểu thức biểu diễn tổng dãy số cần tính, sử dụng dòng lệnh

có cú pháp như sau:
[> Sum(a
n
, n = k m);
trong đó a
n
là số hạng tổng quát của dãy, n chạy từ k đến m.
Để hiển thị giá trị của tổng cần tính, sử dụng dòng lệnh:
[> sum(a
n
, n = k m);
hoặc chọn nút công thức
n

i=k
f rồi nhập các giá trị thích hợp vào vị trí của
i, k, n và f.
Hai lệnh trên chính là hai dạng lệnh: lệnh trơ và lệnh trực tiếp đã được
nhắc tới trước đó. Tùy theo nhu cầu, chúng ta sử dụng linh hoạt các lệnh
này, dùng riêng lẻ hay kết hợp với nhau để hiển thị được kết quả như ý
muốn.
Ví dụ 1.3. Tính tổng
n

i=k
i
2
[> Sum(i
2
, i = 1 n) = sum(i

2
, i = 1 n);
Ví dụ 1.4. Tính tổng
n

i=1
1
i · (i + 1) · (i + 2)
[> sum

1
i · (i + 1) · (i + 2)
, i = 1 n

;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
1.4.5 Tính tổng vô hạn
Thao tác giống như tính tổng hữu hạn, chỉ cần thay chỉ số m bằng chữ
infinity hoặc kí hiệu ∞.
Ví dụ 1.5. Tính tổng
∞

i=1
1
n · (n + 1)
[> Sum

1
n · (n + 1)

, n = 1 ∞

= sum

1
n · (n + 1)
, n = 1 ∞

;
1.4.6 Tính tích của hữu hạn hoặc vô hạn thừa số
Thao tác giống như đối với tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn, chỉ thay
tên lệnh Sum bằng P roduct, hoặc sử dụng nút công thức
n

i=k
f rồi nhập
các giá trị thích hợp vào vị trí của i, k, n và f.
Ví dụ 1.6. Tính tích hữu hạn
n

k=1
2k − 1
2k
[> f :=
2 · k −1
2 · k
:
P roduct(f, k = 1 n) = simplify(
n


k=1
f);
Chú ý 1.6. Ở trên ta sử dụng thêm hai lệnh: lệnh gán tên cho biểu thức,
cú pháp <Tên>:=<Biểu thức>; và lệnh đơn giản hóa biểu thức, cú pháp
simplify<Biểu thức>;
Lệnh gán tên cho biểu thức thường được dùng khi biểu thức cồng kềnh
hoặc được dùng nhiều lần, việc gán tên sẽ giúp ta đỡ bị nhầm lẫn và mất
công viết lại biểu thức. Lệnh simplify (đơn giản hóa) giúp thu gọn biểu
thức.
Ví dụ 1.7. Tính tích vô hạn
∞

n=1

1 +
1
n · (n + 2)

[> f := 1 +
1
n · (n + 2)
:
P roduct(f, n = 1 ∞) = simplify(
∞

n=1
f);
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
1.4.7 Tính giới hạn của dãy số

Dãy số cần tính giới hạn có số hạng tổng quát là a
n
.
Gõ dòng lệnh có cú pháp
[> Limit(a
n
, n = ∞);
để hiển thị biểu thức biểu thị giới hạn của dãy.
Gõ dòng lệnh
[> limit(a
n
, n = ∞);
hoặc chọn nút công thức lim
x→a
f , sau đó thay x bởi n, thay a bởi ∞ và
nhập a
n
vào vị trí f để hiển thị kết quả tính giới hạn của dãy.
Ví dụ 1.8. Tính giới hạn lim
n→∞
n + sin(n)
2
n + cos(n)
[> Limit

n + sin(n)
2
n + cos(n)
, n = ∞


= limit

n + sin(n)
2
n + cos(n)
, n = ∞

;
Hình 1.6: Ví dụ về tính giới hạn của dãy.
1.5 Bài tập
Phần Bài tập chúng tôi không đưa vào đây mà được lưu trên file của
Maple.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
Chương 2
Hàm số
2.1 Các khái niệm
2.1.1 Khái niệm hàm số
Giả sử D ⊂ R là tập hợp các số và giả sử theo một quy luật hoàn toàn
xác định nào đó, mỗi số x ∈ D đều tương ứng với số duy nhất y ∈ R thì
ta nói rằng trên D đã cho hàm (đơn trị) và ký hiệu là y = f(x), x ∈ D
hay x → f(x), x ∈ D. Đại lượng biến thiên x được gọi là đối số hay biến
độc lập. Tập hợp D gọi là miền xác định của hàm. Đại lượng biến thiên y
gọi là hàm số hay đại lượng phụ thuộc. Tập hợp
D
∗
= {y ∈ R| ∃x ∈ D : y = f(x)}
gọi là miền giá trị của hàm số.
2.1.2 Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số f trong mặt phẳng tọa độ Descartes là tập

G
f
:= {(x; y) ∈ R ×R| x ∈ D
f
, y = f(x)},
trong đó D
f
là ký hiệu miền xác định của hàm số f.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên