Dang bai tap ung dung dao ham vao khao sat ham so luy thua mu logarit aezcn

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ
HÀM SỐ LOGARIT
I. Phương pháp giải
Đạo hàm  x    x 1 , u    u 1u;

 x   n

1

n

 a   a
x

x

n

x

n 1

 x  0  , n u  

u'
n u n1
n

, với u  0 .

ln a;  e x   e x ;  a u   a uu ln a;  eu   eu .u.

 loga x  

1
1
1
;  ln x   ;  ln x  
x ln a
x
x

 loga u  

u
u
u
;  lnu   ;  ln u   .
uln a
u
u

Khảo sát hàm số: xét tính đơn điệu, cực trị.
- Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a;b  , khi đó:
Nếu f   x   0 với mọi x   a;b  thì hàm số f đồng biến trên  a;b 
Nếu f   x   0 với mọi x   a;b  thì hàm số nghịch biến trên  a;b 
Khi f   x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của  a;b  thì kết quả trên vẫn đúng.
- Cho y  f  x  liên tục trên khoảng  a;b  chứa x0 có đạo hàm trên các khoảng  a; x0  và

 x0 ;b  :
Nếu f   x  đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f   x  đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x0 .
- Cho y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng  a;b  chứa x0 :
Nếu f   x0   0 và f   x0   0 thì f đạt cực tiểu tại x0
Nếu f   x0   0 và f   x0   0 thì f đạt cực đại tại x0 .
II. Ví dụ minh họa
Bài tốn 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y   x  1 .e
2x

2x

2 x  2 x
b) y  x  x
2 2

Giải
a) y  e2 x   x  1 .2e2 x   2x  1 e2 x

c) y  x5  5 x  x x .


b) y 

2

x

2


ln 2  2  x ln 2  2 x  2  x    2 x  2  x  2 x ln 2  2  x ln 2 

2

x

 2 x    2 x  2 x 
2

2

x

 2 x 

 2 x 

x

2

2

2

ln 2 
2

2

4 ln2 2
x

 2 x 

2

c) Ta có y  x5  5 x  x x  x5  5 x  e xln x nên
y  5x4  5 x ln 5  e xln x  ln x  1  5x4  5 x ln 5  x x ln x  1 .

Bài tốn 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:



a) y   3x  2  ln x

b) y  ln x  x  a

2

2

2



c) y 

ln  x 2  1
x

Giải
a) y  3ln2 x 

x

1

b) y 

2  3x  2  ln x
x

x  a2 
x  x2  a2

1

2

x2  a2

ln  x  1
2
c) y  2 
.
x 1
x2
2

Bài tốn 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y   2x  1  tan e x


b) y  5 ln3 5x
Giải

a) y  2  2x  1

 1

ln 5x 
y 
5  ln 5x 

 1  tan2 e x  e x

3

b)

3

5

c) Đặt u 

4



3ln2 5x
5 5 ln12 5x



3
5 5 ln 2 5x

.

u
6 x2
1  x3


y

u


thì
và
2
1  x3
3 3 u2
1  x3 

nên y 

u 3 u
2x 2

3u
1  x6

3

1  x3
1  x3

Bài tốn 4: Chứng minh:
a) Nếu y  ln

1
thì xy  1  e y .
1 x

b) Nếu y  e4 x  2e x thì: y  13y  12y  0

c) y  3

1  x3
1  x3

.


Giải
a) y  

1
x
1
suy ra xy  1 
1
 ey
x 1
x 1
x 1

b) y  4e4 x  2e x , y  16e4 x  2e x , y  64e4 x  2e x nên:
y  13y  12 y  64e4 x  2e x   13  4e4 x  2e x   12  e4 x  2e x   0.

Bài toán 5: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số
c) y  ln 6 x2  x  1

b) y  ln  x  5 

a) y  5kx

Giải
a) y   k ln 5  .5kx , y   k ln 5  .5kx
2

Ta chứng minh quy nạp: y n   k ln 5  .5kx
n

b) Với x  5 : y 

1
1
1.2
; y 
; y 
2
3
x5
 x  5
 x  5

Ta chứng minh quy nạp: y

 n

 1  n  1 !

n
 x  5
n 1

c) Với x   hoặc x  : y  ln   2x  1 3x  1   ln 2x  1  ln 3x  1
1
2

1
3

y 

1
1

.
2x  1 3x  1

1 
Ta chứng minh quy nạp 

 ax  b 

Suy ra y

 n

 m

1 m! a m


m 1
 ax  b 
m

1  n  1 ! 2 n 1  1  n  1 ! 3n 1



.
n

n
 2x  1
 3x  1
n 1

n 1

Bài tốn 6: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:
a) y 

ex
x

b) y  x2 .e x
Giải

e x  x  1
, y  0  x  1.
a) D  R\ 0 , y 
x2


Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng  ;0  và 0;1 , đồng biến trên khoảng
1;  , đạt CT 1;e 
b) D  R, y   2x  x 2  e x , y  0  x  0 hoặc x  2.

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng 0;2  , nghịch biến trong các khoảng  ;0  và

 2;  , đạt CĐ

 2;4e  , CT 0;0  .
2

Bài toán 7: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:
a) y  ln  x 2  1

b) y  x  ln 1  x 
Giải

a) D   ; 1  1;   , y 

2x
x 1
2

Khi x  1 thì y  0 nên hàm số nghịch biến trên  ; 1
Khi x  1 thì y  0 nên hàm số đồng biến trên 1; 
Hàm số khơng có cực trị.
b) D   1;   , y  1 

1
x

, y  0  x  0.
1 x 1 x

y  0,x  0;   nên hàm số đồng biến trên  0; 
y  0,x   1;0  nên hàm số nghịch biến trên  1;0  .

Ta có y 

1

1  x 

2

 0 nên đạt cực tiểu tại x  0, yCT  0.