Toán 7. CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN pptx

A. CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN
I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Chú ý:
( )
b b b
a a a
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx
+ = +
∫ ∫ ∫
Bài 1 Tính I=
2
2
2
1
x
dx
x 7x 12− +
∫
Giải:
( ) ( )
2
2
x 7x 12 A B
f (x) 1 1
x 7x 12 x 3 x 4 x 3 x 4
−
= = + = + +
− + − − − −
Xét :
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
A x 4 B x 3
7x 12 A B
x 3 x 4 x 3 x 4 x 3 x 4
− + −
−
= + =
− − − − − −
( ) ( )
( ) ( )
A 9
A B x 4A 3B
B 16
x 3 x 4
= −
+ + − −

= ⇔

=
− −

Vậy:
( )
2 2 2 2
1 1 1 1
2
1
9 16 1 1
I 1 dx dx 9 dx 16 dx

x 3 x 4 x 3 x 4
x 9ln x 3 16ln x 4 1 25ln 2 16ln 3
 
= − + = − +
 ÷
− − − −
 
= − − + − = + −
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 2 Tính I=
1
2
0
4x 11
x 5x 6
+
+ +
∫
Giải:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1
1
0
0 0 0
A x 2 B x 3
4x 11 A B
f (x)

x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3
A 3
3 1 9
f (x)dx dx dx I 3ln x 2 ln x 3 ln
B 1
x 2 x 3 2
+ + +
+
= = + =
+ + + + + +
=

⇔ ⇔ = + ⇒ = + + + =

=
+ +

∫ ∫ ∫
Bài 3
2
0
I cos x cos 2x cos3xdx
π
=
∫
Giải:
( )
( )
( )
2

1 1 1
f (x) cos2x cos4x cos2x cos4x cos 2x cos 2x cos6x cos2x 1 cos4x
2 2 4
= + = + = + + +
2 2 2 2
2
0 0 0 0
0
1 1 1 1 1
I cos6xdx cos4xdx cos2xdx dx sin 6x sin 4x sin 2x
4 4 6 4 2 2 8
π π π π
π
 
π π
  ÷
= + + = + + + =
 ÷
 ÷
 
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 4 tính
2
0
sinx
I dx
cos x sinx
π

=
+
∫
( ) ( )
( )
( )
2
2
0
0
A B cos x A B sinx
sinx sinx cos x
f (x) A B
cos x sinx cos x sinx cos x sinx
1
A
1 sinx cos x 1
2
I 1 dx x ln cos x s inx
1
2 cos x sinx 2 4
B
2
π
π
− + +
−
 
= = + =
 ÷

+ + +
 

= −

− π

 
⇔ ⇔ = − + = − + + =

 ÷
+
 

= −


∫
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 1
+ Chọn
1 2 1 2
a (t ) & b (t ) t ; t
x (t)
dx '(t)dt
= ϕ = ϕ ⇔

= ϕ ⇔

= ϕ


+
f (x)dx g(t)dt
=
+
2
1
t
b
a t
f (x)dx g(t)dt=
∫ ∫
+
2
1 x x sin t t (0; )
2
π
− ⇔ = ∈
+
2
1
x 1 x t (0; )
sin t 2
π
− = ∈
Bài 5 Tính
2
2
2
2

0
x
I dx
1 x
=
−
∫
Giải:
Đặt
x sin t 0 t<
2
π
= ≤
x 0 t 0
dx= cos tdt
2
x t
2 4
= ⇔ =


⇒

π
= ⇒ =


( )
2 2
2

x sin tcos tdt 1
dx 1 cos2t dt
cos t 2
1 x
= = −
−
( )
4
4
0
0
1 1 1 1
I 1 cos2t dt t sin 2t
2 2 2 8 4
π
π
π
 
= − = − = −
 ÷
 
∫
Bài 6
2
2
2
3
dx
I
x x 1

=
−
∫
Đặt
1
x 0<t<
sin t 2
π
=
2
1
x 2 sin t t
2 6
cos t
dx dt
sin t
2 3
x sin t t
2 3
3
π

= ⇒ = ⇒ =


= −

π

= ⇒ = ⇒ =



2
2
2
cos t
dx cos t
sin t
dt dt dt
cos t
1 1
x x 1
1
sin t sin t
−
= = − = −
−
−
6
3
6
3
I dt t
6
π
π
π
π
π
= − = =

∫
Dạng 2:
Dặt
t (x)
= ϕ
(a)
dx '(t)dt
(b)
α = ϕ

= ϕ

β = ϕ

b
a
f (x)dx g(t)dt
β
α
⇔ =
∫ ∫
Bài 7
6
2
0
cos x
I dx
sin x 5sin x 6
π
=

+ +
∫
Đặt
sin x t
=
x 0 t 0
dt cos xdx
1
x t
6 2
= ⇒ =


=
 π
= ⇒ =


( ) ( )
( )
1 1 1
2 2 2
2
0 0 0
1
1
2
2
0
0

dt dt 1 1
I dt
t 5t 6 t 2 t 3 t 3 t 2
t 3 10
I ln t 3 ln t 2 ln ln
t 2 9
 
= = = − =
 ÷
− + − − − −
 
−
= − − − = =
−
∫ ∫ ∫
Bài 8
( )
e
2
1
dx
I
x 1 ln x
=
+
∫
Đặt
ln x t
=
1

2
0
x 1 t 0
dx dt
dt I
x e t 1
x 1 t
= ⇒ =

= ⇒ =

= ⇒ =
+

∫
Đặt
t tan u
=
2
t 0 u 0
1
dt du
cos u
t 1 u
4
= ⇒ =


=


π
= ⇒ =


4 4
2
4
2
0
0 0
1
du
cos u
I du u
1 tan u 4
π π
π
π
= = = =
+
∫ ∫
.
III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Chú ý:
Từ
b b
b
a
a a
d(u.v) udv vdu udv u.v vdu

= + ⇔ = −
∫ ∫
b b
a a
b
b
a
a
I f (x)dx g(x)h(x)dx
u g(x) du g '(x)dx
I= uv vdu
dv h(x)dx v
= =
= ⇒ =

⇒ −

= ⇒

∫ ∫
∫
Bài 9
2
0
x cos xdx
π
∫
Dạng
b b
a a

P(x)sin xdx P(x)cosxdx
 
 
 
∫ ∫
Đặt:
u x du=dx
cos xdx v v=sinx
=
=
( )
2
2
2
0
0
0
I xsin x sin xdx x sin x cos x 1
2
π
π
π
π
= − = + = −
∫
Bài 10
1
x
0
xe dx

∫
Dạng
b
x
a
P(x)e dx
α
∫
Đặt
x x
u x du dx
e dx v v e
= =
= =
( )
1
1
1
x x x x
0
0
0
I xe e dx xe e 1
= − = − =
∫
Bài 11
2
2x
0
I e sin3xdx

π
=
∫
Dạng
b b
x x
a a
e sin xdx e cos xdx
α α
 
β β
 
 
∫ ∫
Đặt
2x 2x
u sin 3x du 3cos3xdx
1
dv e dx v e
2
= =
= =
Vậy
2
2 2
2x 2x 2x
0 0
0
1 3 1 3
I sin3xe e cos3xdx sin 3xe J(*)

2 2 2 2
π
π π
= − = −
∫
Xét
2
2x
0
J e cos3xdx
π
=
∫
Đặt
2x 2x
u cos3x du 3sin 3xdx
1
dv e dx v e
2
= = −
= =
Vậy
2
2 2
2x 2x 2x
0
0 0
1 3 1 3
J cos3xe e sin3xdx cos3xe I(**)
2 2 2 2

π
π π
   
= + = +
 ÷  ÷
   
∫
Thay (**) vào (*) Ta có
2 2
2x 2x
0 0
2
2x 2x
0
1 3 1 3
I sin 3xe sin3xe I
2 2 2 2
13 1 3 3 2e
I sin 3xe sin 3xe I
4 2 4 13
π π
π
 
   
 
= − + ⇔
 ÷  ÷
 
   
 

 
−
 
= − ⇔ =
 ÷
 
Bài 12
e
1
x ln xdx
∫
Dạng
b
a
P(x)ln xdx
∫
Đặt
2
1
u ln x du dx
x
1
dv xdx v x
2
= =
= =
e e
e
2 2 2 3
1

1 1
1 1 1 1
I x ln x x dx x ln x x
2 2 2 6
   
= − = −
 ÷  ÷
   
∫
Câu lạc bộ Gia sư thủ khoa