TÀI LIỆU DẠY THÊM TOÁN 12

Nguồn Tư liệu :
KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
A) Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:
( )
( )
+ α + α = ∀α∈
π
 
+ α α = ∀α ≠ ∈
 ÷
 
π
 
+ = + α ∀α ≠ + π ∈
 ÷
α
 
+ = + α ∀α ≠ π ∈
α
2 2
2
2
2
2
sin cos 1 R
tan .cot 1 k ,k Z
2
1
1 tan k ,k Z
cos 2
1

1 cotg k ,k Z
sin
Hệ quả:
• sin
2
x = 1-cos
2
x ; cos
2
x = 1- sin
2
x
• tanx=
1
cot x
;
1
cot
tan
x
x
=
B) Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc
Biệt:
“ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, sai π tang”
D/. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng:
Với mọi cung có số đo a, b ta có:
 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
 tan(a – b) =
tan tan
1 tan .tan
−
+
a b
a b

 tan(a + b) =
tan tan
1 tan .tan
+
−
a b
a b

2. Công thức nhân đôi:
 sin2a = 2sina.cosa
⇒
1
sina.cosa= sin2
2
a
 cos2a = cos
2
a – sin
2
a

= 2cos
2
a – 1
= 1 – 2 sin
2
a
 tan2a =
2
2tan
1 tan−
a
a
3. Công thức nhân ba:
 sin3a = 3sina – 4sin
3
a
 cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
4.Công thức hạ bậc:
 cos
2
a =
1 cos 2
2
a+

 sin
2
a =

1 cos 2
2
a−

 tg2a =
1 cos 2
1 cos2
a
a
−
+
6. Công thức biến đổi tổng thành
tích
a)
a b a b
cosa cos b 2 cos cos
2 2
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   
b)
a b a b
cosa cos b 2 sin sin
2 2
+ −
   
− = −
 ÷  ÷

   
c)
a b a b
sin a sin b 2sin cos
2 2
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   
d)
a b a b
sin a sin b 2 cos sin
2 2
+ −
   
− =
 ÷  ÷
   
e)
sin( )
tan tan ( , , )
cos .cos 2
±
± = ≠ + ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π
π

f)
sin cos 2 sin( ) 2 ( )
4 4
+ = + = −
a a a cos a
π π
g)
sin cos 2 sin( ) 2 ( )
4 4
− = − = − +
a a a cos a
π π
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
1
cos .sin sin( ) sin( )
2
a b a b a b

a b a b a b
a b a b a b
a b a b b a
• = − + +
• =− + − −
• = + + −
• = + + −

Nguồn Tư liệu :
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau:
b)
d)
f) =1
1 2
)sin sin 2
2 2
)sin 2 sin sin 2 cos
3 4 5
2
)sin cos sin
3 3 3
a x x
c x x x x
e x x x
π π π
π π π
= − =
     
+ = − + =

 ÷  ÷  ÷
     
     
− = + −
 ÷  ÷  ÷
     
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau:
b)
d)
f) =
1 2
)cos cos3
2 2
3
)cos 2 cos cos 2 cos
3 4 5
)cos sin cos sin 5
3 3
a x x
c x x x x
e x x x x
π π π
π π
= − = −
     
− = − + =
 ÷  ÷  ÷
     
   
− = −

 ÷  ÷
   
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau:
b)
d)
f) =
3
) tan 3 tan 3
3
2
) tan 1 tan 2 3
3 5
4
)cot 2 3 cot 3 0
3 3
a x x
c x x
e x x
π π
π π
= − = −
   
− = + = −
 ÷  ÷
   
   
− = +
 ÷  ÷
   
Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau:

π
 
− = − − =
 ÷
 
− = =
b)
d) 5cot3x
)2 cos 2 0 4 sin 2 0
4
) 3 tan 2 3 0 1
a x x
c x
Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau:
( )
b)
d
f
2 2
2 2
2 2
)2sin 3sin 1 0 cos 4 cos 3 0
)6 sin 3 2sin 3 4 0 ) tan tan 2 0
) 5tan 3tan 8 0 ) 3 cot 2 1 3 cot 2 1 0
3 3
a x x x x
c x x x x
e x x x x
π π
− + = + + =

+ − = − − =
   
− − − − + = + − − =
 ÷  ÷
   
Bài 6: Giải các phương trình lượng giác sau:

Nguồn Tư liệu :
b)3
d
f
2 2
2
4 2
)cos 2 sin 2 1 0 sin 3 7 cos 3 3 0
)6 cos 5sin 7 0 )cos 2 5sin 3 0
)cos 2 cos 1 0 )4 sin 12 cos 7
)3cot
a x x x x
c x x x x
e x x x x
g
+ + = + + =
+ − = − − =
+ + = + =
h
2
1 0 )7 tan 4 cot 12
5
x x x

π
 
+ − = − =
 ÷
 

Bài 7: Giải các phương trình lượng giác sau:
− − = + − =
− = − + =
+ − = + −



2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
)sin sin 2 3cos 0 ) 6 sin sin cos cos 2
)sin 2 2 sin 2 cos 2 )2 sin 2 3sin 2 cos 2 cos 2 2
1
)sin sin 2 2 cos )4 sin 3 3 sin 2 2
2
a x x x b x x x x
c x x x d x x x x
e x x x f x x
( )
=
+ − − =
+ − =
-1
2

2 2
2 2
cos 4
) 3 sin 1 3 sin cos cos 3
)sin 2 sin cos 2 cos 1
x
g x x x x
h x x x x
Bài 8: Giải các phương trình lượng giác sau:

− = + =
+ = + =
+ = − =
b)
d
f
2
)4 sin 3cos 5 3sin 2 2 cos 2 3
9
)3cos 2 3 sin )sin 3 3 cos3 2
2
1
)sin 2 sin )2 sin 2 cos 2
2
)5cos 2
a x x x x
c x x x x
e x x x x
g
− =

12 sin 2 13x x

Bài 9: Giải các phương trình lượng giác sau:
= =
= + + =
+ = + + = +
b)
d
f
)sin .sin 7 sin 3 .sin 5 sin 5 . cos3 sin 9 .sin 5
)cos cos 2 cos3 )sin 3 sin 5 sin 7 0
) tan tan 2 tan 3 )sin sin 2 sin 3 cos cos 2
a x x x x x x x x
c x x x x x x
e x x x x x x x x
+
cos3x
Bài 10: Giải các phương trình lượng giác sau:
= − + =
−
+ = + + + =
− + − = +
b)
d
f
4 4 2 2 2 2
2
)sin 2 sin 5 cos 3 2 sin sin 3 3cos 2
3 cos6
)sin cos )sin sin 2 sin 3 sin 4 2

4
)2sin cos 2 1 2 cos 2 sin 0 )2 cos 4 sin1
a x x x x x x
x
c x x x x x x
e x x x x x
=
0 1x

Bài 11: Giải các phương trình lượng giác sau:

( ) ( )
+ = − =
+ = + =
− + = + = −
b)
d
x f
2
) tan tan 2 sin 3 cos cos 2 3sin 2
)sin 4 3 cos 4 2 )3tan 2 cot 3 tan 2
) 2sin cos 1 cos sin )2sin 2 sin 3cos
a x x x x x x
c x x x x x
e x x x x x x

Bài 12: Giải các phương trình lượng giác sau:

Nguồn Tư liệu :

( )
+ = − + − =
− =
− =
− = −
+
b) 3

d (CD A 2008
(DH B 2002)
f
2 2
2 2 2 2
2
)sin cos 1 2 sin 2 cos 5 sin 5 2 cos 3 0
)6 tan 2 cos cos 2
)sin 3 3 cos 3 2sin 2 )
)sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
) 1 2 sin
a x x x x x x
c x x x
x x x
e x x x x
x
= + +
+ + = +
+ + + = +
(CD 2009)
(CD D 2008)
h) (DH A 2007)

cos 1 sin cos
)2 sin (1 cos2 ) sin 2 1 2 cos
(1 sin 2 )cos (1 cos 2 )sin 1 sin 2
x x x
g x x x x
x x x x x