Kỹ thuật lập trình & Một số thuật toán trong ngôn ngữ lập trình C++

Lời nói đầu
Bài toán phân tích số nguyên ra thừa số nguyên tố đà đợc ra đời từ rất lâu và
đà có rất nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên cứu và giải quyết vấn đề về nó.
Ngoài ý nghĩa lý thuyết của bản thân bài toán thì ngời ta còn phát hiện ra rất nhiều
ý nghĩa thực tiễn đặc biệt là trong mật mÃ.
Thứ nhất nó là cơ sở cho sự ra đời của một hệ mật khoá công khai nổi tiếng
ra đời trong năm 1978, đó là hƯ mËt RSA cđa Revert - Shamir - Adlemal. HƯ mật
này mà độ mật của nó dựa vào tính khó của việc phân tích số N=pq (p, q nguyên
tố ) ra thừa số.
Tiếp đến trong những việc thiết kế nên các bộ tạo dÃy giả ngẫu nhiên một
trong những nguyên liệu của nó là các đa thức nguyên thuỷ mà để tạo đợc các đa
thức nguyên thuỷ bậc m thì điều đầu tiên phải giải quyết là phân tích hoàn toàn với
2m-1 ra thừa số nguyên tố.
Để giải quyết vấn đề đợc đặt ra trong đồ án này, chúng tôi đa ra một số cơ
sở lý thuyết.
Chơng 1 sẽ trình bầy về các số Mersenne. Các số có dạng Mq=2q-1 (với q là
nguyên tố ) đợc gọi là các số Mersenne và đà đợc nghiên cứu công phu.
Chơng 2 xem xét loại bài toán quen thuộc hơn đó là bài toán phân tích số nguyên
ra thừa số. Sự đóng góp cã tÝnh khoa häc cđa chóng t«i thỊ hiƯn bëi việc trình bày
các thuật toán về phân tích số nguyên tố theo cách hiểu của mình.
Chơng 3 là phần cơ bản của đề án, trong đó trình bày các t tởng của thuật toán
phân tích ra thừa số nguyên tố của những số nguyên lớn. Tiếp theo trong chơng
này trình bày các cài đặt cụ thể cho những thuật toán liên quan đến việc phân tích
ra thừa số nguyên tố, vÝ dơ nh c¸c phÐp : +, -, *, / và luỹ thừa các số lớn. Chúng tôi
còn đặc biệt lu ý tới việc cài đặt thuật toán Pollard thứ nhất một thuật toán rất hiêụ
quả trong việc phân tích những hợp số lớn.
Một vấn đề không thể không nói trớc là những vấn đề đợc hiểu thấu đáo sẽ
đợc chúng tôi trình bày chi tiết ở mức độ thuật toán khả thi trong việc lập trình,
còn một số kết quả cần đến những chuẩn bị toán học cao siêu thì chỉ đợc dẫn các
đánh giá tơng ứng về thời gian tính đủ rút ra các thông số cần thiết ®Ĩ x©y dùng

các tiêu trí. Chúng tôi nghĩ rằng chỉ có thể trình bày bản báo cáo này theo cách nh
vậy mới đảm bảo tính cân đối trong cấu trúc bởi vì để làm cho tờng minh dù chỉ
một trong những vấn đề đà né tránh trên chúng ta cũng phải cần đến hàng tập tài
liệu dầy, đấy là cha kể đến việc chúng ta có đủ kiến thức cần thiết đến mức để có
thể trình bày nó cho mọi ngời rõ hay kh«ng.


Chơng i. Đặt vấn đề và ý nghĩa của bàI toán

Bài toán phân tích số nguyên ra thừa số nguyên tố đà đợc ra đời từ rất lâu và
đà cuốn hút nhiều bộ óc vĩ đại nhất trên thế giới để giải quyết vấn đề về nó. Ngoài
ý nghĩa lý thuyết của bản thân bài toán thì ngời ta còn phát hiện ra rất nhiều ý
nghĩa thực tiễn đặc biệt là trong mật mÃ.
Thứ nhất, nó là cơ sở cho sự ra đời của một hệ mật khoá công khai nổi tiếng
vào năm 1978, đó là hệ mật mà RSA ( RSA là từ viết tắt của ba ngời: Rivets –
Shamir – Adleman ). HƯ mËt nµy cã néi dung đề cập đến việc phân tích số
nguyên tố ngẫu nhiên lớn (chẳng hạn có 80 chữ số) ra thừa số. Một vấn đề quan
trọng là cần phải kiểm tra bao nhiêu số nguyên ngẫu nhiên (với kích thớc xác
định) cho tới khi tìm đợc một số nguyên tố. Một kết quả nỗi tiếng trong lý thuyết
số (đợc gọi là định lý số nguyên tố) phát biểu rằng: số các số nguyên tố không lớn
hơn N xấp xỉ bằng N/ln N. Bởi vậy, nếu p đợc chọn ngẫu nhiên thì xác suất p là
một số nguyên tố sẽ vào khoảng 1/ln p. Víi mét mo®un 512 bÝt, ta cã 1/ln p
1/77. Điều này có nghĩa là tính trung bình, cứ 177 số nguyên ngẫu nhiên p với
kích thớc tơng ứng sẽ có một số là số nguyên tố. Dĩ nhiên, nếu chỉ hạn chế xét các
số nguyên lẻ thì xác suất sẽ tăng gấp đôi tới khoảng 2/177). Bỡi vậy trên thực tế,
hoàn toàn có khả năng tạo đợc các nguyên tố đủ lớn và do đó về mặt thực thể ta có
thể thiết lập đợc một hệ mật RSA.
Tiếp đến trong những việc thiết kế nên các bộ tạo dÃy giả ngẫu nhiên một
trong những nguyên liệu của nó là các đa thức nguyên thuỷ mà để tạo đợc các đa

thức nguyên thuỷ bậc m thì điều đầu tiên phải giải quyết là phân tích hoàn toàn với
2m-1 ra thừa số nguyên tố. Để kiểm tra tính nguyên thuỷ cđa chóng b»ng c¸ch
dïng tht to¸n x¸c st Monte- Carlo thời gian đa thức, đây là thuật toán nhanh
(tức là một số nguyên n đợc kiểm tra trong thời đa thức theo log2n, là số các bít
trong biểu diện nhị phân của n). Tuy nhiên, vẫn có khả năng là thuật toán cho rằng
n là số nguyên tố trong khi thực tế n là hợp số. Bởi vậy, bằng cách thay đổi thuật
toán nhiều lần, có thể giảm xác suất sai số dới một mức ngỡng cho phép.
Bản đồ án không đi sâu vào các phân tích của những ý nghĩa nêu trên mà đÃ
đặt nhiệm vụ chính là giải quyết bài toán phân tích số nguyên ra thừa số nguyên
tố nh là một việc làm trung gian của một ứng dụng thực tiễn cụ thể. ĐÃ có một
khối lợng khổng lồ các tài liệu về các thuật toán phân tích thừa số và việc nghiên
cứu kỹ lỡng sẽ đòi hỏi phải có một cuốn sách dày trang hơn quyển sách này. ở
đây chỉ cố gắng đa ra một cái nhìn khái quát bao gồm việc thảo luận sơ lợc về các
thuật toán phân tích thừa số tốt nhất hiện thời và cách sử dụng chúng trong thực tế.


Các thuật toán nổi tiếng khác (những thuật toán toán có trớc) bao gồm thuật toán
p+1 của Williams, phơng pháp và thuật toán p-1 của Pollard, thuật toán liên
phân số và dĩ nhiên cả những phép chia thử.


Chơng iI. Số Mersenne và việc phân tích
2.1 Số Mersenne
Nếu một số có dạng 2m-1 là một số nguyên tố thì m=q là một số nguyên tố.
Không khó khăn lắm, có thể chứng minh đợc rằng nếu 2m-1 là luỹ thừa của một số
Prime Power thì nó phải là một số nguyên tố và do vậy m cũng là một số nguyên
tố.
Các số có dạng Mq=2q-1 (với q là nguyên tố ) đợc gọi là các số Mersenne và
đà đợc nghiên cứu công phu.
ở vào thời đại của Mersenne, ngời ta đà biết rằng một vài số Mersenne là số

chính phơng và một vài số khác là hợp số. Ví dụ, M2=3, M3=7, M5=31, M7=127 là
nguyên tố, trong khi M11=23*89.
Vào năm 1640 , Mersenne đà cho rằng Mq là số nguyên tố đối với
q=13,17,19,31,67,127,257; ông đà nhầm đối với 67 và 257 và đà không đa 61,89
và 107(những số nhỏ hơn 257) vào danh sách trên. Những số này cũng sinh ra các
số nguyên tố Mersenne. Phát hiện của ông thực sự đáng kinh ngạc về mặt độ lớn
của các số.
Một bài toán khá hiển nhiên là: Xét xem một số Mersenne có là số nguyên
tố không, và nếu không thì xác định các thừa số của nó ( hay còn gọi là bài toán
phân tích ra thừa số). Một kết quả cổ điển do Euler đa ra năm 1750 và sau đó đợc
Lagrange (1775) và Lucas (1875) chứng minh là:
Bài toán: Nếu q là một số nguyên tố đồng d modulo 4(q≡3(mod 4)) th× Mq chia
hÕt cho 2q+1 khi và chỉ khi 2q+1 là nguyên tố; trong trờng hợp này, nếu q>3 thì
Mq là hợp số.
Chứng minh: Cho n=2q+1 là một thừa số của M. Vì 22#1 (mod n) nên 2q#1 (mod
n), và 22q-1=(2q+1)Mq0 (mod n), từ đó bằng phép thử của Lucas suy ra n là một
số nguyên tố.
Ngợc lại, cho p=2q+1 là một số nguyên tố. Vì p7(mod 8) nên (2/p)=1, do
vậy tồn tại m sao cho 2m2 (mod p). Điều này chứng tỏ rằng 2q2(p-1)/
mp-11(mod p) V× vËy Mq chia hÕt cho p.

2


Hơn nữa, nếu q>3 thì Mq=2q-1>29+1=p, vì vậy Mq là hợp số. Vì vậy nếu
q=11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, thì Mq có các ớc tơng ứng là 23, 47, 167,
263, 350, 383, 479, 503. Cịng rÊt dƠ để xác định hình dạng của các thừa số của
các sè Mersenne:
"NÕu Mq chia hÕt cho n th× n≡±1 (mod 8) và n1 (mod q)"
Chứng minh: Chỉ cần chỉ ra r»ng mäi thõa sè nguyªn tè p cđa Mq cã dạng trên là

đủ.
Thật vậy, nếu p là ớc của Mq=2q-1 thì 2q1 (mod q); Vì vậy theo bài toán
nhỏ của Fermat thì q là ớc của p-1, tức là p-1=2kq (v× p#2). V× vËy:
2
( ) ≡ 2 ( p −1) / 2 ≡ 2 qk ≡ 1 (mod p).
p

Do ®ã p1 mod (8).
Phơng pháp tốt nhất hiện nay dùng để xác định Mq là một số nguyên tố hay
là một hợp số đợc phát triển dựa vào việc tính toán một dÃy đệ qui do Lucas
(1878) và Lehmer (1930) đa ra. Tuy nhiên, bằng cách này vẫn không tìm ra đợc
các thừa số cụ thể.
Nếu n lẻ, n3 thì Mn=2n-17 (mod 12). Đồng thời, nếu N7 (mod 12) thì ký
hiệu Jacobi:
(

3
N
) = ( )(−1) ( N −1) / 2 = 1
N
3

2.2. Phép thử nguyên tố cho các số Mersenne
Cho p=2,Q=-2 và xét các dÃy Lucas kép (Um)m0,(Vm)m0, có biệt gthức
D=12. N=Mn là một số nguyên tố khi và chỉ khi V(N-1)/2 chia hÕt cho N.
Chøng minh: Cho N lµ mét sè nguyªn tè.
Ta cã:
V2(N+1)/2=VN+1+2Q(N-1)/2=VN-1-4(-2)(N-1)/2
≡ VN+1-4(-2/N) ≡VN+1+4(mod N)

Vì (-2/N)=(-1/N)(2/N)=-1. Vì vậy chỉ cần chỉ ra rằng N7 (mod N). Theo
(IV.4): 2VN-1=VNV1+DUNU1=2VN+12UN; do vËy theo (IV.14) vµ (IV.13):
VN+1=VN+6VN≡2+6(12/N) 2-6-4(mod N). Ngợc lại, giả sử rằng V(N+1)/2 chia hết
cho N. ThÕ th× theo (IV.2), VN+1 chia hÕt cho N. §ång thêi, theo(IV.6): V2(N+1).2)=1
(gcd_íc chung lín nhÊt). V× vËy gcd(N,2)=1, nên thu phép thử một (Phần V), N là
một số nguyên tố.
Để cho tính toán, ngời ta thay dẫy Lucas (Vm)m>=0 bằng dẫy (Sk)k>=1 đợc định
nghĩa nh sau:
S0=4; Sk+1=S2k-2;

Vì thế dẫy này sẽ khởi đầu bằng 4,14,194,... và phép thử nguyên tố đợc phát
biểu lại nh sau:
Mn=2n-1 là nguyên tố khi vµ chØ khi Mn lµ íc cđa Sn-2.
Chøng minh: S0=4=V2/2. Giả sử rằng Sk-1=V2k/ 2 2 k 1 ;
thì Sk=S2k-1-2=

V22 k
22

k

−2=

V

2 k +1 + 2 2

22

k

k +1

−2=

V2 k +1
22

k

. Theo phép thử này thì Mn là nguyên
n 2

2
tố khi vµ chØ khi Mn lµ íc cđa V(Mn+1).2=V2 = 2 S n 2 , hay tơng đơng Mn là ớc của
n 1

Sn-2. Tính lặp của các phép tính này đà làm cho phép thử trở nên phù hợp. Bằng
cách này, tất cả các ví dụ về các số nguyên tố Mersenne lớn đà đợc tìm ra. Năm
1876 , Lucas đà tự mình tìm ra M127 là nguyên tố và M67 là hợp số. Sau đó không
lâu, Pervushin đà chỉ ra rằng M61 cũng là nguyên tố. Cuối cùng, vào năm 1927
Lehmer chứng minh đợc M257 cũng là hợp số. Chú ý rằng M127 có 39 chữ số và là
số nguyên tố lớn nhất đợc biết tới trớc kỷ nguyên của máy tính.
Các số nguyên tố Mersenne với q<= 127 đợc tìm ra trớc khi có máy tính
điện tử. Năm 1951, Turing đà lần đầu tiên thử dùng một máy tính để tìm các số
nguyên tố Mersenne nhng bị thất bại. Năm 1952, Robinson đà tiến hành phép thử
của Lucas trên một máy SWAC. Ông đà tìm ra các số nguyên tố Mersenne : M521,
M607_những số đầu tiên tìm đợc bằng máy tính. Các số nguyên tố M1279,M2203,M2281
cũng đợc tìm ra trong cùng năm ấy. Số nguyên tố Mersenne lớn nhất đà tìm đợc là

M21609, nó có 65050 chữ số do Slowinski phát hiện năm 1985. Số nguyên tố
Mersenne đợc tìm ra cuối cùng là M110503 do Colquitt và Welsch phát hiện năm


1988. Năm 1989, Bateman, Selfridge và Wagstaff đà đa ra một phỏng đoán liên
quan đến các số nguyên tố Mersenne:
Cho p là một số tự nhiên lẻ (không nhất thiết phải là nguyên tố). Nếu hai
trong các điều kiện sau đây thoả mÃn thì điều kiện thứ 3 cũng thoả mÃn:
a) p2k1 hoặc p=4k3
b) Mp là một số nguyên tố
c)

2p +1
là một số nguyên tố
3

Phỏng đoán này đà đợc kiểm chứng là đúng đối với mọi p<100.000. Những
số nguyên tố p<100.000 thoả mÃn cả ba điều kiện là p=3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61,
127. Cã thÓ tin r»ng những số này là các số nguyên tố duy nhất thoả mÃn cả ba
điều kiện nói trên.
Cũng nh đối với các số Fermat, hiện còn có rất nhiều vấn đề mở về các số
Mersenne:
(1) Liệu có vô hạn các số nguyên tố Mersenne không?
(2) Liệu có vô hạn các số Mersenne là hợp số không?
Câu trả lời cho cả hai câu hỏi trên chắc là có
(3) Có phải mọi số Mersenne đều là không chính phơng không?


Kỷ lục: Có 31 số nguyên tố Mersenne đà đợc biết. Dới đây là danh sách đầy đủ
của chúng cùng với tên ngời và năm tìm ra.

q
2
3
5
7
13
17
19
31
61
89
107
127
521
607
1279
2203
2281
3217
4253
4423
9689
9941
11213
19937
21701
23209
44497
86243
110503

132049
216091

Năm

Ngời phát hiện

1461
1588
1588
1750
1883
1911
1913
1876
1952
1952
1952
1952
1952
1957
1961
1961
1963
1963
1963
1971
1978
1979
1979

1982
1988
1983
1985

Anonymous*
P.A.Cataldi
P.A.Cataldi
L.Euler
I.M.Pervushin
R.E.Powers
E.Fauquembergue
E.Lucas
R.M.Robinson
R.M.Robinson
R.M.Robinson
R.M.Robinson
R.M.Robinson
H.Riesel
A.Hurwitz
A.Hurwitz
D.B.Gillies
D.B.Gillies
D.B.Gillies
B.Tuckerman
L.C.Noll & L.Nickel
L.C. Noll
H.Nelson & D. Slowinski
D.Slowinski
W.N.Colquitt & L. Welsch, Jr.

D.Slowonski
D.Slowonski

“See Dickson’s History of the Theory of Numbers, Vol. I.p.6.


Chơng iII. Một số thuật toán và phơng pháp phân
tích số
3.1 Thuật toán sàng Eratosthenes
Thuật toán phân tích số nguyên N đợc mô tả nh sau:
Thuật toán 3.1( sàng Eratosthenes )
(1)

p=1.

(2)

p=p+1.

(3)

Tính r=N mod p.
Nếu r>0 quay về (2).
Ngợc lại p là ớc của N. Dừng chơng trình...
Đây là thuật toán có tính phổ thông và mặc dù nh chúng ta đà biết là thuật

toán rất tồi vì thời gian tính cđa nã lµ O( N ) nhng nÕu N cã ớc nhỏ thì việc áp
dụng thuật toán này lại rất hiệu quả. Hơn thế nữa, thuật toán này cũng có thể lấy
điểm xuất phát của bớc (1) là p=[ N ] và tiến hành bớc (2) là p=p-1 thì rõ ràng nó
cũng hiệu quả nếu ớc của N rất gần với.

3.2 Thuật toán sàng đồng d
Thuật toán 3.2:
Lấy ngẫu nhiên hai số a và b ngẫu nhiên Z*N.
Kiểm tra gcd((a-b) mod N, N) hoặc gcd((a+b) mod N, N)>1 là xác suất nh sau:
Nếu đúng thì gcd((a-b) mod N, N) hoặc gcd((a+b) mod N, N)>1 là ớc của N.
Dừng chơng trình.
Ngợc lại quay về (1).
Bây giờ chúng ta hÃy tạm dừng để phân tích thuật toán dới góc độ xác suất
nh sau:
Cho p là ớc nguyên tố nhỏ nhất của N, thế thì cần có tối thiểu bao nhiêu
cặp a, b đợc xét đến xác suất { có ít nhất một cỈp a, b chia hÕt cho p} > 0.5”.


Bài toán trên còn đợc gọi là bài toán trùng ngày sinh và số m tối thiểu
cần tìm trong bài toán sẽ là mCp với C là một hằng số tính đợc nào đó ( việc giải
chi tiết bài toán trên có thể xem trong [Riesel]). Nh vậy chúng ta có thể thành
công trong thuật toán với xác suất >0.5 sau không quá m bớc.
Hiển nhiên bằng cách duyệt dần thì thời gian tính của thuật toán của chúng
ta cũng chẳng khác gì thời gian tính của phép sàng. Trong [Pollard], tác giả J. M.
Pollard đà sử dụng một phơng pháp còn đợc gọi là phơng pháp p nhằm chỉ cần
thông qua m bớc có thể duyệt đợc m cặp khác nhau nh đà nêu trong thuật toán.
Việc thể hiện phơng pháp này có thể mô tả nh sau:
Chọn dÃy giả ngẫu nhiên {xi mod N:i=1,2,...} đợc xác định nh sau
xi-1(xi2+a) mod N với a#0 và #-2 còn giá trị đầu x0 tuỳ ý.

3.3 Thuật toán sàng bậc hai
Tử tởng chủ đạo của một loạt khá lớn các thuật toán phân tích số nh phơng
pháp đặc biệt của Euler, phơng pháp phân tích các dạng chính phơng của Danien
Shanks, phơng pháp khai triển liên phân số của Morrison và Brillhart, phơng pháp
sàng bậc hai của Pomerance... là cố tìm đồng d thức x2=y2 mod N sao cho x#y

mod N, còn kỹ thuật tìm cụ thể nh thế nào thì chính là nội dung riêng của từng
thuật toán.
Đối với thuật toán sàng bậc hai của Pomerance đợc thực hiện nh sau:
- Chọn k số nguyên tố đầu tiên và gọi là cơ sở phân tích.
- Chọn B là một số nào đó gọi là ngỡng tìm các thặng d bậc hai nhỏ.
- Tìm k+1 các thặng d bậc hai nhỏ hơn B và phân tích đợc hoàn toàn trong tập cơ
sở trong lớp các số dạng Q(x)((m+x)2-N mod N với k là số phần tử của cơ sở, m=
N còn x=0, 1, 2,...

- Xây dựng đồng d thức x2y2 mod N từ k+1 thặng d bậc hai tìm đợc trên.
Cơ sở của thuật toán chủ yếu dựa vào thứ nhất là khả năng tìm đợc k+1
thặng d bậc hai và tiếp đến là việc xây dựng đồng d thức x2≡y2 mod N nh thÕ nµo.
Tríc hÕt chóng ta cïng xem xÐt ®Õn vÊn ®Ị thø hai.


Giả sử thặng d bậc hai thứ i tìm đợc ở trên là ri=xi2=q11.q12...qkk( qj là số
nguyên tố thứ j của B), ta đặt tơng ứng với véc tơ viGF(2)2 nh sau vi=(α1mod 2,
α2 mod 2,..., αk mod 2). Chý ý rằng có thể có nhiều giá trị ri khác nhau đợc ứng
cùng với một véc tơ v nhng một cách hình thức ta có thể coi k+1 véc tơ khác nhau
thu từ việc ứng k+1 giá trị r có đợc ở trên.
Hiển nhiên trong không gian k chiều GF(2)k thì tập k+1 véc tơ vi
(i=1,2,...k+1) chắn chắn phụ thuộc tuyến tính, giả sử ta có tổ hợp tuyến tính đặc trng cho sự phụ thuộc đó là:
k +1

a v
i =1

Khi đó

i i

= , với là véc tơ không và ai không đồng thời bằng không.

Q( x )
1

a1 =1

theo định nghĩa sẽ là x2 mod N, mặt khác do điều kiện đặt ra ở

trên là Q(xi) phân tích đợc hoàn toàn trong tập cơ sở cùng với điều kiện
tức là vế phải của tích

Q( x )
1

a1 =1

k +1

a v
i =1

i i

=

chứa toàn các số mũ chẵn đối với các thừa số

trong cơ sở do vậy nó cũng là một thặng d bậc hai y2 nào đó. Nếu xy mod N thì

chúng ta sẽ thành công trong việc phân tích N với các thừa số tơng ứng là
gcd(xy, N). Ngời ta cũng chỉ ra rằng khả năng thành công xảy ra với xác suất là
1
do vậy thời gian tÝnh cđa tht to¸n chđ u phơ thc tun tính (thông thờng
2

bằng phép khử Gauss).
Với việc tìm các thặng d bËc hai nhá tho¹t nhäưn chóng ta nhËn thÊy r»ng
do Q(x+rpα)≡[(m+x+rpα )2-N mod N≡{[(m+x)2-N]+rpα[2(m+x)+rpα]}mod N≡Q(x)
+rpα[2(m+x)+rpα] mod N nªn:
NÕu pα là ớc của Q(x) thì nó cũng là ớc của Q(x+rp) với mọi số nguyên r.
Từ kết quả trên chúng ta thấy rằng nếu tồn tại giá trị x theo yêu cầu Q(x)
phân tích hoàn toàn trong cơ sở và không quá B thì ta có thể tìm đợc nó chỉ cần
trong lân cận B của 0.
Ngoài ra một số kết quả (xem [Riesel]) khác cũng không kém phần quan trọng đó
là:


Điều kiện cần và đủ để x sao cho p lµ íc cđa Q(x) lµ kÝ hiƯu Legendge (N/
p)=1.
Nh vËy không phải toàn bộ các số nguyên tố trong đều cần phải đợc biểu
diễn (đúng hơn là chỉ có khoảng một nửa số nguyên tố trong cơ sở là có mặt trong
biểu diễn của các Q(x)) do đó để thu đợc hệ phụ thuộc tuyến tính nêu trong phân
tích trên thì thờng chỉ cần số phơng trình khoảng già nửa số các nguyên tố trong
cơ sở là đủ.
Nếu p3 mod 4 thì giá trị xmN(p+1)/4 mod p là các giá trị

ớc của Q(x). Nếu p1 mod 4 thì việc tìm các giá trị x tơng tự có thể bằng một
thuật toán gần đa thức.
Nếu x

y

trình đồng d bậc nhất sau

( x + m) 2 − N
+ 2( x + m)r 0 mod p ( chú ý rằng phơng
P

trình trên luôn luôn có duy nhất nghiệm).
Với hai kết quả trên rõ ràng chúng ta luôn tìm đợc toàn bộ giá trị x trong
một phạm vi B cho trớc nào đó mà với chúng Q(x) có ớc lẻ trong tập cơ sở phân
tích. Trờng hợp p=2 việc thu đợc kết quả na ná nh trên có phức tạp hơn, chúng tôi
không đủ tài liệu để mô tả tờng minh việc dò tìm đó ở đây.
Tóm lại quá trình tìm các thặng d bậc hai nhỏ có thể mô tả nh sau:
- Chọn một ngỡng B nào đó và sàng để tìm các giá trị x nhỏ nhất < B mà với
chúng p là ớc của Q(x).
- Các thặng d bậc hai nhỏ Q(x)=R2=q11.q22...qkk, ở đây x0 là giá trị nhỏ nhất để
q11.q22...qkk là ớc của Q(x) mà ta có thể phát hiện đợc ở bớc trên.
Tất cả các phân tích đợc nêu ở trên mặc dù cha đủ chặt chẽ cho sự đảm bảo
thành công của việc tìm các thặng d bËc hai nhá trong líp Q(x) mµ chØ dõng ë
møc độ thể hiện một mô tả bớc tìm kiếm này sẽ đợc thông qua một quá trình
sàng theo cơ sở của những kết quả nêu trên nhằm loại bỏ các giá trị không thể là
ứng cử viên cho các thặng d bËc hai nhá. Mét sè tµi liƯu (xem [Dixon],
[Lenstra],...) đà phân tích về thời gian tính của thuật toán và số liệu khả quan nhất
về vấn đề này của Lenstra lµ:


1

(1+ ( 0 ))(ln N ln ln N ) 2

O(e

) víi O(1) lµ mét hµm tiÕn tíi 0 khi N tiến tới .

3.4 Thuật toán Dixon và sàng bậc hai
Thuật toán Dixon đợc xây dựng trên ý tởng đó là: nếu tìm đợc x y (mod
n) sao cho x2y2 (mod n) thì UCLN(x-y,n) là ớc không tầm thờng của n.
Phơng pháp này sử dụng cơ sở nhân tử là một tập b chứa các số nguyên tố bé.
Trớc tiên ta nhận đợc một vài số nguyên x sao cho tất cả các thừa số nguyên tốcủa
x2 (mod n) nằm trong cơ sở b (cách thực hiện điều này sẽ đợc thảo luận sau). ý tởng thực hiên ở đây là lấy tích của một vài giá trĩ sao cho mỗi số nguyên tố trong
cơ sở đợc sử dụng một số chẵn lần. Điều này dẫn đến một đồng d thức dạng mong
muốn x2 y2 (mod n) mà ta hy vọng sẽ đa đến việc phân tích n.
Ta sẽ minh hoạ bằng một ví dụ đà đợc dự tính kü lìng.
VÝ dơ :
Gi¶ sư n=15770708441. Gi¶ sư b = {2,3,5,7,11,13}. Xét ba đồng thức sau:
83409341562 3 ì 7 (mod n)
120449429442 ≡ 1 × 7 × 13 (mod n)
27737000112 =2 × 3 × 13 (mod n)
NÕu lÊy tÝch cđa ba đồng d thức trên:
(8340934156 ì 2044942944ì2773700011)2 (2ì 3ì 7ì 13)2 (mod n)
Rút gọn các biểu thức bên trong các dÊu ngỈc theo modulo n, ta cã:
95034357852 ≡ 5462 (mod n)
Sau ®ã tÝnh:
UCLN(9503435785-546, 15770708441)=115759


Ta thấy 115759 là một thừa số của n.
Giả sử B = {p1, . . . .pB}là một cơ sở nhân tử. Giả sử c lớn hơn B một chút
(chẳng hạn C=B+10) và giả sử ta đà có C đồng d thøc:
xj2 ≡ p1α1j × p2α2j × . . .× pBBj(mod n)
với 1 j C. Với mỗi j xét vÐctor :

aj = (α1j mod 2, α2j mod 2, . . ., αBj mod 2) ∈ (Z2)B
NÕu cã thĨ t×m đợc một tập con các aj sao cho tổng theo modulo 2 là vector (0,. . .,
0) thì tích của các xj tơng ứng sẽ sử dụng mỗi nhân tử trong B một số chẵn lần.
Ta sẽ minh hoạ bằng cách trở lại ví dụ trên. Trong trờng hợp này nếu C < B,
vẫn tìm đợc sự phụ thuộc tuyến tÝnh.
VÝ dô :(tiÕp)
Cho 3 vector a1, a2, a3 :
a1 =(0, 1, 0, 1, 0, 0)
a2 =(1, 0, 0, 1, 0, 1)
a3 = (1, 1, 0, 0, 0, 1)
DƠ dµng thÊy r»ng:
a1 +a2 + a3 = (0, 0, 0, 0, 0, 0) mod 2
Đây là lý do cho thấy đồng d thức (thiết lập theo tích) sẽ phân tích thành công đợc
n.
Nhận thấy rằng, bài toán tìm một tập con C vector a1, a2, . . ., aC sao cho
tæng theo modulo 2 lµ mét vector toµn chøa sè 0 chÝnh là bài toán tìm sự phụ
thuộc tuyến tính (trên Z2) của các vector này. Với C > B, sự phụ thuộc tuyến tính
này nhất định phải tồn tại và ta có thể dễ dàng tìm đợc bằng phơng pháp loại trừ
Gaux. Lý do giải thích tại sao lấy C > B+1 là do không có gì bảo đảm để một
đồng d thức cho trớc bất kỳ sẽ tạo đợc phân tích n. Khoảng 50% thuật toán cho ra


x ≡ ±y (mod n). Tuy nhiªn nÕu C > B+1 thì có thể nhận đợc một vài đồng d thức
nh vậy. (Nảy sinh từ các phụ thuộc tuyến tính khác của các aj). Hy vọng là ít nhất
một trong các đồng d thức kết quả sẽ dẫn đến việc phân tích n.
Vấn đề còn lại là phải làm thế nào để nhận đợc các số nguyên xj mà các giá
trị xj2 mod n có thể phân tích hoàn toàn trên cơ sở b. Một vài phơng pháp có thể
thực hiện đợc điều đó. Biện pháp sàng

bậc hai do Pomerance đa ra dùng các số nguyên dạng xj=j +

[ n]

,j=1,2...... Tên sàng bậc hai lấy từ thủ tục sàng (không mô tả ở đây) dùng để xác
định các xj phân tích đợc trên b.
ở đây dĩ nhiên là một sự thoả hiệp: nếu B = | B | là một số lớn thì thích hợp
hơn cả là nên phân tích số nguyên xj trên b. Tuy nhiên khi B càng lớn thì ta càng
phải gom nhiều đồng d thức hơn trớc khi có thể tìm đợc một quan hệ phụ thuộc.

3.5 Phơng pháp p-1: Thuật toán Pollard thứ nhất
Thuật toán kiểu p-1 là thuật toán phân tích số nguyên N dựa vào phân tích
của p-1 với p là một ớc nguyên tố của N. Thuật toán còn đợc gọi là thuật toán phân
tích thứ nhất của Pollard, đây là một thuật toán có tác dụng nếu ta biết đợc các íc
nguyªn tè cđa mét thõa sè p cđa N nãi chung và đặc biệt nếu N có một thừa số
nguyên tố p mà p-1 chỉ gồm những ớc nguyên tố nhỏ thì thuật toán đợc trình bày
trong phần này sẽ có hiệu quả.
ý tởng của thuật toán là tìm một cách ngẫu nhiên số aZ*n có bậc không là
ớc của p-1. Số a nếu tìm đợc hiển nhiên phải thoả mÃn bap-1 mod N#1, điều này
có ý nghĩa N không là ớc của b-1. Mặt khác do p nguyên tố nên theo định lý
Fermat ta có b mod p(ap-1 mod N) mod p=1 nh vËy b-1 ≡0 mod p vµ do ®ã cã
ngay p | gcd(b-1,N). Hai ®iỊu kÐo theo p=gcd(b-1,N).
Mét sè vÊn ®Ị cha têng minh trong viƯc thùc hiện nói trên là:


Do p là số cha biết nên dấu hiệu nhận biết giá trị a cần tìm là ap-1 mod N#1 cũng
cha xác định. Tất nhiên ở đây điều kiện nhận biết có thể đợc làm nhẹ bớt đó là
ta có thĨ thay sè p-1 cha biÕt b»ng sè Q gi¶ định có thể là chọn trớc và tính baQ
mod N, nếu N>gcd(b-1, N)>0 thì việc chọn của chúng ta đà thành công và có
p=gcd(b-1, N). Hiển nhiên việc giả định Q chØ cã nghÜa khi vµ chØ khi p-1 lµ ớc
N

log q

của Q, trong trờng hợp p-1 chỉ có các ớc nguyên tố nhỏ tức là p-1= q1

1

... q

N
log q

k

k

.

Tất nhiên các số mũ trong khai triển của Q là quá d thừa do đó các lựa chọn tiếp
theo của chúng ta sẽ là cố giảm các số mũ này đến mức thấp nhất có thể, cách làm
cụ thể cho việc này sẽ đợc mô tả cụ thể trong thuật toán.
Vấn đề kế tiếp là việc tìm kiếm có khả thi hay không, nói một cách khác
chúng ta phải trả lời câu hỏi liệu có tồn tại hay không số a có bậc không là ớc
của p-1?. Trớc hết chúng ta giới hạn phạm vi số N cần đợc phân tích là N=pq với
p và q là các số nguyên tố khác nhau, khi này bậc cao nhất của các phần tử trong
Z*N sẽ là (N)=1cm(p-1, q-1). Do p khác q nên chắc chắn hoặc p-1 hoặc q-1 là ớc
thực sự của (N) và câu hỏi đà đợc trả lời có. Đến đây mức độ khó hay dễ của
việc tìm đợc số a sẽ liên quan đến mật độ này nh sau: Mật độ nói trên sẽ nghịch
biến với gcd(p-1,q-1). Nh vËy nÕu gcd(p-1,q-1) nhá th× viƯc t×m ra a sẽ thuận lợi,
ngợc lại trong trờng hợp khó khăn hơn (gcd(p-1,q-1) lớn) thì trong phần 2.3 sau
này chúng tôi sẽ chỉ ra một phơng pháp phân tích hiệu quả hơn.

Các bớc của thuật toán Pollard. (dùng để phân tích N có ớc p với p-1 chỉ
gồm các ớc nguyên tố trong k số nguyên tố đầu tiên).
N
log q

N
log q

(1)

Q= q1 ... qk

(2)

LÊy a ngÉu nhiªn trong Z*N, tÝnh b≡aQ mod N.

(3)

Xét đẳng thức b=1.

1

k

, i=1,j=0.

Nếu đúng chuyển sang (4).
Ngợc lại chuyển sang (6).
(4)

Xét jNếu đúng thì j=i+1, Q=Q|qi, quay về (3).
Ngợc lại: chuyển sang (5).


(5)

Xét iNếu đúng thì : i=i+1, j=0, nếu b#1 thì Q=Q.qi. Quay về (4).
Ngợc lại quay về (1).

(6)

Xét gcd (b-1, N)>1.
Nếu đúng có ớc của n là gcd (b-1,N). Dừng chơng trình.
Ngợc lại quay về (4)...

Chú ý: Thuật toán của Pollard mà chúng tôi trình bày ở trên giống bất cứ thuật
toán trình bày trong các tài liệu khác nh của [Riesel], [Stinson]... tuy nhiên một số
chi tiết nh giá trị xuất phát Q ở các thuật toán khác đều lấy là Q=q1!...qk!, tiếp đến
là mỗi giá trị a chỉ đợc xét đúng một lần với giá trị baQ mod N, thËm chÝ trong
[Stinson] chØ lu«ng xÐt víi a=2.
Thø nhÊt ta có thể kiểm chứng đợc rằng nếu p-1 chỉ có các ớc trong k số
nguyên tố đầu tiên thì cha chắc p-1 đà là ớc của Q= q1!...qk! trong khi đó giá trị
N
log q

N
log q

Q= q1 ... qk
1

k

mà chúng tôi lựa chọn chắc chắn đáp ứng đợc yêu cầu này. Chính

yếu tố cha đáp ứng mà các thuật toán khác sẽ gặp phải gcd(b-1, N)=1 ngay cả khi
b-1#0 đúng hơn là ngay cả khi a là phần tử có bậc không là ớc của p-1 trong khi
của thuật toán của chúng tôi với trờng hợp này chắc chắn sẽ thành công.
Tiếp đến trong thuật toán của chúng tôi, mỗi khi xét một giá trị a chúng tôi
vét toàn bộ khả năng về bậc của nó. Giá trị b#1 tìm đợc trong (2) đảm bảo bậc của
a không là ớc của p-1, mỗi giá trị b#1 tìm đợc trong các phần sau đó thành công ở
(6) cũng đảm bảo một kết luận tơng tự. Giá trị Q cuối cùng trong trờng hợp không
thành công của thuật toán chính là bậc của a và khi này Q|p-1.

3.6 Phơng pháp : Thuật toán Pollard thứ hai
Bớc tiến đáng kể nhất trong các thuật toán hiệu quả trong việc tìm các ớc
nhỏ là thuật toán dựa vào phơng pháp còn đợc gọi là thuật toán Pollard thứ hai.
Thời gian tính của thuật toán này chỉ còn là O ( p ) với p là ớc nguyên tố nhỏ
nhất của N. Nh vậy trong trờng hợp tồi nhất (p N ) thì thời gian tÝnh cịng chØ lµ
3

N.


ý tởng phơng pháp p của Pollard rất đơn giản nh sau: Tìm hai phần tử a và
b đồng d modulo p ( ab mod p) nhng không đồng d modulo N. Khi nµy p sÏ lµ íc cđa gcd(N,(a±b ) mod N).
ThuËt to¸n 2.3 (ThuËt to¸n Pollard thø hai)
(1) i=0

(2) i=i+1
(3) XÐt gcd((x2i- xi)mod N,N)>1
- NÕu ®óng ta cã gcd((x2i- xi)mod N,N).Dừng chơng trình
- Ngợc lại quay về (2).
Bây giê chóng ta ph©n tÝch thêi gian tÝnh cđa tht toán.
Một điều dễ dàng nhận ra là:
x2i-xi (X22i-1+a)-(Xi-12+a)X22i-1-X2i-1(x2i-1-xi-1)(x2i-1+xi-1)...
(x2i-1+xi-1)(x2i-2+xi-2)...(xi+x0)(xi+x0)

Nh vậy tại bớc thứ i chúng ta đà xét đến i+1 cặp khác nhau và cũng dễ dàng
nhận ra rằng các cặp đợc xét trong mọi bớc là không giống nhau do đó hiển nhiên
với

p bớc chúng ta đà có p cặp khác nhau đợc xét đến và nh đà phân tích ở trên,

thuật toán sẽ thành công với xác xuất >0.5.Nói một cách khác thuật toán của
Pollard đợc thực hiện trong ( p ) bớc.

Nhận xét
Với các thuật toán đơn giản đợc giới thiệu trong phần này chúng ta cùng thống
nhất đa ra yêu cầu sau đối với các module hợp số.
Điều kiện 2.4.Về ớc bé nhất của module hợp số N.
-p phải là một số lớn
- Các ớc phải có kích thớc xấp xỉ nhau.
- Các ớc không đợc xấp xỉ nhau về giá trị.


Yêu cầu thứ nhất là đơng nhiên tuy vậy định lợng cho tiêu chuẩn lớn ở đây cha
đợc đặt ra.Yêu cầu thứ hai chính là bài toán phân tích về lớp khó nhất của
chúng, còn yêu cầu cuối cùng đợc coi là mội ví dụ chi việc tránh các trờng hợp cá

biệt. Điều kiện 2.4 đà loại bỏ tất cả các module không an toàn trớc tấn công bởi
các thuật toán đà nêu trong mục này.

3.7 Phơng pháp p1: Thuật toán Williams.
Để tiện tiếp thu phơng pháp p1 trớc hết chúng tôi xin điểm lại một số kết
quả chính yếu nhất liên quan đến dÃy Lucas ( các định nghĩa liên quan và các
chứng minh của các kết quả đợc ®a ra cã thĨ t×m ®äc trong [Riesel], [Kranakis]
hay mét sách giáo khoa số học bất kỳ).
Định nghĩa 2.5. (DÃy Lucas)
Cho a, b là hai nghiệm của phơng trình x2-Px+Q=0 (*).
Kí hiệu Um=

am bm
và Vm=am+bm (**).
a b

Các dÃy {Um}, {Vm} m=0,1,2,... gọi là dÃy Lucas của phơng trình (*). Ngợc lại
phơng trình (*) gọi là phơng trình đặc trng cđa d·y (**)...
TÝnh chÊt 3.6. NÕu i lµ íc cđa j thì Ui là ớc của Uj ...
Tính chất 3.7. (Công thức tính các phần tử của dÃy Lucas).
Ta có U0=0, U1=1, V0=2, V1=P và m>1 thì Um và Vm đợc tính theo công
thức sau:
m
U m+1 Vm +1 P − Q  U 1 V1 

...

=
0  U 0 V0

U m Vm 1


Định lý 3.8. { Um} là dÃy Lucas của phơng trình (*) với P2-4Q=d2 có không có
ớc chính phơng (hay còn gọi là bình phơng tự do).


Nếu p không là ớc của ∆Q th× p −  P  ≡ 0 mod p ở đây




P là


kí hiệu Legendre...

Nếu nh cơ sở của phơng pháp p-1 là dựa vào kết quả của định lý Fermat thì
với kết quả của Lucas ( định lý 2.4) chúng ta cũng phát triển thành một phơng


pháp phân tích số nguyên một cách tơng tự nhng dựa vào kết quả phân tích của
p1 với p là íc mguyªn tè cđa N. Chóng ta cã thĨ hinh dung vỊ tht to¸n nh sau:
Tht to¸n 3.9. (Tht to¸n p±1 cña Williams).
N
2

N
log qk

log
(1). Q= 21 ... qk , i=1, j=0.

(2). Lấy không có ớc chính phơng ngẫu nhiên trong Z*N , tìm R, S nguyên sao
cho R2-4S=d2 với d#0 nào đó. Xét gcd(Q.N)>1.
Nếu đúng ta có ớc của N là gcd(Q.N). Dừng chơng trình.
Ngợc lại tính bUQ mod N (phần tử thứ Q trong dÃy Lucas của phơng trình x2Rx+S=0).
(3). Xét đẳng thức b=0.
Nếu đúng chuyển sang (4).
Ngợc lại chuyển sang (6).
(4). Xét jNếu đúng j=j+1, j=0, nếu b#1 thì Q=Q.qi. Quay về (3).
Ngợc lại: chuyển sang (5).
(5). Xét iNếu đúng thì: i=i+1, j=0, nếu b#1 thì Q=Q.qi. Quay về (4).
Ngợc lại quay về (1).
(6). Xét gcd(b, N)>1.
- Nếu đúng có ớc của n là gcd(b,N). Dừng chơng trình.
Ngợc lại quay về (4)...
Phân tích thuật toán
Trớc hết ta thấy rằng các bớc và việc làm trong mỗi bớc của thuật toan gần
nh giống hệt với thuật toán của Pollard nhằm để vét hết các khả năng p+1 (trong
trờng hợp


P =-1)


và p-1 (trong trờng hợp

P =1)


là ớc của Q. Việc xét đẳng thức

b=0 trong mỗi bớc, nếu sai nhằm đảm bảo cho ta b không là bội của N và nếu p+1


hoặc p-1 là ớc của Q thì theo các kết quả 2.7 và 2.9 cho ta b là bội của p vµ nh vËy
gcd(b, N) lµ íc thùc sù cđa N.
Thuật toán trên rõ ràng có hiệu quả trong cả hai trờng hợp p+1 hoặc p-1 chỉ
gồm các ớc nguyên tố nhỏ, tuy nhiên căn cứ vào công thức tính các giá trị của dÃy
Lucas ta thấy ngay rằng hệ số nhân của thuật toán này là lớn hơn nhiều so với
thuật toán của Pollard trong trờng hợp cùng phân tích đợc N với ớc p của nó có p-1
chỉ gồm những ớc nhỏ boỉ vì thay cho việc tính một luỹ thừa thông thờng thì thuật
toán của Lucas phải tính một luỹ thừa của một ma trận.

3.8 Phơng pháp của Pollard
Trong phơng pháp này còn đợc gọi là phơng pháp phân tích ra thừa số thứ
hai của Pollard. Nó dựa trên một ý tởng thống kê và đà đợc R.Brent cải tiến.
Các ý tởng liên quan đến việc tìm ra ớc số p của số N đợc mô tả nh sau:
(1) Xây dựng một dÃy số nguyên {xi} hồi qui tuần hoàn (mod p).
(2) Tìm ra chu kỳ, tức là tìm i và j, sao cho xi=xj (mod p)
(3) Nhận dạng thừa số p của N.
Bớc 1 yêu cầu tìm ra một dÃy tuần hoàn (mod m), trong đó m là một số
nguyên tuỳ ý, là rất dễ thoả mÃn. Xét một dÃy bất kỳ đợc định nghĩa đẹ qui theo
kiểu sau ( s đợc giá thiết là một hằng số, tức là độc lập với i, và F là một đa thức):
xi F(xi-1,xi-2,...,xi-s) (mod m)
với các giá trị đà cho đối với x1, x2,...,xs. Sau đó xs+1, xs+2,... có thể đợc tính lần lợt

theo công thức đà cho. Tuy nhiên, vì tất cả các xk, đợc cho theo modulo m, nên
mỗi xk chỉ có thể nhận một trong m giá trị khác nhau (0,1,...,m-1) và vì vậy chỉ có
nhiều nhất là ms dÃy phân biệt xi-1,xi-2,...,xi-s của s số xk liên tiếp. Nh vậy sau cùng
lắm là ms+1 bíc ®Ư qui, hai d·y gièng hƯt nhau gåm s số liên tiếp phải xuất hiện.
Chúng ta gọi hai dÃy này là xi-1,xi-2,...,xi-s, và xj-1, xj-2,...,xk-s, nên rõ ràng là, nếu các
dÃy của các giá trị này trùng khớp nhau đối với hai giá trị khác nhau của k, thì các
giá trị xi và xj, đợc tính từ các giá trị đằng trớc theo cùng một cách sẽ giống nhau.
V× vËy, chóng ta cã hai dÉy míi gåm s giá trị:
xi, xi-1,...,xi-s+1 và xj, xj-1,..., xj-s+1 với tính chất là xi=xj, xi-1=xj-1,...,xi-s+1. Từ đây dẫn
đến kết quả là xi+1 ®ång nhÊt víi xj+1 vµ cø thÕ tiÕp tơc.


Nhng điều này có nghĩa là dẫn {xi} là tuần hoàn lặp lại có thể chỉ trừ ra một
phần khi bắt đầu dÃy. Phần này đợc gọi là không có chu kú.
Chóng ta xÐt mét vÝ dơ ®Ĩ cho dƠ hiểu: Dẫy Finabocci (mod 11). DÃy này đợc định nghĩa nh sau:
xi xi-1+xi-2(mod 11) với x1x21.
Chúng ta nhận đợc liên tiếp các phần tử sau đây của dẫy:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 2, 10, 1, 0, 1, 1, 2, 3,... (mod 11)
Sau 10 phần tử dẫy này lặp lại. Đây là dẫy tuần hoàn ngay từ bắt đầu.
Bây giờ sang bớc 2 của thuật toán : tìm chu kỳ. Để xác định nó trong trờng
hợp tổng quát, ta cần phải tìm ra vị trí mà tại đó một dẫy các phần tử liên tiếp bắt
đầu lặp lại nếu chu kỳ dài. Đây là một việc cực khó và rất tốn công sức. Tuy nhiên,
trong trờng hợp đơn giản nhất khi mà xi đợc định nghĩa chỉ qua xi-1 và không qua
bất kỳ một xk nào khác thì dẫy này đợc lặp lại theo chu kỳ ngay khi một phần tử xj
bất kỳ bằng một phần tử trớc nó. Vì vậy, trờng hợp này chỉ yêu cầu một phép so
từng giá trị xj mới với các xk đứng trớc để tìm ra chu kỳ. Tuy vậy, nếu chu kỳ rất
dài (một vài triệu phần tử ) thì rất khó có thể ghi lại tất cả các phần tử và so sánh
chúng từng cặp. Thay vào đó, ta có thể sử dụng kỹ thuật sau:
Giả sử dẫy tuần hoàn {xi} (mod m) với phần không tuần hoàn có độ dài a và
một chu kỳ có độ dài l. Thế thì, chu kỳ này cuối cùng sẽ đợc phát hiện ra bằng

phép thư: x2i≡xi(mod m)?
Chøng minh: Tríc hÕt, nÕu x2i≡xi(mod m) th× dẫy này rõ ràng là tuần hoàn từ x2i
trở đi, thậm chí có thể còn trớc nữa. Ngợc lại, đối với một dẫy tuần hoàn bất kỳ với
độ dài chu kú l, xj≡xi (mod m) ®èi víi j=i+k |, k=1,2,3,... và mọi i>a (tức là đối với
tất cả các phần tử sau phần không tuần hoàn) rút cuộc sẽ có một i với x 2ixi (mod
m). Giá trị đầu tiên nh vậy của i là i=(l+1)[a/l]. Nếu a>b, thì cách tìm này sẽ phát
hiện ra chu kỳ chỉ sau một vài chu kỳ đầy đủ đà bỏ qua, nhng cuối cùng thế nào
cũng tìm đợc chu kỳ của dẫy.
Bây giờ làm thế nào để có thể so sánh x2i với các xi mà không cần phải lu
giữ tất cả các xi? Đơn giản ta chỉ cần tính lại các xi song song với các x2i. Giả sử
xi+1=f(xi). Thuật toán tìm chu kỳ có thể mô tả bằng đoạn mà chơng tr×nh sau:
x:=x1; y:=f(x1);


WHILE x<>y DO
BEGIN
x:=f(x); y:=f(y); y:=f(x);
END;
Khi thực hiện đợc đến đây có nghĩa là x=y và chu kỳ đà đợc chạy qua.
Cuối cùng, ta xét các yêu cầu thứ ba và cuối cùng của phơng pháp p của
Pollard. Nếu chúng ta có một dÃy {xi} tuần hoàn (mod p) thì bằng cách nào chúng
ta có thể tìm đợc ớc p cha biết của N? cũng giống nh cách chúng ta đà làm trong
phơng pháp p-1, đơn giản bằng cách dùng thuật toán Euclit để tìm ớc chung lớn
nhất d của x2i-xi (mod N) và N. Thờng thì d sẽ quay về 1, nhng ngay khi x2i≡xi
(mod P) th× d sÏ chia hết cho p.
Bây giờ, chúng ta sẽ bàn đến một thuật toán tìm thừa số hiệu quả dựa vào
các ý tởng trên dÃy sẽ có dạng nh thế nào. Thứ nhất, dẫy {xi} nên là một dẫy thật
dễ tính toán ( bởi vì phải tính nó hai lần). Thứ hai, độ dài chu kỳ nên ngắn thôi.
Thứ ba, việc sử dụng thuật toán Euclid cần đợc tổ chức một cách hữu hiệu sao cho
thời gian tính toán không quá nhiều trong phÐp t×m íc chung lín nhÊt (N, x2i-xi)

(mod N)=1.
Pollard ®· ph¸t hiƯn ra trong mét dÉy {xi} c¸c sè nguyên ngẫu nhiên (mod
P) một phần tử thờng hay lặp lại chỉ sau C P bớc. Điều này cũng dễ hiểu nếu
chúng ta xem xét lời giải của bài toán Ngày sinh:
Cần phải chọn bao nhiêu ngời một cách ngẫu nhiên để cho xác suất có ít
nhất hai ngời trong số đó trùng ngày sinh lớn hơn 1/2 ?
Lời giải: Xác suất để q ngời không có cùng ngày sinh là
(1

1
2
3
9 1
)(1
)(1
)...(1
)
365
365
365
365

Biểu thức này nhỏ hơn <0.5 khi q23.
Tổng quát hoá: q phải bằng bao nhiêu để cho ít nhất hai số nguyên đợc chọn ngẫu
nhiên trong q số sẽ là đồng d (mod p) với xác suất >1/2.
Điều này sẽ xảy ra nếu


(1 −

1
2
3
q −1 1
)(1 − )(1 − )...(1 −
)<
p
p
p
p
2

VÕ tr¸i ®ỵc íc lỵng b»ng:
≈ (1 −

q q −1
− q ( q −1) / 2 p
) ≈e
.
2p

BiĨu thøc nµy b»ng 0.5 nÕu.
q (q − 1)
= ln 2 , tøc lµ nÕu q ≈ 2 p ln 2 + 0.5 ≈ 1.18 p.
2p

Đến đây chúng ta có thể phát biểu thuật toán phân tích ra thừa số của
Pollard. Thay cho các số nguyên ngẫu nhiên {xi}, chúng ta phải tính một cách đệ
qui một dÃy đợc gọi là các số nguyên giả_ngẫu nhiên. Cách lựu chọn đơn giản
nhất là chọn xi+1 axi(mod p) với một giá trị cố định của a.

Tuy nhiên, lại xảy ra một vấn đề là sự lựa chọn này không sinh ra đợc các
số nguyên đủ ngắn nhiên ®Ĩ cho mét chu kú ng¾n chØ gåm C P bớc đối với dẫy
{xi}. Một cách lựa chọn đơn giản nữa là sử dụng một biểu thức bậc 2:
xi+1=x2i+a (mod p)
Về mặt trực giác thì có thể phép chọn này đáp ứng đợc các tính chất cần
thiết (ít ra là khi a kh«ng b»ng 0 cịng kh«ng b»ng –2) nhng nó cũng cha đợc
chứng minh đầy đủ.
Chúng ta sẽ thực hiện việc tìm p bằng thuật toán Euclid trên x2i-xi (mod N)
và N trong mỗi chu trình nh thế nào? Một lần nữa, ta lại sử dụng các mẹo nh đÃ
làm trong phơng pháp (p-1) : Tích luỹ tích
i

Qi= ( x 2 j − x j ) (mod N).
j =1

và áp dụng thuật toán Euclid chỉ khi i là bôi của 100. Bằng cách này, chi phí cho
việc sử dụng thuật toán Euclid đợc giảm một phép nhân và một phép rút gọn (mod
N) trên một chu trình.

3.9. Mô tả đại số của phơng pháp của Pollard
Có những lý luận đại số khá đơn giản để chỉ ra tại soa một thừa số p của N
đợc tìm thấy sau O( p ) chu tr×nh trong p cđa Pollard. Lý luËn nµy nh sau: