Cac dang bai toan lien quan den phuong trinh song mon vat ly lop 12

BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH SĨNG
Phương pháp giải
1) Phương trình sóng
Giả sử sóng truyền từ điểm M đến điểm N cách nhau một khoảng d trên cùng một
phương truyền sóng. Nếu phương trình dao động tại M: uM = aM cos ( t + ) thì phương
2d 

trình sóng tại N sẽ là uN = aN cos  t +  −
.
 

Dao động tại N trễ hơn dao động tại M là  =

2d 2d 2df
d
=
=
=

vT
v
v

Khi M, N dao động cùng pha  = k 2 ( k  Z ) , ta tính được , v, T, f theo k.
Khi M, N dao động ngược pha  = ( 2k + 1)  ( k  Z ) ta tính được , v, T, f theo k.
Khi M, N dao động vuông pha  = (2k + 1)  (k  Z) ta tính được , v, T, f theo k.
2

Để xác định giá trị nguyên k ta phải căn cứ vào điều kiện ràng buộc:

1    2 ; v1  v  v2 ;T1  T  T2 ; f1  f  f2

Ví dụ 1: (ĐH-2009) Một nguồn phát sóng cơ dao động theo phương trình
u = 4cos ( 4t = π/4 )( cm ). Biết dao động tại hai điểm gần nhau nhất trên cùng một phương

truyền sóng cách nhau 0,5m có độ lệch pha là /3. Tốc độ truyền của sóng đó là
A. 1,0 m/s
B. 2,0 m/s
Hướng dẫn: Chọn đáp án D

C. 1,5 m/s

D. 6,0 m/s

Hai điểm trên phương truyền sóng cách nhau một khoảng d thì dao động lệch pha
nhau:  =

2d 2df d
 4.0,5
=
=
hay =
 v = 6( m)

v
v
4
v

Ví dụ 2: (ĐH-2011) Một sóng hình sin truyền theo phương Ox từ nguồn O với tần số 20 Hz, có
tốc độ truyền sóng nằm trong khoảng từ 0,7 m/s đến 1 m/s. Gọi A và B là hai điểm nằm trên Ox,
ở cùng một phía so với O và cách nhau 10 cm. Hai phần tử môi trường tại A và B luôn dao động

ngược pha với nhau. Tốc độ truyền sóng là

A. 100 cm/s
B. 80 cm/s.
C. 85 cm/s.
Hướng dẫn: Chọn đáp án B
2d 2df
1
 =
=
= ( 2k + 1)   v =
( m / s ) . Thay

v
( 2k + 1)
0,7m/s  v  1m/s  1,5  k  2,35  k = 2  v = 0,8 ( m/s )

D. 90 cm/s.

vào

điều

kiện


Ví dụ 3: Sóng cơ truyền trên một sợi dây đàn hồi rất dài với tốc độ là 4 m/s. Hai điểm trên dây
cách nhau 40 cm, người ta thấy chúng luôn luôn dao động vuông pha. Biết tần số f có giá trị
trong khoảng từ 8 Hz đến 13 Hz. Tính tần số.

A. 8,5 Hz
B. 10 Hz
Hướng dẫn: Chọn đáp án
 =

C. 12 Hz

2d 2df

=
= ( 2k + 1)  f = 5k + 2,5 ( Hz ) .

v
2

Thay

D. 12,5 Hz
vào

điều

kiện

v  13Hz  1,1  k  2,1  k = 2  f = 12,5 (Hz)

Ví dụ 4: Một nguồn O phát sóng cơ dao động theo phương trình u0 = 2cos ( 20t + π/3) (trong
đó u tính bằng đơn vị mm, t tính bằng đơn vị s). Xét sóng truyền theo một đường thẳng từ O đến
điểm M (M cách O một khoảng 45 cm) với tốc độ không đổi 1m/s. Trong khoảng từ O đến M có
bao nhiêu điểm dao động cùng pha với dao động tại nguồn O?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 5

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
 =

2d 2d 2df d
2v
2.1
=
=
=
= k .2  d = k
=k
= 0,1.k (m)

vT
v
v

20

Thay vào điều kiện: 0  d  0, 45 m  0  k  4,5  k = 1; 2;3; 4  có 4 giá trị
Ví dụ 5: Một nguồn O phát sóng cơ dao động theo phương trình u0 = 2cos ( 20t + π/3) (trong đó

u tính bằng đơn vị mm, t tính bằng đơn vị s). Xét trên một phương truyền sóng từ O đến điểm M
rồi đến điểm N với tốc độ 1 m/s. Biết OM = 10 cm và ON = 55cm. Trong đoạn MN có bao
nhiêu điểm dao động vuông pha với dao động tại nguồn O?
A. 10
B. 8
C. 9
Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Độ lệch pha của một điểm trên MN cách O một khoảng d là:
 =

D. 5

d 20d d
=
=
v
100
5


2

Điểm này dao động vuông pha với O thì  = (2k + 1)  d = 5k + 2,5(cm)
Thay vào điều kiện: OM  d  ON
 10  5k + 2,5  55  1,5  k  10,5
 k = 2,…,10: Có 9 giá trị nên có 9 điểm
Suy nghĩ: Nếu O, M, N khơng thẳng hàng thì làm thế
nào?

Chú ý:
Để tìm số điểm dao động cùng pha, ngược pha, vuông pha với nguồn O trên đoạn MN (MN
không đi qua O) ta có thể làm theo các cách sau:
Cách 1:
Từ O kẻ đường thẳng vng góc với MN cắt MN tại H.
Vẽ các đường tròn tâm O, bán kính bằng k

(nếu dao động cùng pha) hoặc bằng ( 2k + 1) λ/2

(nếu dao động ngược pha) hoặc bằng ( 2k + 1) λ/4 (nếu dao động vuông pha) đồng thời bán kính
phải lớn hơn hoặc bằng OH. Số điểm cần tìm chính là số giao điểm của các đường trịn nói trên.
Cách 2: Ta chia MN thành hai đoạn MH và HN, tìm số điểm trên từng đoạn rồi cộng lại, dựa

OH  d  OM
vào điều kiện: 
OH  d  ON
Ví dụ 6: Trên mặt thống của một chất long, một mũi nhọn O chạm vào mặt thống dao động
điều hịa với tần số f, tạo thành sóng trên mặt thống với bước sóng . Xét 2 phương truyền sóng
Ox và Oy vng góc với nhau. Gọi A là điểm thuộc Ox cách O một đoạn 16 và B thuộc Oy
cách O là 12. Tính số điểm dao động cùng pha với nguồn O trên đoạn AB.

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

Hướng dẫn: Chọn đáp án C

Kẻ OH ⊥ AB, từ hệ thức

1
1
1
tính được OH = 9,6
=
=
2
2
OH
OA
OB 2

Cách 1:
Các điểm dao động cùng pha với O cách O một số nguyên
lần . Ta vẽ các vòng tròn tâm O bán kính một số nguyên
lần . Để các vịng trịn này cắt AB thì bán kính bắt đầu từ
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Các đường tròn bán
kính 10, 11, 12 cắt đoạn AB tại 2 điểm cịn các đường
trịn bán kính 13, 14, 15 và 16 chỉ cắt đoạn AB tại 1
điểm. Nên tổng số điểm dao động cùng pha với O trên AB
là 3.2 + 4 = 10 điểm  Chọn C.
Cách 2:
Các điểm dao động cùng pha với O cách O một khoảng d = k.
+ Số điểm trên AH: 9,6  k  16  9,6  k  16  k = 10,…16: có 7 điểm.
+ Số điểm trên HB: 9,6 < k  12  9,6 < k  12  k = 10,…,12: có 3 điểm.
Tổng số điểm là 10.

Ví dụ 7: Sóng cơ lan truyền trên sợi dây, qua hai điểm M và N cách nhau 150 cm và M sớm pha
hơn N là /3 + k (k ngun). Từ M đến N chỉ có 3 điểm vng pha với M. Biết tần số f = 10
Hz. Tính tốc độ truyền sóng trên dây.
A. 100 cm/s
B. 800 cm/s
Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Vì chỉ có 3 điểm vng pha với M nên:

C. 900 cm/s

D. 80 m/s

5
7
  
hay
2
2

5 
7
 + k 
 2, 2  k  3, 2  k = 3
2
3
2
 =

2d 2df 20.150 

=
=
= + 3  v = 900 (cm / s)

v
v
3

Ví dụ 8: Sóng truyền với tốc độ 6 m/s từ điểm O đến điểm M nằm trên cùng một phương truyền
sóng cách nhau 3,4 m. Coi biên độ sóng khơng đổi. Viết phương trình sóng tại M, biết phương
trình sóng tại điểm O: u = 5cos(5t + π/6) ( cm ).
A. u M = 5cos(5t + 17π/6) ( cm ) .

B. u M = 5cos(5t − 8π/3) ( cm ).

C. u M = 5cos(5t + 4π/3) ( cm ) .

D. u M = 5cos(5t − 2π/3) ( cm ) .

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Dao động tại M trễ pha hơn dao động tại O là :
 =

2d 2d d 5.3, 4 17
=
=
=
=

vT

v
6
6

 17 
8 


 uM = 5cos 10t + −
 = 5cos 10t −  ( cm )
6 6 
3


Ví dụ 9: Tạo sóng ngang trên một dây đàn hồi Ox. Một điểm M cách nguồn phát sóng O một
khoảng d = 50 cm có phương trình dao động uM = 2cos0,5 ( t –1/20 ) ( cm ) , tốc độ truyền sóng
trên dây là 10 m/s. Phương trình dao động của nguồn O là
A. u = 2cos0,5 ( t – 0,1) ( cm ) ,

B. u = 2cos0,5t ( cm ) .

C. u = 2sin 0,5 ( t – 0,1) ( cm ) .

D. u = 2sin 0,5 ( t + 1/20 ) ( cm )

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
 =

2d 2d d 0,5.0,5 
=

=
=
=

vT
v
10
40

 
t

 u = 2cos  t − +  = 2cos ( cm )
2
 2 40 40 


Ví dụ 10: Sóng truyền với tốc độ 5 m/s giữa hai điểm O và M nằm trên cùng một
phương truyền sóng. Biết phương trình sóng tại O là u = 5.cos(5t − π/6) ( cm ) và phương trình
sóng tại điểm M là u M = 5.cos(5t + π/3) ( cm ) . Xác định khoảng cách OM và cho biết chiều
truyền sóng.
A. truyền từ O đến M, OM = 0,5 m.
C. truyền từ O đến M, OM = 0,25 m.
Hướng dẫn: Chọn đáp án B

B. truyền từ M đến O, OM = 0,5 m.
D. truyền từ M đến O, OM = 0,25 m.

Dao động tại M sớm hơn tại O là  = /2 nên sóng truyền từ M đến O và
 =

d
 5.d
 =
 d = 0,5 ( m )
v
2
5

Ví dụ 11: Một sóng cơ học lan truyền dọc theo một đường thẳng với biên độ không
đổi, phương trình sóng tại nguồn O là u = Acos2t/T (cm). Một điểm M cách nguồn O bằng 7/6
bước sóng ở thời điểm t = 1,5T có li độ -3 (cm). Biên độ sóng A là
A. 6 (cm)

B. 5 (cm)

C. 4 (cm)

D. 3 3 ( cm )

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Dao động tại M trễ pha hơn dao động tại O là :  =

2d 7
=

3

7 
 2t 7 

 2
 uM = A cos 
−   uM (1,5T ) = A cos  1,5T −  = −3( cm )
3 
3 
 T
T

 A = 6 ( cm )
Chú ý: Nếu bài tốn u cầu tìm li độ tại điểm M ở thời điểm t0 nào đó thì ta phải
kiểm tra xem sóng đã truyền tới hay chưa. Nếu t0 < d/v thì sóng chưa đến nên uM = 0,
ngược lại thì sóng đã truyền đến và ta viết phương trình li độ rồi thay t = t0.
Ví dụ 12: Một nguồn sóng O trên mặt nước dao động với phương trình u0 = 5cos(2t + π/4) ( cm ) (t
đo bằng giây). Tốc độ truyền sóng trên mặt nước 10 cm/s, coi biên độ sóng truyền đi không đổi. Tại các
thời điểm t = 1,9s và t = 2,5s điểm M trên mặt nước cách nguồn 20 cm có li độ là bao nhiêu?

A.
B.
Hướng dẫn: Chọn đáp án

C.

Thời gian cần thiết sóng truyền từ O đến M: t =

d 20
=
= 2( s)
v 10

D.

* Khi t = 1,5 s thì sóng chưa truyền đến M nên uM = 0.
* Khi t = 2,5 s thì sóng đã truyền đến rồi, để tìm li độ ta viết phương trình sóng tại M:

uM = 5cos(2 ( t − 2 ) + π/4) ( cm ) . Thay t = 2,5s ta tính ra:


uM = 5cos (2 ( 2,5 − 2 ) + π/4) = −2,5 2 ( cm )




Chú ý: Khi cho biết phương trình sóng u = a cos  t


2 
x
 

Hệ số của t


.
= = v. Tốc độ truyền sóng =
2 T
Hệ số của x


Ví dụ 13: (CĐ - 2008) Sóng cơ truyền trong một mơi trường dọc theo trục Ox với phương trình
u = cos ( 20t – 4x ) ( cm ) (x tính bằng mét, t tính bằng giây). Vận tốc truyền sóng này trong mơi

trường trên bằng
A. 5 m/s
B. 50 cm/s
Hướng dẫn: Chọn đáp án A

C. 40 cm/s

D. 4 m/s

Chú ý: Nếu phương trình dao động tại nguồn u = Acos ( t +  ) thì phương trình sóng tại M


cách O một khoảng x là u = Acos  t +  −


2 
x .
 

1) Vận tốc dao động của phần tử vật chất tại điểm M là đạo hàm của li độ theo t:


v = ut ' = −Asin  t +  −


2 
x
 

2) Hệ số góc của tiếp tuyến với đường sin tại điểm M là đạo hàm li độ theo x:
tan  = ux ' =


2
2 
Asin  t +  −
x

 


Ví dụ 14: Sóng ngang truyền trên trục Ox với tốc độ 10 (m/s) theo hướng từ điểm O đến điểm M
nằm trên cùng một phương truyền sóng cách nhau 0,5 (m). Coi biên độ sóng khơng đổi. Biết
phương trình sóng tại điểm O: u = 0,025cos(10t + /6) (m) (t đo bằng giây). Tính vận tốc dao
động của phần tử môi trường tại M ở điểm t = 0,05 (s). Tính hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M ở
thời điểm t = 025 (s).
A.
B.
Hướng dẫn: Chọn đáp án
Bước sóng  = vT = v

C.

D.

2
= 2  ( m)



Phương trình sóng u = 2,5cos  10t +




 2x 

−
 = 2,5cos  10t + − x  ( cm)
6
 
6




* Vận tốc dao động v = ut ' = −10.0,025sin  10t +




− x  ( m / s ) , thay t = 0,05 (s)
6





Và x = 0,5 ( m) : v = −10.0,025sin  10.0,05 +





1
− 0,5  ( m / s ) = ( m / s )
6
8



* Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: tan  = ux ' = 1.0,025sin  10t +




t = 0,05 (s) và x = 0,5 (m): tan  = 1.0,025sin  10.0,025 +




− x  ( rad ) , thay
6




= 0,5   −6,47.10 −3
6


Ví dụ 15: Sóng ngang lan truyền dọc theo sợi dây đàn hồi căng ngang dọc theo trục Ox. Tốc độ
truyền sóng bằng 1 m/s. Điểm M trên sợi dây ở thời điểm t dao động theo phương trình

uM = 0,02cos (100t −  / 6 ) ( m) (t tính bằng s). Hệ số góc của tiếp tuyến tại M ở thời điểm t =
0,005 (s) xấp xỉ bằng
A. +5,44.

B. 1,57

C. 57,5

D. −5,44

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Bước sóng  = vT = v

2
= 0,02 ( m)



Phương trình sóng u = 0,02 cos  100t −


2x 
 = 0,02 cos (100 t − 100 x )( m)
 

* Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: tan  = ux ' = 100.0,02sin (100t − 100x )( rad ) , thay

t = 0,05 (s) và 100x =  / 6 ( m) :


tan  = 100.0,02sin  100.0,005 −   5,44 ( rad )
6


2) Li độ và vận tốc dao động tại các điểm ở các thời điểm
a) Li độ vận tốc tại cùng 1 điểm ở 2 thời điểm
Cách 1: Viết phương trình li độ về dạng u = Acost và v = u’ = −Asint.


 0 : li độ dương

u = Acost1 = u1 


 0 : li độ âm

  t1 = 
v = u ' = − Asin t = v  0 : đang tăng 
1
1


 0 : đang giảm


u(t1 +t ) = A cos  (t1 + t ) = A cos t1 + t  = ?
v(t1 +t ) = − Asin  (t1 + t ) = − Asin t1 + t  = ?

Cách 2: Dùng vòng tròn lượng giác
* Xác định vị trí đầu trên vịng trịn (xác định ) và chọn mốc thời gian ở trạng thái này.


*Xác định pha dao động ở thời điểm tiếp theo  = t + 
*Li độ và vận tốc dao động lúc này: u = A cos  và v = −A sin 
Ví dụ 1: Một sóng cơ học được truyền theo phương Ox với biên độ không đổi 2 cm và tần số
góc  (rad/s). Tại thời điểm t1 điểm M có li độ âm và đang chuyển động theo chiều dương với
tốc độ  (cm/s) thì li độ tại điểm M sau thời điểm t1 một khoảng 1/6 (s) là
A. −2 cm.

B. −1 cm.

C. 2 cm

D. 1 cm

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Kinh nghiệm: Bài toán cho v1 thì nên làm theo cách 1.
u = 2cos t1 = u1  0


7
  t1 =
v = u ' = −2 sin t1 =  
6

u

1

 t1 + 
6



1


= 2cos   t1 +  = 2cos  t1 +  = −1( cm )
6

 7  / 6 6 

Ví dụ 2: Một sóng cơ học được truyền theo phương Ox với biên độ khơng đổi. Phương trình dao
động tại nguồn O có dạng u = 4.cos( πt/6 + π/2) ( mm ) (t đo bằng giây). Tại thời điểm t1 li độ
của điểm O là

2 3 mm và đang giảm. Tính vận tốc dao động tại điểm O sau thời điểm đó một

khoảng 3 (s).
A. − / 3 cm/s

B.

− / 3 cm/s

C.

 / 3 cm/s

D.  / 3 cm/s

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Kinh nghiệm: Bài toán cho x1 và xu hướng đang tăng (v1 > 0) hoặc đang giảm (v1 <0) thì nên
làm theo cách 2.
Cách 1: Viết lại phương trình li độ vận tốc:
u = 4cos


t
t
( cm ) và v = u ' = −4. sin ( cm / s )
6
6
6

t

u = 4cos = 2 3

t 

6

=

6 6
u ' = −4.sin t  0

6



v(t + 3)



  ( t + 3)
2  t  
= −4. sin
= − sin
+ = − π/ 3 ( cm/s )
 6 2
6
6
3
  / 6


Cách 2: Chọn trạng thái tại thời điểm t1 là trạng thái ban đầu
  = /6 Pha dao động ở thời điểm tiếp theo:


 = t +  =


 2
.3 + =
6
6
3

Vận tốc dao động lúc này:


2

v = −A sin  = − .4sin = − ( cm / s )
6
3
3
Chú ý:
1) Hai thời điểm cùng pha

t2 − t1 = nT thì u2 = u1; v2 = v1

2) Hai thời điểm ngược pha t2 − t1 = ( 2n + 1)

T
thì
2

u2 = −u1; v2 = −v1

u1 + u2 = A
T
3) Hai thời điểm vuông pha t2 − t1 = ( 2n + 1) thì 
4
 v2 = u1 ; v1 = u2
2

Nếu n chẵn thì
Nếu n lẻ thì

2

2

v2 = −u1; v1 =u2

v2 = u1; v1 = − u2

4) Xác định các vị trí trùng nhau của hai hệ vân
a) Vân sáng trùng nhau
Cách 1:
x = k1i1 = k 2i 2 = k1

b
1D
D
k

= k 2 2  1 = 2 = phân số tối giản =
c
a
a
k 2 1

k1 = bn
 x = bi = ci khi n=1


( n  Z )  x = bni1 = cni 2   min 1 2
k 2 = cn
x = x n +1 − x n = bi1 = ci 2
Trong đó, x min là khoảng cách từ O đến vị trí trùng gần nhất và x là khoảng cách giữa hai vị trí
trùng liên tiếp ( i  ). Trường hợp này x = x min = i )
Cách 2:

i2  2
b
=
= phân số tối giản =  i  = bi1 = ci 2
c
i1 1

Vì tại gốc tọa độ là một vị trí vân sáng trùng với vân sáng nên: x = x min = i
Các vị trí trùng khác: x = ni (với n là số nguyên).
b) Vân tối trùng nhau


Cách 1:
x = ( 2m1 − 1)

b
i1
i
2m1 − 1 i 2  2
= ( 2m 2 − 1) 2 
= =
= phân số tối giản =
c

2
2
2m2 − 1 i1 1

(Dĩ nhiên, b và c là các số nguyên dương lẻ thì mới có thể có vân tối trùng với vân tối)

2m1 − 1 = b ( 2n − 1)
i
i

( n  Z )  x = b ( 2n − 1) 1 = c ( 2n − 1) 2
2
2
2m 2 − 1 = c ( 2n − 1)
bi1 ci 2

=
khi n=1
 x min =

2
2
x = x n +1 − x n = bi1 = ci 2

Trong đó, x min là khoảng cách từ O đến vị trí trùng gần nhất và x là khoảng cách giữa hai vị trí
trùng liên tiếp ( i  ). Trường hợp này x = 2x min hay x min =
Cách 2:

x
.

2

b
i2 2
=
= phân số tối giản =  i  = bi1 = ci 2
c
i1 1

Vì tại gốc tọa độ khơng phải là vị trí vân tối trùng và nó cách vị trí trùng gần nhất là

x min = 0,5i nên các vị trí trùng khác: x = ( n − 0,5) i  (với n là số nguyên).
c) Vân tối của  2 trùng với vân sáng của 1
Cách 1:
x = k1i1 = ( 2m2 − 1)

b
i2
0,5i 2 0,5 2
k

=
=
= phân số tối giản =
c
2
2m2 − 1
i1
1

(Dĩ nhiên, c là số nguyên dương lẻ thì mới có thể có vân sáng của 1 trùng với vân tối của  2 ).

k1 = b ( 2n − 1)
i

( n  Z )  x = b ( 2n − 1) i1 = c ( 2n − 1) 2
2
2m 2 − 1 = c ( 2n − 1)
ci 2

khi n=1
 x min = bi1 =

2
x = x n +1 − x n = 2bi1 = ci 2
Trong đó, x min là khoảng cách từ O đến vị trí trùng gần nhất và x là khoảng cách giữa hai vị trí
trùng liên tiếp ( i  ). Trường hợp này x = 2x min hay x min =
Cách 2:

x
2


* Vân tối của  2 trùng với vân sáng 1
b
i2

= 2 = phân số tối giản =  i  = 2bi1 = ci 2
c
2i1 21

Vì tại gốc tọa độ cách vị trí trùng gần nhất là x min = 0,5i nên các vị trí trùng khác:
x = ( n − 0,5) i  (với n là số nguyên).

* Vân tối của 1 trùng với vân sáng  2
b
i1

= 1 = phân số tối giản =  i  = 2bi 2 = ci1
c
2i 2 2 2

Vì tại gốc tọa độ cách vị trí trùng gần nhất là: x min = 0,5i nên các vị trí trùng khác:
x = ( n − 0,5) i  (với n là số nguyên).

Ví dụ 1: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân
trên màn ảnh thu được lần lượt là i1 = 0,8 mm và i 2 = 1, 2 mm . Xác định toạ độ các vị trí trùng
nhau của các vân sáng của hai hệ vân trên màn giao thoa (trong đó n là số nguyên).
A. x = 1,2.n (mm)

B. x = 1,8.n (mm)

C. x = 2,4.n (mm)

D. x = 3,2.n (mm)

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Cách 1:

x = k1i1 = k 2i 2 

Cách 2:

k1 i 2 1, 2 3 k1 = 3n
= =
= 
 x = 3ni1 = 2ni 2 = 2, 4n ( mm )
k 2 i1 0,8 2 k 2 = 2n

i 2 1, 2 3
=
=  i  = 3i1 = 2i 2 = 2, 4 ( mm )
i1 0,8 2

Vì tại gốc tọa độ là một vị trí vân sáng trùng với vân sáng nên các vị trí trùng khác:
x = ni  = 2, 4n ( mm ) (với n là số nguyên).

(Để tìm i  ta nhân chéo hai phân thức

i2 b
=  i  = bi1 = ci 2
i1 c

Ví dụ 2: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân
trên màn ảnh thu được lần lượt là i1 = 2, 4 mm và i 2 = 1,6 mm . Khoảng cách ngắn nhất giữa các
vị trí trên màn có 2 vân sáng trùng nhau là
A. 9,6 mm

B. 3,2 mm

Hướng dẫn: Chọn đáp án D

C. 1,6 mm

D. 4,8 mm


i 2 1, 6 2
=
=  i  = 2i1 = 3i 2 = 2.2, 4 = 4,8 ( mm ) = x
i1 2, 4 3

Ví dụ 3: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng, thực hiện đồng thời với hai ánh sáng đơn sắc khoảng
vân giao thoa lần lượt là 0,21 mm và 0,15 mm. Lập công thức xác định vị trí trùng nhau của các
vân tối của hai bức xạ trên màn (n là số nguyên).
A. x = 1, 2n + 3,375 ( mm )

B. x = 1, 05n + 4,375 ( mm )

C. x = 1, 05n + 0,525 ( mm )

D. x = 3, 2n ( mm )

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Cách 1:

x = ( 2m1 + 1) .

2m + 1 5 2m1 + 1 = 5 ( 2n + 1)
0, 21
0,15

= ( 2m 2 + 1) .
( mm )  1 =  
2
2
2m 2 + 1 7
2m 2 + 1 = 7 ( 2n + 1)

x = 5 ( 2n + 1) .

0, 21
= 1, 05n + 0,525 ( mm )
2

Cách 2:

i 2 0,15 5
=
=  i  = 5i1 = 7i 2 = 5.0, 21 = 1, 05 ( mm )
i1 0, 21 7

Vì tại gốc tọa độ O khơng phải là vị trí vân tối trùng và O cách vị trí trùng gần nhất là

x min = 0,5i = 0,525 mm nên các vị trí trùng khác: x = ( n + 0,5) i  = 1, 05n + 0,525 mm (với n là
số nguyên).
Ví dụ 4: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân
trên màn ảnh thu được lần lượt là i1 = 0,5 mm và i2 = 0,3 mm . Khoảng cách gần nhất từ vị trí
trên màn có 2 vân tối trùng nhau đến vân trung tâm là
A. 0,75 mm

B. 3,2 mm

C. 1,6 mm

D. 1,5 mm

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
i 2 0,3 3
=
=  i  = 3i1 = 5i 2 = 3.0,5 = 1,5 ( mm )
i1 0,5 5

Vì tại gốc tọa độ O khơng phải là vị trí vân tối trùng và O cách vị trí trùng gần nhất là

x min = 0,5i = 0,75 mm
Ví dụ 5: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân
trên màn ảnh thu được lần lượt là 1,35 mm và 2,25 mm. Tại hai điểm gần nhau nhất trên màn là
M và N thì các vân tối của hai bức xạ trùng nhau. Tính MN.


A. 3,375 (mm)

B. 4,375 (mm)

C. 6,75 (mm)

D. 3,2 (mm)

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
i 2 2, 25 5
=

=  i  = 5i1 = 3i 2 = 5.1,35 = 6, 75 ( mm )
i1 1,35 3

Ví dụ 6: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng, thực hiện đồng thời với hai bức xạ đơn sắc khoảng
vân lần lượt: 1,35 mm và 2,25 mm. Tại điểm M trên màn cách vân trung tâm một đoạn b cả hai
bức xạ đều cho vân tối tại đó. Hỏi b chỉ có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A. 3,75 (mm)

B. 5,75 mm

C. 6,75 (mm)

D. 10,125 mm

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Cách 1: x = ( m1 + 0,5) .1,35 = ( m2 + 0,5 ) .2, 25 ( mm ) 

2m1 + 1 5
=
2m2 + 1 3

2m1 + 1 = 5 ( 2n + 1)  m1 = 5n + 2

2m 2 + 1 = 3 ( 2n + 1)
n = 1  x = 3,375 ( mm )
x = ( 5n + 2 + 0,5 ) .1,35 ( mm ) = 6, 75n + 3,375 ( mm )  
n = 2  x = 10,125 ( mm )
Cách 2:

i 2 2, 25 5

=
=  i  = 5i1 = 3i 2 = 5.1,35 = 6, 75 ( mm )
i1 1,35 3

Vì tại gốc tọa độ O khơng phải là vị trí vân tối trùng và O cách vị trí trùng gần nhất là

x min = 0,5i = 3,375 mm nên các vị trí trùng khác: x = ( n + 0,5) i  = 6, 75n + 3,375 mm (với n là
số nguyên)
Ví dụ 7: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân
trên màn ảnh thu được lần lượt là i1 = 0,5 mm và i2 = 0, 4 mm . Hai điểm M và N trên màn mà
tại các điểm đó hệ 1 cho vân sáng và hệ 2 cho vân tối. Khoảng cách MN nhỏ nhất là
A. 2 mm

B. 1,2 mm

C. 0,8 mm

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Cách 1: x = k1i1 = ( 2m2 + 1) 0,5i 2



k1
0,5i 2 0,5.0, 4 2 k1 = 2 ( 2n + 1)
=
=
= 
2m 2 + 1
i1
0,5

5 2m 2 + 1 = 5 ( 2n + 1)

x = 2 ( 2n + 1) 0,5 ( mm )  x n +1 − x n = 2 ( mm )

D. 0,6 mm.


* Vân tối của  2 trùng với vân sáng 1 :
i2
0, 4
2
=
=  i  = 2.2i1 = 5i 2 = 2.2.0,5 = 2 ( mm ) = x = MN
2i1 2.0,5 5

Ví dụ 8: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân
trên màn ảnh thu được lần lượt là i1 = 0,3 mm và i2 = 0, 45 mm . Tìm các vị trí trên màn mà tại
đó đó hệ i 2 cho vân sáng và hệ i1 cho vân tối.
Hướng dẫn:
Cách 1:

x = k 2i 2 = ( 2m1 + 1) 0,5i1 

k2
0,5i1 0,5.0,3 1 k 2 = 1( 2n + 1)
=
=
= 
2m1 + 1
i2

0, 45
3 2m1 + 1 = 3 ( 2n + 1)

x = 1( 2n + 1) 0, 45 ( mm ) = 0,9n + 0, 45 ( mm ) , với n là số nguyên.

Cách 2: Vân tối của 1 trùng với vân sáng  2
i1
0,3
1
=
=  i  = 1.2i 2 = 3i1 = 2.0, 45 = 0,9 ( mm )
2i 2 2.0, 45 3

Vì tại gốc tọa độ cách vị trí trùng gần nhất là: x min = 0,5i = 0, 45 mm nên các vị trí trùng khác:
x = ( n − 0,5) i  = 0,9n − 0, 45 mm (với n là số nguyên).

Chú ý: Hãy kiểm tra các kết luận sau đây (nếu bề rộng trường giao thoa đủ lớn):
1) Ln tồn tại vị trí để hai vân sáng của hai hệ trùng nhau.
2)

b
i2 2
=
= phân số tối giản =
c
i1 1

* Nếu b và c đều là số lẻ thì sẽ có vị trí vân tối trùng nhau và khơng có vị trí vân sáng trùng vân
tối .
* Nếu b chẵn và c lẻ thì sẽ có vị trí vân sáng hệ 1 trùng vân tối hệ 2, khơng có vị trí vân tối trùng

nhau và khơng có vị trí vân sáng hệ 2 trùng vân tối hệ 1.
* Nếu b lẻ và c chẵn thì sẽ có vị trí vân sáng hệ 2 trùng vân tối hệ 1, khơng có vị trí vân tối trùng
nhau và khơng có vị trí vân sáng hệ 1 trùng vân tối hệ 2.
5) Số các vị trí trùng nhau của hai hệ vân
Cách 1: Tìm tọa độ các vị trí trùng nhau của hai hệ vân (sáng trùng nhau, tối trùng nhau, sáng
trùng tối) theo số nguyên n. Sau đó thay vào điều kiện giới hạn của x (trong cả trường giao thoa


có bề rộng L thì −0,5L  x  0,5L và giữa hai điểm M, N thì x M  x  x N ) để tìm số giá trị
nguyên n.
Cách 2: Tìm i  cho các trường hợp trùng nhau rồi tính số vị trí trùng. VD: Nếu A là

 AB 
một vị trí trùng thì tổng số vị trí trùng trên AB là N  = 
 +1
 i 
Ví dụ 1: (ĐH-2009) Trong thí nghiệm I-âng về giao thoa ánh sáng, khoảng cách giữa hai khe là
0,5 mm, khoảng cách từ hai khe đến màn quan sát là 2 m. Nguồn sáng dùng trong thí nghiệm
gồm hai bức xạ có bước sóng 1 = 450 nm và 2 = 600 nm . Trên màn quan sát, gọi M, N là hai
điểm ở cùng một phía so với vân trung tâm và cách vân trung tâm lần lượt là 5,5 mm và 22 mm.
Trên đoạn MN, số vị trí vân sáng trùng nhau của hai bức xạ là
A. 4

B. 2

C. 5

D. 3

Hướng dẫn: Chọn đáp án D

Cách 1: x = k1

1D
D
k
4 k1 = 4n
= k 2 2 = k1.1,8 = k 2 .2, 4 ( mm )  1 =  
a
a
k 2 3 k 2 = 3n

5,5 x 22
 x = 7,2n ( mm ) ⎯⎯⎯⎯
→ 0,76  n  3,05  n = 1;..;3
có 3 giá trò

Cách 2:

i 2 2, 4 4
=
=  i  = 4i1 = 3i 2 = 4.1,8 = 7, 2 ( mm )
i1 1,8 3

Vì tại gốc tọa độ O là một vị trí trùng nên các vị trí trùng khác: x = ni = 7, 2n (với n là số
nguyên)
5,5 x 22
x = 7,2n ( mm ) ⎯⎯⎯⎯
→ 0,76  n  3,05  n = 1;..;3
có 3 giá trị

Ví dụ 2: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng, thực hiện đồng thời với hai ánh sáng đơn sắc khoảng
vân giao thoa lần lượt là 1,2 mm và 1,8 mm. Bề rộng vùng giao thoa quan sát được trên màn 2,6
cm. Số vị trí mà vân sáng của hai bức xạ trùng nhau trong vùng giao thoa là
A. 3

B. 5

C. 4

D. 7

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
i 2 1,8 3
=
=  i  = 3i1 = 2i 2 = 3.1, 2 = 3, 6 ( mm ) . Vì tại gốc tọa độ O là một vị trí trùng nên các vị
i1 1, 2 2

trí trùng khác: x = ni  = 3,6n mm (với n là số nguyên)


−13 x 13
 x = 3,6n ( mm ) ⎯⎯⎯⎯
→ −3,6  n  3,6  n = −3;..;3
coù 7 giá trị

Ví dụ 3: Làm thí nghiệm giao thoa ánh sáng với hai khe I-âng đồng thời với hai ánh sáng đơn
sắc đơn sắc màu đỏ và màu lục thì khoảng vân giao thoa trên màn lần lượt là 1,5 mm và 1,1 mm.
Hai điểm M và N nằm hai bên vân sáng trung tâm và cách vân trung tâm lần lượt là 6,4 mm và
26,5 mm. Số vân sáng màu đỏ quan sát được trên đoạn MN là
A. 20

B. 2

C. 28

D. 22

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Cách 1:

i1 1,5 15
=
=  i  = 11i1 = 15i 2 = 11.1,5 = 16,5 ( mm )
i 2 1,1 11

Vị trí vạch sáng trùng:
−6,4 x26,5
x = 16,5n ( mm ) ⎯⎯⎯⎯⎯
→−0,39  n  1,6  n = 0;..;1
có 2 giá trị

Vị trí vân sáng màu đỏ:
−6,4  x  26,5
x = 1,5n ( mm ) ⎯⎯⎯⎯⎯
→ −4,26  n  17,7  n = −4;..;17
có 22 giá trị

Số vân màu đỏ còn lại: 22 – 2 = 20
Cách 2: Số vạch sáng trùng:


k
11 
 k1 = 11n
x = k1i1 = k 2 i2 = k1 .1,5 = k 2 .1,1 ( mm )  1 =  
k 2 15 

 k 2 = 15n

−6,4  x  26,5  −0,4  n  1,6

x = 11n.1,5 ( mm )   n = 0;1: số vị trí trùng 2



Số vân sáng của hệ 1:
−6,4  x = k1.1,5  26,5  −4,3  k1  17,6  k1 = −4,...,17 : số giá trị k1 là 22

Số vân màu đỏ cịn lại: 22 – 2 = 20
Ví dụ 4: Trong thí nghiệm giao thoa Iâng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân
trên màn ảnh thu được lần lượt là i1 = 0,5 mm và i2 = 0,3 mm . Trên màn quan sát, gọi M, N là
hai điểm ở cùng một phía so với vân trung tâm và cách vân trung tâm lần lượt là 2,25 mm và
6,75 mm. Trên đoạn MN, số vị trí vân tối trùng nhau của hai bức xạ là
A. 6

B. 5

C. 3

D. 4

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Cách 1:

i 2 0,5 5
=
=  i  = 5i1 = 3i 2 = 5.0,3 = 1,5 ( mm )
i1 0,3 3

Vì tại gốc tọa độ O khơng phải là vị trí vân tối trùng và O cách vị trí trùng gần nhất là

x min = 0,5i = 0,75 mm nên các vị trí trùng khác:
2,25 x 6,75
x = ( n + 0,5) i  = 1,5n + 0,75 mm ⎯⎯⎯⎯
⎯
→1  n  4  n = 1;..;4
có 4 giá trị

Cách 2:

x = ( 2m1 + 1) .

i1
i
2m1 + 1 3 2m1 + 1 = 3 ( 2n + 1)
= ( 2m 2 + 1) . 2 
= 
2
2
2m 2 + 1 5 2m 2 + 1 = 5 ( 2n + 1)

 x = 3 ( 2n + 1)

0,5
2,25 x  6,75
= 1,5n + 0,75 mm ⎯⎯⎯⎯⎯
→1  n  4  n = 1;2;3; 4
2