Sáng kiến kinh nghiệm CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG KHỐI LỚP 9

UBND tỉnh Hải Dơng
sở giáo dục và đào tạo
Các dạng toán liên quan đến
phơng trình trùng phơng
Môn: Toán
Khối lớp 9
Nhận xét chung:




Điểm thống nhất
Bằng số:
Bằng chữ:
Giám khảo số 1: .
Giám khảo số 2: .
Năm học 2010-2011
1
Sở giáo dục và đào tạo Hải Dơng
Trờng thcs ngọc kỳ

Các dạng toán liên quan đến
phơng trình trùng phơng
Môn: Toán
Tên tác giả:vũ thành khởi
Xác nhận của nhà trờng
(Ký, đóng dấu)



.

2
Phần ghi phách
Sở giáo dục và đào tạo hải Dơng
Phòng giáo dục và đào tạo Tứ Kỳ
Các dạng toán liên quan đến
phơng trình trùng phơng
Môn: toán
Khối lớp 9
Đánh giá của Hội đồng cấp huyện
(Nhận xét, xếp loại, ký, đóng dấu)





Tên tác giả :
Trờng :
3
Phần ghi số phách
(
A. Đặt vấn đề
1. Cơ sở lý luận
Một trong những mục tiêu cơ bản của giáo dục phổ thông là đào tạo và xây
dựng một thế hệ trẻ vừa hồng, vừa chuyên. Xây dựng một thế hệ phát triển toàn
diện về tri thức, đạo đức, thẩm mỹ nhằm đáp ứng nhu cầu của thời kỳ công nghiệp
hoá, hiện đại hoá đất nớc.
Để giải quyết bài toán khó đó, không chỉ phụ thuộc ở các em học sinh mà
phần nhiều phụ thuộc ở đội ngũ giáo viên, thầy, cô là ngời quyết định tính thành
công của giáo dục. Hiện bộ giáo dục đang phát động phong trào mỗi thầy cô là
tấm gơng sáng tự học và sáng tạo .Là giáo viên phổ thông tôi luôn ủng hộ và tích

cực xây dựng phong trào bằng các sáng kiến đợc đúc kết từ kinh nghiệm giảng dạy
thực tế, nhằm trang bị kiến thức sâu, rộng cho học sinh.
Trong giảng dạy, toán học là một môn khoa học thể hiện rõ và cụ thể các
sáng tạo của thầy và trò. Để giúp học sinh học tập có hiệu quả thì ngời thầy phải
không ngừng tìm tòi, sáng tạo các phơng pháp dạy học mới, khai thác các bài toán
một cách sâu, rộng hơn. Bên cạnh đó bằng kinh nghiệm, tri thức của mình cần đúc
kết thành các bài toán tổng hợp, các dạng toán đặc trng cho từng thể loại để học
sinh dễ học,dễ hiểu.
Đối với học sinh lớp 9 hiện nay, dạng toán giải phơng trình quy về phơng
trình bậc hai mới dừng lại ở khía cạnh giản đơn, cha khai thác sâu các kiến thức ở
từng dạng. Đặc biệt với phơng trình trùng phơng, ngời viết sách giáo khoa mới chỉ
nghiên cứu các phơng trình thuần tuý, chỉ yêu cầu giải phơng trình trùng phơng khi
hệ số là các số thực cụ thể. Với học sinh khi gặp các dạng toán phức tạp, phơng
trình có chứa tham số các em gặp rất nhiều khó khăn nh tìm điều kiện để phơng
trình trùng phơng vô nghiệm, có bốn nghiệm phân biệt , nhiều bài toán thậm chí
không có hớng giải quyết.
Bằng thực tế giảng dạy với phơng trình trùng phơng tôi mạnh dạn khai thác :
Các dạng toán liên quan đến ph ơng trình trùng phơng để học sinh và giáo
viên tham khảo.
2. Cơ sở thực tế.
Trong quá trình dạy toán khối 9, đặc biệt khi khai thác các phơng trình quy
về phơng trình bậc hai tôi thấy các nhà giáo dục cha đề cập nhiều tới phơng trình
trùng phơng, sách giáo khoa, thậm trí các sách tham khảo trong chơng trình học
THCS cha khai thác nhiều đến loại toán này.
Mặt dù biết đây là phần kiến thức khó, đòi hỏi phải tổng hợp nhiều kiến thức
đã học và phải có t duy tốt mới có khả năng giải thành công. Đối với các em khá,
giỏi trong khối bản thân các em vốn có một tố chất thông minh nếu cộng với sự
giúp đỡ của thầy thì hiệu quả học toán rất cao. Từ thực tế nh vậy tôi cùng đồng
nghiệp có nhiều đề tài giảng dạy nhằm giúp các em khá- giỏi bổ sung thêm về vốn
kiến thức toán học trên lớp, hiểu sâu hơn về các thể loại bài tập đợc đề cập trong ch-

4
ơng trình THCS. Một trong những đề tài đó là: Các dạng toán liên quan đến ph-
ơng trình trùng phơng mà tôi đề cập sau đây
B. Giải quyết vấn đề
I . Nội dung sáng kiến
Dạng I: Giải phơng trình trùng phơng
Đối với học sinh khối 9, giải các phơng trình chủ yếu là đa chúng về các ph-
ơng trình bậc hai, bậc nhất . Khi giải phơng trình trùng phơng chúng ta cần nắm đ-
ợc dạng toán cơ bản sau:
*) Bài tập tổng quát : Giải phơng trình :
( )

4 2
ax + bx + c = 0 a 0
(1)
Gợi ý: Ta chuyển phơng trình về phơng trình bậc hai
Cách giải: Đặt x
2
=y ( đk
0y
)
Ta có phơng trình:
( )

2
ay + by + c = 0 a 0
(2)
Giải phơng trình (2): Tìm y
chọn các giá trị
0y

Tìm x: Có x
2
=y
x y=

Kết luận nghiệm của phơng trình (1)
*) Bài tập vận dụng: Giải các phơng trình sau
a,
3 5 8
4 2
x x = 0
(*)
Đặt x
2
=y ( đk
0y
)
Ta có phơng trình:
2
3 5 8y y = 0
(**)
Do a b+c =3-(-5) +(-8)=0
Phơng trình (**) có nghiệm : y
1
= -1 (không thoả mãn)
y
2
=
8
3

(thoả mãn)
Khi y =
8
3
có x
2
=
8
3

8
3
x =
Vậy phơng trình (*) có hai nghiệm
8 8
;
3 3
S


=



b,
13 36
13 36
+
+
4 2

4 2
x x = 0
x x = 0
(*)
Đặt x
2
=y ( đk
0y
)
Ta có phơng trình:
2
13 36y +y = 0
(**)
Do
25 0
y
= >
Phơng trình (2) có nghiệm : y
1
= 9 (thoả mãn)
y
2
=4(thoả mãn)
Khi y =9 có x
2
=9
3x =
5
Khi y= 4 có x
2

= 4
2x
=
Vậy phơng trình (**) có bốn nghiệm
{ }
3; 2; 2;3S =
c,
3 2 +
4 2
x x = 0
(*)
Đặt x
2
=y ( đk
0y
)
Ta có phơng trình:
2
3 2y +y = 0
(**)
Do
23 0
y
= <
Phơng trình (**) vô nghiệm :
Vậy phơng trình (*) vô nghiệm
d,
6 8+ +
4 2
x x = 0

(*)
Đặt x
2
=y ( đk
0y
)
Ta có phơng trình:
2
6 8y + +y = 0
(**)
Do
1 0
y
= >
Phơng trình (**) có nghiệm : y
1
= -2 (không thoả mãn)
y
2
=-4( không thoả mãn)
Vậy phơng trình (*) vô nghiệm
S
=
Nhận xét: Từ các ví dụ trên ta thấy rằng
-Phơng trình (1) vô nghiệm khi phơng trình (2) có hai nghiệm cùng âm hoặc
phơng trình (2) vô nghiệm
- Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phơng trình (2) có hai nghiệm
trái dấu
- Phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi phơng trình (2) có hai nghiệm
phân biệt dơng

Ngoài nhận xét vừa đúc kết từ các ví dụ trên, số nghiệm của phơng trình trùng ph-
ơng phụ thuộc vào nghiệm của phơng trình hệ quả nh thế nào ta nghiên cứu tiếp
dạng toán sau.
Dạng II: Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình trùng phơng
Kiến thức sử dùng:
Định lý viet: Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+bx+c =0 (
0a

)
thì S =x
1
+x
2
=
b
a

và P =x
1
.x
2
=
c
a

Bài toán: Điều kiện để phơng trình ax
2
+bx+c =0 (
0a
)
a, Có hai nghiệm trái dấu : a .c<0
b, Có hai nghiệm cùng âm :
0
0
0
S
P



<


>

6
c, Có hai nghiệm cùng dơng:
0
0
0
S
P

>


>

Bài toán tổng quát:
Cho phơng trình
( )

4 2
ax + bx + c = 0 a 0
(1) Tìm điều kiện để phơng trình
a, Vô nghiệm
b, Có một nghiệm
c, Có hai nghiệm phân biệt
d, Có ba nghiệm
e, Có bốn nghiệm phân biệt
*) Gợi ý: Số nghiệm của phơng trình
( )

4 2
ax + bx + c = 0 a 0
(1)
phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình ẩn phụ:

( )

2
ay + by + c = 0 a 0
(2) với x

2
=y
*) Bài giải:
a, Để phơng trình (1) vô nghiệm thì phơng trình (2) phải
+) Vô nghiệm : (đk
0
y
<
)
Hoặc có hai nghiệm cùng âm: (đk
0
0
0
y
S
P



<


>

)
b, Để phơng trình (1) có một nghiệm thì phơng trình (2) phải:
+) Có nghiệm kép bằng 0:
0
0
2

y
b
a
=




=


hoặc có một nghiệm bằng 0 một nghiệm âm: (đk
0
0
0
y
S
P
>


<


=

)
c, Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải:
+) Có hai nghiệm trái dấu: (đk a.c <0)
Hoặc có một nghiệm kép dơng : (đk

0
0
2
y
b
a
=




>


)
d, Để phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải:
+) Có một nghiệm bằng 0, một nghiệm dơng: (đk
0
0
0
y
S
P
>


>


=

)
e, Để phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải
7
+) Có hai nghiệm dơng phân biệt: (đk
0
0
0
y
S
P
>


>


>

)
Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho phơng trình:
4 2
(3 2) 1 0x m x + =
(1) .
Tìm m để phơng trình có đúng hai nghiệm
Bài giải:
4 2
(3 2) 1 0x m x + =
.

Đặt x
2
=y
Ta có phơng trình:
2
(3 2) 1y m +y = 0
(2)
Để phơng trình (1) có đúng hai nghiệm thì :
TH
1
: Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu : a.c <0
Hay 1< 0 (vô lý) => không có giá trị của m
TH
2
: Phơng trình (2) có nghiệm kép dơng :
0
0
2
y
b
a
=




>


Hay

2
0
9 12 0
4
4
33 2
3
0
2
2
3
m
m m
m
m
m
m
=




=



=
=

>



>

Kết luận: Vậy với
4
3
m =
thì bài toán thoả mãn
Bài 2: Cho phơng trình :
2 4 2
( 1) 2( 1) 1 0m x m x+ + =

Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài giải:
2 4 2
( 1) 2( 1) 1 0m x m x+ + =
(1)
Đặt x
2
=y
Ta có phơng trình:
2 4 2
( 1) 2( 1) 1 0m y m y+ + =
(2)
Ta thấy a.c = (m
2

+1)(-1) <0 (với mọi giá trị của m)
phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu
phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Bài 3 ; Cho phơng trình
4 2
( 2) 2( 1) 2 1 0m x m x m + =
Tìm m để phơng trình trên có
a, Một nghiệm
b, Hai nghiệm phân biệt
8
c, Bốn nghiệm phân biệt
Bài giải;
4 2
( 2) 2( 1) 2 1 0m x m x m + =
(1)
Đặt x
2
=y
Ta có phơng trình:
2
( 2) 2( 1) 2 1m y m m + + y = 0
(2)
Gợi ý: Phơng trình một cha phải phơng trình trùng phơng vì thế khi giải có thể xét
hai trờng hợp
0a
=
hoặc
0a

TH

1
: Khi m =2 phơng trình (1) trở thành -6x
2
+3 =0
2
1
2
x =
1
2
1
2
x
x

=




=


Với m= 2 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
TH
2
: Khi
2m
a, Để phơng trình (1) có đúng một nghiệm thì phơng trình (2)
có nghiệm kép bằng 0 hoặc một nghiệm bằng 0 , nghiệm kia âm.

Khi y= 0 ta có 2m-1 =0
1
2
m =
Thay vào phơng trình (2) ta có :
3
3 0
2
0
2
y y
y
y


=
ữ

=



=


Vậy với
1
2
m =
thì bài toán thoả mãn.

b, Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì
+)phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c <0
Hay (m-2)(2m-1)<0
1
2
2
m < <
Hoặc phơng trình (2) có nghiệm kép dơng :
0
0
2
y
b
a
=




>


9
Hay
2
7 3 5
7 1 0
2
1
1

0
2
2
m
m m
m
m
m
m


=

+ =




+
<

>





>

7 3 5
2
m

=
Kết luận: Vậy với
1
2
2
m<
hoặc
7 3 5
2
m

=
thì bài toán thoả mãn
c, Để phơng trình(1) có bốn nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai
nghiệm phân biệt dơng:
0
0
0
y
S
P


>

>


>

hay
2
7 1 0
2( 1)
0
2
2 1
0
2
m m
m
m
m
m


+ >


+

>

>



7 3 5 7 3 5
2 2
1
2
1
2
2
m
m
m
m
m




< <


<

>





<




>



7 3 5
2
2
m
+
< <
Kết luận: Vậy với
7 3 5
2
2
m
+
< <
thì phơng trình (1) có bốn nghiệm phân

biệt
*) Khó khăn: Giải hệ bất phơng trình và kết hợp nghiệm
*) Kinh nghiệm: Thiết lập trục số rồi tổng hợp nghiệm trên trục số
Bài 4: Biện luận số nghiệm của phơng trình sau:
4 2
( 3) (2 1) 3 0m x m x+ =
theo m
*)Gợi ý: Khi biện luận cần quan sát hệ số a củaphơng trình, phơng trình cho cha là
phơng trình trùng phơng do đó ta không thể áp dụng bài toán tổng quát để giải:
*) Bài giải:
4 2
( 3) (2 1) 3 0m x m x+ =
(1)
Đặt x
2
=y
Ta có phơng trình:
2
( 3) (2 1) 3 0m y m y+ =
(2)
TH
1
: Khi
3m
=
phơng trình (1) có dạng: 7x
2
-3 =0
10
3

7
3
7
x
x

=




=


TH
2
: Khi
3m

ta có
2
4 8 37 0
y
m m = + + >
(với mọi giá trị m)
phơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
KN
1
: Nếu phơng trình (2) có hai nghiệm dơng phân biệt khi:
0

0
P
S
>


>

Hay
2 1
0
3
3
3
0
3
m
m
m
m


>


+
<

>

+

Thì phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
KN
2
: Nếu phơng trình (2) có hai nghiệm âm phân biệt khi:
0
0
P
S
>


<

Hay
2 1
1
0
3
2
3
3
0
3
m
m
m

m
m


<


>

+




<
>


+

không có m
KN
3
: Nếu phơng trình (2) cso hai nghiệm trái dấu khi : a.c <0
Hay -3(m+3)<0
m>-3
Thì phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
KN
4
: Nếu phơng trình (2) có nghiệm bằng 0 khi: -3 =0 (không có m)

Kết luận: Với
3m

thì phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Với m< -3 thì phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt
Bài 5: Cho phơng trình (m+1)x
4
-2(m-1)x
2
+m-1 =0
1. Tìm mđể phơng trình có nghiệm x=2
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
*) Gợi ý 1; Một số x=

là nghiệm của phơng trình f(x)=
0
4 2
ax + bx + c =
Khi f(

) =0
*) Bài giải : (m+1)x
4
-2(m-1)x
2
+m-1 =0 (1)
1. Để x =2 là nghiệm của phơng trình (1) ta có: (m+1)2
4
-2(m-1)2
2

+m-1 =0
9m =-23

23
9
m

=

Kết luận: Vậy với
23
9
m

=
thì bài toán thoả mãn
*) Gợi ý 2: Học sinh cần trả lời các câu hỏi sau trớc khi giải phần 2
11
? Phơng trình (1) có phải phơng trình trùng phơng không
? Khi nào phơng trình (1) là phơng trình trùng phơng
? Phơng trình trùng phơng có nghiệm khi nào
2.TH
1
: Khi m =-1 ta có phơng trình: 4x
2
-2 = 0

2
1
2

x =

1
2
x =
(thoả mãn)
TH
2
: Khi
1m

Đặt x
2
=y
Ta có phơng trình:
2
( 1) 2( 1) 1 0m y m y m+ + =
(2)
Để phơng trình (1) có nghiệm thì
+) KN
1
: Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a .c<0
Hay (m+1)(m-1)<0
-1 <m <1
+) KN
2
: Phơng trình (2) có hai nghiệm cùng dơng:
'
0
0

0
y
S
P



>


>

Hay
( 1)( 2) 0
1
2( 1)
0
2
1
1
0
1
m m
m
m
m
m
m
m

+

>



>


<
+


+

>

+

+) KN
3
: Phơng trình (2) có một nghiệm bằng 0: ta có
(m+1)0
4
-2(m-1)0
2
+m-1 =0
m =1
+) KN

4
: Phơng trình (2) có nghiệm kép dơng:
'
0
0
2
y
b
a

=



>


Hay
( 1)( 2) 0
1
0
1
m m
m
m
+ =

>

+


m =-2
Kết luận: Vậy với
2m

hoặc
1m

thì bài toán thoả mãn
Bài tập tham khảo:
Bài 1: Cho phơng trình : (m
2
+1)x
4
-2(m+1)x
2
+1 =0
Tìm m để phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Biện luận số nghiệm của phơng trình sau:
(m+1)x
4
-2(m-1)x
2
+1 =0
12
Dạng III: Dạng toán khác.

Bài toán: Cho phơng trình
4 2
2( 1) 2 1 0x m x m + + + =
Tìm m để phơng trình có bốn nghiệm x
1
; x
2
; x
3
;x
4
sao cho khi biểu
diễn
Trên trục số thì bốn điểm đó chắn trên trục số thành ba đoạn bằng
nhau?
*) Gợi ý: Khi giải bài toán cần khẳng định :
- Điều kiện để phơng trình có bốn nghiệm phân biệt
- Điều thứ hai là :
1 2 2 3 3 4
x x x x x x = =
*) Bài giải:
4 2
2( 1) 2 1 0x m x m + + + =
Đặt x
2
=y
Ta có phơng trình:
2
2( 1) 2 1 0y m y m + + + =
(2)

Để phơng trình ( 1) có bốn nghiệm x
1
; x
2
; x
3
;x
4
thì phơng trình (2) phải
Có hai nghiệm dơng phân biệt :
'
0
0
0
y
S
P

>

>


>

hay
2
0 0
2( 1) 0 1
2 1 0 1

2
m m
m m
m
m



>


+ > >


+ >


>


1
2
0
m
m


>

Khi đó phơng trình (2) có nghiệm : y
1
=m+1+
m
=
1 0
2 1 0
khi m
m khi m
<


+ >

y
1
=m+1-
m
=
1 0
2 1 0
khi m
m khi m
>


+ <

Ta có thể cho nghiệm nh sau:
1x
=
,
2 1x m= +
do
1
2
0
m
m


>





Giải sử thứ tự các nghiệm x
1
<x
2
< x
3
<x
4

+)Nếu m>0 theo bài ra ta có ; x

2
-x
1
=x
3
-x
2
=x
4
-x
3
Hay -1 +
2 1m +
=1+1 =
2 1m +
+1
m=4 (thoả mãn)
+)Nếu m< 0 theo bài ra ta có -
2 1m +
+1 =2
2 1m +
=1-
2 1m +

4
9
m

=
(thoả mãn)

Kết luận : Vậy với m=4 ;
4
9
m

=
thì bài toán thoả mãn
13
Bài toán tham khảo:
Cho phơng trình ẩn x :
( )
4 2
(3 14) (4 12) 2 0x m x m m + + + =
1. Tìm m để phơng trình có bốn nghiệm phân biệt?
2. Tìm m để tích bốn nghiệm trên đạt giá trị lớn nhất
II. kết quả
Sau khi dạy xong chuyên đề này cho học sinh khối 9, tôi đều tiến hành khảo
sát qua một số bài kiểm tra và thu đợc kết quả nh sau:
+ Khi cha áp dụng :
Giỏi: 10 % Khá: 20%
+ Sau khi dạy thực nghiệm ;
Giỏi: 18% Khá: 29%
Nhận xét: Năm học 2007- 2008 khi cha mạnh dạn dạy thực nghiệm dạng
toán trên, lúc đa một số bài toán liên quan đến tham số hầu nh không học sinh nào
tự giải đợc. Từ năm học 2008-2009 đến nay, trong quá trình bồi dỡng, ôn luyện cho
các em học sinh khối 9, đặc biệt với các em khá giỏi tôi đã dành một số buổi cụ thể
dạy áp dụng chuyên đề thì kết quả đã có sự chuyển biến rõ. Số học sinh khá, giỏi
tăng, số các em học trung bình cũng bớc đầu hiểu và tự giải các bài toán đơn giản
khi có chứa tham số.
Sau khi đợc làm quen, đa số các em khá luôn chủ động tìm tòi, khai thác

thêm các bài toán có liên quan đến phơng trình trùng phơng từ các sách tham khảo
hoặc các bài tập trong chơng trình THPT. Học sinh đã chủ động hơn trong việc học
tập của mình, luôn chủ động lĩnh hội cái mới.
III. Bài học kinh nghiệm
1.Đối với thầy:
Khi thực hiện đề tài này, một vấn đề tởng trừng không quan trọng trong ch-
ơng trình toán phổ thông THCS, nhng lại rất quan trọng với các em khi tiếp cận toán
THPT, thi vào THPT. Tôi nhận thấy điều thành công trong sáng kiến chính là: Đã
toạ cho các em thói quen sử dụng cái đã biết để khai thác những vấn đề sâu , rộng
trong thực tế. Đặc biệt đã tạo điều kiện cho các em rèn luyện tính sáng tạo, chủ
động trong công việc.
Qua thực hiện chuyên đề, tôi rút ra một số bài học :
Một là: Muốn dạy học sinh giải toán sáng tạo thì thầy phải định hớng và chủ động
khai thác và phân dạng bài trong các loại toán cụ thể.
Hai là: Giáo viên phải có lòng tin vào chính mình, tin vào trò . Phải tự mình học tập,
tự mình tìm và nghiên cứa các vấn đề dù là nhỏ nhất trong thực tế. Luôn đúc kết và
thờng xuyên thực nghiệm những vấn đề đúc kết đó vào giảng dạy. Phải thờng xuyên
hoàn thiện mình trong mọi lĩnh vực.
2. Đối với trò:
14
Chuyên đề Các dạng toán về ph ơng trình trùng phơng là chuyên đề
hẹp, nhng rất phong phú về bài tập, một số bài rất khó. Nhng để giải đợc thì học
sinh phải tổng hợp nhiều kiến thức, phát huy hết khả năng suy luận, tổng hợp của
mình trong giải toán. Do đó học sinh phải thờng xuyên ôn tập cái cũ, tìm tòi, sáng
tạo cái mới.
Học trên lớp một cách tích cực, chủ động nắm bắt các vấn đề mới, tìm hiểu
sách tham khảo. Nên mạnh dạn đa ý kiến của mình trong mọi vấn đề để thầy và
bạn cùng giải quyết.
IV.Những vấn đề còn bỏ ngỏ và điều kiện áp dụng
1. Những vấn đề còn bỏ ngỏ

Bàn về các dạng bài liên quan đến phơng trình trùng phơng thì còn nhiều vấn
đề . Trong phạm vi đề tài này tôi chỉ vận dụng kiến thức ở cấp THCS để giải quyết
các bài toán. Ngoài ra còn một số dạng toán so sánh nghiệm của phơng trình trùng
phơng với một, hai ,ba số đối với học sinh khối 9 không thể giải quyết đợc. Việc
đó đợc giải quyết trong chơng trình toán THPT.
Ngoài ra khi dạy các bài toán về phơng trình trùng phơng, thì việc chúng ta
phải củng cố kỹ năng giải bất phơng trình, kết hợp nghiệm trong bất phơng trình rất
quan trọng. Trớc khi dạy, ngời thầy phải song song dạy chuyên đề giải hệ bất ph-
ơng trình thì học sinh mới không gặp khó khăn trong kết luận của bài toán.
2. Điều kiện áp dụng sáng kiến và kiến nghị.
Tuỳ theo đối tợng học sinh mà ta chọn áp dụng, theo tôi dạngII, dạng III ta
nên áp dụng cho học sinh khá giỏi, dạy bồi dỡng nâng cao, ôn luyện thi vào các tr-
ờng THPT khối chuyên. Đối với học sinh trung bình thì việc giả thành thạo dạng I
là thành công. Để thực hiện tốt đề tài trớc hết giáo viên cần dạy cho học sinh một số
chuyên đề có liên quan
- Định lý Vi-ét và các ứng dụng
- Giải phơng trình bậc hai
- Giải bất phơng trình, hệ bất phơng trình.
Trong thực tế giảng dạy, để một sáng kiến thành công, vận dụng có hiệu quả
không chỉ dừng ở lỗ lực cá nhân mà cần sự chung tay của cả tập thể, cả hội đồng
thẩm định. Ngoài ra thời gian đầu t giảng dạy đề tài không phải một , hai buổi vậy
tôi đề nghị tổ chuyên môn, nhóm toán tạo điều kiện mọi mặt cho việc áp dụng
thành công và hiệu quả.
Đồng nghiệp góp ý bổ sung thêm, rút kinh nghiệm sau mỗi lần thực nghiệm sao cho
đề tài có thể áp dụng đại trà.
Bên cạnh đó các nhà quản lý, ngời viết sách cũng cần quan tâm hơn cho
mảng kiến thức mà tôi nghiên cứu.
15
C. Kết luận
Trong quá trình giảng dạy ở trờng THCS, qua học hỏi kinh nghiệm ở các

thầy cô và các bạn đồng nghiệp, chúng tôi đã viết sáng kiến này mong muốn đợc
trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong dạy toán. Trong phạm vi sáng
kiến này, chúng tôi đã cố gắng hệ thống lại ba dạng toán cơ bản liên quan đến ph-
ơng trình trùng phơng mà học sinh thờng gặp.
Đề tài này đợc thực nghiệm riêng cho học sinh khối 9. Để giải đựơc các bài
toán trong sáng kiến thì bản thân các em phải nắm chắc các kiến thức về phơng
trình bậc hai, bất phơng trình. Phải chủ động và sáng tạo trong mọi hoạt động, đề
tài đòi hỏi các em phải có t duy suy luận tốt, chính xác.
16