Luận văn khôi phục một lớp hàm nguyên và áp dụng vào phương trình truyền nhiệt

LỜI CÁM ƠN
Tơi xin đặc biệt bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy của tôi, PGS. TS. Đặng
T
2

Đức Trọng về tất cả những sự hướng dẫn, góp ý, chỉ dạy, giúp đỡ, động viên, khích lệ rất nhiệt tình
và tận tâm của Thầy trong suốt q trình nghiên cứu và hồn thành Luận văn.
Tơi xin chân thành cám ơn đến tồn thể Q Thầy Cơ trong Tổ Tốn Giải tích của Trường
T
2

Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giảng dạy tận tình, ln khích lệ tơi trên con đường
học tập và nghiên cứu Tốn học.
Tơi xin chân thành cám ơn Q Thầy Cơ phản biện đã đọc và góp ý để tơi hồn chỉnh Luận
T
2

văn này.
Tơi xin chân thành cám ơn các Thầy Cô trong Hội đồng chấm Luận văn đã đọc và cho tôi
T
2

nhiều ý kiến quý báu để tôi thấy được những thiếu sót của mình.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc và chân thành tới các thầy giáo, cơ giáo trong Khoa Tốn
T
2

T
2

- Tin và Phịng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ

và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành
T
2

Luận văn.

T
2

Tơi gửi lời cám ơn chân thành tới các bạn bè, đồng nghiệp đã hỗ trợ, động viên và tạo điều
T
2

kiện cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn.
Tơi đặc biệt bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi, đã ln ở bên tơi, giúp đỡ, động
T
2

viên, tạo điều kiện thuận lợi để tôi vượt qua mọi khó khăn trong q trình học tập và hoàn thành
Luận văn này.

Nguyễn Quốc Cường
T
2


MỤC LỤC


PHẦN MỞ ĐẦU

Việc khảo sát bài tốn khơi phục hàm nguyên bắt nguồn từ thực tế, trong các lĩnh vực điều
T
0

khiển học, vật lý, kinh tế, y khoa, thăm dò, nhận dạng,… đặc biệt là các bài tốn khơng chỉnh. Đây
là lĩnh vực toán học hết sức thực tiễn, sâu rộng, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và
đạt được nhiều thành tựu rất quan trọng. Trong quá trình giải bài tốn khơi phục, các kết quả thu
được đã có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín
hiệu, lý thuyết hệ thống, nhận dạng trong tình huống xấu nhất,…
Trong Luận văn này, chúng tơi trình bày bài tốn khôi phục một lớp hàm nguyên từ các giá
T
0

trị của chúng trên một tập hợp các điểm nguyên. Các kết quả này được áp dụng để kiểm tra hai bài
T
0

toán liên quan đến phương trình truyền nhiệt: bài tốn đầu tiên là việc giải một phương trình truyền
nhiệt mà khơng có điều kiện đầu hoặc điều kiện cuối và bài toán thứ hai là việc xác định nguồn
nhiệt của một bài toán nhiệt ngược thời gian. Cụ thể như sau:
Cho σ > 0 , chúng tôi ký hiệu Lσ2 là không gian các hàm nguyên f ∈ L2 ( ¡
=
f ( z ) const.e

σz

) thỏa mãn

, z ∈£.

Do định lý Paley-Wiener (xem Rudin [18, Chương 19]), mỗi hàm f ∈ Lσ2 có thể được biểu
diễn như là biến đổi Fourier của một hàm g ∈ L2 ( −σ , σ ) , nghĩa là
f ( z)
=

σ

∫σ g ( t ) e

itz

dt , z ∈ £ .

−

Chúng tôi quan tâm đến một bài tốn khơi phục một hàm trong Lσ2 từ các giá trị của nó trên
một tập con đã biết của ¡ , vấn đề này đã được biết khi xem xét một số phương trình đạo hàm riêng.

Trước tiên, chúng ta hãy xem xét phương trình nhiệt
ut − u xx= f ( x, t ) , ( x, t ) ∈ Q=: ( 0,1) × ( 0, T ) ,

( 0, t ) u x=
(1, t ) u=
(1, t ) 0,
u x =

(1)

trong đó u ∈ C1 ([ 0, T ] ; L1 ( 0,1) ) ∩ L2 ( ( 0, T ) ; H 2 ( 0,1) ) đã biết. Ở đây, chúng ta nhớ lại rằng,

C1 ([ 0, T ] ; L1 ( 0,1) ) là không gian tất cả các hàm liên tục f : [ 0, T ] → L1 ( 0,1) có f ' : [ 0, T ] → L1 ( 0,1)
liên tục và L2 ( ( 0, T ) ; H 2 ( 0,1) ) là không gian tất cả các hàm f : ( 0, T ) → H 2 ( 0,1) thỏa mãn


T

∫ f (t )

2
H 2 ( 0,1)

< ∞.

0

Đây là một loại bài tốn gọi là “bài tốn khơng có điều kiện đầu”.
T
0

Năm 1935, Tikhonov [25] đã chứng minh tính duy nhất nghiệm của phương trình truyền
T
0

nhiệt thuần nhất

ut − ∆u= 0, − ∞ < t < ∞ .
Năm 1990, Safarov [19] đã giải quyết bài toán thuần nhất này cho miền không bị chặn x > 0
T
0

T
0

T
0

và cho 0 < x < l . Sau đó, phương trình truyền nhiệt khơng thuần nhất mà khơng có điều kiện đầu đã
T
0

T
0

được xem xét bởi nhiều tác giả như Shmulev [23], Kirilich [13] và Guseinov [12]. Các tác giả này
T
0

kiểm tra bài toán trong điều kiện −∞ < t < ∞ hoặc −∞ < t < T và họ đòi hỏi một số giả thiết về điều
kiện nhiệt độ tại −∞ hoặc điều kiện tuần hồn để bài tốn giải được.
Trong Luận văn này, chúng tơi sẽ trình bày bài tốn khơng thuần nhất trên một thời gian hữu
T
0

hạn 0 < t < T , việc làm này là hợp lý hơn cho các ứng dụng thực tế. Việc thiếu điều kiện đầu u (.,0 )
0T

T
0

T
0

T
0

được bù đắp bằng cách thêm điều kiện biên u (1,.) . Chúng tôi muốn chứng minh rằng bài tốn (1)
T
0

T
0

T
0

có nhiều nhất một nghiệm và giải nó bằng số.
Với mỗi α ∈ ¡ , nhân vào hai vế của phương trình đầu tiên của (1) với v ( x ) = cos (α x ) và sử
T
0

T
0

T
0

0T

T

0

dụng tích phân từng phần, ta có
1

1

1

0

0

0

∫ ut ( x, t ) cos (α x ) dx − ∫ uxx ( x, t ) cos (α x ) dx =
∫ f ( x, t ) cos (α x ) dx ,
1
x =1
d
u ( x, t ) cos (α x ) dx − u x ( x, t ) cos (α x ) + α u ( x, t ) sin (α x ) 
∫
x=0
dt 0
1

1

0

0

+ α 2 ∫ u ( x, t ) cos (α x ) dx =
∫ f ( x, t ) cos (α x ) dx,

d
F ( u (., t ) ) (α ) − u x (1, t ) cos α + α u (1, t ) sin α − u x ( 0, t ) cos 0 − α u ( 0, t ) sin 0 
dt
F ( f (., t ) ) (α ) .
+ α 2 F ( u (., t ) ) (α ) =
Do u x =
( 0, t ) u x=
(1, t ) u=
(1, t ) 0 nên

d
F ( u (., t ) ) (α ) + α 2 F ( u (., t ) ) (α ) =
F ( f (., t ) ) (α ) .
dt
trong đó F là viết tắt của biến đổi Fourier Cosin trong L2 ( 0,1) , nghĩa là
0T

T
0

T
0

T
0

T
0

F=
( w )( z ) :

1

∫ w ( x ) cos ( zx ) dx,
0

w ∈ L2 ( 0,1) , z ∈ £ .


Từ phương trình
T
0

0T

d
F ( u (., t ) ) (α ) + α 2 F ( u (., t ) ) (α ) =
F ( f (., t ) ) (α ) , ta suy ra
dt
T
0

(

)

2
d α 2t
e F ( u (., t ) ) (α ) = eα t F ( f (., t ) ) (α ) ,
dt

(

T

)

T

d α 2t
α 2t
∫0 dt e F ( u (., t ) ) (α ) dt = ∫0 e F ( f (., t ) ) (α ) dt ,

eα t F ( u (., t ) ) (α )
2

α 2T

e

t = T T α 2t
= e F ( f (., t ) ) (α ) dt ,
t = 0 ∫0
T

α t
F ( u (., T ) ) (α ) − F ( u (.,0 ) ) (α ) =
∫ e F ( f (., t ) ) (α ) dt .
2

0

Do đó
T

=
F ( u (., T ) ) (α ) e −α T F ( u (.,0 ) ) (α ) + ∫ e
2

α 2 ( t −T )

F ( f (., t ) ) (α ) dt .

(2)

0

Khó khăn của việc tìm u (., T ) là bởi vì điều kiện đầu u (.,0 ) khơng có sẵn. Tuy nhiên, từ (2),
T
0

0T

T

0

0T

T
0

T
0

chúng tơi có một quan sát rất quan trọng rằng, khi α → +∞ thì e −α T → 0 rất nhanh và thật là hợp
2

lý để sử dụng xấp xỉ
T

F ( u (., T ) ) (α ) ≈ ∫ e

α 2 ( t −T )

F ( f (., t ) ) (α ) dt .

(3)

0

Công thức (3) đưa ra một xấp xỉ tốt cho F ( u (., T ) ) (α ) , nếu α đủ lớn. Bây giờ, mấu chốt
của vấn đề là để khôi phục F ( u (., T ) ) (α ) cho α rất nhỏ. Vì vậy, chúng tơi gặp một bài tốn khơi
phục một hàm trong L12 từ các giá trị của nó trên một tập hợp ( −∞, − r ] ∪ [ r , ∞ ) , trong đó r > 0 là
một số lớn.

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét một bài toán truyền nhiệt khác gọi là “bài toán nguồn nhiệt
T
0

ngược thời gian”. Đây là bài tốn tìm một cặp hàm ( u , f ) thỏa mãn
T
0

T
0

ut − u xx= ϕ ( t ) f ( x ) , ( x, t ) ∈ Q=

( 0, t ) u x=
(1, t ) u=
(1, t ) 0,
u x =

u ( x, T ) = g ( x ) ,

( 0,1) × ( 0, T ) ,
(4)
T
0

trong đó ϕ ∈ L1 ( 0, T ) và g ∈ L2 ( 0,1) được cho trước.
0T

T
0

0T

0T

0T

Bài toán nguồn nhiệt ngược thời gian này là “bài tốn khơng chỉnh”, nghĩa là nghiệm có thể
T
0

T
0

khơng tồn tại và thậm chí nếu nó tồn tại thì nó có thể khơng phụ thuộc vào cách liên tục trên dữ
liệu. Vì vậy, một cách xử lý số thông thường là không thể và một sự chỉnh hóa là cần thiết.
0T


Bài tốn tìm nguồn nhiệt dưới dạng ϕ ( t ) f ( x ) , trong đó một trong hai hàm ϕ và f không
T
0

T
0

T
0

T

0

T
0

được biết, đã được kiểm tra trong một thời gian dài. Tính duy nhất và sự ổn định được xem xét bởi
T
0

nhiều tác giả như Cannon-Esteva [5, 6], Yamamoto [31, 32], Yamamoto-Zou [33], Saitoh-TuanYamamoto [20, 21] và Choulli-Yamamoto [7]. Tuy nhiên, sự chỉnh hóa bài tốn đối với trường hợp
T
0

khơng ổn định vẫn cịn khó khăn. Sự chỉnh hóa bài tốn cho trường hợp f ≡ 1 đã được kiểm tra bởi
T
0

Wang-Zheng [29] và Shidfar-Zakeri-Neisi [22], trong khi trường hợp ϕ ≡ 1 được xem xét bởi
Cannon [4], Wang-Zheng [30] và Farcas-Lesnic [11]. Gần đây, Trong-Long-Đinh [27] và TrongQuan-Đinh [28] đã xem xét sự chỉnh hóa bài tốn trong đó ϕ được cho trước và f là không được
biết. Tuy nhiên, trong hai bài báo này, cả hai điều kiện đầu u (.,0 ) và điều kiện cuối u (., T ) là bắt
buộc. Yêu cầu này là ngặt và không tự nhiên. Trong Luận văn này, chúng tơi trình bày bài tốn
tương tự như trong [27], nhưng yêu cầu của nhiệt độ ban đầu được loại bỏ hoàn toàn.
Lưu ý rằng, nếu f đã được biết thì chúng ta có được một bài tốn truyền nhiệt ngược thơng
thường. Vì vậy, chúng tơi sẽ chỉ tập trung vào việc tìm f .
Với mỗi α ∈ ¡ , nhân vào hai vế của phương trình đầu tiên của (4) với v ( x ) = cos (α x ) và sử
T
0

T
0

T
0

0T

T
0

dụng tích phân từng phần, ta có
1

1

1

0

0

0

∫ ut ( x, t ) cos (α x ) dx − ∫ uxx ( x, t ) cos (α x ) dx =
∫ ϕ ( t ) f ( x ) cos (α x ) dx ,
1
x =1
d
u ( x, t ) cos (α x ) dx − u x ( x, t ) cos (α x ) + α u ( x, t ) sin (α x ) 
∫
x=0

dt 0
1

1

0

0

+ α 2 ∫ u ( x, t ) cos (α x ) dx =
ϕ ( t ) ∫ f ( x ) cos (α x ) dx,

d
F ( u (., t ) ) (α ) − u x (1, t ) cos α + α u (1, t ) sin α − u x ( 0, t ) cos 0 − α u ( 0, t ) sin 0 
dt
+ α 2 F ( u (., t ) ) (α ) =
F ( f (., t ) ) (α ) .
Do u x =
( 0, t ) u x=
(1, t ) u=
(1, t ) 0 nên

d
ϕ ( t ) F ( f )(α ) .
F ( u (., t ) ) (α ) + α 2 F ( u (., t ) ) (α ) =
dt
Từ phương trình trên, ta suy ra
T
0

0T

0T

(

)

2
d α 2t
e F ( u (., t ) ) (α ) = eα tϕ ( t ) F ( f )(α ) ,
dt

T

(

)

T

d α 2t
α 2t
∫0 dt e F ( u (., t ) ) (α ) dt = ∫0 e ϕ ( t ) F ( f )(α ) dt ,


T
t =T
2
= F ( f )(α ) ∫ eα tϕ ( t ) dt ,

e F ( u (., t ) ) (α )
t =0
0

α 2t

T

eα T F ( u (., T ) ) (α ) − F ( u (.,0 ) ) (α ) =
F ( f )(α ) ∫ eα tϕ ( t ) dt .
2

2

0

Do u ( x, T ) = g ( x ) nên
F ( g )(α ) − e

−α 2T

T

F ( u (.,0 ) ) (α ) =
F ( f )(α ) ∫ e ( )ϕ ( t ) dt .
α 2 t −T

0

Vì vậy

F ( g )(α ) − e −α T F ( u (.,0 ) ) (α=
) D (ϕ )(α ) F ( f )(α ) , α ∈ ¡ ,
2

(5)

trong đó
T

ϕ ( t ) dt .

D (ϕ )(α ) = ∫ e

α 2 ( t −T )

0

Nếu e −α T D (ϕ )(α ) → 0 “đủ nhanh” khi α → +∞ thì chúng ta có xấp xỉ
2

F( f

F ( u (.,0 ) ) (α ) F ( g )(α )
F ( g )(α )
.
≈
)(α ) = − e−α T
D (ϕ )(α )
D (ϕ )(α )

D (ϕ )(α )
2

(6)

Vì vậy, chúng tơi gặp lại bài tốn khơi phục một hàm trong L12 , nghĩa là F ( f ) , từ giá trị của
nó trên một tập hợp ( −∞, − r ] ∪ [ r , ∞ ) , trong đó r > 0 là một số lớn.
Tóm lại, hai bài toán truyền nhiệt gợi ra cho chúng ta một “bài tốn cơng cụ” của việc khơi
T
0

phục những hàm trong Lσ2 . Phần còn lại của Luận văn này được trình bày thành 4 Chương. Trong
0T

0T

Chương 1, chúng tơi giới thiệu và trình bày một số kiến thức cơ bản, các ký hiệu, các không gian
hàm được sử dụng trong Luận văn. Trong Chương 2, chúng tôi giới thiệu và trình bày sơ lược về
hàm giải tích, hàm ngun và các tính chất quan trọng của chúng được sử dụng trong Luận văn.
Trong Chương 3, chúng tơi trình bày một số kết quả về “bài tốn cơng cụ” của việc khôi phục
những hàm trong Lσ2 . Trong Chương 4, chúng tơi trở lại những bài tốn truyền nhiệt và áp dụng các
0T

0T

kết quả trong Chương 3 để giải quyết chúng. Một thực nghiệm bằng số cũng được trình bày trong
Chương 4 để làm sáng tỏ hiệu quả phương pháp.


Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Không gian định chuẩn và không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. (xem [15, tr. 3-4]) Cho K là trường số thực ¡ hoặc trường số phức £ .
Tập hợp X khác rỗng cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân vô hướng)

+ : X×X → X

( x, y )

a

x+ y

. : K×X → X

(λ, x)

a

λx

được gọi là một khơng gian tuyến tính (hoặc khơng gian vectơ) trên K nếu các tính chất sau thỏa
mãn:
(a) X cùng với phép cộng là một nhóm Abel, tức là:
(i) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X ,
(ii) ( x + y ) + z =x + ( y + z ) với mọi x, y, z ∈ X ,
(iii) Tồn tại một phần tử 0 của X sao cho 0 + x = x + 0 = x với mọi x ∈ X ,
(iv) Với mỗi phần tử x của X , tồn tại một phần tử − x của X sao cho

x + ( − x ) =0 .
(b) λ ( x + y ) = λ y + λ x với mọi λ ∈ K , và với mọi x, y ∈ X ,

(c) ( λ + µ ) x =λ x + µ x với mọi λ , µ ∈ K , và với mọi x ∈ X ,
(d) ( λµ ) x = λ ( µ x ) với mọi λ , µ ∈ K , và với mọi x ∈ X ,
(e) 1x = x với mọi x ∈ X .
Nếu K = ¡ thì X được gọi là một khơng gian tuyến tính thực.
Nếu K = £ thì X được gọi là một khơng gian tuyến tính phức.
Định nghĩa 1.1.2. (xem [16, tr. 8]) Cho ( X , +, ⋅) là một không gian vectơ trên ¡ . Một ánh xạ

⋅ : X → ¡
x a

x

được gọi là một chuẩn trên X nếu các tính chất sau thỏa với mọi x, y ∈ X , α ∈ ¡ ,
(i) x ≥ 0 và x = 0 ⇔ x = 0 ,
(ii) α x = α x ,
(iii) x + y ≤ x + y .


Không gian vectơ ( X , +, ⋅) với chuẩn ⋅ được gọi là không gian định chuẩn ( X , +, ⋅, ⋅ ) ,
hay vắn tắt là ( X , ⋅ ) , hay vắn tắt hơn là X , khi các phép toán, hàm chuẩn được ngầm hiểu và
không thể nhầm lẫn.
Định nghĩa 1.1.3. (xem [16, tr. 10]) Cho ( X , ⋅

) là một không gian định chuẩn và

f là một

ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương ¥ vào X . Đặt xn = f ( n ) với mọi n trong ¥ . Ta gọi { xn }
là một dãy trong X .
Cho { xn } là một dãy các phần tử của một không gian định chuẩn ( X , ⋅ ) . Ta nói

0 , nghĩa là ứng với
(i) { xn } là dãy hội tụ (trong X ) nếu tồn tại x ∈ X sao cho lim xn − x =
n →∞

mỗi ε > 0 , tồn tại n0 ∈ ¥ sao cho xn − x < ε , với mọi n ≥ n0 . Khi đó, phần tử x , nếu có, thì duy
nhất và được gọi là giới hạn của dãy { xn } , ký hiệu lim xn = x . Ta cũng nói xn → x khi n → ∞ .
n →∞

(ii) { xn } là dãy Cauchy (trong X ) nếu ứng với mỗi ε > 0 , tồn tại n0 ∈ ¥ sao cho

xm − xn < ε , với mọi m, n ≥ n0 .
(iii) { xn } là dãy bị chặn (trong X ) nếu ảnh của nó,

{x

n

n∈¥}

là một tập con bị chặn của X .
Chú ý rằng, mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy và mọi dãy Cauchy đều bị chặn. Chiều ngược
lại không đúng cho trường hợp tổng quát.
Định nghĩa 1.1.4. (xem [9, tr. 10]) Cho ( X , ⋅

) là một không gian định chuẩn và

f là một

ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương ¥ vào X và g là một ánh xạ đồng biến nghiêm cách từ ¥

vào ¥ . Đặt xn = f ( n ) và yk = f o g ( k ) với mọi n và k trong ¥ . Ta gọi { yk } là một dãy con của

{ }

dãy { xn } và được ký hiệu là xnk .
Định nghĩa 1.1.5. (xem [16, tr. 10-11]) Cho không gian định chuẩn ( X , ⋅ ) . Ta nói
(i) ( X , ⋅

) là đầy đủ khi mọi dãy Cauchy trong

(ii) ( X , ⋅

) là compact khi mọi dãy trong

X đều hội tụ.

X đều có một dãy con hội tụ (trong X ).


Định nghĩa 1.1.6. (xem [16, tr. 52-53]) Với hai không gian định chuẩn ( X 1 , +, ⋅, ⋅

(X

2

, +, ⋅, ⋅

2

) , xét X=

1

);

X 1 × X 2 . Ta có X trở thành một khơng gian vectơ với các phép toán trên X

sinh bởi các phép toán trên X 1 và X 2 ,

( x1 , x2 ) + ( y1 , y2 ) =( x1 + y1 , x2 + y2 ) ,
α ( x1 , x2 ) = (α x1 ,α x2 ) ,
với mọi x1 , y1 ∈ X 1; x2 , y2 ∈ X 2 và α ∈ ¡ . Hơn nữa, hàm ⋅ : X → X xác định bởi

=
x

x1 1 + x2
2

2
2

,=
với x

( x1 , x2 ) ∈ X , trở thành một chuẩn trên

X . Không gian định chuẩn X

nhận được gọi là khơng gian định chuẩn tích của các không gian định chuẩn X 1 và X 2 .

(

Tương tự với n không gian định chuẩn X i , +, ⋅, ⋅

) , i = 1, 2,..., n , tập X =

i

X 1 × X 2 × ... × X n

với các phép toán cũng như hàm chuẩn sau

( x1 , x2 ,..., xn ) + ( y1 , y2 ,..., yn ) =( x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn ) ,
α ( x1 , x2 ,..., xn ) = (α x1 , α x2 ,..., α xn ) ,

( x1 , x2 ,..., x=
n)

x1 1 + x2 2 + ... + xn
2

2

2
n

,

(

được gọi là khơng gian định chuẩn tích của các khơng gian định chuẩn X i , +, ⋅, ⋅

i

Định nghĩa 1.1.7. (xem [9, tr. 10]) Ta nói một khơng gian định chuẩn ( X , ⋅
gian Banach nếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy của nó đều hội tụ.

1.2. Khơng gian Hilbert
(xem [16, tr. 155-156)
Định nghĩa 1.2.1. Cho H là một không gian vectơ trên ¡ . Một ánh xạ

.,. : H × H → ¡

( x, y )

a

x, y

được gọi là một tích vơ hướng trên H nếu các tính chất sau thỏa,
(i) α x + β x ', y = α x, y + β x ', y , với mọi α , β ∈ ¡ ; x, x ', y ∈ H ,
(ii) x, α y + β y ' = α x, y + β x, y ' , với mọi α , β ∈ ¡ ; x, y, y ' ∈ H ,
(iii) x, y = y, x , với mọi x, y ∈ H , và
(iv) x, x ≥ 0 , với mọi x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0 .

) , i = 1, 2,..., n .
) là một không

Như vậy, một tích vơ hướng trên H là một phiếm hàm song tuyến tính, đối xứng, xác định
dương.
Từ tích vô hướng nêu trên, với x ∈ H , đặt

x =

x, x .

Từ định nghĩa, với x, y ∈ H , ta có

0 ≤ x + ty, x + ty = x + 2t x, y + t 2 y
2

2

đúng với mọi t ∈ ¡ , ta suy ra
Bất đẳng thức Schwarz. Với mọi x, y ∈ H ,

x, y ≤ x y .
Từ đó suy ra
x + y = x + y , x + y = x + 2 x, y + y
2

2

≤ x +2 x y + y =( x + y )
2

2

2

2

nên ta được
Bất đẳng thức tam giác. Với mọi x, y ∈ H ,

x+ y ≤ x + y .
Hơn nữa, do

(

)

x+ y
x− y
x+ y x+ y
x− y x− y
1 2
2
+
=
,
+
,
= x + y ,
2
2
2
2

2
2
2
2

2

ta được
Bất đẳng thức hình bình hành. Với mọi x, y ∈ H ,

(

)

x+ y
x− y
1 2
2
+
= x + y .
2
2
2
2

2

Đặc biệt, ⋅ là một chuẩn trên H và do đó H trở thành một không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.2.2. Khi không gian định chuẩn ( H , ⋅

) đầy đủ, ta nói ( H , ⋅ ) là khơng gian

Hilbert.
1.3. Không gian
Lp (xem [1, tr. 1-5]; xem [3, Chương 4]; xem [18, Chương 3])


1.3.1. Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân
Định lý 1.3.1.1. (Định lý hội tụ đơn điệu của Beppo Levi) Cho
khả tích (Lesbesgue) trên tập Ω ⊂ ¡

{ f n } là dãy tăng các hàm

sao cho sup ∫ f n < ∞ . Khi đó, f n hội tụ h.k.n trên Ω về một

N

n

hàm f khả tích trên Ω và

fn − f

1

≡ ∫ f n ( x ) − f ( x ) dx → 0 khi n → ∞ .
Ω

Định lý 1.3.1.2. (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue) Cho

{ f n } là một dãy các hàm

(thực hoặc phức) khả tích trên Ω . Giả sử
(i) f n ( x ) → f ( x ) h.k.n trên Ω .
(ii) Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n , f n ( x ) → g ( x ) h.k.n trên Ω .
Khi đó f khả tích và

fn − f

1

≡ ∫ f n ( x ) − f ( x ) dx → 0 khi n → ∞ .
Ω

Hệ quả 1.3.1.3. Cho f là hàm đo được và g là hàm khả tích trên Ω . Ta có, nếu

f n ( x ) → g ( x ) h.k.n. trên Ω thì f khả tích trên Ω . Suy ra rằng, nếu f khả tích thì f khả tích
(đương nhiên chiều ngược lại cũng đúng).
Bổ đề 1.3.1.4. (Bổ đề Fatou) Giả sử

{ f n } là một dãy các hàm khả tích sao cho

(i) f n ≥ 0 h.k.n trên Ω, ∀n .
(ii) sup f n < ∞ .
Với mỗi x ∈ Ω , ta đặt f ( x ) = liminf f n ( x ) . Khi đó, f khả tích trên Ω và

∫ f ≤ lim inf ∫ f
n →∞

Giả sử Ω1 ⊂ ¡ 1 , Ω 2 ⊂ ¡

2

n

.

là hai tập mở và F : Ω1 × Ω 2 → ¡ (hoặc £ ) là hàm đo được.

Định lý 1.3.1.5. (Tonelli) Giả sử

∫ F ( x, y ) dy < ∞ h.k.n. trên Ω1

Ω2

và

∫ dx ∫ F ( x, y ) dy < ∞

Ω1

Khi đó, F khả tích trên Ω1 × Ω 2 .

Ω2


Định lý 1.3.1.6. (Fubini) Cho F khả tích trên Ω1 × Ω 2 . Khi đó, với hầu hết x thuộc Ω1

F ( x,.) ≡ y a F ( x, y ) khả tích trên Ω 2
và

∫ F ( x, y ) dy

xa

khả tích trên Ω1

Ω2

Kết luận tương tự khi đổi vai trò x cho y , Ω1 cho Ω 2 .
Hơn nữa, ta có

dx ∫ F ( x, y ) dy ∫=
dy ∫ F ( x, y ) dx ∫
∫=

Ω1

Ω2

Ω2

Ω1

F ( x, y ) dxdy

Ω1 ×Ω 2

1.3.2. Khơng gian

Lp , 1 ≤ p ≤ ∞
Định nghĩa 1.3.2.1. Cho p ∈ ¡ với 1 ≤ p < ∞ , ta định nghĩa

Lp (=
Ω)

{

f : Ω → ¡ (hoặc £ ); f đo được và f

Ω)
L∞ (=

{

p

khả tích

},

f : Ω → ¡ (hoặc £ ); f đo được và ∃C , f ( x ) ≤ C h.k.n

},

và ký hiệu
1

f

p


p
p
=  ∫ f ( x ) dx 
Ω


{

}

f ∞ inf C; f ( x ) ≤ C h.k.n .
=
Nhận xét 1.3.2.2. Nếu f ∈ Lp ( Ω ) thì f ( x ) ≤ f
Thật vậy, có dãy {Cn } hội tụ về f

∞

∞

h.k.n x ∈ Ω .

sao cho ∀n, f ( x ) ≤ Cn h.k.n. trên Ω . Vì vậy, với mỗi

n , f ( x ) ≤ Cn , ∀x ∈ Ω \ En , trong đó En là tập khơng đáng kể (có độ đo 0). Đặt E = U En thì E là
n

tập khơng đáng kể và với mỗi n , f ( x ) ≤ Cn , ∀x ∈ Ω \ E , suy ra f ( x ) ≤ C , ∀x ∈ Ω \ E .

Ta ký hiệu p ' là số liên hợp của p, 1 ≤ p ≤ ∞ , nghĩa là

1 1
+ =
1.
p p'

Định lý 1.3.2.3. (Bất đẳng thức Holder) Cho f ∈ Lp và g ∈ Lp ' với 1 ≤ p ≤ ∞ . Khi đó

f .g ∈ L1 và

∫

f .g ≤ f

p

. f

p'

Dựa vào bất đẳng thức Holder, người ta chứng minh được:


Định lý 1.3.2.4. Lp là một không gian vector và ⋅

p

là một chuẩn với 1 ≤ p ≤ ∞ .

Định lý 1.3.2.5. (Fischer-Riesz)
(i) Lp là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞ .
(ii) Giả sử { f n } là một dãy hội tụ về f trong không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞ ), nghĩa là,

fn − f

p

{ }

→ 0 . Thế thì có dãy con f nk

k =1,2,...

sao cho

f nk ( x ) → f ( x ) h.k.n
∀k , f nk ( x ) ≤ h ( x ) h.k.n

với h là một hàm trong Lp .
Với Ω là tập mở trong ¡ , ta ký hiệu C k ( Ω ) là không gian các hàm số khả vi liên tục đến
∞

Ω ) I C k ( Ω ) . Còn Cc ( Ω ) là không gian các hàm số f liên tục trên Ω sao cho giá
cấp k và C ∞ (=
k =1

(support) của f , tức là tập hợp

supp f=

{ x ∈ Ω : f ( x ) ≠ 0}

là compact chứa trong Ω , ký hiệu gạch ngang ở trên là bao đóng của tập hợp. Đặt
Cck ( Ω=
) C k ( Ω ) ∩ Cc ( Ω )
Cc∞ ( Ω=
) C ∞ ( Ω ) ∩ Cc ( Ω )

Lloc ( Ω ) là tập các hàm đo được trên Ω , khả tích trên mỗi tập compact K ⊂ Ω .
Ta có kết quả sau đây về tính trù mật:
Định lý 1.3.2.6. Với 1 ≤ p < ∞ (lưu ý rằng p ≠ ∞ ), thì Cc∞ ( Ω ) trù mật trong Lp ( Ω ) .
Định lý 1.3.2.7. (Riemann-Lesbesgue) Cho f ∈ L1 ( a; b ) , với ( a; b ) là khoảng hữu hạn
hoặc vơ hạn của ¡ , thì ta có
b

b

=
lim ∫ f ( x ) cos Nxdx 0,=
lim ∫ f ( x ) sin Nxdx 0
N →∞

N →∞

a

a

khi N → ∞ .

1.3.3. Tích chập
Định nghĩa 1.3.3.1. Cho hai hàm số f và g xác định trên ¡

f ∗ g ( x )=

N

thì hàm số f ∗ g định bởi

∫ f ( x − y ) g ( y ) dy,
¡

N

với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, được gọi là tích chập của f và g .


Định lý 1.3.3.2. Giả sử f ∈ L1 ( ¡

) và g ∈ L ( ¡ ) với 1 ≤ p ≤ ∞ . Khi đó, với mỗi x ∈ ¡

N

p

hàm số y a f ( x − y ) g ( y ) khả tích trên ¡

N

và f ∗ g ∈ Lp ( ¡

N

f ∗g

≤ f

p

1

N

N

) . Hơn nữa,

g p.

1.4. Không gian Sobolev
(xem [3, Chương 8])
1.4.1. Không gian Sobolev W 1, p và các tính chất cơ bản
Cho Ω ⊂ ¡

N

là một tập mở và 1 ≤ p ≤ ∞ .

Định nghĩa 1.4.1.1. Hàm g ∈ Lloc ( Ω ) được gọi là đạo hàm riêng suy rộng theo biến xi của
hàm f ∈ Lloc ( Ω ) , ký hiệu g =

∂f
hay g = Di f , nếu
∂xi
∂ϕ

∫ f ∂x

Ω

i

dx =− ∫ gϕ dx, ∀ϕ ∈ Cc∞ ( Ω ) .
Ω

Nếu f có Di f , i = 1, N , ta ký hiệu ∇f =
( D1 f , D2 f ,..., DN f ) .
Định nghĩa 1.4.1.2. Với 1 ≤ p ≤ ∞ , ta ký hiệu W 1, p ( Ω ) là tập hợp các hàm f ∈ Lp ( Ω ) có

1, N .
mọi đạo hàm riêng suy rộng Di f ∈ Lp ( Ω ) , i =
Trong W 1, p ( Ω ) ta xét chuẩn
N

f=
w1, p

f

L

p

+ ∑ Di f
i =1

Lp

hoặc chuẩn tương đương

=
f w1, p  f


1

p
Lp

N

+∑
i =1

p
Di f Lp  khi 1 ≤ p < ∞ .

p

Định nghĩa 1.4.1.3. Không gian W 1,2 ( Ω ) được ký hiệu là H 1 ( Ω ) và được trang bị tích vô

hướng
=
f ,g

∫

Ω

 N

fgdx + ∫  ∑ Di f Di g  dx

Ω  i =1

và chuẩn tương ứng
1


2
 N
2
2
=
f H 1  ∫ f dx + ∫  ∑ Di f  dx  .
 
Ω  i =1
Ω

,

Định nghĩa 1.4.1.4. W01, p ( Ω ) là bao đóng của Cc1 ( Ω ) trong W 1, p ( Ω ) .
Ta ký hiệu H 01 ( Ω
=
) W01,2 ( Ω ) .
Định lý 1.4.1.5. Không gian W 1, p là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞ , khả li với 1 ≤ p < ∞ ,
phản xạ với 1 < p < ∞ .
Định lý 1.4.1.6. (Đạo hàm của một tích)
Cho f , g ∈ W 1, p ( Ω ) ∩ L∞ ( Ω ) , 1 ≤ p ≤ ∞ . Khi đó fg ∈ W 1, p ( Ω ) ∩ L∞ ( Ω ) và

D
=
i ( fg )

( Di f ) g + f ( Di g ) .

Định lý 1.4.1.7. (Đạo hàm của hàm hợp) Cho G ∈ C1 ( ¡

) thỏa G ( 0 ) = 0 ,

G ' ( t ) ≤ M , ∀t ∈ ¡ và f ∈ W 1, p ( Ω ) , 1 ≤ p < ∞ .
Khi đó G o f ∈ W 1, p ( Ω ) và Di ( G o f ) = G ' ( f ) Di f .
1.4.2. Không gian Sobolev W m , p
Định nghĩa 1.4.2.1. Cho một số nguyên m ≥ 2 và một số thực 1 ≤ p ≤ ∞ , ta định nghĩa bằng
quy nạp


∂f
m −1, p
W m , p ( Ω ) =∈

1, N 
( Ω ) , ∈ W m−1, p ( Ω ) , ∀i =
f W
∂xi



hay ta cũng có thể định nghĩa một cách tương đương

{

W m , p ( Ω ) = f ∈ Lp ( Ω ) ∀α , α ≤ m, ∃gα ∈ Lp ( Ω ) sao cho


α
α
∫ fD ϕ =( −1) ∫ gαϕ , ∀ϕ ∈ C ( Ω )
∞
c

Ω

Ω

Ta ký hiệu Dα f = gα và H m (=
Ω ) W m ,2 ( Ω ) .
Chú ý 1.4.2.2. Một đa chỉ số α là một bộ α = (α1 , α 2 ,..., α N ) với α i ≥ 0 nguyên, ta đặt
N

α = ∑ α i và Dα ϕ =

i =1

∂α1 +α 2 +...+α N
ϕ.
∂x1α1 ∂x2α 2 ...∂xαNN

Định lý 1.4.2.3. Không gian W m , p được trang bị bởi chuẩn

f=
wm , p

f

Lp

+

∑
α

0≤ ≤ m

Dα f

Lp

là một không gian Banach.
Định lý 1.4.2.4. Không gian H m ( Ω ) được trang bị bởi tích vơ hướng

, g Hm
f=

f ,g

L2

+

∑
α

0≤

Dα f , Dα g

≤m

L2

là một không gian Hilbert.
Ta chứng minh được rằng chuẩn của W m , p ( Ω ) là tương đương với chuẩn

f

Lp

+

∑

α

Dα f

=m

Lp

.

1.5. Biến đổi Fourier
(xem [1, tr. 56-68]; xem [8, Chương 6]; xem [10, Chương 4]; xem [18, Chương 9)
1.5.1. Biến đổi Fourier trong L1 ( ¡

)

Định nghĩa 1.5.1.1. Cho f ∈ L1 ( ¡ ) , hàm F định bởi

F=
( f ) F=
( x)

+∞

∫ e f ( t ) dt
ixt

−∞

được gọi là biến đổi Fourier của f .

Định lý 1.5.1.2. Cho f , g ∈ L1 ( ¡ ) , λ , µ ∈ £ . Khi đó, ta có:
(i) F ( λ f + µ g=
) λF ( f ) + µF ( g ) ,

F ( f )F (g),
(ii) F ( f ∗ g ) =
(iii) sup F ( x ) ≤ f
x∈¡

L1

,

(iv) F ( x ) − F ( y ) → 0 khi x − y → 0 ,
(v) F ( x ) → 0 khi x → ∞ .
Định lý 1.5.1.3. Với r > 0 , đặt f r ( t ) = f ( rt ) . Ta có
F=
( f r ) F=
r ( x)

1  x
F 
r r

Định lý 1.5.1.4. Với a ∈ ¡ , đặt f a =
( t ) f ( t + a ) . Ta có

F=
e − iax F ( x )
( f a ) F=

a ( x)
Định lý 1.5.1.5. Cho f ∈ L1 ( ¡

)

thỏa supp f ⊂ [ −a; a ] . Ta có F là hàm giải tích trên £ .

Định lý 1.5.1.6. Cho dãy { f n }n =1,2,... hội tụ trong L1 ( ¡ ) . Khi đó, dãy {Fn }n=1,2,... hội tụ đều trên
¡ .


Định lý 1.5.1.7. Cho f ∈ L1 ( ¡

)

thỏa tính chất f ' ∈ L1 ( ¡

)

và f liên tục tuyệt đối trên mọi

khoảng hữu hạn. Khi đó F ' ( x ) = −ixF ( x ) .
Định lý 1.5.1.8. Nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L1 ( ¡

) thì

F hội tụ về 0 càng nhanh

khi x → ∞ , nghĩa là,

F(

F ( x) =

n)

x

( x)
n

.

Định lý 1.5.1.9. Cho f ∈ L1 ( ¡ ) . Nếu f '' tồn tại và f '' ∈ L1 ( ¡
Định lý 1.5.1.10. Cho f ∈ L1 ( ¡

)

thì F ∈ L1 ( ¡ ) .

bị chặn, liên tục và F ∈ L1 ( ¡ ) . Khi đó ta có
+∞

1
f (t ) =
2π
1.5.2. Biến đổi Fourier trong L2 ( ¡

)

∫e

− itx

F ( x ) dx .

−∞

)

Định lý 1.5.2.1. (Plancherel) Với mọi f ∈ L2 ( ¡ ) , N > 0 , ta đặt
FN { f }( x ) =

N

∫ e f ( t ) dt
ixt

−N

Khi đó
(i) FN { f } hội tụ trong L2 ( ¡

đến một hàm F { f } khi N → ∞ . Hơn nữa

)

F{ f }
(ii) Nếu f ∈ L1 ( ¡ ) ∩ L2 ( ¡

)

2
L2

= 2π f

2
L2

thì F { f } = F ( f ) h.h trên ¡ .

(iii) Đặt

φN ( t ) =

N

∫e

− itx

F { f }( x ) dx

−N

thì φN hội tụ trong L2 ( ¡

)

đến f khi N → ∞ .

(iv) Toán tử F là một đẳng cấu từ L2 ( ¡

Hệ quả 1.5.2.2. Nếu f ∈ L2 ( ¡

) và

f (t ) =

1
2π

)

vào L2 ( ¡ ) .

F ∈ L1 ( ¡
+∞

∫e

−∞

− itx

) thì

F ( x ) dx với h .h .x.

Định lý 1.5.2.3. (Đẳng thức Parseval) Cho f ∈ L2 ( ¡ ) . Ta có

F

= 2π f

L2

L2

.

1.6. Đa thức Lagrange (xem [2])
Ký hiệu K là tập các số thực ¡ hoặc tập các số phức £ và Pn ( ¡

) hoặc Pn ( £ ) là tập tất cả

các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n − 1 . Cho n điểm phân biệt ti ∈ K và n giá trị α i ∈ K , 1 ≤ i ≤ n
.
Ta tìm một đa thức thỏa

Pn ( t=
αi , 1 ≤ i ≤ n
i)
Để làm điều đó, ta giới thiệu các đa thức li
=
li ( t ) li ( t1 ,...,=
tn ; t )

t −tj

n

∏t
j =1
j ≠i

i

−tj

K , i 1, 2,..., n .
, t ∈=

1, 2,..., n và
Rõ ràng li ∈ Pn ( K ) , i =
li ( t j ) = 1 nếu j = i , li ( t j ) = 0 nếu j ≠ i .
Các đa thức li , i = 1, 2,..., n được gọi là các đa thức Lagrange cơ bản. Chúng có thể được viết
dưới dạng khác.
Ta giới thiệu đa thức

w=
( t ) w ( t1 ,..., t=
n;t )

∏ (t − t )
n

j

j =1

Khi đó
w(t )

∏ (t − t ) =
t −t
n

j =1
j ≠i

∏ (t
n

j =1
j ≠i

i

j

,

i

w(t )
t j ) lim = w ' ( ti ) .
−=

t →ti t − t
i

Điều đó cho phép ta viết
li ( t ) =

w(t )
w ' ( ti )( t − ti )

Dễ thấy rằng, đa thức
n

pn ( t ) = ∑ α i li ( t )
i =1


là đa thức duy nhất trong Pn ( K ) thỏa Pn ( t=
α i , 1 ≤ i ≤ n . Dạng pn ( t ) của đa thức nội suy được
i)
gọi là dạng Lagrange.

1, 2,..., n là các điểm nút phân biệt
Bây giờ, nếu f : K → K là một hàm bất kỳ và ti ∈ K , i =
thì

=
Ln ( f ; t ) L=
t1 ,...,tn ( f ; t )

n

∑ f ( t ) l ( t ), t ∈ K
i

i =1

i

là đa thức duy nhất trong Pn ( K ) mà nó đồng nhất với f tại các điểm nút ti , i = 1, 2,..., n .
Hiển nhiên, nếu p ∈ Pn ( K ) thì

Ln ( p; t ) ≡ p ( t )
vì p được xác định duy nhất bởi các giá trị p ( ti ) , i = 1, 2,..., n của nó.
Do đó, tốn tử tuyến tính Ln : K → Pn ( K ) là lũy đẳng, nghĩa là L2n = Ln . Vì vậy, nó là một
phép chiếu, ta gọi là phép chiếu nội suy Lagrange.

1.7. Bài tốn chỉnh và bài tốn khơng chỉnh (xem [26])
0T

Xét phương trình
Ax = y

với A là một tốn tử liên tục (khơng nhất thiết tuyến tính) từ một khơng gian Banach X vào một
không gian Banach Y và x ∈ X được tìm từ y đã cho.
Ta nói phương trình Ax = y biểu diễn một bài toán chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu tốn tử
A có một tốn tử ngược liên tục từ Y vào X , với X và Y là các khơng gian Banach. Nói cách

khác, chúng ta địi hỏi rằng:
(i) Với bất kỳ y ∈ Y có nhiều nhất một x ∈ X thỏa Ax = y (tính duy nhất nghiệm);
(ii) Với bất kỳ y ∈ Y tồn tại một nghiệm x ∈ X thỏa Ax = y (sự tồn tại nghiệm);

(iii) A−1 y1 − A−1 y2

X

→ 0 khi y1 − y2

→ 0 (tính ổn định nghiệm).

Y

Nếu một trong ba điều kiện (i), (ii), (iii) không thỏa thì phương trình Ax = y biểu diễn một
bài tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard.

1.8. Sự chỉnh hóa (xem [26])
0T

Ý tưởng cơ bản trong việc giải bài toán Ax = y là dùng sự chỉnh hóa, nghĩa là thay phương
T
0

T
0

trình này bởi một phương trình “gần” với nó bao gồm cả một tham số nhỏ α để ta có thể giải
T
0

T
0