Phương trình truyền nhiệt và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (872.22 KB, 57 trang )

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN HỌC

PHAN THỊ THU LOAN

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
VÀ ỨNG DỤNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Đà Nẵng – Năm 2020

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN HỌC

PHAN THỊ THU LOAN

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
VÀ ỨNG DỤNG
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Giảng viên hướng dẫn: TS. CHỬ VĂN TIỆP

Đà Nẵng – Năm 2020

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên của khóa luận tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy

Chử Văn Tiệp đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt q trình thực
hiện để tác giả có thể hồn thành được khóa luận này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô
đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập tại Khoa Toán.
Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp
16CTUDE đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại lớp.
Vì thời gian và kiến thức cịn hạn chế nên mặc dù bản thân đã cố gắng
hết sức nhưng bài luận văn vẫn không thể tránh khỏi thiếu sót. Tác giả
kính mong nhận được những ý kiến đóng góp q báu từ các thầy, cơ và
các bạn để khóa luận được hồn thiện hơn.
Tác giả
Phan Thị Thu Loan

MỤC LỤC
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai . . . . . 6
1.3. Bài toán truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 2. Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Bài toán giá trị ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Phương pháp hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa
thế kỷ XVIII trong các cơng trình của những nhà tốn học như Euler,
d’Alembert, Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng để mơ
tả các mơ hình của vật lý và cơ học (xem [2, 3, 6, 8]). Đến giữa thế kỷ 19,
phương trình đạo hàm riêng trở thành cơng cụ mạnh dùng trong những
lĩnh vực toán học khác nhau của toán lý thuyết và đặc biệt là trong các
bài toán thực tiễn. Rất nhiều bài toán của những lĩnh vực khác nhau như:
thủy động học, điện học, nhiệt học, quang học, lý thuyết đàn hồi, v.v...
đều có thể nghiên cứu bằng các cơng cụ giống nhau - phương trình đạo
hàm riêng.
Trong các loại phương trình đạo hàm riêng, phương trình truyền nhiệt
đóng một vai trị quan trọng. Phương trình truyền nhiệt mô tả các hiện
tượng về sự truyền nhiệt trong các vật, sự khuếch tán của các phân tử
không khí, sự truyền tải các tạp chất trong khí quyển, v.v... Các phương
pháp nghiên cứu và giải quyết các bài tốn truyền nhiệt có ảnh hưởng rất
lớn đến sự phát triển tổng quát phương trình đạo hàm riêng vào cuối thế
kỷ XIX. Đặc biệt phải kể đến phương pháp biến đổi Fourier để giải bài
tốn Cauchy của phương trình truyền nhiệt của nhà toán học và nhà vật
lý nổi tiếng người Pháp Joseph Fourier.
Bởi những lý do như trên, chúng tôi đã quyết định nghiên cứu và tham
khảo một số tài liệu về phương trình truyền nhiệt và chọn đề tài: "Phương
trình truyền nhiệt và ứng dụng" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.

2

2. Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài “Phương trình truyền nhiệt và ứng dụng”, chúng tơi
hướng đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên
cứu một vấn đề Tốn học cịn khá mới đối với bản thân. Từ đó, hình thành
khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừu tượng một cách logic và
có hệ thống. Khóa luận nhằm nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của các bài toán biên và bài toán Cauchy, cách giải và các ứng dụng của
phương trình truyền nhiệt.
3. Đối tượng nghiên cứu
Phương trình truyền nhiệt, các bài toán giá trị ban đầu, bài toán Cauchy
và phương pháp hàm Green.
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài được hoàn thành dựa trên nền tảng kiến thức của Giải tích, Giải
tích số, Phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng. Trên cơ sở
dịch, đọc và tìm hiểu các kiến thức trong các tài liệu [2, 5, 6, 7, 9, 10] một
số tài liệu liên quan, từ đó sắp xếp hệ thống lại kiến thức, chứng minh chi
tiết một số định lý, bổ đề, hệ quả, giải các ví dụ minh họa để hoàn thành
việc nghiên cứu.
5. Phương pháp nghiên cứu
Khóa luận được nghiên cứu dựa trên các phương pháp:
- Sưu tầm các tài liệu liên quan đến đề tài bao gồm các sách kinh điển
bằng tiếng Việt cũng như các tài liệu mới bằng tiếng Anh.
- Đọc dịch, tổng hợp, trình bày lại theo chủ đề, bổ sung các chi tiết, các
ví dụ minh họa.
- Trao đổi, thảo luận với cán bộ hướng dẫn.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
6.1. Khóa luận góp phần bổ sung thêm các tính chất, cách giải các bài

3

toán Cauchy, bài toán giá trị ban đầu và bài tốn biên.
6.2. Khóa luận có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo và tài liệu tự học
cho sinh viên ngành toán và ngành vật lý đang nghiên cứu về mảng này.
7. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận này được chia thành hai chương và một phụ lục:
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản được sử dụng để cho chương
sau.
Chương 2 trình bày về bài tốn phương trình truyền nhiệt với sự tồn
tại, duy nhất và sự ổn định nghiệm của các bài toán Cauchy, bài toán giá
trị ban đầu và bài tốn hàm Green và các ví dụ minh họa trong đó có sử
dụng phần mềm Matlab để vẽ hình minh họa.
Phụ lục trình bày code matlab sử dụng trong khóa luận.

4

Chương 1

Cơ sở lý thuyết
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức về phương trình
đạo hàm riêng (PTĐHR), các khái niệm và các tính chất trong chương này
được chúng tơi trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả
chính của chương sau. Chi tiết có thể tham khảo các tài liệu sau [2, 6, 9].

1.1

Một số khái niệm cơ bản

Phương trình đạo hàm riêng là phương trình nêu lên mối quan hệ giữa
ẩn hàm là một hàm nhiều biến, các biến độc lập và (một số hữu hạn) các

đạo hàm riêng của nó. Ta sử dụng một số kí hiệu sau:

• Biến độc lập: x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .
• Ẩn hàm: u(x) = u(x1 , . . . , xn ).
• Đạo hàm riêng: Sử dụng khái niệm đa chỉ số α = (α1 , . . . , αn ) trong
đó αi là các số nguyên không âm, và |α| := α1 + . . . + αn , ta ký hiệu
∂ |α| u(x)
.
Dα u(x) = α1
∂x1 · · · ∂xαnn
Với m là một số nguyên không âm, ta ký hiệu Dm u(x) là vectơ đạo
hàm riêng cấp m của hàm u(x). Trường hợp m = 1 ta có
∂u
∂u
Du =
,...,
.
∂x1
∂xn
Đơi khi ta cũng sử dụng các ký hiệu tương đương
∂u
∂u
∂ 2u
ux =
, uy =
, uxy =
,....
∂x
∂y
∂x∂y

5

Cho k là một số nguyên dương và Ω là một tập mở trong Rn .
Định nghĩa 1.1.1. Phương trình vi phân đạo hàm riêng (gọi tắt là phương
trình đạo hàm riêng) cấp k là phương trình có dạng

F (x, u(x), Du(x), . . . , Dk u(x)) = 0, x ∈ Ω.

(1.1)

Ở đây F là một hàm nhiều biến thể hiện mối liên hệ giữa ẩn hàm, các
biến độc lập và các đạo hàm riêng của ẩn hàm, có cấp cao nhất là k .
Ví dụ 1.1.2.

• Phương trình Laplace:
∆u = uxx + uyy + uzz = 0.

• Phương trình truyền nhiệt (hoặc khuyếch tán) :
ut − ∆u = 0.
• Phương trình truyền sóng được D’Alembert đưa ra vào năm 1752:
utt − ∆u = 0.
Định nghĩa 1.1.3 (Nghiệm của PTĐHR). Giả sử hàm v : Ω → R có đạo
hàm riêng đến cấp k . Hàm v(x) được gọi là nghiệm của phương trình đạo
hàm riêng (1.1) nếu thỏa mãn

F (x, v(x), Dv(x), . . . , Dk v(x)) = 0. x ∈ Ω.
Định nghĩa 1.1.4 (Phân loại phương trình ĐHR). Ta có thể phân loại
phương trình ĐHR như sau.

i) Phương trình ĐHR (1.1) được gọi là tuyến tính nếu nó có dạng

aα (x)Dα u = f (x),
|α|≤k

trong đó aα (x), f (x) là các hàm số đã cho. Phương trình tuyến tính
này được gọi là thuần nhất nếu f ≡ 0.
ii) Phương trình ĐHR (1.1) được gọi là nửa tuyến tính nếu nó có dạng

aα (x)Dα u + a0 (x, u, Du, . . . , Dk−1 u) = 0.
|α|=k

iii) Phương trình ĐHR (1.1) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó có dạng

aα (x, u, Du, . . . , Dk−1 u)Dα u + a0 (x, u, Du, . . . , Dk−1 u) = 0.
|α|=k

6

iv) Phương trình ĐHR (1.1) được gọi là phương trình phi tuyến hồn tồn
nếu nó phụ thuộc khơng tuyến tính vào các đạo hàm bậc cao nhất.

1.2

Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

Trong phần này, chúng ta sẽ liệt kê ba lớp đặc biệt của phương trình
đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai là: phương trình elliptic, hyperbolic và
parabolic với các đại diện của chúng là phương trình Laplace, phương trình

truyền sóng và phương trình truyền nhiệt.
Định nghĩa 1.2.1. Phương trình ĐHR cấp hai dạng
n
n
∂ 2u
= f (x, u, ux1 , . . . , uxn )
aij (x)
∂x
∂x
i
j
i=1 j=1

(1.2)

được gọi là phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính cấp hai.
Đặc biệt phương trình (1.2) được gọi là tuyến tính nếu nó viết được dưới
dạng
n
n
n
∂u
∂ 2u
+
+ c(x)u = g(x).
bk (x)
aij (x)
∂x
∂x
∂x

i
j
k
i=1 j=1
k=1

Trong trường hợp n = 2 phương trình (1.2) trở thành
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u ∂u
a11 2 + 2a12
+ a22 2 = f x, y, u, ,
.
∂x
∂x∂y
∂y
∂x ∂y
Sử dụng phép đổi biến sau
ξ = ξ(x, y),

(1.3)

η = η(x, y),
trong đó các hàm ξ, η ∈ C 2 (Ω) thỏa mãn:
∂(ξ, η)
ξ ξ
= ηx ηy = 0 trên Ω.
x
y

∂(x, y)
Mục đích của phép đổi biến trên là đưa phương trình (1.3) về dạng mới
trong đó ít nhất một hệ số bằng khơng.
Tính tốn trực tiếp ta có
∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η
=
+
,
∂x
∂ξ ∂x ∂η ∂x

∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η
=
+
∂y
∂ξ ∂y ∂η ∂y

7

và

∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η 2
+2
+
+
∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η 2 ∂x
∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η
+
,

+
∂ξ ∂x2 ∂η ∂x2
∂ 2u
∂ 2 u ∂ξ ∂ξ
∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
= 2
+
+
∂x∂y
∂ξ ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂x ∂y ∂y ∂x
∂u ∂ 2 η
∂ 2 u ∂η ∂η ∂u ∂ 2 ξ
+
+
,
+ 2
∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ξ 2
∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η 2
= 2
+2
+
+
∂y 2
∂ξ
∂y
∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η 2 ∂y
∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η
+
+

.
∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2
Khi đó phương trình (1.3) trở thành
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u ∂u
+ a22 2 = F ξ, η, u, ,
a11 2 + 2a12
∂ξ
∂ξ∂η
∂η
∂ξ ∂η
với
∂ξ 2
∂ξ ∂ξ
∂ξ 2
a11 =a11
+ 2a12
+ a22
,
∂x
∂x ∂y
∂y
∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
∂η ∂ξ
∂ξ ∂η
+ a12
+
+ a22

,
a12 =a11
∂x ∂x
∂x ∂y ∂y ∂x
∂y ∂y
∂η ∂η
∂η 2
∂η 2
+ 2a12
.
a22 =a11
+ a22
∂x
∂x ∂y
∂y
Gọi z = ϕ(x, y) là một ngiệm phương trình ĐHR cấp một sau
∂z 2
∂z ∂z
∂z 2
a11
+ 2a12
= 0.
+ a22
∂x
∂x ∂y
∂y
Khi đó phép đổi biến:
∂ 2u ∂ 2u
= 2
∂x2

∂ξ

∂ξ
∂x

2

ξ =ϕ(x, y)
η =η(x, y),
làm cho a11 = 0. Tương tự phép đổi biến:

ξ =ξ(x, y)
η =ϕ(x, y),

(1.4)

8

làm cho a22 = 0. Mặt khác, giải phương trình (1.4) tương đương với giải
phương trình vi phân thường sau:

a11 (dy)2 − 2a12 dy dx + a22 (dx)2 = 0..

(1.5)

Phương trình trên có thể viết dưới dạng
dy
dy 2
− 2a12 + a22 = 0.

a11
dx
dx
Giải phương trình (1.5) sẽ cho ta tích phân tổng quát

ϕ(x, y) = C,
được gọi là đường cong đặc trưng (hay đặc trưng) của phương trình (1.4).
Khi đó hàm z = ϕ(x, y) là một nghiệm của phương trình (1.4). Do đó
phương trình (1.5) cịn được gọi là phương trình đặc trưng. Để tìm các
đường cong đặc trưng, ta xét biệt thức ∆ = a212 − a11 a22 . Có ba trường
hợp sau xảy ra:

• Nếu ∆ > 0 thì phương trình (1.5) có hai đường cong đặc trưng thực
phân biệt. Khi đó (1.3) được gọi là phương trình hyperbolic.
• Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1.5) chỉ có một đường cong đặc trưng
thực. Khi đó (1.3) được gọi là phương trình parabolic.
• Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1.5) có hai đường cong đặc trưng phức
liên hợp. Khi đó (1.3) được gọi là phương trình eliptic.
Ta biết rằng nếu một hàm liên tục nhận giá trị dương tại một điểm thì nó
nhận giá trị dương trong một lân cận của điểm đó. Do đó, ta có thể chia
tồn bộ mặt phẳng thành ba tập rời nhau. Ta gọi miền hyperbolic của
phương trình (1.3) là tập các điểm trong mặt phẳng R2 mà tại đó (1.3)
là phương trình hyperbolic. Ta có định nghĩa tương tự cho miền parabolic
và elliptic.

1.3

Bài tốn truyền nhiệt

Để xây dựng phương trình nhiệt, ta xét một thanh đồng dẫn nhiệt, dài

từ x = 0 đến x = L dọc theo trục x . Thanh có tiết diện A đều và mật
độ khơng đổi ρ, được được cách nhiệt mặt xung quanh sao cho nhiệt chỉ

9

truyền theo hướng x và đủ mỏng để nhiệt độ tại tất cả các điểm trên một
mặt cắt không đổi.

Gọi u(t, x) biểu thị nhiệt độ của mặt cắt ngang tại điểm x ở bất kỳ thời
điểm t và c biểu thị nhiệt dung riêng của thanh. Nhiệt lượng trong đoạn
giữa tiết diện tại x và tiết diện tại x + ∆x là
x+∆x

Q(t) =

cρAu(t, s)ds.

(1.6)

x

Mặt khác, tốc độ truyền nhiệt vào thanh trên mặt cắt ngang tại x tỷ lệ
với tiết diện và gradient của hàm nhiệt độ tại mặt cắt ngang (định luật
truyền nhiệt của Fourier):
∂u(t, x)
,
(1.7)
−κA
∂x

trong đó κ là hệ số dẫn nhiệt của thanh. Dấu "-" trong công thức (1.7) chỉ
ra rằng nhiệt truyền theo hướng giảm nhiệt độ. Tương tự, tốc độ truyền
nhiệt ra khỏi đoạn qua mặt cắt ngang tại x + ∆x bằng
∂u(t, x + ∆x)
−κA
,
(1.8)
∂x
Sự chênh lệch giữa lượng nhiệt truyền qua tiết diện tại x và lượng nhiệt
tỏa ra qua tiết diện tại x + ∆x phải bằng với thay đổi về lượng nhiệt của
đoạn x ≤ s ≤ x + ∆x. Do đó, bằng cách trừ cơng thức (1.8) cho cơng thức
(1.7) và lấy đạo hàm thời gian của công thức (1.6), ta có
x+∆x
∂Q
∂u(t, s)
∂u(t, x + ∆x) ∂u(t, x)
=
cρA
ds = κA
−
. (1.9)
∂t
∂t
∂x
∂x
x
Giả sử rằng biểu thức dưới dấu tích phân trong công thức (1.9) là hàm
liên tục theo biến s, khi đó theo định lý giá trị trung bình của tích phân,
ta có
x+∆x

∂u(t, s)
∂u(t, ξ)
ds =
∆x, x < ξ < x + ∆x.
∂t
∂t
x

10

Khi đó, cơng thức (1.9) trở thành
∂u(t, ξ)
∂u(t, x + ∆x) ∂u(t, x)
cρ∆x
=κ
−
.
(1.10)
∂t
∂x
∂x
Chia cả hai vế của phương trình (1.10) cho cρ∆x và lấy giới hạn với
∆x → 0,
∂ 2 u(t, x)
∂u(t, x)
= a2
(1.11)
∂t
∂x2

với a2 = κ/(cρ). Phương trình (1.11) được gọi là phương trình nhiệt một
chiều. Hằng số a2 được gọi là độ khuếch tán trong chất rắn. Nếu một
nguồn bên ngoài cung cấp nhiệt cho thanh với tốc độ f (t, x) trên mỗi đơn
x+∆x
vị khối lượng trên một đơn vị thời gian, ta phải thêm x
f (t, s)ds vào
đạo hàm thời gian của phương trình (1.9). Khi đó, cho ∆x → 0, ta được
2
∂u(t, x)
2 ∂ u(t, x)
−a
= F (t, x),
∂t
∂x2
trong đó F (t, x) = f (t, x)/(cρ) là hàm mật độ nguồn nhiệt. Phương trình
này được gọi là phương trình nhiệt khơng thuần nhất.

11

Chương 2

Phương trình truyền nhiệt
2.1

Bài tốn giá trị ban đầu

Cho Ω là miền bị chặn trên Rn có biên ∂Ω và Ω = Ω ∪ ∂Ω. Trong một
thời gian T > 0 tùy ý, ký hiệu

TT = {t : 0 < t ≤ T }, TT = {t : 0 ≤ t ≤ T }.
Phương trình truyền nhiệt có dạng

ut (t, x) − a2 ∆u(t, x) = f (t, x), ∀(t, x) ∈ TT × Ω,
(2.1)
∂2
∂2
trong đó a là hằng số, ∆ :=
+
·
·
·
+
là tốn tử Laplace. Phương
∂x21
∂x2n
trình trên thường kết hợp với điều kiện ban đầu
u(0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ Ω.

(2.2)

Chúng ta xét một trong các điều kiện biên sau

• Điều kiện biên Dirichlet
u(t, y) = α(t, y), ∀(t, y) TT ì ;
ã iu kin biờn Neumann
u
(t, y) = (t, y), (t, y) TT ì ;

ã iu kiện biên hỗn hợp

∂u
λ1 (t, y) + λ2 u(t, y) = γ(t, y), ∀(t, y) ∈ TT × ∂Ω.
∂ν

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Trong bài tốn (2.1)-(2.3):

• u(t, x) là hàm chưa biết của bài toán và biểu diễn nhiệt độ của vật

12

thể Ω tại mọi thời điểm t;

• ϕ(x) là hàm cho trước biểu diễn nhiệt độ của vật thể tại thời điểm
ban đầu;
• α(t, y) là hàm cho trước biểu diễn nhiệt độ tại mọi thời điểm trên bề
mặt ∂Ω.
Do đó, bài tốn (2.1)-(2.3) xác định nhiệt độ trong tất cả các điểm, biết
được nhiệt độ ban đầu và nhiệt độ trên bề mặt tại mọi thời điểm.
Trong bài toán (2.1), (2.2), (2.3), ta có các giả thuyết sau:
i) f : TT × ∂Ω → R là hàm cho trước và f ∈ C(TT × ∂Ω);
ii) ϕ: Ω → R là hàm cho trước và ϕ ∈ C(Ω);
iii) α: TT × ∂Ω → R là hàm cho trước và α ∈ C(TT × ∂Ω).
Ta có u = u(t, x), u : TT × Ω → R là nghiệm của bài tốn (2.1), (2.2),

(2.3) thỏa mãn các tính chất sau:

• u C(TT ì );
ã ut , uxi xi C(TT × ∂Ω);
• u thỏa mãn bài tốn (2.1), điều kiện ban đầu (2.2) và điều kiện biên
Dirichlet (2.3).
Trong công thức của bài toán (2.1), (2.2), (2.3) điều kiện ban đầu và điều
kiện biên được đưa ra trên tập TT × ∂Ω và 0 × Ω. Ta định nghĩa

Γ = (t, x) : (t, x) ∈ TT × ∂Ω ∪ {0} × Ω

,

(2.6)

và ta gọi đó là biên parabolic.
Ta chứng minh định lý về giá trị cực trị cho trường hợp phương trình
parabolic thuần nhất

ut (t, x) − ∆u(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ TT × Ω.

(2.7)

Định lí 2.1.1 ([9]). Xét miền Ω và TT được định nghĩa như trên và hàm
số u ∈ C(T T × Ω), ut , uxi xi ∈ C(TT × Ω). Nếu u thỏa mãn phương trình

13

thuần nhất (2.7) thì giá trị cực trị

sup

u(t, x),

inf

u(t, x)

(t,x)∈T T ×Ω

(t,x)∈T T ×Ω

đạt được trên biên Γ.
Chứng minh. Với các điều kiện của định lý, u đạt giá trị cực trị theo định
lý Weierstrass. Giả sử, ngược lại, u đạt được giá trị cực đại trong miền và
không đạt trên biên Γ, nên

M=

u(t, x) = u(t0 , x0 ).

sup
(t,x)∈T T ×Ω

Ký hiệu m là giá trị cực đại của hàm u đạt được trên Γ

m = sup u(t, x).
(t,x)∈Γ

Theo giả thiết, ta có

M > m.
Ta cần chứng minh mâu thuẫn. Ta đặt
n
M −m
v(t, x) = u(t, x) +
(xi − x0i )2 ,
2
2d
i=1
¯
trong đó d là đường kính của tập Ω. Lấy v trên Γ, ta có
M −m M +m M +M
=
<
= M.
v(x, t) |Γ ≤ m +
2
2
2
Mặt khác,
n
M −m
0
0
v(t0 , x ) = u(t0 , x ) +
(x0i − x0i )2 = M,
2
2d

i=1

(2.8)

(2.9)

(2.10)

nghĩa là v cũng đạt giá trị lớn nhất tại điểm (t0 , x0 ). Vì giá trị của v trên
Γ nhỏ hơn M , suy ra có một điểm (t1 , x1 ) bên trong biên sao cho

sup

v(t, x) = v(t1 , x1 ),

(t,x)∈T T ×Ω

và v không đạt giá trị cực đại trên Γ. Do đó
∂v(t, x)
≥ 0.
(2.11)
(t1 ,x1 )
∂t
Nếu t1 ∈ (0, T ) thì ta có đẳng thức trong (2.11) theo định lý Fermat. Nếu

t1 = T thì giá trị vế phải của T khơng tồn tại và khi đó điểm cực trị trong
t1 thỏa mãn vế trái của T , hàm v là dương và tăng. Mặt khác, hàm v(t1 , x)

14

chỉ được coi là hàm của n biến không gian (x1 , x2 , ..., xn ), đạt cực trị trên
Ω tại điểm (x11 , x12 , ..., x1n ), khi đó ta có

∂ 2 v(t, x)
∂x2i

(t1 ,x1 )

≤ 0, i = 1, 2, ..., n,

từ đó ta có

∆v(t1 , x1 ) ≤ 0.

(2.12)

(−vt (t, x) + ∆v(t, x))(t1 ,x1 ) ≤ 0.

(2.13)

Từ (2.11) và (2.12) ta có
Từ dạng (2.9) của hàm v , ta có

(−vt (t, x) + ∆v(t, x))|(t1 ,x1 ) = (−ut (t, x) + ∆u(t, x))|(t1 ,x1 ) +

(M − m)n
d2

(M − m)n

> 0,
d2
vì M > m. Bất đẳng thức này mâu thuẫn với (2.13), vậy giả thiết (2.8) là
sai và định lý được chứng minh.
=

Định lí 2.1.2 ([9]). Bài tốn (2.1) với điều kiện ban đầu (2.2) và điều
kiện biên (2.3) có nhiều nhất một nghiệm cổ điển.
Chứng minh. Giả sử bài toán (2.1), (2.2), (2.3) có hai nghiệm cổ điển
u1 (t, x) và u2 (t, x). Khi đó
∂ui
∆ui (t, x) −
(t, x) = f (t, x), ∀(t, x) ∈ TT × Ω,
∂t
ui (0, x) = ϕ(x), ∀x ∈ Ω,
(2.14)

ui (t, y) = α(t, y), ∀(t, y) ∈ T T × ∂Ω,
với i = 1, 2 và các hàm f, ϕ và α cho trước và liên tục trên miền xác định
của chúng. Mặt khác, u1 (t, x) và u2 (t, x) thỏa mãn điều kiện của nghiệm
cổ điển. Đặt

v(t, x) = u1 (t, x) − u2 (t, x), ∀(t, x) ∈ T T × Ω.

15

Với điều kiện trên, v thỏa mãn điều kiện của nghiệm cổ điển, và ta có
∂v
∆v(t, x) − (t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ TT × Ω,

∂t
(2.15)
v(0, x) = 0, ∀x ∈ Ω,

v(t, y) = 0, ∀(t, y) ∈ T T × ∂Ω.
Hàm v thỏa mãn các điều kiện của định lí (2.1.1). Khi đó

sup

v(t, x),

(t,x)∈T T ×Ω

inf

v(t, x)

(t,x)∈T T ×Ω

đạt được trên Γ. Theo (2.15)2 và (2.15)3 , v đạt trên biên parabolic, khi đó

sup

v(t, x) =

inf

v(t, x) = 0,

(t,x)∈T T ×Ω

(t,x)∈T T ×Ω

ta có

v(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ TT × Ω.
Suy ra

u1 (t, x) ≡ u2 (t, x).
Định lý (2.1.2) được chứng minh.
Định lí 2.1.3 ([9]). Giả sử hàm f (t, x) liên tục trên miền TT ×Ω, ϕ1 (t, x)
và ϕ2 (t, x) là hai hàm liên tục trên Ω, α1 (t, x) và α2 (t, x) là hai hàm liên
tục trên TT × ∂Ω. Xét bài toán
∂ui
∆ui (t, x) −
(t, x) = f (t, x), ∀(t, x) ∈ TT × Ω,
∂t
ui (0, x) = ϕi (x), ∀x ∈ Ω,

ui (t, y) = αi (t, y), ∀(t, y) ∈ T T × ∂Ω,
với i = 1, 2. Khi đó, nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho

|ϕ(x)| = |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| < δ,
|α(x)| = |α1 (x) − α2 (x)| < δ,
thì

|u(x)| = |u1 (x) − u2 (x)| < ε.
Chứng minh. Hàm u được xác định bởi công thức:

u(t, x) = u1 (t, x) − u2 (t, x),

16

thỏa mãn điều kiện nghiệm cổ điển. Đồng thời, u cũng thỏa mãn bài toán
sau:
∂u
(t, x) = f (t, x) − f (t, x) = 0,
∆u(t, x) −
∂t
u(0, x) = u1 (0, x) − u2 (0, x) = ϕ1 (x) − ϕ2 (x) = ϕ(x),
(2.16)

u(t, y) = u1 (t, y) − u2 (t, y) = α1 (t, y) − α2 (t, y) = α(t, y).
Vì hàm u thỏa mãn điều kiện về tính trơn đề cập ở trên và phương trình
thuần nhất (2.16)1 , u đạt được trên biên parabolic Γ. Nhưng trên biên Γ,
hàm u có dạng ϕ hoặc α mà ϕ và α thỏa mãn điều kiện |ϕ| < δ, |α| < δ ,
ta được kết quả của định lý bằng cách lấy δ = ε.
Một nghiệm riêng của bài toán (2.1), (2.2), (2.3) là nghiệm thu được
bằng cách cố định vế phải f , dữ liệu ban đầu ϕ và dữ liệu biên α.
Chúng ta sẽ chỉ ra một nghiệm riêng của phương trình truyền nhiệt thuần
nhất là hàm V có dạng sau:


V (t, τ, x, ξ) =

√ n
(2 π)

1

√

n



(x − ξi )2

 i=1 i
.

n exp −
4(t − τ ) 
t−τ

(2.17)

Mệnh đề 2.1.4 ([9]). Hàm V (t, τ, x, ξ), với 0 ≤ τ < t ≤ T , thuộc lớp
C ∞ và thỏa mãn các phương trình sau:
∂V (t, τ, x, ξ)
∆x V (t, τ, x, ξ) −
= 0,
∂t
∂V (t, τ, x, ξ)
= 0.
∆ξ V (t, τ, x, ξ) +
∂τ
Chứng minh. Bằng cách tính tốn trực tiếp ta có
∂V (t, τ, x, ξ)
(xi − ξi )

∂V (t, τ, x, ξ)
= V (t, τ, x, ξ) −
=−
.
∂xi
2(t − τ )
∂ξi
Lấy đạo hàm riêng theo xi một lần nữa ta được
∂ 2 V (t, τ, x, ξ)
(xi −ξi )2
1
∂ 2 V (t, τ, x, ξ)
= V (t, τ, x, ξ)
−
=
.
∂x2i
4(t − τ )2 2(t − τ )
∂ξi2

17

Cộng vế theo vế với i = 1, 2, ..., n ta được
n
1
n
∆x V (t, τ, x, ξ) = V (t, τ, x, ξ)
(xi −ξi )2 −
2

4(t − τ ) i=1
2(t − τ )

= ∆ξ V (t, τ, x, ξ).
Mặt khác, lấy đạo hàm theo t và τ trong (2.17) ta được:
n

1
n
∂V (t, τ, x, ξ)
2
= V(t, τ, x, ξ)
(x
−
ξ
)
−
i
i
∂t
4(t − τ )2 i=1
2(t − τ )
∂V (t, τ, x, ξ)
.
∂τ
Từ đó, ta thu được kết quả của mệnh đề. Dễ thấy, hàm V (t, τ, x, ξ) thuộc
lớp C ∞ với t = τ .
=−

Nhận xét 2.1.5. Dễ dàng thấy nếu x = ξ thì hàm V (t, τ, x, ξ) bị chặn

trên bởi hàm mũ và

lim V (t, τ, x, ξ) = 0,

t−τ →0+

và nếu x = ξ thì hàm mũ suy biến, và

lim V (t, τ, x, ξ) = +∞.

t−τ →0+

Định lí 2.1.6 ([9]). Hàm V (t, τ, x, ξ) có các tính chất sau:

V (t, τ, x, ξ)dx = 1,
Rn

và

V (t, τ, x, ξ)dξ = 1.
Rn

Chứng minh. Ta có

V (t, τ, x, ξ)dξ =
Rn



1

√ n
(2 π)

+∞

+∞

...
−∞

−∞

1
√
t−τ

n

2



(x −ξ )
 i=1 i i 

 dξ1 dξ2 . . . dξn .
n exp −
4(t − τ ) 

√

Sử dụng phép biến đổi ξi − xi = 2 t − τ ηi và tính tốn trực tiếp ta có

18

Jacobian của phép biến đổi là
n
√
Dξ
= 2n
t−τ .
Dη
Do đó
n
+∞
+∞ −
ηi2
1
i=1
V (t, τ, x, ξ)dξ = √ n
...
dη1 dη2 . . . dηn
e
( π) −∞
Rn
−∞
+∞
+∞
1
2

2
2
...
= √ n
e−η1 e−η2 . . . e−ηn dη1 dη2 . . . dηn
( π) −∞
−∞
n
+∞
1
−s2
e ds
= √ n
( π)
−∞
√ n
1
= √ n
π
( π)
= 1,
trong đó ta sử dụng cơng thức tích phân Gauss:
+∞
√
2
e−s ds = π.
−∞

Đẳng thức cịn lại được chứng minh tương tự.
Định lí 2.1.7 ([9]). Giả sử Ω là miền bị chặn. Đặt

IΩ (t − τ, x) =

V (t, τ, x, ξ)dξ,
Ω

khi đó, với mọi x ∈ Ω, ta có

lim IΩ (t − τ, x) = 1,

t−τ →0+

đều đối với mọi x trên mỗi tập con compact của Ω, với x ∈ Rn \ Ω

lim IΩ (t − τ, x) = 0,

t−τ →0+

đều đối với mọi x trên mỗi tập con compact của Rn \ Ω.
Chứng minh. Đầu tiên, xét x ∈ Ω. Ta ký hiệu

d0 = dist(x, ∂Ω) := sup |x − y| , d1 = dist(Q, ∂Ω) :=
y∈∂Ω

sup

|x − y| ,

y∈∂Ω,x∈Q

với Q là tập compact tùy ý cố định trong Ω sao cho x ∈ Q. Xét hình cầu

B(x, d0 ) và B(x, d1 ), khi đó
B(x, d1 ) ⊂ B(x, d0 ) ⊂ Ω.

(2.18)

19

Ω
B(x, d0 )
x
Q
B(x, d1 )

Sử dụng tính đơn điệu của tích phân, suy ra

IΩ (t − τ, x) =

V (t, τ, x, ξ)dξ
Ω

≥

V (t, τ, x, ξ)dξ ≥

V (t, τ, x, ξ)dξ
(2.19)
 n


2
(x − ξi )
 i=1 i

 dξ.
exp 
−


4(t
−
τ
)
B(x,d1 )

B(x,d0 )

=

B(x,d1 )

1
√ n √
(2 π)
t−τ

n

√

Sử dụng phép biến đổi ξi − xi = 2 t − τ ηi với i = 1, 2, ..., n. Jacobian của
√
phép biến đổi là 2n ( t − τ )n . Với phép biến đổi này, tích phân cuối trong
cơng thức (2.19) trở thành

1
√ n
( π)

n

−

e

d

i=1

ηi2

dη,

(2.20)

1 )
B(0, 2√t−τ

trong đó
n

(ξi − xi

)2

n

√
=2 t−τ

i=1

ηi2 .
i=1

+

Trong công thức (2.19) cho t − τ → 0 , ta có
n

1
lim + IΩ (t − τ, x) ≥ lim + √ n
t−τ →0
t−τ →0 ( π)

−

d

e

i=1

ηi2

dη

1 )
B(0, 2√t−τ
n

−
ηi2
1
i=1
= √ n
e
dη = 1,
( π) Rn
trong công thức trên ta sử dụng cơng thức tích phân Gauss. Do đó, ta có

lim IΩ (t − τ, x) ≥ 1.

t−τ →0+

(2.21)

20

Vì Ω ⊂ Rn , hiển nhiên ta có

lim IΩ (t − τ, x) ≤

t−τ →0+

V (t, τ, x, ξ)dξ = 1,
Rn

tức là

lim IΩ (t − τ, x) ≤ 1.

(2.22)

t−τ →0+

Từ (2.21) và (2.22), phần thứ nhất được chứng minh. Giới hạn đúng với
mọi x, trên tập compact Ω chứa x, vì d1 sử dụng như trên chỉ phụ thuộc
vào tập compact chứa x, không phụ thuộc vào cách chọn x trên tập compact tương ứng.
Xét x ∈ Rn \ Ω. Chú ý rằng Ω là miền bị chặn, theo định lý Jordan ta
suy ra Rn \ Ω cũng là một miền. Lấy một tập compact Q∗ ⊂ Rn \ Ω sao
cho x ∈ Q∗ và xét các khoảng cách d∗0 = dist(x, ∂Ω), d∗1 = dist(Q∗ , ∂Ω),
và các hình cầu B(x, d∗0 ) và B(x, d∗1 ). Vì d∗0 > d∗1 , ta suy ra

B(x, d∗1 ) ⊂ B(x, d∗0 ) ⇒ Ω ⊂ Rn \ B(x, d∗0 ) ⊂ Rn \ B(x, d∗1 ).
Theo đó, cho IΩ (t − τ, x) ta có

0 ≤ IΩ (t − τ, x) =

V (t, τ, x, ξ)dξ
Ω

≤

V (t, τ, x, ξ)dξ ≤
V (t, τ, x, ξ)dξ.
(2.23)
Rn \B(x,d∗1 )
√
Thay biến ξi − xi = 2 t − τ ηi với i = 1, 2, ..., n. Dựa trên chứng minh
phần thứ nhất, tích phân cuối trong cơng thức (2.23) ta có
n
−
ηi2
1
i=1
√ n
e
dη,
(2.24)
( π) D
∗
1
trong đó miền của tích phân D là D = Rn \ B(0, 2√dt−τ
). Cho t − τ → 0+ ,
Rn \B(x,d∗0 )

bán kính

∗
√d1
2 t−τ

∗

1
tiến đến vơ cùng và khi đó hình cầu B(0, 2√dt−τ
) thành

tồn bộ khơng gian Rn . Khi đó tích phân (2.24) có tiến về 0. Ta suy ra
n

0 ≤ lim + IΩ (t − τ, x) ≤
t−τ →0

e

−
i=1

ηi2

dη = 0.

D

Giới hạn trên đúng với mọi x thuộc tập con compact của Ω chứa x, vì d∗1
sử dụng như trên chỉ phụ thuộc vào tập compact chứa x, không phụ thuộc
vào cách chọn x trên tập compact đó.

21

Định lí 2.1.8 ([9]). Giả sử Ω là miền bị chặn trên Rn và f là hàm liên
tục và bị chặn trên Ω. Ta có
(i) Nếu x ∈ Ω thì

lim

t−τ →0+

V (t, τ, x, ξ)f (ξ)dξ = f (x),
Ω

đều đối với mọi x trên mỗi tập con compact của Ω
(ii) Nếu x ∈ Rn \ Ω thì

lim

t−τ →0+

V (t, τ, x, ξ)f (ξ)dξ = 0,
Ω

đều đối với mọi x trên mỗi tập con compact của Rn \ Ω.
Chứng minh.
(i) Đặt Q là tập compact tùy ý cố định, Q ⊂ Ω, sao cho x ∈ Q. Ta có

V (t, τ, x, ξ)f (ξ)dξ − f (x) ≤

Phương trình truyền nhiệt và ứng dụng

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về