Skkn rèn luyện năng lực giải toán tìm cực trị của hàm hợp cho học sinh lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TỐN
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HỢP CHO HỌC SINH LỚP 12

Người thực hiện:Lê Thị Tuyết Nhung
Chức vụ : Tổ trưởng chuyên môn.
SKKN thuộc mơn : Tốn

THANH HĨA, NĂM 2021

skkn


MỤC LỤC
TT
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.3.1

Nội dung
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Thực trạng của vấn đề
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Trang bị cho học sinh kĩ năng đọc thông tin của hàm
số từ đồ thị, từ bảng biến thiên, kĩ năng tính đạo hàm
của hàm số hợp.

2.3.2

Thành thạo các phép biến đổi đồ thị để giải quyết tốt 12
các bài tốn cực trị của hàm hợp có chứa dấu giá trị
tuyệt đối.

2.3.3

Nắm vững các phương pháp tìm giá trị của tham số để
phương trình
có nghiệm, làm cơng cụ hỗ trợ
giải quyết các bài toán cực trị chứa tham số.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Kết luận

Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục các đề tài SKKN tác giả đã được hội đồng
cấp ngành sở GD&ĐT đánh giá đạt từ loại C trở lên.
Phụ lục

2.4.
3.
3.1.
3.2

1.MỞ ĐẦU

skkn

Trang
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3

13

17

18
18
18
19
20
21


1.1. Lí do chọn đề tài
“Khái niệm hàm số là khái niệm then chốt của tồn bộ tốn học”[1].
Chủ đề cực trị của hàm số là một trong những nội dung trọng tâm của
chương trình giải tích 12. Bài tập về cực trị của hàm số hợp rất đa dạng nên
khi tiếp cận các dạng bài tập này, học sinh gặp khơng ít khó khăn khi tìm tịi
lời giải.
Những năm gần đây, trong các đề thi thử, đề thi THPTQG xuất hiện các
bài toán cực trị của hàm hợp. Đây là những bài tốn hồn tồn mới lạ đối với
học sinh, những bài tập này thường là những bài tập ở mức độ vận dụng, vận
dụng cao, với ý đồ phân loại học sinh khá, giỏi nên đã làm cho nhiều học sinh
cảm thấy lúng túng trong quá trình tìm tịi lời giải. Do đó nhiệm vụ đặt ra cho
các thầy cơ dạy tốn là làm thế nào để học sinh tiếp cận dạng toán này một
cách hiệu quả, vận dụng tốt các kiến thức đã học vào làm bài tập thành thạo.
Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần hàm số,
thông qua việc rèn luyện năng lực giải toán cực trị của hàm hợp cho học sinh
cuối cấp THPT. Mặt khác khơi gợi niềm đam mê, u thích bộ mơn Tốn và
tạo sự tự tin cho các em học sinh trong các kỳ thi.Từ kinh nghiệm của bản
thân trong quá trình giảng dạy kết hợp với sự tìm tịi, tham khảo và tổng hợp
ở các tài liệu Tốn, tơi lựa chọn đề tài:
“Rèn luyện năng lực giải tốn tìm cực trị của hàm hợp cho học sinh lớp
12”.
1.2. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu những khó khăn, vướng mắc của học sinh khi giải bài toán tìm
cực trị của hàm hợp. Phân tích, tìm tịi và xây dựng phương pháp giải thơng
qua các ví dụ mẫu. Đề xuất hệ thống bài tập vừa sức, hướng dẫn học sinh
nghiên cứu, tìm tịi những bài tập cùng loại, nâng dần mức độ khó khăn, góp
phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trong trường phổ thơng cũng
như tích luỹ kinh nghiệm cho bản thân.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu cách giải các bài tốn tìm cực trị của hàm hợp ở các đề thi
thử THPT Quốc gia của các trường THPT, các Sở GD&ĐT trên cả nước, đề
thi THPT Quốc gia các năm gần đây của Bộ GD&ĐT.
Các vấn đề tơi trình bày trong đề tài nhằm nâng cao năng lực giải bài
tốn tìm cực trị của hàm hợp cho đối tượng học sinh lớp 12 trong kì thi THPT
Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Sáng kiến này dựa trên phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết, hệ
thống lại kiến thức cơ bản có liên quan, xây dựng hệ thống bài tập vận dụng
kiến thức cũ và tổ chức thực hiện.
Thực tiễn dạy học cũng như việc dự giờ, trao đổi chuyên môn với đồng
nghiệp cũng giúp cá nhân tơi hồn thiện cơ sở lý luận và tổ chức triển khai áp
dụng.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

skkn


Nắm vững và vận dụng được kiến thức cơ bản vào trong những trường
hợp cụ thể, nhận ra những bài toán tương tự với bài toán đã biết, qui bài toán
xa lạ thành bài toán quen thuộc, gần gũi, từ đó vận dụng những kiến thức
được học vào giải thành thạo các bài tập.

Trong khuôn khổ của đề tài, tôi chủ yếu tập trung vào việc phân tích các
bài tốn để học sinh nắm vững cách giải quyết từng dạng tốn cụ thể, từ đó
các em sẽ biết làm các bài tương tự. Để làm được điều này tôi xin nêu lại một
số nội dung kiến thức cơ bản học sinh cần nắm vững khi học chủ đề cực trị
của hàm số hợp.
Nội dung 1: Bài: Cực trị của hàm số (sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao)
- Khái niệm cực trị của hàm số
- Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
- Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
- Các qui tắc xác định điểm cực trị
Nội dung 2: Sơ lược về tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ (mục 4,
Bài: Đại cương về hàm số- sách giáo khoa đại số 10 nâng cao)
Nội dung 3: Một số tính chất liên quan tới cực trị của hàm số chứa dấu trị
tuyệt đối.
Tính chất 1: Số điểm cực trị của hàm số
bằng tổng số điểm cực trị của
hàm số
và số lần đổi dấu của hàm số
.
Tính chất 2:Số điểm cực trị của hàm số
bằng
, trong đó là số
điểm cực trị dương của hàm số.
Tính chất 3:Số điểm cực trị của hàm số
bằng
, trong đó là
số điểm cực trị lớn hơn

của hàm số

2.2. Thực trạng của vấn đề
Mặc dù trong quá trình giảng dạy, giáo viên đã cung cấp các kiến thức
cơ bản, đã trình bày và hướng dẫn cho học sinh các dạng toán về cực trị của
hàm hợp, nhưng thực trạng cho thấy có khơng nhiều học sinh dám tiếp cận
với dạng toán này, một bộ phận học sinh cảm thấy ngợp vì độ khó, mới lạ, đa
dạng của các bài tập về cực trị, hơn nữa khi làm các bài tập này, nếu không
nhanh nhạy và lựa chọn đúng hướng sẽ làm mất khơng ít thời gian của học
sinh.Vì những lí do trên, tơi nhận thấy ngồi việc cung cấp cho học sinh
những kiến thức nền vững chắc thì cần tạo nhiều cơ hội giúp các em cọ xát
với các dạng toán về cực trị của hàm hợp. Đặc biệt đứng trước một câu hỏi
trắc nghiệm khách quan có nhiều cơng cụ để giải, nhưng việc phân tích, phán
đốn và lựa chọn để nhanh chóng đi tới đáp số của bài tốn là điều quan
trọng, địi hỏi học sinh phải có kiến thức chắc chắn và một chút “nhạy cảm”
tốn học, mà điều này phải được rèn giũa thường xuyên trong q trình học
tốn.

skkn


Các bài tốn về cực trị hàm hợp cịn khá mới mẻ không chỉ đối với học
sinh mà ngay cả với giáo viên, chưa có bộ giáo án hồn chỉnh, phân dạng các
loại bài tập và bài tập cho học sinh luyện tập.
Nội dung cực trị của hàm hợp chưa được khai thác nhiều, tài liệu tham
khảo cịn rất ít. Chưa có tài liệu chính thống nào viết về quy trình giải tốn
cực trị hàm hợp cho học sinh. Học sinh cịn lúng túng, khơng có hướng giải
quyết khi đứng trước bài tốn tìm cực trị của hàm hợp. Tơi cho rằng, nguyên
nhân chủ yếu là do đây là phần kiến thức mới, học sinh chưa được hướng dẫn
và giảng dạy phần này một cách có hệ thống. Về phía giáo viên, một số chưa
giành thời gian nghiên nội dung này, số khác chưa cập nhật kịp thời những
nội dung mới trong đề thi THPTQG của Bộ.

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Trang bị cho học sinh kĩ năng đọc thông tin của hàm số từ đồ thị,
từ bảng biến thiên, kĩ năng tính đạo hàm của hàm số hợp.
Trong giải pháp này, khi giảng dạy chủ đề hàm số cho học sinh từ các
lớp dưới-người thầy nên tận dụng các cơ hội rèn luyện cho học sinh một số kĩ
năng như tính đạo hàm của hàm số hợp, kĩ năng đọc thông tin từ đồ thị hoặc
từ bảng biến thiên (đồ thị đi qua điểm nào, khoảng đồng biến, nghịch biến của
đồ thị, điểm cực đại, cực tiểu, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên
khoảng, đoạn...tính liên tục,...) cho học sinh.
Dạng 1. Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số
, tìm cực
trị của hàm số
Ví dụ 1: Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số
là A. . B. . C. . D. .
Phân tích : Bài tốn u cầu xác định số điểm cực trị nên phải tìm số nghiệm
đơn hoặc nghiệm đơn bội lẻ của phương trình
với
( mà có thể khơng cần phải lập bảng biến thiên của hàm số). Việc tìm nghiệm
của phương trình
địi hỏi học sinh phải có các kỹ năng như tính
đạo hàm của hàm hợp, đọc bảng biến thiên, tìm nghiệm của phương trình
từ đó suy ra nghiệm của phương trình
Hướng dẫn: Đặt
.

skkn

.

(

là hai nghiệm đơn,

bội ba).Vậy hàm số có 3 điểm cực trị. Chọn đáp án C.
Bài tập tương tự:
Ví dụ 1.1.(Sở GD Bắc Ninh - 2019) Cho hàm số
hình vẽ dưới đây.Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số
; với
. Số điểm cực trị của hàm số
A.8. B.11. C.9. D.7.

Đáp án B
Ví dụ 2:Cho hàm số

xác định trên

, có đồ thị

là nghiệm

có đồ thị như
là ; ; ;
là

như hình vẽ.

y
3

O
2
-1

x
y=f(x)

Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm . Giá trị
thuộc khoảng nào
sau đây A.
. B.
.
C.
.
D.
.
Phân tích:Bài tốn khơng u cầu tìm số điểm cực trị như ở ví dụ 1 mà yêu
cầu phải xác định được cụ thể điểm cực tiểu của hàm số. Do đó ngồi việc
phải xác định được số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình
thì chúng ta cần phải lập được bảng biến thiên của hàm số
với
và căn cứ vào bảng biến thiên để đi đến kết luận.

skkn

Lời giải
Ta có:

.
.

Do đó
.
Bảng biến thiên

Vây hàm số
Bài tập tương tự:
Ví dụ 2.1: Cho

Hàm số
A.
.B.
.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 3: Cho hàm số

đạt cực tiểu tại điểm

. Suy ra

.

là hàm số đa thức bậc ba có bảng biến thiên như sau:

đạt cực tiểu tại
C.

.

D.

.

có bảng biến thiên

Số điểm cực đại của hàm số
là A. .B. .C. .
D. .
Phân tích : Ở ví dụ này chúng ta thấy rằng hàm số cần tìm cực trị là hàm
hợp có lũy thừa, vì vậy học sinh phải có kỹ năng tính đạo hàm của hàm số
hợp. Tương tự như các ví dụ trên, đi tìm được nghiệm của
và xét dấu
của
để tìm được số điểm cực đại của hàm số.Việc xét dấu của

skkn


chúng ta cần phải quan sát kỹ bảng biến thiên đã cho để xét dấu
từ đó đi đến kết luận.
Hướng dẫn:
Ta có
.

khơng xác định

và

khơng xác định

Dựa vào bảng biến thiên của ta thấy

Ta có bảng xét dấu

Vậy hàm số

có

điểm cực đại.Chọn đáp án C.

Ví dụ 4:Biết rằng hàm số
xác định, liên
tục trên có đồ thị được cho như hình vẽ bên.
Số điểm cực tiểu của hàm số
là
A. .

B. .

C.

. D. .

Phân tích : Việc giải ví dụ 4 tương tự như ví dụ 3. Tuy nhiên học sinh phải

đọc được thơng tin từ đồ thị: hàm số
đạt cực trị tại
hoặc
( cũng
chính là nghiệm của
) từ đó sẽ tìm được các nghiệm của
với
và đi đến xét dấu của .
Hướng dẫn:
Xét hàm số
, ta có:
;
.

skkn


Ta có

. Nên

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm

(nghiệm kép) và

(
).Phương trình (2) có 1 nghiệm
Do đó phương trình
có 4 nghiệm bội lẻ là
(

là nghiệm bội ba ).Tuy nhiên để xác định số điểm cực tiểu, học sinh cần lập
bảng biến thiên:

Dựa vào BBT suy ra hàm số
có hai điểm cực tiểu.Chọn đáp án B.
Nhận xét : Để xét dấu của
chúng ta chỉ cần rút ra được
có 4
nghiệm bội lẻ do đó sẽ đổi dấu qua các nghiệm đó nên học sinh chỉ cần xét
dấu của
trên một khoảng và suy ra được dấu
trên các khoảng còn
lại được phân cách bởi các nghiệm.Chẳng hạn,với
từ đó ta có bảng biến thiên như trên.
Dạng 2.Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số
của hàm số
.
Ví dụ 5:Cho hàm số
đồ thị hàm số

liên tục trên
như hình vẽ.

, tìm cực trị

và có

Số điểm cực tiểu của hàm số
là
A.

B.
C.
D.
Phân tích:Việc tìm cực trị của hàm hợp khi cho đồ thị của
giống như khi cho đồ thị của hàm
Do đó để tìm nghiệm của

cũng
ta

phải tìm nghiệm của phương trình
Từ đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số
cắt trục hồnh tại các điểm có hoành độ
bằng 0; 1; 2 tuy nhiên khi qua nghiệm bằng 1 thì
khơng đổi dấu. (Do đó
khi dạy chủ đề cực trị của hàm số, giáo viên nên lưu ý cho học sinh: khơng
phải có bao nhiêu nghiệm của phương trình
là có bấy nhiêu cực trị!)
Đây là một sai lầm của rất nhiều học sinh. Vậy có 2 giá trị của là
(hai giá trị này làm cho biểu thức

skkn

nhận giá trị bằng 1) mặc dù vẫn là


nghiệm của
nhưng không phải là điểm cực trị của hàm số
chúng là nghiệm bội chẵn.
Hướng dẫn: Ta có

;Ta gọi
.

+

.

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số
Ví dụ 6. Cho hàm số
hàm số
như sau:

có 2 điểm cực tiểu. Chọn đáp án D.
có đạo hàm liên tục trên

, bảng biến thiên của

Số điểm cực trị của hàm số
là
A. 4.
B. 5.
C. 1.
D. 7.
Phân tích:
Điểm khác của ví dụ này so với ví dụ 5 là: ở ví dụ 5 dễ dàng tìm được nghiệm
cụ thể của
từ đó sẽ tìm được các nghiệm cụ thể của

Cịn ở ví dụ 6
ta chỉ tìm được nghiệm của
thuộc các khoảng
do
dó để tìm được nghiệm của
ta phải kết hợp với kỹ năng tìm số nghiệm
của phương trình
m thuộc các khoảng
Hướng dẫn:
Ta có

.

skkn


Từ BBT ta thấy phương trình
Đồ thị hàm số

.

có dạng

Từ đồ thị hàm số
ta thấy
phương trình (2) vơ nghiệm; phương
trình (3) ; phương trình (4) đều có 2
nghiệm phân biệt khác -1
Do đó
có 5 nghiệm đơn phân

biệt. Vậy hàm số
có 5
điểm cực trị.
Nhận xét: Trong bài này ta đã sử
dụng phương pháp đồ thị để biện luận
số nghiệm của phương trình.
Ví dụ 7. (Mã đề 104 - 2019) Cho hàm số
, bảng biến thiên của hàm số
như bảng dưới đây.Số điểm cực trị của hàm số
là
A.5. B.9. C.7. D.3.

Phân tích:
Điều khác của bài toán này với một số bài toán trước là các giá trị x
xuất hiện trong bảng biến thiên khơng phải là nghiệm của phương trình f’(x)
=0. Một số học sinh do không đọc kỹ đề bài hoặc do thói quen nên mặc định
các giá trị x xuất hiện trong bảng biến thiên là nghiệm của phương trình
f’(x)=0. Do đó học sinh cần được trang bị tốt các phương pháp giải và biện
luận số nghiệm của phương trình chứa tham số, đặc biệt là kỹ năng sử dụng
bảng biến thiên, sử dụng đồ thị để đọc số nghiệm của phương trình ( hay số
giao điểm của 2 đồ thị).
Hướng dẫn:
Có

,

skkn

.

Từ bảng biến thiên trên ta có

Xét

,

(1)

,

ta có bảng biến thiên

dưới đây. Kết hợp bảng biến thiên của
-Pt
vơ nghiệm.
-Pt:
tìm được hai nghiệm
phân biệt khác

và hệ (1) ta thấy:

.

-Pt
tìm
được thêm hai nghiệm
mới phân biệt khác

.

-Pt:
tìm được thêm hai
nghiệm phân biệt khác
.

Vậy hàm số

Ví dụ 8:Cho hàm số
Biết rằng hàm số
vẽ.Số điểm cực đại của

có tất cả 7 điểm cực trị

xác định trên R
có đồ thị như hình
là

A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Phân tích : Để giải được ví dụ 8 ta cần phải tìm được nghiệm của

skkn

và


xét dấu của nó. Tìm được các nghiệm của
địi hỏi học sinh phải khéo léo
khi tìm nghiệm của phương trình
. Quan sát hai vế của
phương trình ta lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ, đưa về phương trình dạng
sau đó sử dụng sự tương giao của hai đồ thị
và
để
tìm tất cả các nghiệm và lập bảng xét dấu.
Hướng dẫn

.
Giải (*):Đặt
Từ đồ thị hàm số
ta có

Phương trình trở thành
và đường thẳng
.

Bảng xét dấu

Vậy hàm số

có 2 điểm CĐ. Chọn C.

Nhận xét :Để xét dấu của

ta lấy một điểm
thuộc khoảng đang xét,
thay vào
và kết hợp với đồ thị.Điểm đáng chú ý ở đây là biểu thức
khơng đổi dấu qua
do đó
khơng đổi dấu qua
.
2.3.2. Thành thạo các phép biến đổi đồ thị để giải quyết tốt các bài tốn
cực trị của hàm hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 9

Ví dụ 9: Hàm số f(x) có bảng
biến
Hàm có thiên như hình bên. Đồ thị hàm số
có bao
nhiêu điểm cực trị?
A. . B. . C. . D. .
Phân tích
Để giải quyết tốt bài toán này học sinh cần nắm vững các phép biến đổi đồ
thị:

skkn


Từ đồ thị hàm số f(x) suy ra cách vẽ đồ thị các hàm số:
Học sinh cần hiểu được khi tịnh tiến đồ thị sang trái hoặc sang phải,
hoặc lên trên, hoặc xuống dưới a đơn vị thì số điểm cực trị không thay đổi,
yếu tố thay đổi ở đây là hoành độ điểm cực trị (khi tịnh tiến sang trái hoặc
sang phải); là tung độ điểm cực trị (khi tịnh tiến lên trên hoặc xuống dưới).

Giáo viên cần cho HS thấy được khi tịnh tiến đồ thị như thế thì số điểm cực
trị của đồ thị mới khơng thay đổi.
Hướng dẫn
Ta có bảng biến thiên của các hàm số
như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số
trị.Chọn B

có

điểm cực

Ví dụ 1
Hình v

Ví dụ 10: Hình bên là đồ thị của hàm số

là Hàm số
có bao nhiêu điểm
cực trị? A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn
Cách 1: Từ đồ thị hàm số của
ta thấy
có hai cực trị dương nên
hàm số
lấy đối xứng phần đồ thị hàm số bên phải trục tung qua trục
tung ta được năm cực trị, (trong đó có 1 cực trị là giao điểm của đồ thị hàm số
với trục tung).
Cách 2: Ta có:

.

Đạo hàm:
Từ đồ thị hàm số của
với
,
.

.
suy ra

skkn

cùng dấu với


Suy ra:

cùng dấu với

Do

.

nên

cùng

.Vậy hàm số

có

dấu

với

cực trị.

Nhận xét: Rõ ràng cách giải 1 nhiều lợi thế hơn hẳn cách 2
Ví dụ 11:Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá
trị của tham số để hàm số
có 5 điểm cực trị.
A.

.B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn:
Ta có:

Hàm số
có 5 điểm cực trị khi chi khi hàm số
có hai cực trị
dương. Hay phương trình
sau có 2 nghiệm dương phân biệt.

2.3.3. Nắm vững các phương pháp tìm giá trị của tham số để phương
trình
có nghiệm, làm cơng cụ hỗ trợ giải quyết các bài toán
cực trị chứa tham số.
Ví dụ 12:Tìm số các giá trị ngun của tham số
để đồ thị hàm số
có bảy điểm cực trị
A. .
B. .
C. .
D. .
Phân tích: Đồ thị hàm số
có bảy điểm cực trị khi
và chỉ khi đồ thị hàm số
cắt trục hồnh tại bốn
điểm phân biệt
có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Vậy khơng có giá trị ngun của tham số
có bảy điểm cực trị.
Ví dụ 13:Cho hàm số
Số giá trị nguyên của tham số

có đạo hàm

để hàm số

skkn

để đồ thị hàm số

, với

.

có

điểm


cực trị là A. . B. . C. .
D. .
Phân tích: Điều cần lưu ý ở ví dụ này là tìm được 3 nghiệm của
trong
đó
là nghiệm bội chẵn nên khơng là điểm cực trị của
. Từ đó cũng
tìm được điều kiện để
ta đưa về giải 3 phương trình
.Nhận thấy rằng phương
trình (1) và phương trình (3) có nghiệm khơng trùng nhau cịn nghiệm của
phương trình (2) nếu có sẽ là nghiệm bội chẵn của
nên khơng là điểm
cực trị của
Hướng dẫn:

.

Vì khi đi qua các nghiệm của phương trình
(nếu có) dấu của
khơng đổi nên dấu của
chỉ phụ thuộc các nghiệm của hai
phương trình cịn lại. Nhận thấy phương trình(2) và phương trình (3) có
nghiệm khơng trùng nhau.
Vậy hàm số
có 8 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình(2)và
phương trình (3) phải có ba nghiệm phân biệt khác và khác .
Xét hàm số

, ta có

;

.

Bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên, ta thấy điều
kiện để mỗi phương trình
và
phải có ba nghiệm phân biệt
khác và khác là
.
Vậy chỉ có một giá trị nguyên
của
thỏa mãn là
. Chọn

đáp án C.
Nhận xét :Để làm xong bài tốn này địi hỏi học sinh phải biết cách cô lập m
và sử dụng bảng biến thiên để tìm số nghiệm của mỗi phương trình .

skkn


Ví dụ 14: Cho hàm số
có đạo hàm
liên tục trên và có đồ thị như hình.
Có bao nhiêu số ngun
để
hàm số
trị?
A.

có năm điểm cực
.

B.

.

C. .

D. .

Phân tích: Ở ví dụ 13, bài tốn cho biểu thức của
nhưng ở ví dụ này
giả thiết lại cho đồ thị của

Quan sát đồ thị ta thấy
có 3 nghiệm
phân biệt nên hàm
có dang
. Từ đó
đưa về bài tốn có dạng như ví dụ 13.
Hướng dẫn:
Từ đồ thị ta suy ra hàm
có dang
.
Điều kiện xác định:

. Ta có:

Pt (1)
Pt (2)
Bài tốn trở thành tìm
biệt khác nhau và khác

(3).
(4).

để các phương trình
;
đều có 2 nghiệm phân
đồng thời
thuộc tập xác định hàm số.

.

Kết hợp điều kiện
,
. Suy ra
Ví dụ 15: Cho hàm số
có đạo hàm liên
tục trên . Đồ thị của hàm số
như
hình vẽ sau. Có bao nhiêu giá trị thực của tham
số thuộc khoảng
thỏa mãn
và
hàm số
trị ?
A. 26.

có 5 điểm cực
B. 25.

C. 27.

D. 24.

skkn

.Chọn D.


Hướng dẫn:Đặt

.

; Tương tự
Bảng biến thiên của
hàm số
:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số

có 3 điểm cực trị.

Đặt :

;

(
hàm số

đều là nghiệm bội lẻ )

có 3 điểm cực trị.

Hàm số

có 5 điểm cực trị
có 5 điểm cực trị

Hàm số

Phươngtrình

có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.
Đặt
. Suy ra là hàm số đồng biến trên . Ứng với mỗi
giá trị của ta có một giá trị của . Số nghiệm của phương trình (1) bằng số
nghiệm của phương trình
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình
hoặc nghiệm bội lẻ

có 2 nghiệm đơn
.

Kết hợp yêu cầu thuộc khoảng
và
ta có 26 giá trị thực của
thỏa mãn đề bài. Chọn đáp án A
Nhận xét :Điểm mới ở ví dụ 15 là từ đồ thị của hàm số
lập được
bảng biến thiên của hàm số
với
. Sau khi lập luận được hàm

skkn


số
có 3 điểm cực trị chúng ta sử dụng tính chất 1 ở mục 2.1 đưa
bài tốn về tìm số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình
Học sinh không tinh ý sẽ kết luận sai điều kiện của m để
phương trình
khơng đặt dấu bằng cho

có 2 nghiệm đơn hoặc 2 nghiệm bội lẻ đó là
tại 0 và

.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong quá trình giảng dạy tốn, cá nhân tơi ln có ý thức trang bị đầy
đủ cho học sinh những kiến thức cơ bản và nền tảng nhất. Trên cơ sở trang bị
cho học sinh những kiến thức nền về chủ đề hàm số, mối quan hệ giữa hàm số
với đồ thị, bảng biến thiên và đạo hàm của nó, xây dựng một hệ thống bài tập
phù hợp, giúp học sinh định hướng và lựa chọn cách thức giải một số dạng
toán trực tiếp liên quan đến cực trị của hàm hợp một cách nhanh chóng. Sáng
kiến kinh nghiệm đã phân tích từng ví dụ cụ thể qua đó giúp học sinh định
hướng và sớm tìm hướng giải quyết bài tốn liên quan một cách nhanh chóng
và thuận tiện, là một trong những cơng cụ hữu ích trong q trình học, ơn thi
học sinh giỏi, ôn thi THPTQG của học sinh cũng như làm tài liệu tham khảo
cho các đồng nghiệp giáo viên trong quá trình giảng dạy của mình.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, tơi xin mạn phép trình bày
một vài giải pháp nhỏ khi dạy chủ đề cực trị của hàm hợp cho học sinh. Việc
phân chia các dạng toán chỉ mang tính tương đối, tuy nhiên sáng kiến kinh
nghiệm cũng có thể được xem như một dạng bài tập hữu ích cho q thầy cơ
đồng nghiệp và học trị trong q trình ơn luyện của mình.
3.2. Kiến nghị.
Với những sáng kiến kinh nghiệm được đánh giá và xếp loại cao ở hội đồng
khoa học nghành, mong rằng sẽ được phổ biến rộng rãi để các đồng nghiệp có

thể tham khảo phục vụ tốt cho công tác giảng dạy. Với mong muốn này, tôi
cũng muốn các nghiên cứu về đề tài cực trị của hàm hợp được bổ sung để
tơi có thể tiếp tục học tập, nghiên cứu và hoàn thiện hơn nữa sáng kiến của
mình.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.

skkn


Lê Thị Tuyết Nhung.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Giải tích tốn học những ngun lý cơ bản và tính tốn thực hành (tập
một),Đinh Thế Lục- Phạm Huy Điển- Tạ Duy Phượng- Nguyễn Xuân Tấn,
Nxb Giáo dục, 1998.
[2]. Giải tích 12, Tổng chủ biên: Đoàn Quỳnh, Nxb Giáo dục Việt Nam, 2014.
[3]. Đại số 10( nâng cao), Nxb Giáo dục Việt Nam
[4] . Một số đề thi thử THPTQG các năm 2019; 2020

skkn


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
CẤP NGÀNH SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Thị Tuyết Nhung

Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Sầm Sơn
TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá Kết quả Năm
học
xếp loại
đánh giá xếp
loại

skkn


1

2

3
4

5

6

7

Dạy học thơng qua việc
xây dựng chuỗi bài tốn

góp phần nâng cao hoạt
động nhận thức cho học
sinh.
Góp phần nâng cao chất
lượng dạy học tốn thơng
qua việc phát hiện và sửa
chữa sai lầm cho học sinh.
Góp phần phát triển tư duy
logic cho học sinh.

Hội
đồng Loại C
khoa
học
nghành

2005-2006

Hội
đồng Loại C
khoa
học
nghành

2007-2008

Hội
đồng Loại C
khoa
học

nghành
Phát triển tư duy sáng tạo Hội
đồng Loại B
cho học sinh bằng phương khoa
học
pháp lượng giác hóa bài nghành
tốn đại số.
Rèn luyện năng lực giải Hội
đồng Loại B
toán cho học sinh lớp 10 khoa
học
trung học phổ thơng
nghành

2009-2010

Khai thác các tính chất
của tứ diện vng giúp
học sinh giải một lớp bài
tốn.
Rèn luyện năng lực giải
tốn tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất cho của
hàm ẩn cho học sinh
THPT.

Hội
đồng Loại B
khoa
học

nghành

2017-2018

Hội
đồng Loại C
khoa
học
nghành

2019-2020

2011-2012

2014-1015

PHỤ LỤC
Phụ lục 1: Đề bài kiểm tra chất lượng học sinh trước khi triển khai đề tài

skkn


Bài 1. Cho hàm số
dấu của hàm số

có đạo hàm đến cấp hai trên
như hình sau:

Hỏi hàm số

đạt cực tiểu tại điểm nào ?

A.
. B.
.
Bài 2:Cho hàm số

C.
.
D.
.
, bảng biến thiên của hàm số

Số điểm cực trị của hàm số
là
A.
B.
Bài 3: Cho hàm số
có đạo hàm trên
và hàm
có đồ thị như hình bên. Số
điểm
cực
đại
của
hàm
số
là
A.1.
4.

B. 2.

và có bảng xét

C. 3.

Bài 4:Cho hàm số bậc bốn
thị như hình vẽ dưới đây.
Số điểm cực trị của
là
A. .
B. .
C. .

Bài 5: Cho hàm số
trên
. Hàm số

D.

có đồ
hàm

số
D. .

có đạo hàm
có đồ thị như

hình vẽ bên.
Số điểm cực trị của hàm số
là A. .
B.
C. .

D. .

skkn

C.

như sau:

D.


skkn