Skkn sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm về cực trị số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI NHANH
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ
CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

Người thực hiện
: Lê Thị Phương Thảo
Chức vụ
: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực : Tốn học

THANH HỐ, NĂM 2020

skkn


MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

1. MỞ ĐẦU
1.1

Lý do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

2

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

2. NỘI DUNG
2.1
2.2

Cơ sở lí luận:

3

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

3

2.3

Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

4

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

17

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1

Kết luận

17

3.2

Kiến nghị

18

1

skkn


1. MỞ ĐẦU:
1.1 Lý do chọn đề tài:
Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2020 mơn Tốn vẫn tiếp tục năm thứ 4
với hình thức thi trắc nghiệm.
Để làm bài trắc nghiệm có hiệu quả thì bài giải khơng những phải chính
xác mà cịn phải nhanh, một trong những yếu tố quan trọng là đánh giá nhanh
vấn đề và nhanh chóng loại bỏ những phương án nhiễu. Để qua đó, chỉ cần kiểm
tra đối chiếu các đáp án còn lại với bài giải.
Trong số các bài toán về số phức trong kì thi THPT Quốc gia gần đây bài tốn:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức là một dạng tốn khó và xuất
hiện thường xun. Chẳng hạn, trong đề thi minh hoạ năm 2018 của Bộ giáo dục
đào tạo: “Cho số phức
thoả mãn
. Tính
khi
đạt giá trị lớn nhất ” đã làm cho học sinh khá đau đầu.
Vì thế, học sinh rất dễ mất bình tĩnh, hoang mang khơng biết phải nhận
dạng và làm bài tốn cực trị của số phức như thế nào, lấy những yếu tố nào là
điểm quan trọng để phát hiện vấn đề. Có rất nhiều phương pháp để giải quyết
bài tốn này. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy chương số phức lớp 12, thông
qua nghiên cứu tài liệu tham khảo, tôi rút ra một phương pháp giúp học sinh giải
quyết vấn đề trên nhanh và chính xác. Và đã viết thành một sáng kiến kinh
nghiệm có tên: “Sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài tốn
trắc nghiệm về cực trị của số phức”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này góp phần trang bị thêm dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệu

trực quan của các dạng bài cực trị của số phức; kĩ năng phán đoán, phân tích
nhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh: tư duy phân tích,
tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giải quyết một vấn đề
ln ln tìm tịi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt
để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng trong chương số phức của chương trình giải tích lớp
12, học sinh ơn thi THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắc
nghiệm về cực trị của số phức, tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ
những kiến thức nào đã học, trình bày bài số phức rồi mới nhận dạng có dài, mất
thời gian hay khơng? Có giải quyết được vấn đề hay khơng? Có gặp khó khăn gì
khơng? Từ đó khuyến khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc
trưng có thể làm dấu hiệu nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để.
Để học sinh tiếp cận vấn đề, tôi đưa các bài toán đặc trưng từ cơ bản rồi
mới mở rộng lên bài toán cực trị của số phức thông qua hệ thống kiến thức liên
quan, nhận xét dấu hiệu nhận biết đặc trưng, đến các bài toán cụ thể để học sinh
hình dung một cách trực quan và biết cách sử dụng phương pháp hình học vào
các bài tốn đó để đưa ra được phương án trả lời nhanh và chính xác nhất.
2

skkn


2. NỘI DUNG:
2.1. Cơ sở lí luận:
a)Biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức
được biểu diễn hình học trong mặt phẳng

Oxy là một điểm
. Khi đó:
+) Mơđun của số phức z bằng
.
+) Hai điểm biểu diễn hình học của số phức
và số phức đối xứng
nhau qua trục hoành.
+) Hai điểm biểu diễn hình học số phức và số phức
đối xứng nhau
qua gốc O.

Nhận xét 1: (Ý nghĩa hình học của môđun phép cộng, phép trừ hai số phức).
Cho
là số phức có điểm biểu diễn hình học là
.
Cho
là số phức có điểm biểu diễn hình học là
Ta có:
+)
.
+)
sao cho tứ giác
là hình bình hành

Nhận xét 2: (Một số kiến thức bổ sung).
+) Phương trình đường thẳng:
+) Phương trình đưịng trịn:
b)Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z
3

skkn


Giả sử M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của các số phức z, a, b.
+) | z  a || z  b | MA  MB . Khi đó tập hợp M là đường thẳng trung trực
của đoạn AB.
+)
<=> |MA| = R. Khi đó tập hợp M thuộc đưịng trịn tâm A, bán
kính R.
+)
Khi đó tập hợp M là đưịng Elip
nhận

làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Số phức là một trong những nội dung quan trọng chương trình tốn lớp 12
và khơng thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Bài toán về cực trị của số phức
là phần thể hiện rõ việc nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng là
phần thể hiện được kĩ năng nhận dạng và tính tốn nhanh nhạy, kĩ năng tổng
hợp kiến thức của học sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề.
Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức thoạt nhìn thì có vẻ
đơn giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì thời
gian giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều cơng sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh,
và tiêu tốn thời gian dành cho những câu trắc nghiệm khác.
Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12 tôi trực tiếp giảng
dạy năm học 2019 - 2020 trường THPT Hàm Rồng , kết quả như sau:
Năm

Lớp

Sĩ số

Số học sinh
trả lời chính
xác

2019- 2020

12B3

47

20

Số học sinh trả lời chính
xác trong 30s – 1p
10

Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách
giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK. Song song với việc cung cấp tri
thức, tôi chú trọng rèn giũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài tốn, tính tốn
với các điểm cực trị, tương giao giữa các đồ thị hàm số đã có trên hình vẽ, phát
triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này
mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác.
2.3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề:
Để làm bài toán về cực trị của số phức, học sinh có thể giải bằng phương
pháp hàm số, phương pháp lượng giác hay đánh giá bằng bất đẳng thức. Sau đây
ta xét một số bài toán cực trị của số phức thơng qua các phương pháp đại số nói
trên. Đây là cách thức trước khi đổi mới.
2.3.1. Các bài toán cực trị giải bằng phương pháp đai số:

Bài toán 1: Cho số phức thỏa mãn
,
, tìm giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất của

.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 .Tìm mơđun lớn nhất của số phức
z.

4

skkn


A. 9  4 5 .
B. 11  4 5
C. 6  4 5 .
D. 5  6 5 .
Hướng dẫn:
2
2
Gọi z  x  yi;  x   ; y    . Ta có: z  1  2i  2   x  1   y  2   4.
Đặt x  1  2 sin t; y  2  2 cos tt;  0; 2  .
Lúc đó:
z   1  2 sin tt   2  2 cos
2

2



2

 9   4 sin tt 8 cos

 9

4 2  8 2 sin  t    ;    

2
 z  9  4 5 sin  tz       9  4 5 ; 9  4 5 



 zmax  9  4 5 đạt được khi z 

Chọn đáp án A
Bài toán 2: Trong các số phức
lớn nhất của

5  2 5 10  4 5

i.
5
5

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất,

Ví dụ 1: Cho các số phức z thoả mãn z  2 . Đặt w   1  2i  z  1  2i .
Tìm giá trị nhỏ nhất của w .
A. 2 .
B. 3 5 .
C. 2 5 .
D. 5 .
Hướng dẫn:
Gọi số phức z  a  bi với a , b   . Ta có z  2  a 2  b 2  2
 a 2  b 2  4  * . Mà số phức w   1  2i  z  1  2i

 w   1  2i   a  bi   1  2i  w   a  2b  1   2a  b  2  i .

Giả sử số phức w  x  yi  x, y    . Khi đó
 x  a  2b  1
 x  1  a  2b

.

 y  2a  b  2
 y  2  2a  b
2
2
2
2
Ta có :  x  1   y  2    a  2b    2a  b 

  x  1   y  2   a 2  4b 2  4ab  4a 2  b 2  4ab
2

2

2
2
  x  1   y  2   5  a 2  b 2    x  1   y  2   20 (theo  * ).

2

2

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm
I  1; 2  , bán kính R  20  2 5 .

Điểm M là điểm biểu diễn của số phức w thì w đạt giá
trị nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất.
Ta có OI   1 2  22  5 , IM  R  2 5 .
Mặt khác OM  OI  IM    OM  5  2 5
5

skkn




Vậy chọn đáp án D.
Bài toán 3: Cho số phức z thỏa mãn

. Tìm GTNN của

.

Ví dụ 1: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i . Tìm số phức có
mơđun nhỏ nhất.
1
5

2
5

1 2
5 5

B. z    i .

A. z  1  2i .

C. z   i .

D. z  1  2i .

Hướng dẫn:
Giả sử z  x  yi  x, y   
z  3i  z  2  i  x   y  3 i   x  2    y  1 i  x 2   y  3   x  2    y  1
2

2

 6 y  9  4x  4  2 y 1  4x  8 y  4  0  x  2 y 1  0  x  2 y  1
2

2 1
5

z  x  y   2 y  1  y  5 y  4 y  1  5  y    
5 5
5

2
1
5
Suy ra z min 
khi y    x 
5
5
5
1 2
Vậy z   i.
5 5
2

2

2

Chọn đáp án C
Bài toán 4 : Trong số phức
nhất, lớn nhất của
.

2

2

thỏa mãn:

. Tìm giá trị nhỏ

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M  m bằng:
A. 4  7.
B. 4  7.
C. 7.
Hướng dẫn:
Gọi z  x  yi với x; y   .
Ta có 8  z  3  z  3  z  3  z  3  2 z  z  4 .
Do đó M  max z  4 .
Mà
z  3  z  3  8  x  3  yi  x  3  yi  8 

D. 4  5.

 x  3

2

 y2 

 x  3

2

 y2  8 .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
8  1.

 x  3

2

 y 2  1.

 x  3

2

 y2 

1

2

 12   x  3   y 2   x  3   y 2 


2

2

 8  2  2 x 2  2 y 2  18   2  2 x 2  2 y 2  18   64

 x2  y 2  7  x2  y 2  7  z  7 .

Do đó M  min z  7 .
Vậy M  m  4  7 . Chọn đáp án B.

6

skkn

2


Nhận xét: Có rất nhiều bài tốn cực trị về số phức có thể giải bằng phương
pháp hàm số, phương pháp lượng giác hay đánh giá bằng bất đẳng thức. Tuy
nhiên cách làm trên lại gặp khó khăn do mất q nhiều thời gian. Vì vậy tơi đã
hướng dẫn học sinh dựa vào vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị xảy ra để
tìm được phương án chính xác một cách nhanh nhất.
Sau đây ta sẽ xét một số dạng bài toán quen thuộc trên và thêm các bài
tốn nữa để thấy rõ tính ưu việt của phương pháp hình học giải nhanh các bài
tốn cực trị của số phức. Trên cơ sở lý thuyết có hướng dẫn học sinh phân tích
sử dụng phương pháp hình học phù hợp để đưa ra cách giải đúng và ngắn gọn
nhất. Sau đây là các bài toán sau khi đổi mới.
2.3.2. Các bài tốn cực trị giải bằng phương pháp hình học:
Bài tốn 1: Cho số phức thỏa mãn
,
. Tìm giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất của .
PP giải:
,

Tập hợp các điểm
là đường trịn có tâm

biểu diễn hình học của số phức

và bán kính

Khi đó :
Cách tìm tọa độ điểm
nhất).
+ Phương trình đường trịn

(tức là tìm số phức
quỹ tích của điểm

+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Khi đó,
là giao điểm của
và .
Giải hệ phương trình:

có mơđun nhỏ nhất, lớn
biểu diễn số phức
là

hai nghiệm

là:
.

tọa độ hai

điểm.

7

skkn


So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới , khoảng cách nào nhỏ hơn
thì điểm đó ứng với điểm
và điểm cịn lại là điểm
.
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của
là:
A.
Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm

B. 5

C.

là đường trịn có tâm

D.
và bán kính

Chọn đáp án C

Nhận xét: Như vậy nếu HS biết được cơng thức này thì chỉ làm trong vịng 30s
là xong cịn nếu tính tốn thơng thường thì sẽ rất lâu mà cịn dễ sai.
Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn
. Giá trị lớn nhất của
là:
A.
B. 5
C.
Hướng dẫn: (Sử dụng hình vẽ của ví dụ 1)

D.
Chọn đáp án A

Ví dụ 3: Trong các số phức thỏa mãn
nhất là:
A.
B.
C.
Hướng dẫn: (Sử dụng hình vẽ của ví dụ 1)
Phương trình đường thẳng
là
.
Tọa độ hai điểm
là nghiệm của hệ phương trình:

số phức có mô đun nhỏ
D.

8

skkn


+ Số phức có mơđun lớn nhất là
+ Số phức có mơđun nhỏ nhất là
Vậy chọn đáp án C
Ví dụ 4: Nếu các số phức thỏa mãn
nhất bằng:
A. 4.
B. 3.
Hướng dẫn:

ứng với điểm
ứng với điểm
thì
C. 7

.
.
có giá trị lớn

D. 6.

Ta có:

Tập hợp các điểm

là đường trịn có tâm

Vậy

và bán kính

Chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Nếu các số phức

thỏa mãn

thì

có giá trị nhỏ nhất

bằng:
A. 1.
Hướng dẫn:
Ta có:

Tập hợp các điểm

B. 2.

C.

là đường trịn có tâm

Vậy

và bán kính

Chọn đáp án B.

Bài toán 2: Trong các số phức thỏa mãn
nhất, lớn nhất của
PP giải:
Gọi
lần lượt là các điểm biểu diễn của
Tập hợp các điểm
và bán kính

D. 3.

biểu diễn hình học số phức

. Tìm giá trị nhỏ

.
là đường trịn có tâm

9

skkn


Khi đó:
Muốn tìm các số phức sao cho
thì ta đi tìm hai giao điểm
đường trịn
với đường thẳng
.

Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của
lượt là
A. 7.
B. 3.
C. 2.
D. 5.
Hướng dẫn:
Gọi
lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của

của
lần

.

Ta có

Ta có:

và

Chọn đáp án B.
Ví dụ 2 : Trong các số phức thỏa mãn
, gọi
số phức có
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức
A.

B.

C.

là
D.

Hướng dẫn:
Ta có:

và

Tập hợp các điểm
là đường trịn có tâm
và bán kính
Phương trình đường thẳng
là:
Tọa độ hai điểm
là nghiệm của hệ phương trình:

.

10

skkn


Khi đó

là điểm biểu diễn số phức cần

tìm.

Chọn đáp án A.
Ví dụ 3 : Cho số phức z thỏa mãn: z  2  2i  1 . Số phức z  i có mơđun nhỏ
nhất là:
A. 5  1 .
B. 5  1 .
C. 5  2 .
D. 5  2 .
Hướng dẫn:
Gọi
lần lượt là các điểm biểu diễn của
. Ta có

Chọn đáp án A.
Ví dụ 4 :

Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm mơđun lớn nhất của số

phức z  2i.
A. 26  6 17 . B. 26  6 17
C. 26  8 17
Hướng dẫn:
Gọi
lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của

D. 26  4 17 .
.

Ta có

Chọn đáp án A.
Bài tốn 3 : Trong các số phức

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ

nhất, lớn nhất của
PP giải:
Gọi

lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của

Tập hợp các điểm
kính
Tập hợp các điểm
kính

biểu diễn số phức

là đường trịn có tâm

biểu diễn số phức

là đường trịn có tâm

.
và bán
và bán

11

skkn


Khi đó:
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là
A. 13  2 .
B. 4 .
C. 6 .
Hướng dẫn:
Gọi
lần lượt là các điểm biểu diễn của

D. 13  1 .
.

Ta có
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Biết rằng z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của mơ đun số phức w  z  2i
A. 5  2

B. 5  2

C. 2  5

Hướng dẫn:
Gọi
lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của

D. 2  5
.

Ta có
Chọn đáp án D.
Bài tốn 4 : Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm GTNN của
.
PP giải:
điều kiện
thực chất là phương trình đường thẳng.
Nếu ta gọi
là điểm biểu diễn  , là điểm biểu diễn hình học và là
điểm biểu diễn hình học thì giả thiết tương đương với
hay
nằm
trên đường trung trực của
. Gọi là điểm biểu diễn hình học của thì
.
Vậy
nhỏ nhất khi là hình chiếu vng góc của trên . Giá trị nhỏ nhất
bằng.:

12

skkn


I

d
M1
M

Lưu ý: Khơng phải phương trình đường thẳng nào cũng có dạng
,
cho nên khi gặp giả thiết lạ, cách tốt nhất để nhận biết giả thiết là đường thẳng
hay đường trịn là gọi
rồi thay vào phương trình.
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn
. GTNN của
là:
A.

B.

Hướng dẫn: 
Gọi
thì
Từ

C.

là điểm biểu diễn hình học của số phức
do đó

Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn
nhỏ nhất của

Hướng dẫn:
 Gọi

.
.

Vậy M di chuyển trên (d). Có

A.

D.

B.

nhỏ nhất bằng

.

là một số thực. Giá trị
C.

D.

, ta có
.

Tích này có phần ảo là
.
Phần ảo bằng 0
(d).

Vậy nếu gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z thì M chạy trên đường
thẳng (d).
Gọi
là điểm biểu diễn
thì
.
Vậy

.

13

skkn


Chọn đáp án D.
Ví dụ 3:  Biết rằng số phức z thỏa mãn
Giá trị nhỏ nhất của

là:

A.

B.

Hướng dẫn:
Đặt
Ta có:

là một số thực.

C.

D.

ta có

là một số thực

(d)

Chọn đáp án B.
Ví dụ 4:  Biết rằng số phức z thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất là:

. Số phức z sao cho

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn:
Đặt
.Ta có M(x;y) là điểm biểu diễn hình học của z thỏa
mãn
.Tập hợp các điểm biểu diễn của z là

đường thẳng d:
Mà
với
Phương trình đường thẳng qua A, và vng góc với d:
Khi đó
nhỏ nhất khi và chỉ khi AM nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
Khi đó

. Tìm

. Vậy

Chọn đáp án C.
Ví dụ 5:  Gọi z là số phức thỏa

và

nhỏ nhất. Khi

đó tổng phần thực và phần ảo của z là:
A. 

5
2

B.

23
6

C.

5
2

D. 

23
6

Hướng dẫn:
với

.
14

skkn


Phương trình đường thẳng  qua A, và vng góc với d:
.
Khi đó
nhỏ nhất khi và chỉ khi AM nhỏ nhất khi và chỉ khi
. Khi đó

. Tìm

.

Chọn đáp án A.
Bài tốn 5 : Trong số phức thỏa mãn:
.Tìm giá trị
nhỏ nhất, lớn nhất của
.
PP giải:
Gọi
lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của các số phức
Khi đó :
nhận
làm
tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng
Vì ở chương trình Tốn lớp 10, chỉ được học elip có hai tiêu điểm là
nên thường đề bài sẽ cho dưới dạng:
nhận
bằng

làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn

.

Ví dụ 1: Trong tất cả các số phức thỏa mãn
, gọi
lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . Khi đó, giá trị biểu thức
bằng
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn:

Áp dụng cơng thức trên, ta có:

lần

Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất z . Khi đó M  m bằng
A. 4  7.
Hướng dẫn:

B. 4  7.

C. 7.

D. 4  5.

15

skkn


Áp dụng cơng thức trên, ta có:
Chọn đáp án B
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z  2  z  2  5 . Gọi M , m lần lượt là giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z . Tính M  m ?
A. M  m 

17
2

B. M  m  8

C. M  m  1

D. M  m  4

Hướng dẫn:
Áp dụng cơng thức trên, ta có:
Chọn đáp án D
Bài tốn 6 : Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm
GTNN của
.
PP giải:
Nếu ta gọi
lần lượt là điểm biểu diễn hình học của số phức
.
Gọi
là điểm biểu diễn hình học của , .Giả thiết
suy ra
tập hợp các điểm
biểu diễn số phức là đường trịn có tâm và bán kính
Cịn giả thiết
đường trung trực của

tương đương với
. Mà

hay

nằm trên

Giá trị nhỏ nhất bằng.:

I
M

d

N
Ví dụ 1: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn
16

skkn


z1  5  5, z2  1  3i  z2  3  6i . Giá trị nhỏ nhất của z1  z2 là:

A.

5
2

B.

7
2

C.

1
2

D.

3
2

Hướng dẫn:
Gọi
lần lượt là điểm biểu diễn hình học của số phức
,
Tập hợp các điểm
biểu diễn số phức là đường trịn có tâm
và bán
kính
Tập hợp các điểm
biểu diễn cho số phức z2 là đường thẳng  : 8 x  6 y  35  0
Mà
Giá trị nhỏ nhất bằng:
Chọn đáp án A
Bài toán 7 : Cho số phức z thỏa mãn
.Tìm
GTNN,GTLN của
.
PP giải:
Nếu ta gọi
lần lượt là điểm biểu diễn hình học của số phức
,

Giả thiết
suy ra tập hợp các điểm
biểu diễn số phức là
đường tròn có tâm và bán kính
Giả thiết
suy ra tập hợp các điểm
biểu diễn số phức là
đường trịn có tâm và bán kính
Mà
( Với giả thuyết là 2đường trịn ngồi nhau )

M1

M2

A
N2

I

N1

17

skkn


Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  1 , số phức w thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của z  w .
A. 13  3

B. 17  3
C. 17  3
Hướng dẫn:
Gọi
lần lượt là điểm biểu diễn hình học của số phức

D. 13  3
,

Ta có M thuộc đường trịn  C1  có tâm I1  1;1 , bán kính R1  1 . N thuộc đường
tròn  C2  có tâm I 2  2; 3 , bán kính R2  2 .

Ta có I1 I 2   1; 4   I1I 2  17  R1  R2   C1  và  C2  ở ngoài nhau.
z  w  I1 I 2  R1  R2  17  3

Chọn đáp án B
*Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho các số phức z thoả mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất

của |z|.

B. 2
C. 1
D.
A.
Bài 2: Biết số phức z = a + bi (a,b  R) thoả mãn điều kiện |z-2-4i|=|z-2i| có
mơđun nhỏ nhất. Tính M = a2 + b2. .
A. M=10

B. M= 16
C. M= 26
D. M=8
Bài 3: Cho số phức z thay đổi và luôn thoả mãn |z - 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn
nhất Pmax của biểu thức P = |z|.
A. Pmax = 12
B. Pmax = 5
C. Pmax = 9
D. Pmax = 3
Bài 4: Cho số phức z thoả mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = | z - 2i|. Tìm số phức z có
mơđun nhỏ nhất.
A. z=-1+i
B.z= -2+i
C. z = 2+2i
D. z= 3+2i
Bài 5 : Cho số phức z thoả mãn
là một số thực. Tìm giá trị
nhỏ nhất của z.
A.

B.

C. z=2

D.

Bài 6 : Trong các số phức z thoả mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = |z-2i|. Tìm số phức z
có mơđun bé nhất.
A. z= 2+i
B. z = 3+I

C. z = 2+2i
D. z = 1+3i
Bài 7 : Cho số phức

. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k

sao cho tồn tại m để |z + 1| ≤ k .
A.

B. k = 0

C.

D. k = 1

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp trên trong một số
bài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học
sinh các lớp kết quả như sau:
18

skkn


Trước khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
Sĩ
trả lời

xác trong
số chính xác
30s – 1p

Năm

Lớp

20192020

12B3 47

20

10

Sau khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
trả lời chính
xác trong
xác
30s – 1p
42

35

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận:

Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ mơn Tốn lớp
12B3 trường THPT Hàm Rồng, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú
với môn học, và nay lại giải quyết được một loại câu hỏi trắc nghiệm một cách
đơn giản, dễ hiểu. Chính vì các em cảm thấy hứng thú với mơn học nên tơi nhận
thấy chất lượng của mơn Tốn nói riêng, và kết quả học tập của các em học sinh
nói chung được nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục của nhà
trường. Ngoài ra các em cũng học được cách tìm tịi, khám phá và tự đặt ra câu
hỏi và tìm cách giải quyết vấn đề đó như thế nào nhanh gọn, chính xác và hiệu
quả nhất.
3.2. Kiến nghị:
- Đối với nhà trường, đồng nghiệp khi giảng dạy phần số phức và nhất là
khi hướng dẫn cho học sinh thực hiện trắc nghiệm phần này, nên để ý hơn đến
việc hướng dẫn học sinh biết cách rút ra các đặc điểm và dấu hiệu nhận biết đặc
trưng của từng dạng toán để sử dụng phương pháp phù hợp.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 27 tháng 5 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

Lê Thị Phương Thảo

19

skkn


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Sách giáo khoa Giải tích cơ bản và Giải tích nâng cao 12
[2]. Huỳnh Văn Minh(2018), giải toán số phức bằng phương pháp toạ độ.
[3]. Chuyên đề Trắc nghiệm Số Phức của tác giả Đặng Việt Đông.
[4]. Rèn luyện kĩ năng giải bài tập tự luận và trắc nghiệm Giải tích 12 của tác
giả Lương Mậu Dũng – Nhà xuất bản Giáo dục.

20

skkn


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP
LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Thị Phương Thảo
Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THPT Hàm Rồng

TT
1.

Tên đề tài SKKN
Sử dụng các phương pháp
khác nhau chứng minh bất

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
Năm học
giá xếp loại

xếp loại đánh giá xếp
(Phòng, Sở,
(A, B,
loại
Tỉnh...)
hoặc C)
Sở giáo dục C
2008-2009
tỉnh Thanh
Hóa

đẳng thức Nesitt
2.

Khai thác một phương pháp

Sở giáo dục
tỉnh Thanh
tính khoảng cách từ một điểm
Hóa
đến một mặt phẳng cho học

C

2014-2015

sinh lớp 11.

21

skkn