Tải bản đầy đủ (.doc) (31 trang)

Ứng dụng đường tròn lượng giác để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm vật lý

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (396.42 KB, 31 trang )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT VĨNH TƯỜNG
CHUYÊN ĐỀ:
ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN
TRẮC NGHIỆM VẬT LÍ.
Đối tượng bồi dưỡng: học sinh lớp 12
Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 09 tiết

Tác giả: Vũ Ngọc Hoàng
Chức vụ: Tổ trưởng tổ: Lý - NN - GDCD - Công nghệ
Giáo viên môn: Vật Lý

Năm học 2013- 2014
A
u
u
gh
sáng
-U
0
U
0
1
ϕ
D
B
C
sáng
tắt
tắt


-u
gh
2
ϕ
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở khoa học của vấn đề nghiên cứu
a) Cơ sở lý luận.
- Vật lý là môn khoa học cơ bản nên việc dạy vật lý trong trường phổ thông phải giúp
học sinh nắm được kiến thức cơ bản, trọng tâm của bộ môn, mối quan hệ giữa vật lý và
các môn khoa học khác để vận dụng các quy luật vật lý vào thực tiễn đời sống. Vật lý
biểu diễn các quy luật tự nhiên thông qua toán học vì vậy hầu hết các khái niệm, các
định luật, quy luật và phương pháp… của vật lý trong trường phổ thông đều được mô tả
bằng ngôn ngữ toán học, đồng thời cũng yêu cầu học sinh phải biết vận dụng tốt toán
học vào vật lý để trả lời nhanh, chính xác các dạng bài tập vật lý nhằm đáp ứng tốt các
yêu cầu ngày càng cao của các đề thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh ĐH, cao đẳng.
Vấn đề đặt ra là với số lượng lớn các công thức vật lý trong chương trình THPT làm sao
nhớ hết để vận dụng, trả lời các câu hỏi trong khi đề thi trắc nghiệm phủ hết chương
trình, không trọng tâm, trọng điểm, thời gian trả lời mỗi câu hỏi quá ngắn, (trung bình
không quá 1,8 phút/câu) nên việc có những kỹ năng giải nhanh các bài tập là rất cần
thiết.
- Trong chương trình vật lí lớp 12 có 4 chương học liên quan đến các đại lượng được
biểu thị bằng các hàm số điều hoà (dạng hàm số cosin hay sin). Đó là các chương:
Chương 1: Dao động cơ
Chương 2: Sóng âm và sóng cơ
Chương 3: Dòng điện xoay chiều
Chương 4: Dao động và sóng điện từ
Các đại lượng biểu thị bằng hàm số điều hoà thường gặp: li độ x, vận tốc v, gia tốc a,
lực kéo về
kv
F

uur
, động năng, thế năng; phương trình truyền sóng, cường độ dòng điện,
hiệu điện thế, suất điện động cảm ứng, từ thông, điện tích tụ điện, năng lượng điện
trường của tụ điện, năng lượng từ trường của cuộn cảm
- Học sinh được học khá nhiều trong môn Toán về kiến thức các hàm số lượng giác
(hàm sin, cosin, tan, cot). Gồm 2 chương trong sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp11:
Chương 1: Hàm số lượng giác
Chương 2: Phương trình và hệ phương trình lượng giác
b) Cơ sở thực tiễn
- Lượng kiến thức, số câu hỏi trong các đề thi hiện nay liên quan đến hàm điều hoà là
tương đối nhiều. Số lượng các bài tập trong các đề thi tốt nghiệp THPT, Cao đẳng và
Đại học hàng năm liên quan đến các đại lượng biểu thị theo hàm số điều hoà khá nhiều.
- Qua một số năm giảng dạy và ôn thi đại học cho học sinh tôi thấy rằng nếu giải theo
cách truyền thống mất khá nhiều thời gian, cho nên rất cần có những phương pháp giải
nhanh cho các bài tập loại này góp phần đáp ứng yêu cầu hình thức thi trắc nghiệm hiện
nay. Học sinh đã được trang bị khá tốt kiến thức các hàm số lượng giác, đặc biệt là
đường tròn lượng giác trong môn toán.
Với những lí do trên tôi viết chuyên đề:
“ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC GIẢI NHANH MỘT SỐ
BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VẬT LÍ”
2. Mục đích:
- Giúp học sinh hình thành kỹ năng giải nhanh một số bài toán vật lí bằng cách sử
dụng đường tròn lượng giác.
- Giúp học sinh nhận thức sâu sắc việc áp dụng kiến thức toán học phù hợp để giải
toán vật lí.
- Chỉ ra các mối quan hệ trực quan của các đại lượng vật lý, phương pháp,
thủ thuật sử dụng các công thức này để giải nhanh nhất, chính xác nhất
các bài tập.
- Thông qua đề tài rèn luyện, phát triển tư duy, tính sáng tạo của học sinh.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu :

- Kiến thức Toán: Hàm số điều hoà, đồ thị hàm điều hoà, đường tròn lượng giác.
- Kiến thức Vật lí: Các đại lượng biến thiên điều hoà thuộc các chương 1,2,3,4
trong sách giáo khoa Vật lí 12.
- Học sinh: lớp 12A1, 12A3, 12A5.
B. NỘI DUNG:
I. Cơ sở lý thuyết áp dụng trong chuyên đề:
1. Kiến thức về đường tròn lượng giác
- Đường tròn lượng giác (vòng tròn lượng giác): Là đường tròn tâm O, có bán kính
quy ước R = 1 đơn vị độ dài. Trên đường tròn gắn hệ trục toạ độ Oxy, trục hoành Ox
biểu diễn giá trị hàm số cosin, trên trục tung Oy biểu diễn giá trị hàm số sin.
- Quy ước góc lượng giác tăng theo chiều ngựơc kim đồng hồ; chiều dương góc
lượng giác ngược kim đồng hồ, chiều âm góc lượng giác cùng chiều kim đồng hồ.
- Giữa giá trị các góc lượng giác đặc biệt và giá trị các hàm cosin, sin được biểu
diễn như trên hình vẽ: toạ độ (x, y) = (cosθ, sinθ)

2. Mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều
- Chuyển động tròn đều là chuyển động có quỹ đạo là một đường tròn và có độ lớn
vận tốc không thay đổi.
- Các đại lượng đặc trưng trong chuyển động tròn đều: Bán kính R, chu kì T, tần số
f, tốc độ góc ω, và tốc độ dài v.
- Công thức liên hệ:
π
ω
ω
ππ
πω
2
;
2
;

1
;
2
2 ===== fT
f
T
T
f
(1,0) cos
(-1,0)
(0,1)
(0,-1)








2
1
,
2
3










2
1
,
2
3








−−
2
1
,
2
3










2
1
,
2
3








2
2
,
2
2









2

2
,
2
2









2
2
,
2
2








−−
2
2
,

2
2








2
3
,
2
1









2
3
,
2
1









−−
2
3
,
2
1









2
3
,
2
1
sin
0
0

= 0π = 2π
180
0
= π
30
0
= π/6
-30
0
=-π/6
-45
0
=-π/4
-60
0
=-π/3
45
0
= π/4
60
0
= π/3
-150
0
=-5π/6
150
0
= 5π/6
-135
0

=-3π/4
135
0
= 3π/4
-120
0
=-2π/3
120
0
= 2π/3
-90
0
= -π/2
90
0
= π/2
- Với một chất điểm chuyển động tròn đều, muốn xác định vị trí ta phải chọn một
trục Ox trên đường tròn làm mốc.
Vị trí ban đầu của vật là M
o
, xác định bởi góc φ, với tốc độ góc ω, vào thời điểm t
vật đến vị trí M, có tọa độ xác định bởi góc α = ωt + φ (1).
- Lưu ý rằng vật luôn chuyển động theo chiều dương ngược chiều kim đồng hồ vì
trong dao động điều hòa tần số góc ω luôn dương, dẫn đến góc quay ωt luôn dương.
- Ta có thể tạo mối liên hệ về hình thức của phương trình này với phương
trình của chuyển động thẳng biến đổi đều x=x
o
+vt. Việc này có tác dụng
giúp cho học sinh tiếp thu tốt khi phải tiếp xúc với một hình thức có phần lạ
lẫm của phương trình (1).

Bảng 1. Các đại lượng tương ứng giữa
chuyển động tròn đều và chuyển động thẳng đều
Chuyển động tròn đều φ α ω
Chuyển động thẳng đều x
o
x v

Đặt bán kính quỹ đạo chuyển động tròn đều của M
là: R = OM = OM
0
= A
Gọi P là hình chiếu của điểm M lên trục Ox
trùng với một đường kính của đường tròn và
gốc O trùng với tâm của đường tròn. Ta thấy
P dao động trên Ox quanh gốc toạ độ O.
vị trí ban đầu của P là điểm P
0
xác định x
0
=
0
OP
= Acosφ
vị trí P ở thời điểm t xác định bởi x =
OP
=Acos(ωt+φ)
Vì hàm sin hay hàm cosin là hàm điều hoà, nên dao động của P là một dao động điều
hoà trên quỹ đạo P
1
P

2
= 2A.
Kết luận về liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều:
Điểm P dao động điều hoà trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình chiếu
của mộ điểm M chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó.
Bảng 2. Sự tương ứng các đại lượng trong
chuyển động tròn đều và dao động điều hoà
Chuyển động tròn đều Dao động điều hoà
Bán kính R Biên độ dao động A
Chu kỳ T Chu kỳ T
Tần số f Tần số f
Tốc độ góc ω Tần số góc ω
Góc ban đầu: φ Pha ban đầu: φ
Góc ở thời điểm t:
ωt+φ
Pha dao động ở thời điểm t:
ωt+φ
Góc quét của bán kính
α=ωt
Góc pha thay đổi trong
khoảng thời gian t:
α=ωt
3. Sự tích hợp giữa đường tròn lượng giác với kiến thức vật lí liên quan
- Xét một dao động điều hoà có: Phương trình dao động: x = Acos(ωt+φ)
O
M
M
0
xP
0

P
t
ω
ϕ
P
2
P
1
+
x
Trong dao động ta quan tâm nhiều đến các vị trí đặc biệt ứng với các góc pha đặc
biệt. Có 9 vị trí tương ứng với các góc pha: 0
0
, ±30
0
, ±45
0
, ±60
0
, ±90
0
, ±120
0
, ±135
0
,
±150
0
, 180
0

.
Bảng 3. Vị trí đặc biệt trong dao động
Vị trí Kí
hiệu
Góc pha Li độ x
Biên dương B
+
0
0
0 rad
A
Không tên
dương
KT
+
±30
0
6
π
±
A
2
3
Hiệu dụng
dương
HD
+
±45
0
4

π
±
2
A
Nửa biên dương NB
+
±60
0
3
π
±
2
A
Cân bằng CB ±90
0
2
π
±
0
Nửa biên âm NB
-
±120
0
3
2
π
±
2
A


Hiệu dụng âm HD
-
±135
0
4
3
π
±
2
A

Không tên âm KT
-
±150
0
6
5
π
±
A
2
3

Biên âm B
-
180
0
π
±
A-

Lưu ý: Để dễ nhớ các vị trí đặc biệt tôi đưa ra tên gọi như trên, và quy ước gọi tên như
vậy trong toàn bộ đề tài. Các vị trí cân bằng, biên âm, biên dương được hiểu từ trong
dao động điều hoà; vị trí nửa biên vì li độ bằng một nửa giá trị biên, vị trí hiệu dụng
được hiểu nhờ khái niệm hiệu dụng các đại lượng điện xoay chiều (giá trị hiệu dụng =
giá trị cực đại/
2
), vị trí không tên được đặt tên như vậy vì vị trí này không có tên gì
đặc biệt. 9 vị trí này cũng thường gặp trong nhiều bài toán.
- Do dao động điều hoà có thể biểu diễn bằng chuyển động tròn đều tương ứng,
chuyển động tròn đều được biểu điễn qua đường tròn lượng giác; do vậy biểu diễn dao
động điều hoà qua đường tròn lượng giác, nhất là các vị trí đặc biệt giúp học sinh
nhận thấy trực quan hơn các tính chất trong dao động; qua đó khi giải các bài toán về
dao động điều hoà có thể dùng các điểm đặc biệt trên đường tròn lượng giác để xác
định các liên hệ của dao động điều hoà. Điều này rất phù hợp với các bài toán liên
quan đến thời gian, vận tốc trung bình, quãng đường, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, sự biến
thiên năng lượng trong dao động.
Các vị trí đặc biệt trong dao động điều hoà
-A


• •
• •



O
A
2
A


2
A
2
A

2
3A

2
A
2
3A
x
B
-
KT
-
HD
-
NB
-
CB
NB
+
HD
+
KT
+
B
+


Lược đồ đường tròn lượng giác liên hệ các vị trí đặc biệt



- Tại các vị trí đặc biệt trong dao động điều hoà thì các đại lượng như lực kéo về, vận
tốc, gia tốc, động năng, thế năng đều có những giá trị và những liên hệ đặc biệt; việc
nắm vững đặc điểm các vị trí này có tác dụng giải nhanh các bài tập.
Lực kéo về: F = -kx = - kAcos(ωt+φ) (giá trị lực kéo về lớn nhất F
m
= kA)
Gia tốc: a = -ω
2
Acos(ωt+φ) = -ω
2
x (giá trị gia tốc lớn nhất a
m
= ω
2
A)
Vận tốc: v = -ωAsin(ωt+φ) = v
m
cos(ωt+φ+
2
π
) (giá trị vận tốc lớn nhất V
m
=ωA)
Động năng: W
đ

=
2
2
1
mv
=
( )
ϕωω
+tAm
222
sin
2
1
=
( )
ϕω
+tkA
22
sin
2
1
Thế năng: W
t
=
2
2
1
kx
=
( )

ϕωω
+tAm
222
cos
2
1
=
( )
ϕω
+tkA
22
cos
2
1
Cơ năng: W = W
đ
+ W
t
=
2
2
1
mv
+
2
2
1
kx
=
22

2
1
Am
ω
=
2
2
1
kA
Động năng lớn nhất bằng thế năng lớn nhất và bằng cơ năng: W
đmax
= W
tmax
= W
-A


• •
• •



O
A
2
A

2
A
2

A

2
3A

2
A
2
3A
x
30
0
90
0
60
0
45
0
120
0
135
0
150
0
-30
0
-45
0
-90
0

-120
0
-135
0
-150
0
180
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
6
π

4
π


3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

-60
0
Bảng 4: Giá trị các đại lượng ở các vị trí đặc biệt
Vị
trí x F a v
W
đ
W
t
So
sánh

Độ
lớn
Phần
trăm
Độ
lớn
Phần
trăm
B
+
A
F
m
a
m
0 0 0% W
tmax
=W
100%
KT
+
A
2
3
m
F
2
3
m
a

2
3
2
V
m
4
1
W
25%
4
3
W
75% W
t
=3W
đ
HD
+
2
A
2
m
F
2
m
a
2
m
V
2

1
W
50%
2
1
W
50% W
t
=W
đ
NB
+
2
A
2
m
F
2
m
a
m
V
2
3
4
3
W
75%
4
1

W
25%
W
đ
=3W
t
CB 0 0 0 V
m
W
đmax
=W
100% 0 0%
NB
-
2
A

2
m
F
2
m
a
m
V
2
3
4
3
W

75%
4
1
W
25% W
đ
=3W
t
HD
-
2
A

2
m
F
2
m
a
2
m
V
2
1
W
50%
2
1
W
50% W

t
=W
đ
KT
-
A
2
3

m
F
2
3
m
a
2
3
2
V
m
4
1
W
25%
4
3
W
75% W
t
=3W

đ
B
-
A-
F
m
a
m
0 0 0% W
tmax
=W
100%
- Khi xét mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều ta thấy
dao động điều hoà theo chiều dương ứng với góc pha âm (nửa đường tròn lượng
giác phía dưới), và dao động theo chiều âm ứng với góc pha dương (nửa đường
tròn lượng giác phía trên).
Khi ωt+φ > 0 thì v < 0
Khi ωt+φ < 0 thì v > 0
Xét dấu riêng góc pha ban đầu φ cho ta kết quả chiều dao động tại thời điểm chọn
mốc thời gian).
Khi φ > 0 thì v < 0
Khi φ < 0 thì v > 0

Lược đồ đường tròn lượng giác liên hệ các đại lượng


- Vật chuyển động tròn đều trong thời gian ∆t, góc quét của bán kính α
+ ω =
2
T

π
=
t
α

(ω là tốc độ góc, α là góc quay trong khoảng thời gian ∆t).
+ công thức hệ quả
2
t T
α π
=

,

α
π
2
T
t =∆
(với α đơn vị rad)

α
360
T
t =∆
(với α đơn vị độ)
Các công thức trên được vận dụng thường
xuyên trong quá trình giải bài tập dao động điều hoà,
với α = Pha cuối φ
c

- Pha đầu φ
đ
= ω∆t

Lưu ý: Tất cả các liên hệ trên đều có thể vận dụng cho dao động điện từ
Tôi nhận thấy sự tương ứng giữa mạch dao động điện từ LC và dao động cơ điều hòa
dù đã được giảm tải, song do dao động điện từ chỉ được học trong thời gian ngắn, học
0
-A


• •
• •



O
A
2
A

2
A
2
A

2
3A

2

A
2
3A
X cos
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
6
π

4
π

3
π


2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π

W
đ
= W
t
W
đ
= 3W
t
W
t
= 3W
đ

±V
m

2
Vm
±
2
Vm
±
2
Vm
±
2
Vm
±
W
đ
= 3W
t
W
t
= 3W
đ

W
đ
= W
t
W
đ
= 3W
t
W

đ
= 3W
t
W
đ
= W
t
W
t
= 3W
đ

W
đ
= W
t
W
t
= 3W
đ

W
tmax
= W
W
đmin
= 0
W
tmax
= W

W
đmin
= 0
W
đmax
= W
W
tmin
= 0
W
đmax
= W
W
tmin
= 0
V > 0
V< 0
sin
O
M
M
0
x
t
ω
φ
c
+
α
φ

d
sinh thường quên phương thức vận động của mạch và các công thức để làm bài tập, nên
tôi cho cho rằng việc ghi nhận các đại lượng tương ứng giữa hai loại dao động sẽ dễ
dàng suy ra các kết quả của dao động điện từ từ các kết quả tương ứng của dao động cơ
học.
Dao động cơ điều hoà Dao động điện từ
Li độ x = Acos(ωt+φ) Điện tích q = Q
0
cos(ωt+φ), q = Cu
Vận tốc v = x

= -ωAsin(ωt+φ) Cường độ dòng điện i = q
,
= -Q
0
sin(ωt+φ)
Động năng W
đ
=
2
2
1
mv
Năng lượng từ trường W
B
= W
t
=
2
2

1
Li
Thế năng W
t
=
2
2
1
kx
Năng lượng điện trường W
E
= W
đ
=
2
2
1
Cu
Cơ năng W =
2
2
1
kA
Năng lượng điện từ W=
2
0
2
1
CU
=

2
0
2
1
LI
II. Các dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1: Xác định pha ban đầu của hàm số điều hoà
1. Sơ lược về bài toán
- Đây là loại bài toán muốn xác định pha ban đầu của một hàm số điều hoà φ, qua đó
khai thác thêm các thông tin về trạng thái gốc thời gian như li độ, vận tốc, gia tốc, lực
kéo về, động năng, thế năng, chiều dao động: Các đại lượng trên ở gốc thời gian được
kí hiệu x
0
, v
0
, a
0
, F
0
,W
đ0
,W
t0
.
- Bài toán xác định pha có thể chỉ là một phần trong bài toán khác, qua việc xác định
pha ban đầu sẽ cho kết quả bài toán đó.
2. Phương pháp truyền thống
- Pha ban đầu phụ thuộc vào cách chọn mốc thời gian t
0
= 0

- Xác định các thông số của trạng thái mốc thời gian x
0
, v
0
, a
0
, F
0
,W
đ0
,W
t0

- Giải hệ phương trình lượng giác ở thời điểm mốc thời gian
Khi t = 0 thì x = x
0
x
0
= Acosφ cosφ =
A
x
0
→ φ = ?
v = v
0
v
0
= -Aωsinφ sinφ =
A
v

ω
0

Nếu đề bài cho các thông tin ban đầu khác như a
0
, F
0
,W
đ0
,W
t0
thì lập và giải các
phương trình lượng giác tương ứng với các đại lượng đó
3. Giải pháp đường tròn lượng giác
- Xác định li độ x
0
tại thời điểm gốc thời gian t
0
= 0
- Từ vị trí x
0
dựng đường thẳng (d)

Ox
(d) cắt đường tròn lượng giác tại hai vị trí
+
ϕ


ϕ

.
- Hai giá trị
+
ϕ


ϕ
là pha ban đầu của dao động
điều hoà; pha
+
ϕ
ứng với trạng thái ban
đầu chuyển động theo chiều âm, pha

ϕ
ứng với
trạng thái ban đầu chuyển động theo chiều dương.
- Trong đó
A
x
0
coscos ==
−+
ϕϕ
4. Bài tập ví dụ:
Bài 1: Một vật dao động điều hoà với tần số góc 10
5
rad/s. Tại thời điểm
t = 0 vật có li độ 2cm và có vận tốc v = -20
15

cm/s. Phương trình dao động của vật là:
O
x
-A
A
+
x
0
+
ϕ

ϕ
v
0
<0
v
0
>0
A. x = 2cos(10
5
t + 2
π
/3)(cm) B. x = 4cos(10
5
t - 2
π
/3)(cm)
C. x = 4cos(10
5
t +

π
/3)(cm) D. x = 2cos(10
5
t -
π
/3)(cm)
Bài giải:
- Trước hết tính biên độ dao động theo hệ thức độc lập thơì gian:
2
2
22
ω
v
xA +=
A = 4cm.
a) Giải truyền thống
Phương trình li độ:x = Acos(ωt+φ). Phương trình vận tốc:v = -ωAsin(ωt+φ)
Thay điều kiện ở mốc thời gian t
0
= 0, ta được hệ sau
Khi t = 0 thì x
0
= 2 2 = Acosφ cosφ =
4
2

v
0
= -20
15

-20
15
= -Aωsinφ sinφ =
510.4
1520
cosφ =
2
1
→ φ =
3
π
±
sinφ =
2
3
>0 → φ >0
→ φ =
3
π
. Đáp án C
b) Sử dụng đường tròn lượng giác
- Gốc thời gian được chọn tại vị trí x
0
= 2,
đây là vị trí NB
+
.
- Từ vị trí x
0
= 2 =

2
A
ta dựng đường thẳng (d)

Ox ,
(d) cắt đường tròn lượng giác tại hai góc:
3
π

3
π

- Do ở mốc thời gian v < 0, nên pha ban đầu dương. Vậy φ =
3
π
. Đáp án C
Bài 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(πt + ϕ). Thời điểm ban
đầu vật qua vị trí có li độ x = - 2
3
cm và động năng của vật đang tăng. Xác định pha
ban đầu ϕ?
A. ϕ = -5π/6 B. ϕ = - π/6 C. ϕ = 5π/6 D. ϕ = π/6
Bài giải:
- Gốc thời gian được chọn tại vị trí x
0
= -2
3
= -
A
2

3
2
3
4 −=

,
đây là vị trí KT
-
.
- Từ vị trí KT
-
: x
0
=
A
2
3

, ta dựng đường thẳng
(d)

Ox , (d) cắt đường tròn lượng giác
tại hai góc:
6
5
π

6
5
π


- Do ở mốc thời gian động năng tăng nên độ
lớn vận tốc tăng, vật đi về vị trí cân bằng tức
là đi theo chiều dương, do đó pha ban đầu âm.
O
x
-4
4
+
2
3
π
v
0
<0
v
0
>0
3
π

(d)
O
x
-4
4
+
32

6

5
π
v
0
<0
v
0
>0
6
5
π

(d)
Vậy φ =
6
5
π

. Đáp án A
5. Nhận xét, gợi mở và tổng kết
- Việc giải phương trình lượng giác trong nhiều trường hợp mất nhiều thời gian. Sự
dụng đường tròn lượng giác khi đã quen cho kết quả nhanh hơn và trực quan.
- Ta có thể yêu cầu học sinh vận dụng phương pháp này để xây dựng pha ban đầu ở 9
vị trí đặc biệt. Trước khi dựng đường thẳng (d) ta lưu ý đổi giá trị x
0
theo biên độ A,
qua đó biết được vị trí ban đầu là vị trí nào (B
+
,KT
+

,HD
+
,NB
+
,CB,NB
-
,HD
-
,KT
-
,B
-
).
Nhờ vậy việc áp dụng đường tròn lượng giác dễ dàng hơn.

Lược đồ pha ban đầu theo các vị trí đặc biệt


Dạng 2: Xác định số lần qua một trạng thái
1. Sơ lược về bài toán
- Đây là bài toán xác định số lần vật đi qua một vị trí nào đó trong một khoảng thời
gian t. Vị trí được xác định bởi li độ x hoặc xác định theo các đặc điểm khác như v, a,
F, W
t
, W
đ
.
2. Phương pháp truyền thống
- Các bước giải bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W
t

, W
đ
, F)
trong thời gian t từ thời điểm t
1
đến t
2
.
* Giải phương trình lượng giác: x = Acos(ωt+φ), hoặc các phương trình
tương ứng với các đại lượng cho trong đề, ta thu được các họ nghiệm t
I
và t
II
* Thay t
I
và t
II
vào điều kiên: t
1
< t ≤ t
2
⇒ Phạm vi giá trị của k (Với k ∈ Z)
* Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.
-A


• •
• •




O
A
2
A

2
A
2
A

2
3A

2
A
2
3A
x
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2

π
4
3
π
6
5
π
6
π

4
π

3
π

2
π

3
2
π

4
3
π

6
5
π


B
-
KT
-
HD
-
NB
-
CB
NB
+
HD
+
KT
+
B
+
π
V<0
V>0
3. Giải pháp đường tròn lượng giác
- Xác định vị trí pha ban đầu φ
đ
= φ trên đường tròn lượng giác: gọi là điểm Đ
- Xác định pha cuối cùng φ
c
= ωt+φ trên đường tròn lượng giác: gọi là điểm C
- Xác định góc pha tương ứng của vị trí x: từ x dựng đường thẳng (d)


Ox, (d) cắt
đường tròn tại hai điểm M, N.
- Đưa góc φ
c
về dạng: φ
c
= n.360 + φ
l

hay φ
c
= n.2
π
+ φ
l
, với n là số chu kỳ.
- Trong mỗi chu kỳ vật qua mỗi vị trí biên
1 lần còn các vị trí khác 2 lần; mỗi vị trí x có 2
góc pha tương ứng tương ứng
φ
+
(điểm M), φ
-
(điểm N)
→ trong mỗi chu kỳ chuyển động tròn đều
vật qua hai vị trí M, N.
Trong n chu kỳ số lần vật qua vị trí x 2n lần,
xét trong phần góc lẻ φ
l
vật chuyển động tròn đều tương ứng từ điểm đầu Đ đến điểm

cuối C; khi đó có đi qua M và N nữa không.
Nếu từ Đ đến C không gặp M,N thì kết quả là: 2n lần
Nếu từ Đ đến C chỉ gặp một trong hai điểm M,N thì kết quả là: (2n + 1) lần
Nếu từ Đ đến C gặp M,N thì kết quả là: (2n + 2) lần
4. Bài tập ví dụ:
Bài 1: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3cos(5πt −π/3) (x tính
bằng cm,t tính bằng s).Trong một giây đầu tiên kể từ lúc t = 0. Chất điểm qua vị trí có li
độ x = + 1,5 cm
A. 7 lần B. 6 lần C. 5 lần D.4 lần
Bài giải:
a) Phương pháp truyền thống
Giải phương trình: 3cos(5πt −π/3) = + 1,5 ↔ cos(5πt −π/3) = 0,5
5πt
I
−π/3 = π/3 + k2π 5πt
I
= 2π/3 + k2π t
I

= 2/15 + 2k/5
5πt
II
−π/3 = −π/3 + k2π 5πt
II
= k2π t
II

= 2k/5
Thay vào điều kiện trong giây đầu tiên: 0 < t ≤ 1
0 < t

I

≤ 1 0 < 2/15 + 2k/5

≤ 1 -0,33 < k

≤ 2,16
0 < t
II

≤ 1 0 < 2k/5

≤ 1 0 < k

≤ 2,5
Do k

Z, nên: họ nghiệm t
I
có 3 giá trị k = 0,1,2
họ nghiệm t
II
có 2 giá trị k = 1,2
Vậy có 5 giá trị phù hợp. Đáp án C
b) Sử dụng đường tròn lượng giác
- Vị trí đầu Đ ↔ φ
đ
= −π/3
- Vị trí cuối C ↔ φ
c

= 5πt −π/3 = 5π.1 −π/3
= 14π/3 = 840
0
- Đưa φ
c
về dạng: φ
c
= 2.360 + 120
0
,
suy ra n = 2, φ
l
= 120
0
- Vị trí x = + 1,5 (vị trí NB
+
) ứng với góc
pha 60
0
(điểm M) và -60
0
(điểm N)
- Từ Điểm Đ quay đến C qua M, nên số lần vật dao động
Qua vị trí x = 1,5cm trong giây đầu tiên là: 2n + 1 = 2.2 + 1 = 5 (lần)
O
x
-A
A
+
x

M
φ
+
N
φ
-

Đ φ
đ
C
φ
c
O
x
-3
3
+
1,5
M
N

Đ≡
C
φ
l
=120
0
-60
0
60

0
Bài 2: Một vật dao động điều hoà có phương trình
)(
6
4cos2 cmtx






−=
π
π
(cm). Trong 2
giây đầu tiên vật đi qua vị trí có động năng bằng ba lần thế năng bao nhiêu lần?
A. 15 lần B. 16 lần C. 18 lần D. 17 lần
Bài giải:
a) Phương pháp truyền thống
Ta có các biểu thức :
Động năng: W
đ
=
2
2
1
mv
=
( )
ϕωω

+tAm
222
sin
2
1
=
( )
ϕω
+tkA
22
sin
2
1
= W.







6
4sin
2
π
π
t

Thế năng: W
t

=
2
2
1
kx
=
( )
ϕω
+tkA
22
cos
2
1
= W.







6
4cos
2
π
π
t

Từ điều kiện: W
đ

= 3W
t
→ W.







6
4sin
2
π
π
t
= 3W.







6
4cos
2
π
π
t










6
4sin
2
π
π
t

= 3







6
4cos
2
π
π
t









6
4sin
2
π
π
t
= 3(1-







6
4sin
2
π
π
t
)
↔ 4








6
4sin
2
π
π
t
= 3 ↔
4
3
6
4sin
2
=







π
π
t


2
3
6
4sin
±=







π
π
t

Xét họ nghiệm:
2
3
6
4sin
+=








π
π
t

π
ππ
π
2
36
4 kt
+=−


28
1
1
k
t
+=

π
ππ
π
2
3
2
6
4 kt
+=−


224
5
2
k
t
+=
Xét họ nghiệm:
2
3
6
4cos
−=







π
π
t

π
ππ
π
2
36
4 kt
+−=−



224
1
3
k
t
+=

π
ππ
π
2
3
2
6
4 kt
+−=−

28
1
4
k
t
+−=
Thay 4 họ nghiệm t
1
, t
2
, t

3
, t
4
vào điều kiện: 0 < t ≤ 2, với chú ý k là số nguyên
Ta được kết quả:
0 < t
1
≤ 2 → -0,25 < k ≤ 3,75 → k = 0, 1, 2, 3
0 < t
2
≤ 2 → -0,41 < k ≤ 3,5 → k = 0,1, 2, 3
0 < t
3
≤ 2 → -0,04 < k ≤ 3,9 → k = 0, 1, 2, 3
0 < t
4
≤ 2 → 0,12 < k ≤ 4,25 → k = 1, 2, 3, 4
Vậy có 16 giá trị của k phù hợp, tức là có 16 lần vật qua vị trí động năng bằng 3 lần
thế năng trong 2 giây đầu tiên.
b) Sử dụng đường tròn lượng giác
- Vị trí có W
đ
= 3W
t
là các vị trí NB
+
, và NB
-
các vị trí này biểu diễn tương ứng trên đường
tròn lượng giác tại các điểm M,N,P,Q

O
x
-2
2
+
1
M
N

Đ≡
P
120
0
-60
0
60
0
-1
-120
0
Q
-30
0
C
W
đ
=3W
t
≡330
0

- Vị trí pha ban đầu Đ(-30
0
),
- Góc pha cuối sau 2 giây:
φ
c
=
0
1410
6
47
6
2.4 ==−
ππ
π

φ
c
=
000
330360.31410 +=
→ n = 3, φ
t
= 330
0
Vị trí pha cuối C(330
0
), C trùng với Đ,
trong 2 giây đầu chuyển động tròn đều tương ứng
được 3 vòng, và vòng cuối đi qua đủ 4 điểm M, N, P, Q. Vậy có 3.4 + 4 = 16 lần

5. Nhận xét, gợi mở và tổng kết
- Trong bài toán này việc giải phương trình lượng giác là dài, và khó khăn khi
nghiệm là vị trí góc pha không rơi vào các góc đặc biệt.
Ví dụ trong bài toán 1, điều chỉnh lại như sau:
“Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3cos(5πt −π/3) (x tính bằng
cm,t tính bằng s).Trong một giây đầu tiên kể từ lúc t = 0. Chất điểm qua vị trí có li độ
x = + 1cm”. (Trích TSĐH 2008).
Nếu giải theo phương pháp truyền thống thì ta cần tìm nghiệm của phương trình:
3cos(5πt −π/3) = + 1 ↔ cos(5πt −π/3) = 1/3. phương trình này có nghiệm là các giá trị
không đặc biệt, (khoảng 1,23+ k.2π = ±70,5 + k.360
0
), dó đó gây cảm giác ngại tính
toán cho học sinh. Còn giải theo đường tròn lượng giác thì kết quả nghiệm như vậy
cũng không ảnh hưởng đến tâm lý làm và tốc độ làm bài.
- Phương pháp đường tròn lượng giác nhanh hơn hẳn phương pháp truyền thống, đặc
biệt đối với các bài toán mà vị trí cần tìm số lần đi qua lại gồm hai vị trí đối xứng
nhau, khi đó sẽ có 4 họ nghiệm phù hợp (như trong bài toán 2).
- Có thể áp dụng cho bài toán hỏi số lần đi qua một vị trí nào đó theo một chiều nhất
định. Khi đó chỉ tìm số lần chuyển động tròn đều qua một vị trí M hoặc N; tương ứng
với chiều chuyển động.
Nếu v > 0, thì xét điểm N có pha âm φ
-
.
Nếu v < 0, thì xét điểm M có pha dương φ
+.

Dạng 3: Xác định khoảng thời gian
1. Sơ lược về bài toán
- Đây là bài tập xác định khoảng thời gian ngắn nhất để vật dao động từ trạng 1 xác
định bởi (x

1
,v
1
) đến trạng thái 2 xác định bởi (x
2
, v
2
). Trong đề các trạng thái 1, 2 có thể
ẩn dưới những thông tin khác như gia tốc, lực, động năng, thế năng.
- Trong dao động điện từ cũng làm tương tự, các trạng thái được xác định bởi các đại
lượng như u, q, i, năng lượng điện trường, hay năng lượng từ trường.
2. Phương pháp truyền thống
- Giải hệ phương trình lượng giác ở trạng thái 1

x
1
= Acos(ωt+φ)
v
1
= -ωAsin(ωt+φ) rút ra họ nghiệm t
1
- Giải hệ phương trình lượng giác ở trạng thái 2
x
2
= Acos(ωt+φ)
v
2
= -ωAsin(ωt+φ) rút ra họ nghiệm t
2
- Hiệu chỉnh khoảng thời gian từ t

1
đến t
2
rút ra kết quả: t = t
2min
– t
1min
- Nếu tính thời gian ngắn nhất để đi từ vị trí x
1
đến vị trí x
2
thì khi giải hệ các phương
trình trên cần lưu ý vận tốc ở các vị trí phải xét trường hợp cùng chiều từ x
1
đến x
2
.
- Có thể chọn lại mốc thời gian t
0
= 0 tại khi vật ở trạng thái 1, giải phương trình lượng
giác trạng thái 1 để được pha ban đầu mới. Khi đó ta lấy t
1
= 0, sau đó giải phương trình
lượng giác ở trạng thái 2 với phương trình pha ban đầu mới xác định t
2
.
3. Giải pháp đường tròn lượng giác
- Trạng thái 1 được biểu diễn bằng điểm M trên đường tròn lượng giác có góc pha φ
1
,


- Trạng thái 2 được biểu diễn bằng điểm N trên đường tròn lượng giác có góc pha φ
2

- Góc quét của bán kính chuyển động tròn đều trên cung MN là α
thời gian dao động điều hoà từ trạng thái 1 đến trạng thái 2 bằng thời gian vật chuyển
động tròn đều tương ứng quét hết cung α

α
π
2
T
t =∆
(với α đơn vị rad)
α
360
T
t =∆
(với α đơn vị độ)
4. Bài tập ví dụ:
Bài 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình dao động






−=
3
2

4,0cos4
π
π
tx
cm.
Khoảng thời gian ngắn nhất khi vật đi từ vị trí x
1
= 2cm đến x
2
= 2
3
cm là:
A. 0,42s B. 0,21s C. 0,625s D. 8,3ms
Bài giải:
a) Phương pháp truyền thống
- Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x
1
= 2cm đến x
2
= 2
3
cm thì vận tốc v
1
và v
2
cùng
chiều từ x
1
= 2cm đến x
2

= 2
3
cm, tức là cùng chiều dương
- Giải hệ phương trình lượng giác:
x = x
1
2
3
2
4,0cos4 =







π
π
t


v = v
1
>0
0
3
2
4,0sin4,0.4 >







−−
π
ππ
t
rút ra họ nghiệm t
1
=
k5
6
5
+
- Giải hệ phương trình lượng giác:
x = x
2
32
3
2
4,0cos4 =








π
π
t


v = v
2
>0
0
3
2
4,0sin4,0.4 >






−−
π
ππ
t
rút ra họ nghiệm t
2
=
k5
4
5
+
- Suy ra thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x

1
= 2cm đến x
2
= 2
3
cm là
t = t
2min
– t
1min
=
42,0
12
5
6
5
4
5
≈=−
(s)
- Chú ý: có thể chọn lại mốc thời gian t
0
= 0 khi vật qua vị trí x
1
= 2cm theo chiều đến
x
2
= 2
3
cm (theo chiều dương)

Giải hệ:
( )
24,0cos4 =+
ϕπ
t


( )
04,0sin4,0.4 >+−
ϕππ
t
rút ra pha ban đầu mới φ =
3
π

Ta có phương trình dao động mới






−=
3
4,0cos4
π
π
tx
cm.
Giải hệ phương trình khi vật đến vị trí x

2
= 2
3
cm (theo chiều dương)
O
x
-4
4
+
2
3
π
M
3
π

30
0
2
N
6
π

6
π

32
3
4,0cos4 =








π
π
t
rút ra họ nghiệm t
2
=
k5
12
5
+


0
3
4,0sin4,0.4 >






−−
π
ππ

t

Suy ra kết quả: t = t
2min
– 0 =
42,0
12
5
0
12
5
≈=−
(s)
b) Sử dụng đường tròn lượng giác
- Vẽ đường tròn lượng giác, xác định các
góc biểu diễn các trạng thái như hình vẽ.
- Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x
1
= 2cm đến
x
2
= 2
3
cm bằng thời gian chuyển động tròn đều
tương ứng quét hết cung
¼
MN
= α = 30
0
- Chu kỳ: T =

5
2
=
ω
π
(s)
- Thời gian cần tìm: t =
α
360
T
t =∆
12
5
30
360
5
==
(s)
Bài 2: Một mạch dao động LC có L=2mH, C=8pF, lấy π
2
=10. Thời gian ngắn nhất từ
lúc tụ bắt đầu phóng điện đến lúc có năng lượng điện trường bằng ba lần năng lượng từ
trường là:
A.
6
10
15
s

B. 2.10

-7
s C.
5
10
75
s

D. 10
-7
s
Bài giải:
a) Phương pháp truyền thống
- Trước hết phải lập phương trình điện tích:
( )
ϕω
+= tQq cos
0
Theo các dữ kiện đề bài ta lập được:
6
10.5,2
πω
=
rad/s
Chọn mốc thời gian là lúc tụ bắt đầu phóng điện; giải hệ điều kiện ban đầu
t = 0, q = Q
0
rút ra φ = 0
Suy ra phương trình điện tích:
( )
tQq

6
0
10.5,2cos
π
=
-Viết biểu thức năng lượng điện trường:
E
đ
=
C
q
2
2
=
( ) ( )
tEt
C
Q
42
0
42
2
0
10.5,2cos10.5,2cos
2
ππ
=
- Viết biểu thức năng lượng từ trường:
E
t

= E
0
– E
đ
=
( ) ( )
tEtEE
42
0
42
00
10.5,2sin10.5,2cos
ππ
=−

- Sau đó giải phương trình lượng giác: E
đ
= 3E
t
, rút ra 4 họ nghiệm, mỗi họ nghiệm
xác định giá trị t thứ nhất (với điều kiện t > 0); kết quả là giá trị nhỏ nhất trong 4 giá trị
trên: t =
6
10
15
1

(s)
b) Sử dụng đường tròn lượng giác
- Vẽ đường tròn lượng giác như hình bên

vị trí M ứng với thời điểm tụ bắt đầu phóng điện
(vị trí biên). Vị trí N ứng với thời điểm E
đ
= 3E
t

(vị trí không tên).
- Góc quét chuyển động tròn đều tương ứng cung

¼
MN
= α = 30
0
O
x
-Q
0
Q
0
6
5
π
M
6
5
π

30
0
KT

+
N
6
π

6
π
KT
-
- Chu kỳ: T =
7
4
10.8
10.5,2
22

==
π
π
ω
π
(s)
- Thời gian cần tìm: t =
α
360
T
t =∆
6
7
10

15
1
30
360
10.8


==
(s)
Câu 3: (TSĐH 2010). Tại thời điểm t, điện áp
200 2 cos(100 )
2
u t
π
π
= −
(trong đó u tính
bằng V, t tính bằng s) có giá trị
100 2V
và đang giảm. Sau thời điểm đó
1
300
s
, điện áp
này có giá trị là
A. −100V. B.
100 3 .V
C.
100 2 .V−
D. 200 V.

Bài giải: - Giá trị u =
100 2V
22
2200
0
U
==
; vị trí NB
+
, u đang giảm tương ứng trong
dao động điều hoà vật có chiều từ NB
+
về VTCB.
- Chu kỳ:
50
1
100
2
==
π
π
T
(s)
- Thời gian:
50
1
100
2
==
π

π
T
; thời gian
650.6
1
300
1 T
t ===
- Theo nhận xét về trạng thái đầu ta tách:
12126
TTT
t +==
Dựa vào lược đồ thời gian ta thấy trong thời gian
300
1
=t
(s) vật đi từ vị trí NB
+
đến
vị trí NB
-
, do đó thì
)(2100
2
2200
2
0
V
U
u −=−=−=

.
5. Nhận xét, gợi mở và tổng kết
- Bài toán loại này giải bằng phương trình lượng giác là khá dài, có nhiều họ nghiệm
nên việc biện luận cũng mất nhiều thời gian.
- Phương án đường tròn lượng giác cho kết quả nhanh.
- Có thể vận dụng bài toán thời gian để xác định lại trạng thái, chỉ cần biết trạng thái
đầu và khoảng thời gian, ta phân tách khoảng thời gian đó thành những khoảng thời
gian “đặc biệt” để vật dao động giữa các vị trí “đặc điệt”; từ đó xác định được trạng
thái cuối.
- Có thể yêu cầu học sinh sử dụng đường tròn lượng giác để tính khoảng thời gian
ngắn nhất giữa các vị trí đặc biệt, rút ra bảng tính nhanh thời gian
Lược đồ thời gian

-A


• •
• •



O
A
x
4
T
B
-
KT
-

HD
-
NB
-
CB
NB
+
HD
+
KT
+
B
+
4
T
12
T
8
T
6
T
6
T
12
T
8
T
12
T
12

T
8
T
8
T
6
T
6
T
2
A

2
A
2
A

2
3A

2
A
2
3A



- Lược đồ trên có thể vận dụng cho các hàm điều hoà của dao động điện từ

Dạng 4: Xác định thời điểm

1. Sơ lược về bài toán
- Xác định thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W
t
, W
đ
, F) lần thứ n, hoặc
xác định thời điểm để cường độ dòng điện i (hoặc u, q, W
E
, W
B
) thoả mãn điều kiện nào
đó.
2. Phương pháp truyền thống
Giải bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W
t
, W
đ
, F) lần thứ n
* Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t (Với t > 0 ⇒ phạm vi giá trị
của k )
* Liệt kê n nghiệm đầu tiên (thường n nhỏ)
* Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n
Lưu ý:+ Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm
thứ n
+ Tương tự đối với các bài toán định thời điểm để cường độ dòng điện i (hoặc u,
q, W
E
, W
B
) thoả mãn điều kiện nào đó.

3. Giải pháp đường tròn lượng giác
- Dùng đường tròn lượng giác liên hệ giữa góc pha với các vị trí đặc biêt để:
+ Xác định trạng thái ở gốc thời gian: xác định toạ độ và chiều chuyển động
+ Xác định trạng thái chứa điều kiện cần tính.
- Áp dụng lược đồ tính nhanh thời gian giữa các vị trí đặc biệt.
-Q
0


• •
• •



O
Q
0
2
0
Q

2
0
Q
2
0
Q

2
3

0
Q

2
0
Q
2
Q3
0
x
4
T
B
-
KT
-
HD
-
NB
-
CB
NB
+
HD
+
KT
+
B
+
4

T
12
T
8
T
6
T
6
T
12
T
8
T
12
T
12
T
8
T
8
T
6
T
6
T
U
0
2
U3
0

2
0
U
2
0
U
2
0
U

2
0
U

2
U3
0

-U
0
4. Bài tập mẫu
Bài 1: Một vật dao động theo phương trình
)
4
cos(5
π
π
+=
tx
(cm). Kể từ gốc thời gian

vật đi qua vị trí lực kéo về triệt tiêu lần thứ ba vào thời điểm
A. 2,25 s B. 2,75 s C. 2,5 s D. 2 s
Bài giải:
a) Phương pháp truyền thống
- Lực kéo về (F = - kx) triệt tiêu khi vật đi qua vị trí cân bằng: x = 0
Giải phương trình:
0)
4
cos(5
=+
π
π
t

π
ππ
π
kt
+=+
24

π
π
π
kt
+=
4

kt
+=

4
1
, điều kiện t > 0 nên k = 0,1,2,3
Vật qua vị trí lực kéo về triệt tiêu lần thứ 3 ứng với k = 2 →
25,22
4
1
=+=
t
(s)
b) Sử dụng đường tròn lượng giác
- Chu kỳ T = 2(s)
- Vị trí góc pha ban đầu φ
đ
= φ =
0
45
4
=
π
↔ Vị trí HD
+
, và đi theo chiều âm
- Vị trí lực kéo về triệt tiêu là vị trí cân bằng O,

- Thời điểm vật qua vị trí F = 0 lần thứ 3 là thời điểm vật qua vị trí cân bằng O lần thứ
3. Theo lược đồ thời gian ta có kết quả: t =
25,2
8
=+

T
T
(s)
Bài 2: (TSĐH2008)Dòng điện xoay chiều chạy qua một đoạn mạch có biểu thức
)(
2
100sin2 Ati






+=
π
π
,
t
tính bằng giây (s). Tính từ lúc
)(0 s
, thời điểm đầu tiên mà
dòng điện có cường độ bằng cường độ hiệu dụng là
A.
)(
100
1
s
. B.
)(
300

1
s
. C.
)(
400
1
s
. D.
)(
600
1
s
.
Bài giải:
a) Phương pháp truyền thống
- Giải phương trình
2
1
2
100sin1
2
100sin2
2
0
=







+↔=






+↔=
π
π
π
π
tt
I
i
Suy ra:
50400
1
2
4
1002
42
100
1
k
tktkt
+−=→+−=→+=+
π
π

ππ
ππ
π

50400
1
2
4
1002
4
3
2
100
2
k
tktkt
+=→+=→+=+
π
π
ππ
ππ
π
Suy ra:
50400
1
1
k
t
+−=
> 0 nên k = 1,2,3 và

50400
1
2
k
t
+=
> 0 nên k = 0,1,2



O
x
T
B
-
CB
HD
+
B
+
8
9T
8
T

Thay các giá trị của k vào từng họ nghiệm, giá trị nhỏ nhất ứng với thời điểm đầu
tiên; ứng với k = 0 ở họ nghiệm t
2
. Kết quả
400

1
50
0
400
1
min
=+=
t
(s)
b) Đường trọn lượng giác
- Chu kỳ T = 0,02(s)

- Chuyển phương trình về dạng hàm cosin:
( )
tti
π
π
π
100cos2
2
100sin2
=






+=
- Vị trí góc pha ban đầu φ

đ
= φ =
0 ↔ Vị trí B
+
- Vị trí dòng điện có cường độ bằng cường độ hiệu
↔ Vị trí HD
+

-

Theo lược đồ thời gian ta có kết quả: t =
400
1
8
02,0
8
==
T
(s)
Bài 3: (TSĐH 2007) Xét một dao động điều hòa có phương trình
)(
6
5
cos cmtAx







−=
π
ω
. Gia tốc của vật có độ lớn cực đại khi :
A.
0
=
t
B.
12
5T
t
=
C.
4
T
t
=
D.
6
T
t
=
Bài giải:
- Pha ban đầu
6
5
π

, theo lược đồ đường tròn lượng giác nên trạng thái ban vị trí

KT
-
, và chuyển động theo chiều dương.
- Vị trí gia tốc có độ lớn cực đại là các vị trí B
+
, B
-
- Thời gian ngắn nhất cần tìm
12
5
46
TTT
t =+=
Bài 4: Một tụ điện có điện dung 1µF được tích điện đến một điện áp xác định. Sau đó
nối hai bản tụ điện vào hai đầu một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 1mH. Bỏ qua
điện trở của mạch, lấy π
2
= 10. Chọn mốc thời gian là lúc tụ bắt đầu phóng điện, xác
định thời điểm năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường lần thứ 2?
A.
s
µ
100
. B.
s
µ
75
. C.
s
µ

50
D.
s
µ
25
Bài giải:
- Chu kỳ dao động điện từ
)(10.22
4
sLCT

==
π
- Theo các lược đồ đường tròn lượng giác, ta xác định các vị trí
+ Mốc thời gian t
0
= 0 lúc tụ bắt đầu phóng điện: q = Q
0
, vị trí B
+
+ Vị trí có năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường là vị trí

2
0
Q
q ±=
, (các vị trí HD
+
, HD
-

)
- Thời điểm thứ 2 năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường là

s
TTT
t
µ
7510.7510.5,7
8
3
48
65
====+=
−−


• •
O
x
B
-
CB
HD
+
B
+
8
T

8

T
4
T



O
q
B
-
CB
HD
-
B
+

HD
-

4
T

• •
O
x
B
-
CB
KT
-

B
+
6
T

5. Nhận xét, gợi mở và tổng kết
- Bài toán xác định thời điểm có thể quy về bài toán xác định khoảng thời gian, với
trạng thái đầu là trạng thái ứng với mốc thời gian t
0
= 0.
- Để giải nhanh theo đường tròn lượng giác trước tiên cần biết rõ đặc điểm của
từng đại lượng tại các vị trí đặc biệt. Dựa vào các thông tin các trạng thái ta tìm
được ngay các vị trí. Sau đó vận dụng lược đồ thời gian giữa các vị trí đặc biệt.
Lược đồ đặc điểm các trạng thái trong dao động điện từ và dao động cơ điều hoà



- Kết hợp các lược đồ vị trí và lược đồ thời gian ta có:
+ Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp để W
đ
=W
t
hay W
B
=W
E

4
T
chu kỳ

+ Trong một chu kỳ dao động có 4 lần để W
đ
=nW
t
hay W
B
=nW
E
với n ≠0
- Việc kết hợp lược đồ thời gian và lược đồ đặc điểm các trạng thái giúp chúng ta giải
nhanh các bài toán thời gian.
Dạng 5: Xác định thời gian đèn sáng - tắt
1. Sơ lược về bài toán
- Cường độ dòng điện, điện áp xoay có giá trị thay đổi qua giá trị 0; nên trong mạch
điện có bóng đèn có những khoảng thời đèn sáng, đèn tắt.
Điều kịên đèn sáng:
gh
uu ≥
hay
gh
ii ≥
Điều kiện đèn tắt:
gh
uu <
hay
gh
ii <
2. Phương pháp truyền thống
- Xét điện áp xoay chiều u = U
0

cos(ωt+φ), và trong một chu kỳ T
- Điều kiện đèn sáng:
gh
uu ≥

0
Uuu
gh
≤≤
(1)

gh
uuU −≤≤−
0
(2)


• •
• •



B
-
KT
-
HD
-
NB
-

CB
NB
+
HD
+
KT
+
B
+
V
max
V = 0
V = 0
a
max
a
max
a = 0
F
max
F
max
F = 0
a, F
đổi
chiều
v
đổi
chiều
W

đmax
W
đmin
W
đmin
W
tmin
W
tmax
W
tmax
W
đ
=3W
t
W
đ
=3W
t
W
đ
=W
t
W
đ
=W
t
W
t
=3W

đ
W
t
=3W
đ
Q
0
U
0
i=0
Q
0
U
0
i=0
I
0
q = 0
u = 0
W
Emax
W
Emax
W
Bmax
W
Bmin
W
Bmin
W

Emin
W
B
=W
E
W
B
=W
E
W
B
=3W
E
W
B
=3W
E
W
E
=3W
B
W
E
=3W
B
x,q,u
v
đổi
chiều
Do tính đối xứng của hàm lượng giác nên khoảng thời gian ở bất phương trình (1) và

(2) bằng nhau, ta chỉ giải một.
Trước hết giải các phương trình
gh
uu =

0
Uu =
, từ đó suy ra khoảng thời gian
t

để
điện áp tăng từ
gh
u
đến
0
U
, trong một chu kỳ khoảng thời gian để điện áp giảm từ
0
U
đến
gh
u
cũng bằng
t

.
Vậy trong một chu kỳ thì khoảng thời gian đèn sáng: t
sáng
= 2

t∆
+2
t∆
= 4
t∆
khoảng thời gian đèn tắt: t
tắt
= T - 4
t∆

3. Giải pháp đường tròn lượng giác
- Xác định giá trị
gh
u
rơi vào vị trí đặc biệt nào, suy ra các góc pha
1
ϕ
,
2
ϕ
biểu diễn
thời điểm u =
gh
u
và u = -
gh
u
.
(với
0

1
cos
U
u
gh
=
ϕ

0
2
cos
U
u
gh
−=
ϕ
)
Xét xác nghiệm dương
1
ϕ
,
2
ϕ
- Vẽ trên đường tròn lượng giác các góc
pha
1
ϕ
,
2
ϕ

. Đèn sáng trên các cung AD, BC;
đèn tắt trên các cung AB, CD.
Số đo cung tương ứng đèn sáng α
sáng
= 4φ
1
Số đo cung tương ứng đèn tắt α
tắt
= 2π - 4φ
1
- Trong một chu kỳ T
t
sáng
=
π
2
T
α
sáng
t
tắt
=
π
2
T
α
tắt
- Tỉ lệ thời gian:
tat
sang

tat
sang
t
t
α
α
=
4. Bài tậpví dụ:
Bài 1: Một bóng đèn ống được mắc vào mạng điện xoay chiều tần số 50Hz, điện áp
hiệu dụng U = 220V. Biết rằng đèn chỉ sáng khi điện áp giữa hai cực của đèn đạt giá trị
Vu 2110≥
.
a) Thời gian đèn sáng trong một chu kỳ
b) Thời gian đèn tắt trong một chu kỳ
c) Thời gian đèn sáng trong một giây
d) Thời gian đèn tắt trong một giây
e) Tỉ số thời gian đèn sáng và thời gian đèn tắt trong một chu kỳ
Bài giải:
Sử dụng đường tròn lượng giác
Giá trị
Vu
gh
2110=
, giá trị cực đại
VU 2220
0
=
, nên
2
0

U
u
gh
=
(vị trí NB
+
)
Từ lược đồ pha suy ra góc pha
0
1
60
3
==
π
ϕ

Số đo cung tương ứng đèn sáng: α
sáng
=
0
1
240
3
4
4 ==
π
ϕ
Số đo cung tương ứng đèn tắt: α
tắt
=

0
1
120
3
2
42 ==−
π
ϕπ
Chu kỳ:
)(02,0
50
1
sT ==
Thời gian đèn sáng trong một chu kỳ:
A
u
u
gh
sáng
-U
0
U
0
1
ϕ
D
B
C
sáng
tắt

tắt
-u
gh
2
ϕ
A
u
110
sáng
220
0
60
D
B
C
sáng
tắt
tắt
0
120
-220
-110
0
240
0
300
t
sáng
=
π

2
T
α
sáng
=
)(
75
1
3
2
240
360
s
TT
==
Thời gian đèn tắt trong một chu kỳ:
t
tắt
=
π
2
T
α
tắt
=
)(
150
1
3
120

360
s
TT
==
Thời gian đèn sáng trong một giây: t
)(
3
2
1.
3
2
s==
Thời gian đèn tắt trong một giây: t
)(
3
1
1.
3
1
s==
Tỉ số thời gian đèn sáng và thời gian đèn tắt trong một chu kỳ: 240:120 = 2:1
5. Nhận xét, gợi mở và tổng kết
Lưu ý: Có thể vận dụng lược đồ thời gian kết hợp lược đồ vị trí để tính thời gian đèn
sáng, đèn tắt.
Dạng 6: liên quan đến yếu tố cực trị
1. Sơ lược về bài toán
Ta thường gặp hai loại bài toán sau:
- Bài toán tính quãng đường lớn nhất (nhỏ nhất) vật dao động trong một khoảng thời
gian nào đó: S
Max

,

S
Min
,
- Trong bài toán có chứa thông tin những đại lượng có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất;
như t
Max
,t
Min
, v
tbMax
,v
tbMin
,
2. Phương pháp truyền thống
- Gặp nhiều khó khăn
3. Giải pháp đường tròn lượng giác
* Bài toán tìm S
Max
, S
Min
trong một khoảng thời gian
2
0
T
t <∆<
- Nhận xét: Vật có vận tốc lớn nhất khi đi qua VTCB, nhỏ nhất khi đi qua vị trí biên,
nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng dài khi vật càng gần
VTCB và càng ngắn khi càng gần vị trí biên.

- Trong khoảng thời gian
t∆
góc quét của bán kính chuyển động tròn đều tương ứng:
t∆=∆ .
ωϕ
- Quãng đường lớn nhất S
Max
= P
1
P
2
tương ứng khi vật chuyển động tròn đều trên cung
¼
1 2
M M

=
t∆=∆ .
ωϕ
từ M
1
đến M
2
đối xứng qua trục sin

ax
2Asin
2
M
S

ϕ

=
- Quãng đường nhỏ nhất S
Min
= 2AP tương ứng khi vật chuyển động tròn đều trên cung
¼
1 2
M M
=
t∆=∆ .
ωϕ
từ M
1
đến M
2
đối xứng qua trục cos

2 (1 os )
2
Min
S A c
ϕ

= −
sin
A
-A
M
2

x
2
ϕ

M
1
P
2
P
1
O
x
O
-A
A
P
2
ϕ

M
1
M
2
cos
* Bi toỏn tỡm tc trung bỡnh ln nht, nh nht trong mt khong thi gian

2
0
T
t <<


ax
ax
M
tbM
S
v
t
=

v
Min
tbMin
S
v
t
=

vi S
Max
; S
Min
tớnh nh trờn.
* Bi toỏn cho quóng ng S < 2A, tỡm khong thi gian di nht v ngn nht
- Nhn xột: Vt cú vn tc ln nht khi i qua VTCB, nh nht khi i qua v trớ biờn,
nờn trong cựng mt quóng ng, khong thi gian cng di khi vt cng gn v trớ
biờn v khong thi gian cng ngn khi chuyn ng cng gn xung quanh VTCB.
- Tu thuc bi quóng ng bi toỏn cho i xng xung quanh cỏc VTCB
(v
Max

) hay v trớ biờn (v
Min
). Sau ú xỏc nh v trớ u x
1
v v trớ cui x
2
. Kt hp lc
thi gian ta s tớnh c t
Min
hay t
Max
.
4. Bi tp vớ d:
Bi 1: (TSC 2008). Mt vt dao ng iu hũa dc theo trc Ox, quanh v trớ cõn
bng O vi biờn A v chu k T. Trong khong thi gian
T
4
, quóng ng ln nht
(nh nht) m vt cú th i c l
A. A. B.
3A
2
.
C.
A 3
D.
A 2
.
Bi gii:
Gúc quột:

24
2
4
.


====
T
t
Biu din gúc quột tớnh S
Max
nh hỡnh v
S
Max
=
2
2
2 A
A
=
Biu din gúc quột tớnh S
Min
nh hỡnh v
S
Min
= 2AP =
)22()
2
(2 = A
A

A
Bi 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và tần số f. Thời gian ngắn
nhất để vật đi đợc quãng đờng có độ dài A là
A.
f6
1
. B.
f4
1
. C.
f3
1
. D.
4
f
.
Bi gii: Trờn cựng quóng ng A i trong thi gian ngn nht thỡ vt phi dao
ng xung quanh VTCB nhiu nht.
Chia quóng ng A thnh 2 phn bng nhau i xng qua VTCB.
4

sin
A
-A
M
2
x
M
1
P

2
P
1
O
4

2
A
S
Max
2
A

x
O
A
P
M
1
M
2
cos
4

2
A
Li độ điểm đầu x
1
=
2

A

, li độ điểm cuối x
2
=
2
A
; thời gian ngắn nhất đi hết quãng
đường S = A bằng thời gian ngắn nhất đi từ vị trí NB
-
đến vị trí NB
+
. Từ lược đồ thời
gian suy ra kết quả: t
Min
=
f
TTT
6
1
61212
==+

Bài 3: (TSĐH 2010). Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5
cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc
không vượt quá 100 cm/s
2

3
T

. Lấy π
2
=10. Tần số dao động của vật là: A. 4 Hz. B. 3
Hz. C. 2 Hz. D. 1 Hz.
Bài giải:
- Trong thời gian
t∆
=
3
T
góc quét của bán kính:
0
120
3
2
3
====
π
ωωα
T
t
- Trong dao động điều hoà gia tốc có độ lớn nhỏ nhất ở VTCB, lớn nhất ở vị trí biên.
- Vị trí gia tốc có giá trị
0
aa =
= 100cm/s
2
;
đó là hai vị trí P
1

và P
2
có li độ lần lượt x
1
, x
2

xác định theo điều kiện
0
aa =
Do gia tốc có độ lớn bằng nhau tại hai vị
trí đối xứng nhau qua VTCB, nên P
1
và P
2
đối
xứng nhau qua VTCB:
xxx ==
21

Gọi thời gian ngắn nhất để vật đi từ VTCB
đến P
1
(hoặc P
2
) là t. Theo lược đồ lượng giác khoảng
thời gian
t∆
(để
0

aa ≤
) gấp 4 lần t

Suy ra:
124
)3(
4
4
TTt
ttt ==

=→=∆
Theo lược đồ thời gian: thời gian ngắn nhất từ VTCB đến NB là
12
T
Nên P
1
ở vị trí NB
-
, P
2
ở vị trí NB
+
, vậy
)(5,2
2
21
cm
A
xxx ====

- Do đó:
πωωωω
2401005,2.100
222
0
=⇒=⇔=⇔=⇔= xaa
Hzf 1=⇒
Bài 4: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5
10
cm. Biết
trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn vận tốc không vượt
quá 50 cm/s
2

3
T
. Lấy π
2
=10. Tần số dao động của vật là
A. 4 Hz. B. 3 Hz. C. 2 Hz. D. 1 Hz.
Bài giải:
- Vật có vận tốc lớn nhất khi đi qua VTCB, nhỏ nhất khi đi qua vị trí biên.
- Có thể làm tương tự “bài 3”, khác ở chỗ thời gian được tính từ các vị trí P
1
, P
2
ra
biên.
124
)3(

4
4
TTt
ttt ==

=→=∆
.
A
D
B
C
-2,5
5
-5
2,5
60
0
60
0
60
0
P
2
P
1
12
T
12
T




O
x
B
-
CB
NB
-
B
+

NB
+

×