sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm về cực trị của số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG
XƯƠNG 1 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH
HỌC ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN
TRẮC NGHIỆM VỀ CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

Người thực hiện
: Lê Thị Phương Thảo
Chức vụ
: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực : Toán học

THANH HOÁ, NĂM 2019


MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

1. Mở đầu
1.1

Lý do chọn đề tài

2

1.2

Mục đích nghiên cứu

2

1.3

Đối tượng nghiên cứu

2

1.4

Phương pháp nghiên cứu

2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1
2.2

Cơ sở lí luận:

3

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

3

2.3

Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

4

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

14

3. Kết luận, kiến nghị
3.1

Kết luận

14

3.2

Kiến nghị

14

2

1 – MỞ ĐẦU:
1.1 Lý do chọn đề tài:
Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2019 môn Toán vẫn tiếp tục năm thứ 3
với hình thức thi trắc nghiệm.
Để làm bài trắc nghiệm có hiệu quả thì bài giải không những phải chính
xác mà còn phải nhanh, một trong những yếu tố quan trọng là đánh giá nhanh
vấn đề và nhanh chóng loại bỏ những phương án nhiễu. Để qua đó, chỉ cần kiểm
tra đối chiếu các đáp án còn lại với bài giải.
Trong số các bài toán về số phức trong kì thi THPT Quốc gia gần đây bài toán:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức là một dạng toán khó và xuất
hiện thường xuyên. Chẳng hạn, trong đề thi minh hoạ năm 2018 của Bộ giáo dục
đào tạo: “Cho số phức z = a + bi thoả mãn | z − 4 − 3i = 5 | . Tính P = a + b khi
| z + 1 − 3i | + | z − 1 + i | đạt giá trị lớn nhất” đã làm giáo viên và học sinh khá đau
đầu.
Vì thế, học sinh rất dễ mất bình tĩnh, hoang mang không biết phải nhận
dạng và làm bài toán cực trị của số phức như thế nào, lấy những yếu tố nào là
điểm quan trọng để phát hiện vấn đề. Có rất nhiều phương pháp để giải quyết
bài toán này. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy chương số phức lớp 12, thông
qua nghiên cứu tài liệu tham khảo, tôi rút ra một phương pháp giúp học sinh giải
quyết vấn đề trên nhanh và chính xác . Và đã viết thành một sáng kiến kinh
nghiệm có tên: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương 1 sử
dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm về bài
toán cực trị của số phức”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này góp phần trang bị thêm dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệu
trực quan của các dạng bài cực trị của số phức; kĩ năng phán đoán, phân tích
nhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh: tư duy phân tích,
tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giải quyết một vấn đề
luôn luôn tìm tòi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt

để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng trong chương số phức của chương trình giải tích lớp
12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắc
nghiệm về cực trị của số phức, tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ
những kiến thức nào đã học, trình bày bài số phức rồi mới nhận dạng có dài, mất
thời gian hay không ? Có giải quyết được vấn đề hay không ? Có gặp khó khăn
gì không? Từ đó khuyến khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc
trưng có thể làm dấu hiệu nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để.
Để học sinh tiếp cận vấn đề, tôi đưa các bài toán đặc trưng từ cơ bản rồi
mới mở rộng lên bài toán cực trị của số phức thông qua hệ thống kiến thức liên
quan, nhận xét dấu hiệu nhận biết đặc trưng, đến các bài toán cụ thể để học sinh
3


hình dung một cách trực quan và biết cách sử dụng phương pháp hình học vào
các bài toán đó để đưa ra được phương án trả lời nhanh và chính xác nhất.
2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lí luận:
Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:
a)Biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức z = x + iy ( x, y ∈ R ) được biểu diễn trong mặt phẳng Oxy là
một điểm M ( x; y ) . Khi đó:
uuuu
r
+) Môđun của số phức z bằng OM .
+) Hai điểm biểu diễn của số phức z và số phức liên hợp của số phức z đối
xứng nhau qua trục hoành.

+) Hai điểm biểu diễn số phức z và số phức đối - z của số phức z đối xứng
nhau qua gốc O.
Nhận xét 1: (Ý nghĩa hình học của phép cộng, phép trừ hai số phức).

Cho z1 = x1 + y1i là số phức có điểm biểu diễn hình học là M1( x1; y1) với
uuuuu
r
| OM1 |= x12 + y12 . Cho z2 = x2 + y2i là số phức có điểm biểu diễn hình học là
uuuuur
M1(x2;y2) với | OM 2 |= x22 + y22 . Khi đó:
uuuuu
r uuuuur uuur
Tổng hai số phức z1 + z2 = OM1 + OM 2 = OQ thì điểm Q là điểm biểu diễn số
phức z1 + z2 và z1 + z2 = |OQ|.
uuuuu
r uuuuur uuuuuur
uuuuuur
Hiệu hai số phức z1 − z2 = OM1 − OM 2 = M 2 M1 thì M 2 M1 biểu diễn số phức
uuuuuur
z1 − z2 và | z1 − z2 |= M1M 2 .
uuuuu
r
uuuuur
Nếu hai vecto OM1 và OM 2 không cùng phương thì đỉnh Q là đỉnh của hình
bình hành OM1QM2 và z1 − z2 và | z1 + z2 | lần lượt là độ dài hai đường chéo
M1M2 và OQ của hình bình hành đó.

4

Nhận xét 2: (Một số kiến thức bổ sung).
+)Phương trình đường thẳng ax + by + c = 0.
+) Phương trình đưòng tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2.
x2 y2
+) Phương trình Elip : 2 + 2 = 1
a
b
+) Phương trình Parabol y = ax2
b)Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z
Giả sử M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, a, b.
+) | z − a |=| z − b |<=> MA = MB . Khi đó tập hợp M là đường thẳng trung trực
của đoạn AB.
+) |z - a| = R <=> |MA| = R. Khi đó tập hợp M thuộc đưòng tròn tâm A, bán kính
R.
+) |z - a| + |z - b| = k <=> MA + MB = k (k>0, k ∈ R, |a - b| < k). Khi đó tập
hợp
M là đưòng Elip nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Số phức là một trong những nội dung quan trọng chương trình toán lớp12
và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Bài toán về cực trị của số phức
là phần thể hiện rõ việc nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng là
phần thể hiện được kĩ năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổng hợp
kiến thức của học sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề.
Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức thoạt nhìn thì có vẻ đơn
giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì thời gian
giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh, và
tiêu tốn thời gian dành cho những câu trắc nghiệm khác.
Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12T3 tôi trực tiếp
giảng dạy năm học 2017 - 2018 trường THPT Quảng Xương 1, kết quả như sau:
Năm

Lớp

Sĩ số

Số học sinh
trả lời chính
xác

2017- 2018

12T3

48

20

Số học sinh trả lời chính
xác trong 30s – 1p
10

Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách
giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK. Song song với việc cung cấp tri
thức, tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán, tính toán
với các điểm cực trị, tương giao giữa các đồ thị hàm số đã có trên hình vẽ, phát
triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này
mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác.
2.3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề:
Để làm bài toán về cực trị của số phức, học sinh có thể dựa trên cách làm
tuần tự các bước giải tự luận như đã học, Tuy nhiên cách làm trên lại gặp khó

khăn do thời gian để xử lí bốn phương án trả lời sẽ mất quá nhiều thời gian và
5


mệt mỏi, học sinh tự đặt câu hỏi có thể dựa trên một số đặc điểm đặc trưng nào
của các dạng đồ thị hàm số biểu diễn hình học của số phức để tìm được phương
án chính xác một cách nhanh nhất.
Sau đây ta sẽ xét một số dạng bài toán quen thuộc và phương pháp hình
học giải nhanh câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức, tôi đưa ra một số bài
toán cơ bản và ví dụ minh hoạ, trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫn học sinh
cách phân tích sử dụng phương pháp hình học phù để đưa ra cách giải đúng và
ngắn gọn nhất:
2.3.1. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z.
Bài toán 1 : (Đề thi minh họa THPT Quốc gia 2017). Cho số phức z thoả
mãn z = 4 . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z = (3 + 4i)z + i là
đưòng tròn tâm I bán kính R khi đó:
B. I (1;0); R = 10
A. I (0;1); R = 2 5
C. I (0;1); R = 20
D. I (1; −2); R = 22
Lời giải .

Từ giả thiết z = (3 + 4i ) z + i <=>| z − i |=| (3 + 4i ) z |<=>| z − i |= 32 + 4 2 | z |
<=>| z − i |= 5.4 <=>| z − i |= 20 .
Giả sử: z = x + yi thì ta có x 2 + ( y − 1) 2 = 20 .
Tập hợp điểm M trong mặt phẳng là đường tròn tâm I(0;1) bán kính R = 20
Đáp án đúng là A.
Bài toán 2: (Đề thi thử THPT Quốc gia 2018 lần 1 của trường THPT Trần
2 z − z + 3i
= 3 . Tập hợp các điểm

Phú - Quảng Ninh). Cho số phức z thoả mãn
z +i
biểu diễn trong mặt phẳng phức là:
A.Một Parabol
B. Một đưòng tròn
C.Một Elip
D.Một đưòng thẳng.

6


Lời giải: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R ) suy ra z = x − yi . Từ giả thiết ta có:
x + (3 − 3 y )i
= 3 <=> x 2 + (3 − 3 y ) 2 = 9( x 2 + ( y + 1) 2 ) <=> −8 x 2 = 36 y <=>
x + ( y + 1)i
2
y = − x2
9

Tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là một Parabol.
Đáp án đúng là A.
Bài toán 3 : (Toán học tuổi trẻ, 478(2017)). Cho tập hợp các điểm biểu
diễn số phức z thoả mãn | z + 2 | + | z − 2 |= 5 trên mặt phẳng toạ độ là:
A. Một Parabol
B.Một đưòng tròn
C.Một Elip D. Một đưòng thẳng.
Lời giải: Gọi số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) . Từ giả thiết ta có
| ( x + 2) + yi | + | ( x − 2) + yi |= 5 <=>| MA | + | MB |= 5 với F1(−2;0); F2 (2;0)

Tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là Một Elip. Đáp án đúng là

C.
Bài toán 4 : Điểm M biểu diễn số phức z ( z ≠ 0) và điểm M’ biểu diễn số
1
phức z −1 = . Nếu điểm M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính
z
R = 2 thì M’ di động trên đường nào?
B. 2 x + 2 y + 1 = 0
A. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y = 0
C. 2 x − 2 y + 1 = 0
D. 2 x + 2 y − 1 = 0

7


x

x
'
=

z
x2 + y 2

−1 1
z
=
=
Lời giải: Ta có:
. Do đó 
z | z |2

y
y' =

x2 + y 2

Vì M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R = 2 nên tập hợp M thuộc
( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 = 2 <=> x 2 + y 2 + 2 x − 2 y = 0
2x
2y
<=> 1 + 2
− 2
<=> 2 x '− 2 y '+ 1 = 0
2
x +y
x + y2
Do đó điểm M’ chạy trên đường thẳng 2 x − 2 y + 1 = 0 . Đáp án đúng là C.
Bài toán 5 Biết số phức z thoả mãn điều kiện 3 ≤| z − 3i − 1|≤ 5 . Tập hợp
các điểm biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó
bằng:
A. 16π
B. 4π
C. 9π
D. 25π
Lời giải: Đặt z = x + yi ta có | z − 3i − 1|= ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 . Do đó
3 ≤| z − 3i − 1|≤ 5 <=> 0 ≤ ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 ≤ 25

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình phẳng nằm trong đường tròn tâm
I(1;3) với bán kính bằng r = 5 đồng thời nằm ngoài đường tròn tâm I(1;3) với
bán kính r = 3. Diện tích của hình phẳng đó là S = 52 π − 32 π = 16π . Đáp án
đúng là A.

*Bài tập tự luyện:
8


Bài 1: Cho các số phức z thoả mãn |z| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn
các số phức w = 3 - 2i + (2 - i)z là một đường tròn. Tính bán kính r của đường
tròn đó.
A. 20
C. 7
B. 20
D. 7
Bài 2: Cho các số phức z thoả mãn |z - 1| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu
diễn các số phức w = (1 + i 3) z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính r của
đường tròn đó.
A. r=4
B. r=5
C. r=20
D. r=22
3 + 4i
Bài 3: Điểm biểu diễn số phức z = 2019 có toạ độ là:
i
A. (0;5)
B. (4;-3)
C.(-4;3)
D. (5;0)
Bài 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng toạ độ thoả mãn
điều kiện |z - i| = 1 là:
A. Đường thẳng đi qua hai điểm A(1;1) và B(-1;1)
B. Hai điểm A(1;1) và B(-1;1)
C. Đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1

D. Đường tròn tâm I(0;-1) bán kính R=1.
Bài 5:Toạ độ điểm M biểu diễn trong mặt phẳng Oxy của số phức
3 − 5i
z=
+ 7 − 2i
1− i
A. M(11; - 3)
B. M(11; 3)
C. M(11;3)
D. M(3;11)
Bài 6: Cho số phức z thoả mãn 2 | z − 2 + 3i |=| 2i − 1 − 2 z | . Tập hợp các điểm
biểu diễn cho số phức z là:
A. Một parabol
B. Một đường tròn C. Một Elip
D. Một đường thẳng
|
z
−
2
i
|
=
3
Bài 7 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức
là đường tròn tâm I. Tìm tất
cả các giá trị m để khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d : 3x + 4 y − m = 0
1
bằng .
5
A. m = -7; m = 9

B. m = 8; m = - 8 C. m = 7; m = 9
D. m = 8; m = 9
Bài 8 : Cho điểm A, B, C theo thứ tự là điểm biểu diễn của ba số phức phân biệt
z1, z2 , z3 thoả mãn |z1|=|z2|=|z3|=1 và z1 + z2 + z3= 0. Tính diện tích S tam giác
ABC.
2.3.2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z
Bài toán 1 : Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = 5 . Giá trị nhỏ nhất
của z là:
A. 3 5
B. 5
C. 5
D. 13
Lời giải: Tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm I ( 2; 4 ) và bán kính

R = 5 min z = ON = OI − R = 22 + 4 2 − 5 = 5.
Đáp án đúng là C.
9


Bài toán 2: Nếu các số phức z thỏa mãn ( 1 + i ) z + 1 − 7i = 2 thì z có giá trị
lớn nhất bằng:
A. 4.
B. 3.
C. 7
D. 6.
1 − 7i 

Lời giải: Ta có: ( 1 + i ) z + 1 − 7i = 2 ⇔ ( 1 + i )  z +
÷= 2
1+ i 


⇔ 1 + i z − ( 3 + 4i ) = 2 z − ( 3 + 4i ) = 2 ⇔ z − ( 3 + 4i ) = 1
Tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn có tâm I ( 3;4 ) và bán kính R = 1
Vậy max z = OI + R = 32 + 42 + 1 = 6 ⇒ Đáp án đúng là D.
Bài toán 3 : Trong số phức z thỏa mãn z − 5i ≤ 3 , số phức có z nhỏ nhất
thì có phần ảo bằng bao nhiêu?
A. 4.
B. 0.
C. 3.
D. 2.
Lời giải:
Tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn có tâm I ( 0;5 ) và bán kính R = 3.
Vì z = OM nên số phức z có môđun nhỏ nhất là z = 2i ứng với điểm M 1 ( 0;2 ) .
⇒ Đáp án đúng là D.
Bài toán 4: (Câu 46 Đề thi mẫu THPTQG của Bộ giáo dục năm 2018).
Cho số phức z = a + bi thoả mãn điều kiện | z − 4 − 3i |= 5 . Tính giá trị biểu
thức P = a + b khi
|z + 1 - 3i|+|z - 1 + i| đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 10
B. P = 4
C. P = 6
D. P = 8
Lời giải:
Với z = a + bi ta có | z − 4 − 3i |= 5 <=> (a − 4) 2 + (b − 3) 2 = 5 . Các điểm
M biểu diễn số phức z thoả mãn hệ thức đã cho nằm trên đường tròn tâm I(4;3)
và bán kính R = 5 . Khi đó T = |z + 1 - 3i| + |z - 1 + i|.
T = |(a + 1) + (b - 3)i| + |(a - 1) + (b + 1)i| <=> T = MA + MB với A(-1; 3);
B(1; -1). Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B với đường tròn tâm I(4;3) và bán
kính R = 5 .

Ta tính được IA = IB = 5 > 5 suy ra điểm A, B nằm ngoài đường tròn tâm I.
10


Mặt khác T2 = (MA + MB)2 ≤ (1 + 1)(MA2 + MB2) = 4DM2 + AB2 ≤ 4DK2 + AB2
(Với D là trung điểm đoạn thẳng AB)
Dấu bằng xảy ra khi M ≡ K <=> D, I, K thẳng hàng.
Tìm toạ độ K. Ta có DI = 16 + 4 = 20, DK = DI + R = 20 + 5 = 3 5
uuur uur
uuur DK uur
uuur 3 5 uur 3 uur
DK DI
=
<=> DK =
DI <=> DK =
DI = DI
Suy ra
DK DI
DI
2
20
Với M(a;b) thì a=6 và b=4. Do giá trị lớn nhất của biểu thức T 2 là 4DK2 + AB2
khi và chỉ khi M(4;6). Suy ra P=10. Đáp án đúng là A.
Bài toán 5: ( Trường THPT Lê Quý Đôn - Đống Đa - Hà Nội năm 2018)
Cho số phức z thoả mãn điều kiện | z − 2i |= z + 2 . Tính giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =| z + 2i | + z − 5 + 9i .
A. 3 10
B. 70
C. 74
D. 4 5

Lời giải: Với z = x + yi ta có |z - 2i| = |z + 2| <=> x + y = 0 . Các điểm M
biểu diễn số phức z thoả mãn hệ thức đã cho nằm trên đường thẳng x + y = 0.
Khi đó P =| z + 2i | + | z − 5 + 9i |= x 2 + ( y + 2) 2 + ( x − 5) 2 + ( y + 9) 2 .
<=> P = MA + MB với A(0; −2); B (5; −9)

Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B với đường thẳng ∆ :x + y = 0 với
f(x;y) =x+y, ta có f(0;-2).f(5;-9) = 8> 0, suy ra A, B nằm cùng phía với đường
thẳng ∆. Gọi điểm C đối xứng với điểm A qua đường thẳng ∆ thì P = MA + MB
= MC + MB ≥ BC. Dấu bằng xảy ra khi M ≡ M1 <=> C,M1, B thẳng hàng.
Giá trị lớn nhất của biểu thức P là P = BC = 32 + (−9) 2 = 3 10 .
Đáp án đúng là A
Bài toán 6:(Đề thi thử THPT Quốc gia của trường THPT chuyên Lào Cai
năm 2018). Cho số phức z thoả mãn điều kiện | z + 1 − 5i |=| z + 3 − i | . Giả sử số
a
phức có môđun nhỏ nhất có dạng P= a + b. Khi đó S = bằng bao nhiêu?
b
2
1
1
3
C. S =
D. S =
A. S =
B. S =
3
3
4
2
11

Lời giải: Với z = a + bi ta có | z + 1 − 5i |=| z + 3 − i |<=> a + 3b − 4 = 0 hay
M nằm trên đường thẳng d: x + 3y - 4 = 0.
Số phức z có môđun nhỏ nhất <=> OM có độ dài ngắn nhất, mà OM≥OH (với
H là chân đường vuông góc của gốc toạ độ O trên đường thẳng d) nên OM ngắn
nhất khi M≡ H. Ta đi tìm toạ độ điểm H(a;b), vì H nằm trên đường thẳng d: x +
1
2 6
3y - 4 = 0 hay toạ độ H  ; ÷, suy ra S = . Đáp án đúng là B
3
5 5

Bài toán 7: (Đề thi thử THPTQG của trường đại học Vinh khối chuyên
năm 2018). Cho số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện |iz + 2 - i| = 1 và |z1 - z2|=2.
Giá trị lớn nhất của biểu thức P=|z1|+|z2| bằng:
A. 4
D. 3
C. 3 2
B. 2 3
Lời giải: Từ giả thiết ta có | iz − 2 − i |= 1 <=> ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 1 và
M1M2 = 2. Với các điểm M1, M2 biểu diễn hai số phức z1,z2 trên mặt phẳng phức
thoả mãn hai hệ thức trên nên M 1, M2 nằm trên đường tròn tâm I (1; 2) bán
kính R = 1 và M1M2 đi qua tâm I của đường tròn. Khi đó P = |z 1|+|z2|=OM1 +
OM2 . Theo công thức đường trung tuyến trong tam giác OM1M2 ta có:

2
OM12 + OM 22 M1M 22
2
2
2 M1M 2

OI =
−
<=> OM1 + OM 2 = 2OI +
2
4
2
Mặt khác
2

12


2

P = (OM1 + OM 2 )

2

≤ (1 + 1)(OM12

+ OM 22 ) = 2OI 2

M1M 22
+
= 2(2.3 + 2) = 16
2

Suy ra P≤4. Đáp án đúng là A
Bài toán 8 : (Toán học tuổi trẻ số 491 năm 2018). Cho số phức z thoả
mãn điều kiện | z − 1 + 2i |= 5 . Khi đó số phức w = z + 1 + i có môđun lớn nhất |

w|max bằng:
A. 20
D. 5 2
B. 2 5
C. 5
Lời giải: Từ giả thiết ta có | iz + 2 − i |= 1 <=> ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = 5 .
Điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng nằm trên đường tròn tâm I(1;-2) bán
kính R = 5 .

Khi đó |w| = ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 <=>| w |= MA với A(-1;1). Mà MA≤M1A nên |w|
bằng 2 R = 2 5 khi M≡ M1. Đáp án đúng là B
Bài toán 9: (Toán học tuổi trẻ số 491 năm 2018)
Cho hai số phức z1, z2 đồng thời thoả mãn hai điều kiện | z − 1|= 34 và
| z + 1 + mi |=| z + m + 2i | (m ∈ R ) sao cho |z1 - z2| là lớn nhất. Khi đó giá trị của
|z1 + z2|bằng:
C. 2
D. 10
A. 2
B. 130
Lời giải: Gọi điểm M1, M2 biểu diễn số phức z1,z2 trên mặt phẳng thì |z1 z2| = M1M1, mà theo giả thiết hai số phức z1,z2 đồng thời thoả mãn hai điều kiện
| z − 1|= 34 và | z + 1 + mi |=| z + m + 2i | (m ∈ R ) .
max

13


Nên toạ độ M1, M2 là giao điểm của đường tròn ( x − 1) 2 + y 2 = 34 và đường
thẳng 2 x + 1 + 2my + m 2 = 2 xm + m 2 + 4 y + 4 <=> 2(m − 1) x + (4 − 2m) y + 3 = 0
Vậy |M1M2| lớn nhất khi M1M2 đi qua tâm I(1;0). Hay |z1 + z2|=2OI =2.
Đáp án đúng là C

Bài toán 10: (Đề minh hoạ THPTQG năm 2017). Xét số phức z thoả mãn
| z + 2 − i | + | z − 4 − 7i |= 6 2 . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của |z-1+i|. Tính P=m + M.
5 2 + 2 73
A. P = 13 + 73
B. P =
2
5 2 + 73
C. P = 5 2 + 2 73
D. P =
2
Lời giải: Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z. Các điểm A(-2;1), B(4,7);
C(1;-1) . Ta có | z + 2 − i | + | z − 4 − 7i |= 6 2 <=> MA + MB = 6 2 , mà
AB = 6 2 => MA + MB = AB Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB.

đường thẳng AB: y = x + 3 , với x ∈ [-2;4] ;
5 CB = 73; CA = 13 => CM
max = CB = 73
CM min = d (C ; AB ) =
,
2
5 2 73 + 5 2
vậy P = 73 +
=
. Chọn đáp án B.
2
2
*Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho các số phức z thoả mãn | z − (1 + 5i ) |=| i z − 1 + 3i | . Tìm giá trị nhỏ
nhất của |z|.

B. 2
C. 1
D. 2
A. 3
Bài 2: Biết số phức z = a + bi (a,b ∈ R) thoả mãn điều kiện |z-2-4i|=|z-2i| có
môđun nhỏ nhất. Tính M = a2 + b2. .
A. M=10
B. M= 16
C. M= 26
D. M=8
Bài 3: Cho số phức z thay đổi và luôn thoả mãn |z - 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn
nhất Pmax của biểu thức P = |z|.
A. Pmax = 12
B. Pmax = 5
C. Pmax = 9
D. Pmax = 3
Phương

trình

14


Bài 4: Cho số phức z thoả mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = | z - 2i|. Tìm số phức z có
môđun nhỏ nhất.
A. z=-1+i
B.z= -2+i
C. z = 2+2i
D. z= 3+2i
Bài 5 : Cho số phức z thoả mãn ( z + 3 − i )( z + 1 + 3i ) là một số thực. Tìm giá trị

nhỏ nhất của z.
2
A. 2
B. 2 2
C. z=2
D.
2
Bài 6 : Trong các số phức z thoả mãn điều kiện |z - 2 - 4i| = |z-2i|. Tìm số phức z
có môđun bé nhất.
A. z= 2+i
B. z = 3+I
C. z = 2+2i
D. z = 1+3i
i−m
, m ∈ R . Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k
Bài 7 : Cho số phức z =
1 − m( m − 2i )
sao cho tồn tại m để |z + 1| ≤ k .
5 −1
5 +1
A. k =
B. k = 0
C. k =
D. k = 1
2
2
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp trên trong một số
bài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học
sinh các lớp kết quả như sau:

Năm

Lớp

Trước khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
Sĩ
trả lời
xác trong
số chính xác
30s – 1p

201712T3 48
2018

20

10

Sau khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
trả lời chính
xác trong
xác
30s – 1p

42

35

3 – KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận:
Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán lớp
12T3, trường THPT Quảng Xương 1, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất
hứng thú với môn học, và nay lại giải quyết được một loại câu hỏi trắc nghiệm
một cách đơn giản, dễ hiểu. Chính vì các em cảm thấy hứng thú với môn học
nên tôi nhận thấy chất lượng của môn Toán nói riêng, và kết quả học tập của các
em học sinh nói chung được nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo
dục của nhà trường. Ngoài ra các em cũng học được cách tìm tòi, khám phá và
tự đặt ra câu hỏi và tìm cách giải quyết vấn đề đó như thế nào nhanh gọn, chính
xác và hiệu quả nhất.
3.2. Kiến nghị:

15


- Đối với nhà trường, đồng nghiệp khi giảng dạy phần số phức và nhất là
khi hướng dẫn cho học sinh thực hiện trắc nghiệm phần này, nên để ý hơn đến
việc hướng dẫn học sinh biết cách rút ra các đặc điểm và dấu hiệu nhận biết đặc
trưng của các hàm số.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 15 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung

của người khác.

Lê Thị Phương Thảo

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Giải tích cơ bản và Giải tích nâng cao 12
[2]. Huỳnh Văn Minh(2018), giải toán số phức bằng phương pháp toạ độ, Tạp
chí toán học tuổi trẻ.
[3]. Chuyên đề Trắc nghiệm Số Phức của tác giả Đặng Việt Đông.
[4]. Rèn luyện kĩ năng giải bài tập tự luận và trắc nghiệm Giải tích 12 của tác giả
Lương Mậu Dũng – Nhà xuất bản Giáo dục.
[5]. Các bài thi Olympic toán Trung học phổ thông Việt Nam, Nhà xuất bản giáo
dục 2006.

17