Chương 3 hệ phương trình tuyến tính

CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1

Các khái niệm cơ bản về hệ PTTT

2

Các phương pháp giải hệ PTTT

3

Khảo sát hệ PTTT

4

Một số mơ hình tuyến tính trong kinh tế


Bài 1.
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1. Khái niệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát
2. Ma trận hệ số và ma trận mở rộng
3. Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính
4. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
5. Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương

6. Các phép biến đổi sơ cấp
7. Hai loại hệ pt tuyến tính đơn giản (tam giác, hình thang)

1. Khái niệm hệ phương trình tuyến tính
K/N: Hệ phương trình tuyến tính của n ẩn số x1,x 2 ,…,x n
có dạng:
 a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n
= b1

 a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n
= b2


 am1x1

+ am2 x 2

là hệ

+ ... + amn x n = bm

Trong đó:

aij là hệ số của ẩn x j trong phương trình thứ i;
bi là hệ số tự do của phương trình thứ i.
Ví dụ: Cho hệ phương trình tuyến tính 3 phương trình, 4 ẩn số:

 2x1 + 3x 2

 -x1 + 2x 2
3x + x
 1
2

-

4x 3

+

x4

=

+ 5x 3

-

2x 4

= -3

+ 2x 3

+ 3x 4

=

2
1


2. Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

ĐN: Xét hệ phương trình tuyến tính:
 a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n
 a x + a x + ... + a x
 21 1
22 2
2n n

...
...
...
 ...
am1x1 + am2 x 2 + ... + amn x n

=

b1

= b2
...
= bm

Ta gọi các bảng số được ký hiệu và xác định như sau

 a11 a12
a11 a12 ... a1n

a

a

...
a
a 21 a 22
21
22
2n


A=
và A =


 ...
...
a


a
...
a
m1
m2
mn

 m n
 am1 am2

... a1n b1 

... a 2n b2 

... ... ... 

... amn bm m×(n+1)
tương ứng là ma trận hệ số và ma trận mở rộng của hệ phương
trình đã cho.


2. Ma trận hệ số và ma trận mở rộng
Ví dụ 1:

Xét hệ phương trình  2x + 3y - 4z = -2

= 5
 -x + 2y
3x - y + 2z = 3

Ma trận hệ số và ma trận mở rộng của hệ này là:

 2 3 -4 
 2 3 -4 -2 
 -1 2 0 5 
A =  -1 2 0  và
A
=




 3 -1 2 
 3 -1 2 3 





Ví dụ 2: Viết hệ phương trình có ma trận mở rộng là:
 -2 1 3 -1
A =  2 -1 2 3 


 3 2 -1 4 


Hệ phương trình này là:
-2x + y + 3z = -1

 2x - y + 2z = 3
 3x + 2y - z = 4



3. Các dạng biểu diễn của hệ phương trình tuyến tính:
Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn x1, x2,…, xn,
có thể biểu diễn dưới 3 dạng:
a. Dạng khai triển:  a x + a x + ... + a x = b
11 1
12 2
1n n
1
 a x + a x + ... + a x = b
 21 1

22 2
2n n
2

...
...
...
...
 ...
am1x1 + am2 x 2 + ... + amn xn = bm
b. Dạng ma trận:
AX = B
Trong đó A là ma trận hệ số; X là ma trận cột các ẩn; B là ma
trận cột số hạng tự do
c. Dạng vectơ:
x1A1c + x 2 A c2 + ... + x n A cn = B

NX: Hệ phương trình có nghiệm  vectơ B biểu diễn tuyến tính
qua hệ vectơ cột của ma trận A.
Khi đó nghiệm của hệ là các hệ số của sự biểu diễn tuyến tính đó


4. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
ĐN: Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn số x1,x 2 ,…,x n

là bộ gồm n số thực có thứ tự α1,α2 ,…,αn sao cho khi gán

x1 = α1,x 2 = α2 ,…,x n = αn thì nó thỏa mãn tất cả các phương
trình của hệ.
Ký hiệu:

Có 3 cách viết nghiệm của hệ:

Cách 1:

( x1 = α1,x 2 = α2 ,…,x n = αn )

Cách 2:

( α1,α2 ,…,αn )

Cách 3:

 x1 = α1
x = α
 2
2

 ... ... ...
 x n = αn


5. Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương
ĐN1: Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau
được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
ĐN2:

Một phép biến đổi biến một hệ phương trình thành một hệ
khác tương đương với nó được gọi là phép biến đổi tương
đương.

6. Các phép biến đổi sơ cấp
ĐN:

Các phép biến đổi sau đây đối với một hệ phương trình
tuyến tính được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

Phép 1: Đổi chỗ hai phương trình của hệ;
Phép 2: Nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số ≠ 0
Phép 3: Biến đổi một phương trình của hệ bằng cách “cộng vào 2
vế của nó bội hai vế tương ứng của một phương trình
khác”.
Định lý:
Các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi tương đương.


7. Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản
a. HỆ TAM GIÁC
ĐN Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác của n ẩn số x1,
x2,...,xn là hệ phương trình có dạng:
 a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn = b1

a22 x 2 + ... + a2n xn = b2




ann xn = bn
trong đó aii ≠ 0 với i = 1, 2,..., n

Đặc điểm của hệ tam giác:
• Số phương trình bằng số ẩn;
• Từ trên xuống dưới các ẩn mất dần;
• Phương trình cuối cùng có 1 ẩn.

Cách giải: Thế từ phương trình dưới lên trên, ta tìm được nghiệm .
NX: Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác có nghiệm duy nhất.


7. Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản
b. HỆ HÌNH THANG
ĐN: Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang của n ẩn số x1,
x2,...,xn là hệ có dạng:

 a11x1 + a12 x 2 + ... + a1m x m + ... + a1nx n = b1


a22 x 2 + ... + a2m x m + ... + a 2nx n = b2

...
...
...
...
...


amm x m + ... + amn x n = bm
trong đó aii  0,

i = 1,2,…,m.

Đặc điểm của hệ hình thang:
• Số phương trình nhỏ hơn số ẩn (m < n);
• Từ trên xuống dưới các ẩn mất dần;

• Phương trình cuối cùng có nhiều hơn 1 ẩn.


Cách giải: Xét hệ hình thang:

a11x1 + a12 x 2

a22 x 2


...



+ ... +

a1m xm

+ ... + a2m xm
...

...
amm xm

+ ... +

a1n xn

+ ... + a2n xn
...

...

+ ... + amn xn

=

b1

= b2
...
= bm

Trong hệ hình thang trên:
Các ẩn x1, x2,...,xm được gọi là các ẩn chính;
Các ẩn xm+1,...,xn được gọi là các ẩn tự do.

Bước 1: Gán cho ẩn tự do giá trị thực tùy ý xm+1 = αm+1 ... xn = αn
Bước 2: Chuyển hệ thành hệ tam giác với các ẩn chính, giải hệ tam
giác này sẽ được NGHIỆM TỔNG QUÁT của hệ đã cho.


Bài 2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

I

• Hệ Cramer và phương pháp
định thức (Đọc thêm)

II

• Phương pháp khử ẩn liên
tiếp


I. Hệ Cramer và phương pháp định thức (quy tắc Cramer)
1. K/N hệ Cramer: Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình
tuyến tính với số phương trình bằng số ẩn và định thức của ma trận
hệ số khác 0:

a11x1
a x
 21 1

 ...
an1x1

+ a12 x 2

+ ... + a1n x n

= b1

+ a22 x 2

+ ... + a2n x n

= b2

+

+ ... +

=

...

+ an2 x 2

...

+ ... + ann x n

...

= bn


I. Hệ Cramer và phương pháp định thức (quy tắc Cramer)
2. ĐLý Cramer : Hệ phương trình Cramer

 a11x1 + a12 x 2
a x + a x
 21 1

22 2

...
 ...
 an1x1 + an2 x 2

+ ... + a1n xn

= b1

+ ... + a2n xn = b 2
...

...

+ ... + ann xn

...
= bn

có nghiệm duy nhất và được xác định như sau:

d1
d2
di
dn 

x
=
,x

=
,...,x
=
,...,x
=
2
i
n
 1

d
d
d
d

Trong đó:
✓ d là định thức của ma trận hệ số A: d = |A|;
✓ dj là định thức cấp n có được từ d bằng cách thay cột j
bởi cột số hạng tự do.
j = 1, 2,..., n


II. Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Xét hệ phương trình:

 a11x1 + a12 x 2
a x + a x
 21 1
22 2


...
 ...
am1x1 + am2 x 2

ai1
Lấy pt(1) nhân với a11

+ ... +

a1n xn

+ ... + a2n xn
...

...

+ ... + amn xn

=

b1

= b2
...
= bm

rồi cộng vào pt(i), i = 2,…,m.

Trong quá trình khử trên mà xuất hiện pt:
Nếu b = 0 thì loại pt khỏi hệ;

0.x1 + 0.x 2 +...+ 0.xn = b

Nếu b ≠ 0 thì hệ pt vô nghiệm.


II. Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Chú ý:
Việc thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hệ sẽ được
thay bằng thực hiện các phép biến đổi sơ cấp tương ứng
trên ma trận mở rộng của nó. Cụ thể:
Đổi chỗ 2 phương trình của
hệ;

Đổi chỗ 2 dịng tương ứng
của ma trận;

Nhân 2 vế phương trình với
số α ≠ 0;

Nhân dịng tương ứng với
số α;

Cộng vào phương trình (i) bội
k lần phương trình (j);

Cộng vào dịng (i) bội k lần
dòng (j);

II. Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
 x + 3y - 2z = 1

 2x - y + 3z = 9
 -3x + y + z = 2
Giải:

Biến đổi ma trận mở rộng ta được:
 1 3 -2 1  x(-2)x(3)
A =  2 -1 3 9 


 -3 1 1 2 



 1 3 -2 1
 0 -1 1 1


 0 0 1 3



 1 3 -2 1
 0 -7 7 7


 0 10 -5 5 




 1 3 -2 1
 0 -1 1 1


 0 2 -1 1



Ta được hệ pt  x + 3y - 2z = 1

=> nghiệm của hệ là: (1, 2, 3)






- y+ z =1
z=3


Bài 3
KHẢO SÁT HỆ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

I

II

• Điều kiện có nghiệm
• Khảo sát hệ PTTT


I. Điều kiện có nghiệm:
Xét hệ phương trình m phương trình, n ẩn x1, x2,…, xn.
 a11x1 + a12 x 2
a x + a x
 21 1
22 2

...
 ...
am1x1 + am2 x 2

+ ... +

a1n xn

+ ... + a2n xn
...

...

+ ... + amn xn

=

b1

= b2
...
= bm

Hệ phương trình trên có 3 khả năng về nghiệm:
✓ Hệ vô nghiệm; (xuất hiện phương trình 0.x1+∙∙∙+ 0.xn = b ≠ 0)
✓ Hệ có nghiệm duy nhất;

(đưa được về dang TAM GIÁC)

✓ Hệ có vơ số nghiệm.

(đưa được về dạng HÌNH THANG)

Khi nào thì hệ có nghiệm?


II. Điều kiện có nghiệm của hệ PTTT tổng quát:
Định lý CRONECKER - CAPELLI
Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma
trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng: r ( A ) = r ( A )
Khảo sát một hệ phương trình tuyến tính n ẩn có ma trận hệ
số là A và ma trận mở rộng là
Trước hết ta tính r(A) và

( ) (hay r ( A ) < r ( A )) thì hệ VƠ NGHIỆM;
2. Nếu r ( A ) = r ( A ) = r thì hệ CĨ NGHIỆM; Khi đó:

1. Nếu r ( A )  r A

a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ CÓ NGHIỆM DUY NHẤT
(hệ tương đương với một hệ Cramer)
b. Nếu r < n thì hệ CĨ VƠ SỐ NGHIỆM;


II. Điều kiện có nghiệm của hệ PTTT tổng qt:
Ví dụ: Với giá trị nào của m thì hệ sau có nghiệm?
 -x + 2y + 3z = 1

2x - 3y - 2z = 0
3x - 4y + mz = -2



Bài 4

ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

I

• Mơ hình cân bằng thị
trường

II

• Mơ hình cân bằng
kinh tế vĩ mơ

I. Mơ hình cân bằng thị trường
Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan, giá của hàng hóa này
có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các loại hàng
hóa khác.
Xét thị trường gồm n hàng hóa liên quan, đánh số là 1, 2, 3,…, n
Qsi là lượng cung hàng hóa i

Qdi là lượng cầu hàng hóa i
pi là giá hàng hóa i;

i = 1, 2, …, n

Với giả thiết các yếu tố khác không đổi, hàm cung và hàm cầu
tuyến tính có dạng:
Hàm cung hàng hóa i:
Qsi = ai0 + ai1p1 + ai2p2 +...+ ainpn

(i = 1,2,...,n )

Hàm cầu hàng hóa i:
Qdi = bi0 + bi1p1 + bi2p2 +...+ binpn

(i = 1,2,...,n )


I. Mơ hình cân bằng thị trường
Mơ hình cân bằng thị trường n hàng hóa có dạng:

Qsi = Q di


i = 1, 2,.., n
Đưa hệ phương trình trên về hệ n phương trình tuyến tính với n
ẩn số p1, p2,…, pn
Giải hệ ta được các giá cân bằng, và thay vào hàm cung suy ra
lượng cân bằng.