NHỮNG VẤN ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG TỌA ĐỘ MẶT PHẲNG

Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
I. Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:
1)
a
= (a
1
; a
2
) <=>
a
= a
1
i


+a
2
j
2) Cho
a
= (a
1
; a
2
),
b
= (b
1
; b
2
). Ta có:

a

±
b
= (a
1
±
b
1
; a
2
±
b
2
)
3) Cho
a
= (a
1
; a
2
),
b
= (b
1
; b
2
). Ta có:
a
.

b
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
a
=
2
2
2
1
aa +
; cos(
a
,
b
) =
ba
ba
.
.
II. Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
1)
( ) ( )
; ;
M M M M

M x y OM x y⇔ =
uuuur
2) Cho A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
). Ta có:
AB
= (x
B
-x
A
; y
B
-y
A
)
và AB =
22
)()(
ABAB
yyxx −+−
3) Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k
1≠
)
MA kMB⇔ =

uuur uuur
thì





−
−
=
−
−
=
k
kyy
y
k
kxx
x
BA
M
BA
M
1
1
Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì






+
=
+
=
2
2
BA
M
BA
M
yy
y
xx
x
Nếu G là trọng tâm
∆
ABC thì





++
=
++
=
3
3
CBA

G
CBA
G
yyy
y
xxx
x
III. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương:
Cho
a
= (a
1
; a
2
),
b
= (b
1
; b
2
). Ta có:
1)
a

⊥
b
<=>
a
.
b

= 0 <=> a
1
b
1
+ a
2
b
2
= 0
2)
a
cùng phương với
b
<=> a
1
b
2
- a
2
b
1
= 0
1 2
1 2
1 2
0 0
a a
b b
b b
 

⇔ = ≠ ≠
 ÷
 
nÕu vµ
3) Ba điểm A, B, C khi và chỉ khi
AB v AC
uuur
µ
cùng phương
Nhắc lại:
1. Trọng tâm của một tam giác là giao điiểm của 3 đường trung tuyến. Trọng tâm chia mỗi trung
tuyến của tam giác làm 2 phần 3 kể từ đỉnh.
2. Trực tâm của một tam giác là giao điểm của 3 đường cao.
H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC
. 0
. 0
AH BC
BH AC

=

⇔

=


uuur uuur
uuur uuur
3. Tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh của
tam giác đó.

I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC
IA IB
IA IC

=
⇔

=

Hoặc
1 2
I d d= ∩
với d
1
, d
2
là trung trực của hai cạnh của tam giác ABC
4. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác đó
5. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và phân giác ngoài AE thì

;
DB EB AB DB AB EB AB
DC EC AC AC AC
DC EC
= = ⇒ = − =
uuur uuur
uuur uuur
Chú ý:
a) Nếu tam giác ABC đều thì tâm đường tròn nội, ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác
trùng nhau.

b) Nếu tam giác ABC cân thì tại đỉnh cân, trung tuyến, đường cao, trung trực, phân giác trong của
tam giác trùng nhau
Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước

( )
( )
( ) ( )
®iÓm
0 0 0
0 0
;
;
: 0
M x y
VTPT n A B
PT A x x B y y
∈∆
=
− + − =
g
r
g
g
2) Đường thẳng d đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước
( )
( )
®iÓm

0 0 0
1 2
0 1
0 2
;
;
M x y
VTCP u a a
x x a t
PT
y y a t
∈∆
=

= +


= +


g
r
g
g
(t
R∈
)
Và phương trình chính tắc là
0
1

x x
a
−
=
( )
µ
0
1 2
2
0 0
y y
a v a
a
−
≠ ≠
3) Phương trình đường thẳng d qua 2 điểm A và B với
( ) ( )
; , ;
A A B B
A x y B x y
là
A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
4) Đường thẳng d đi qua điểm
( )

0 0 0
;M x y
và vuông góc với đt
∆
: Ax + By+ C = 0
- d vuông góc với
∆
: Ax + By + C = 0 nên pt d có dạng: – Bx + Ay + C’ = 0
-
( )
0 0 0 0 0
; 'M x y d C Ax By∈ ⇒ = − −
5) Đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) và song song với
∆
: Ax + By+ C = 0
- d song song với
∆
: Ax + By+ C = 0 nên pt d có dạng: Ax + By + C’ = 0 (C’
C≠
)
-
( )
0 0 0 0 0
; 'M x y d C Ax By∈ ⇒ = − −

6) Phương trình đường thẳng d đi qua
( ) ( ) ( )
vµ; 0 , 0; 0 0A a B b a b≠ ≠
là
1
x y
a b
+ =
(PT đoạn chắn).
7) Phương trình đường phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau
(∆
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
(∆
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (∆
1

) và (∆
2
) là:
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
+
++
= ±
2
2
2
2
222
BA
CyBxA
+
++
8) Đt d đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
) và tạo với đt
∆

: Ax + By+ C = 0 một góc
α
Gọi
( )
'; 'n A B=
r
là vtpt của đt d thì pt d có dạng
( ) ( )
0 0
' ' 0A x x B y y− + − =
d tạo với
∆
một góc
α
nên
os
2 2 2 2
' '
. ' '
AA BB
c
A B A B
α
+
=
+ +
9) Đt d đi qua điểm M
0
(x
0

; y
0
) và cách điểm N
( )
;
N N
x y
một khoảng cho trước
Gọi
( )
;n A B=
r
là vtpt của đt d thì pt d có dạng
( ) ( )
0 0
0A x x B y y− + − =


0 0
0Ax By A x By⇔ + − − =
d cách điểm Nmột khoảng k nên
( )
0 0
2 2
,
N N
Ax By A x By
d d N k k
A B
+ − −

= ⇔ =
+
II.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG: Cho 2 đường thẳng:
(∆
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 (1)
(∆
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
= 0 (2)
Toạ độ giao điểm của (∆
1
) và (∆
2
), nếu có là nghiệm của hệ (1) và (2)
Ta có kết quả sau:
- Nếu
2
1

A
A
≠
2
1
B
B
thì (∆
1
) cắt (∆
2
)
- Nếu
2
1
A
A
=
2
1
B
B
≠
2
1
C
C
thì (∆
1
) // (∆

2
)
- Nếu
2
1
A
A
=
2
1
B
B
=
2
1
C
C
thì (∆
1
) ≡ (∆
2
)
Ghi chú: (∆
1
)
⊥
(∆
2
) <=> A
1

A
2
+ B
1
B
2
= 0
III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN
MỘT ĐƯỜNG THẲNG:
1. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng (∆
1
) và (∆
2
) cắt nhau, lần lượt có các vectơ pháp tuyến là
1
n
và
2
n
Gọi ϕ là góc hợp bởi (∆
1
) và (∆
2
), ta có: cosϕ =
21
2
1
.
.

nn
nn
(0
≤
ϕ
≤
90
0
)
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
a) Định lý: Khoảng cách từ 1 điểm M
0
(x
0
; y
0
) đến đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 được
cho bởi:
d(M
0
; ∆) =
22
00
BA
CByAx
+
++
b) Phương trình đường phân giác: Cho hai đường thẳng cắt nhau
(∆
1

): A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
(∆
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
Phương trình hai đường phân giác của các góc hợp bởi (∆
1
) và (∆
2
) là:
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
+
++

= ±
2
2
2
2
222
BA
CyBxA
+
++
Lưu ý:
1. Tìm một số x
⇔
dạng toán lập pt ẩn số x và giải.
2. Tìm hai số x, y
⇔
dạng toán lập pt 2 ẩn số x và y rồi giải.
3. Tìm tọa độ điểm A(x; y)
⇔
dạng toán lập pt 2 ẩn số x và y rồi giải.
Cho d: y = f(x); d’: y = g(x)
Nếu A = d
∩
d’ thì tọa độ cuả A là nghiệm của hệ
( )
( )y f x
y g x

=



=


4. Phương pháp loại bớt ẩn số khi lập phường trình
TH1:
( ) ( )
( )
∈∆ = ⇒ =: ;A y f x A x y f x
(đã loại bớt ẩn y của điểm A)
TH2: M là trung điểm của AB và nếu biết tọa độ của điểm A và điểm M thì có thể tính được tọa độ
của điểm B theo tọa độ của A và M. VD A(a; b); M(c; d) thì B(2c-a; 2d-b)
TH3: G là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ điểm B có thể tính theo tọa độ các điểm A, C và
G.
5. Phương pháp khai thác gỉa thiết khi btoán cho đường phân giác trong của một góc của
một tam giác: Cho tam giác ABC có phân giác trong góc A là At, nếu từ B kẻ By vuông góc với At
và cắt AC tại B’ thì tam giác ABB’ cân tại A. Từ đó nếu biết được pt At và tọa độ điểm B thì tính
được tọa độ điểm B’ thuộc đường thẳng AC như sau:
B1: Viết pt đt By:
B By
By At
∈


⊥

B2: Tìm tọa độ
I At By= ∩
B3:
'ABB∆

cân tại A nên I là trung điểm của đoạn BB’. Biết tọa độ điểm B và điểm I ta
suy ra tọa độ điểm B’.
Vấn đề 3: ĐƯỜNG TRÒN
I. Phương trình đường tròn
1. Định lý 1: Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R trong hệ toạ độ Oxy là:
(x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
2. Định lý 2: Phương trình x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 với A
2
+ B
2
– C > 0 là phương trình
đường tròn tâm I(-A;-B), bán kính R =
CBA
−+
22
* Lưu ý: Nếu điểm M cách điểm I cố định một khoảng không đổi R thì M nằm trên đ tròn
tâm I bk R (suy từ đn).
II. Vị Trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
Cho đường thẳng (∆) và đường tròn (C) có tâm I và bán kính R
Gọi d là khoảng cách từ I đến đường thẳng (∆)
• Nếu d > R thì (∆) và (C) không có điểm chung.

• Nếu d = R thì (∆) và (C) có một điểm chung duy nhất. Khi đó (∆) gọi là tiếp tuyến
của đường tròn (C) và điểm chung gọi là tiếp điểm.
• Nếu d < R thì (∆) và (C) có hai điểm chung.
III. Phương tích, trục đẳng phương:
1. Phương tích:
Cho đường tròn (C): F (x;y) = x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 và điểm M
0
(x
0
; y
0
). Ta có:
PM
0
/(C) = F(x
0
; y
0
) =
++
2
0
2
0
yx
2Ax

o
+ 2By
o
+ C.
2. Trục đẳng phương: Cho hai đường tròn không đồng tâm (C
1
) và (C
2
) có phương trình:
(C
1
): x
2
+ y
2
+2A
1
x +2B
1
y +C
1
= 0
(C
2
): x
2
+ y
2
+2A
2

x +2B
2
y +C
2
= 0
Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
) là:
2 (A
1
–A
2
)x + 2(B
1
- B
2
)y + C
1
–C
2
= 0
IV. Tính chất của tiếp tuyến của đường tròn:
- Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
- Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính.
• Lưu ý: Tiếp tuyến của một đường tròn cũng là một đường thẳng nên bài toán viết pt
tiếp tuyến chính là bài toán viết pt đường thẳng.
Vấn đề 4: ELIP VÀ HYPEBOL
ELIP HYPEBOL

1) Định nghĩa:
(E) =
{ }
aMFMFM 2
21
=+
F
1
F
2
= 2c, a > c
2) Phương trình chính tắc:
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1 với b
2
= a
2
– c
2
3) Hình dạng và các yếu tố:
Cho elip (E):
2

2
2
2
b
y
a
x
+
= 1
a) Hình dạng:
b) Các yếu tố:
• A
1
A
2
= 2a: trục lớn
• B
1
B
2
= 2b: trục nhỏ
1) Định nghĩa:
(H) =
{ }
aMFMFM 2
21
=−
F
1
F

2
= 2c, c > a
2) Phương trình chính tắc:
2
2
2
2
b
y
a
x
−
= 1 với b
2
= c
2
– a
2
3) Hình dạng và các yếu tố
Cho Hypebol (H):
2
2
2
2
b
y
a
x
−
= 1

a) Hình dạng:
b) Các yếu tố
• A
1
A
2
= 2a: trục thực
• Các đỉnh: A
1
(-a; 0),A
2
(a; ),B
1
(0; -b),B
2
(0; b)
• Các tiêu điểm: F
1
(-c; 0), F
2
(c; 0)
• Tiêu cự: F
1
F
2
= 2c
• Bán kính qua tiêu của điểm M
)(E∈
:






−=
+=
M
M
x
a
c
aMF
x
a
c
aMF
2
1
• Tâm sai: e =
1<
a
c
• Phương trình đường chuẩn:
(∆
1
): x = -
c
a
e
a

2
−=
; (∆
2
): x =
c
a
e
a
2
=
4) Phương trình tiếp tuyến:
Cho elip (E):
2
2
2
2
b
y
a
x
+
= 1
a) Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M
o
(x
o
;y
o
) ∈

(E) có dạng:
1
2
0
2
0
=+
b
yy
a
xx

b) Đường thẳng (∆): Ax + By

+ C = 0 là tiếp
tuyến của (E) <=> A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
• B
1
B
2
= 2b: trục ảo

• Các đỉnh:A
1
(-a; 0), A
2
(a; 0)
• Các tiêu điểm: F
1
(-c; 0), F
2
(c; 0)
• Tiêu cự: F
1
F
2
= 2c
Bán kính qua tiêu của điểm M
)(H∈
+ x
M
> 0 :





−=
+=
ax
a
c

MF
ax
a
c
MF
M
M
2
1
+ x
M
< 0 :





+−=
−−=
ax
a
c
MF
ax
a
c
MF
M
M
2

1
• Tâm sai: e =
1>
a
c
• Phương trình đường chuẩn:
(∆
1
): x = -
c
a
e
a
2
−=
; (∆
2
): x =
c
a
e
a
2
=
• Phương trình tiệm cận:
(d
1
): y = -
x
a

b
; (d
2
): y =
x
a
b
4) Phương trình tiếp tuyến:
Cho Hypebol (H):
2
2
2
2
b
y
a
x
−
= 1
a) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M
o
(x
o
;y
o
)
∈ (H) có dạng:
1
2
0

2
0
=−
b
yy
a
xx

b) Đường thẳng (∆): Ax + By

+ C = 0 là tiếp tuyến
của (H) <=> A
2
a
2
- B
2
b
2
= C
2
Vấn đề 5: PARABOL
I. Định nghĩa:
Trong mặt phẳng cho đường thẳng (∆) cố định và điểm F cố định không thuộc ∆. Tập hợp
các điểm M của mặt phẳng sao cho M cách đều (∆) và F được gọi là một parabol
• F gọi là tiêu điểm
• (∆) gọi là đường chuẩn của parabol
• Khoảng cách p từ tiêu điểm đến đường chuẩn gọi là tham số tiêu của parabol
• Với M ∈(P); MF gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.
II. Phương trình chính tắc:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) như trong định nghĩa, trong đó chọn F(
2
p
; 0)
và (∆): x = -
2
p
Phương trình chính tắc của parabol (P) là: y
2
= 2px
III. Hình dạng và các yếu tố: Cho Parabol (P): y
2
= 2px
1) Hình dạng:
2) Các yếu tố:
• O(0;0) là đỉnh của parabol
• Ox là trục đối xứng của parabol
• Bán kính qua tiêu của điểm M ∈ (P): MF =
2
p
+ x
M
IV: Phương trình tiếp tuyến: Cho parabol (P): y
2
= 2px
a) Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M
0
(x
0
; y

0
) ∈ (P) là y
0
y = p(x
0
+x)
b) Đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (P) <=> pB
2
= 2AC
Vấn đề 6: MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1: Trong mpOxy cho tam giác ABC, A(-1; 2), trung tuyến CM: 5x + 7y -20 = 0, đường cao BK:
5x – 2y - 4 = 0. Viết phương trình các cạnh AC và CB.
Giải:

M
A
B
C
K
( )
1;2 2 10 0 8 :
AC BK
A AC c c AC
• ⊥ ⇒
− ∈ ⇔ − + + − = ⇔ = − ⇒
ph ¬ngtr × nhAC :2x + 5y + c = 0
2x + 5y -8 = 0
•
Tọa độ điểm C:

( )
2 5 8 0 4
4;0
5 7 20 0 0
x y x
C
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇔
 
+ − = =
 
•
Tọa độ điểm B:
5 4 5 4
: ;
2 2
x b
B BK y B b
− −
 
∈ = ⇒
 ÷
 
M là trung điểm của AB
1
2
5
4

M
M
b
x
b
y
−

=


⇒


=


( )
( )
5 1
5
:5 7 20 0 7. 20 0 2
2 4
2;3
b
b
M CM x y b
B
−
∈ + − = ⇔ + − = ⇔ =

⇒
•
Phương trình BC:
4
3 2 12 0
2 4 3
x y
x y
−
= ⇔ + − =
−
VD2: Trong mpOxy cho tam giác ABC, A(1; 2), B(2; 7). Tìm tọa độ điểm C biết độ dài đường cao
hạ từ A bằng 1, và C thuộc đường thẳng y – 3 = 0.
Giải:
A
B
C
H
( )
: 3 ;3C d y C c• ∈ = ⇒
•
Nếu c=2 thì B và C cùng nằm trên đường thẳng x=2 nên phương trình BClà: x – 2 =0
Khi đó
( ) ( )
1 2
; 1
1
AH d A BC
−
= = = ®óng

. Vậy C(2; 3)
•
Nếu c
2≠
thì phương trình BC là:
( ) ( )
2 7
4 2 7 2 0
2 3 7
x y
x c y c
c
− −
= ⇔ + − − − =
− −
Khi đó
( )
( )
( )
2
2
2
4 2 4 7 14 8
; 1 1 6 5 16 2
16 2
1
24 56 16 0 ,( 2)
3
1
;3 .

3
c c
AH d A BC c c
c
c c c c
C
+ − − + −
= = ⇔ = ⇔ − = + −
+ −
⇔ − + = ⇔ = ≠
 
⇒
 ÷
 
Vậy: C(2; 3) hoặc
1
;3 .
3
C
 
 ÷
 
VD3: Trong mpOxy cho tam giác ABC, trực tâm H(1; -1), E(-1; 2) là trung điểm của AC, BC: 2x –
y + 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Giải:
H
A
B
C
( )

( )
( )
( ) ( )
: 2 0
1; 1 1 2 0 1 : 2 1 0 2 1
2 1;
2 2 1
2 4
: 2 1 0 2 2 1 4 1 0 5 5 0 1
3;1 , 1;3
ph ¬ngtr×nh
lµ trung®iÓmcña
Ph ¬ngtr×nh H:
c
c
E A
E A
AH BC AH x y c
H AH c c AH x y x y
A AH A a a
x x x a
E AC
y y y a
C BC x y a a a a
A C
B
• ⊥ ⇒ + + =
− ∈ ⇒ − + = ⇒ = ⇒ + + = ⇔ = − −
• ∈ ⇒ − −
= − = −



• ⇒

= − = −


• ∈ − + = ⇔ − − + + = ⇔ − = ⇔ =
⇒ −
•
( ) ( )
( ) ( )
( )
1; 1 4;2 ,
4 1 2 1 0 2 1 0
2 1 0 0
0;1
2 1 0 1
H BH vµ VTPT cña BH lµ AC nªn ph ¬ng tr×nh BH lµ
Täa ®é ®iÓm B:
x y x y
x y x
B
x y y
− ∈ =
− + + = ⇔ + − =
+ − = =
 
• ⇔ ⇔
 

− + = =
 
uuur
VD4: Trong mpOxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và cắt đường tròn
(C): x
2
+ y
2
+2x + 6y – 15 = 0 tạo thành một dây cung có độ dài bằng 8.
Giải:

x
y
H
O
I
1
B
A
• (C) có tâm I(-1; -3), bán kính R = 5.
• Dựa trên hình vẽ, ta thấy đường thẳng x = 0 (trục tung) không thỏa yêu cầu bài toán.
• Nên đường thẳng d đi qua gốc tọa độ, cắt (C) tại 2 điểm A, B với AB = 8. Gọi H là
trung điểm của AB thì HA = 4 và IH = d(I; d) = 3
• Phương trình d có dạng y = ax
0y⇔ − =ax
• Vậy:
( )
2
2
0

3
; 3 3 8 6 0
3
1
4
0 :
3 3
:
4 4
ph ¬ng tr×nh d lµ y=0
ph ¬ng tr×nh d lµ y=-
a
a
d I d a a
a
a
a
a x
=

− +

= ⇔ = ⇔ + = ⇔

= −
+

+ =
+ = −
VD5: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(1 ; 0), B(-2 ; 4), C(-1 ; 4), D(3 ; 5) và đường thẳng d:

3x – y – 5 = 0. Tìm M trên (d) sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau.
Giải:
Lấy M( a; 3a -5 ) thuộc (d).
Ta có
( 3;4)AB = −
uuur
suy ra AB = 5 và pt AB: 4x + 3y - 4 = 0.
(4;1)CD =
uuur
suy ra CD =
17
và pt CD: x – 4y – 17 = 0.
Mặt khác d(M;AB)
4 3(3 5) 4
|13 19 |
5 5
a a
a
+ − −
−
= =
và d(M;CD)
4(3 5) 17
| 3 11 |
.
17 17
a a
a
− − −
−

= =
Theo giả thiết diện tích hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau thì
13 19 3 11
5 13 19
7 | 3 11 |
11
.
13 19 11 3
5
12
17
8
a a
a
a
a
a a
a
− = −


−
−


= ⇔
=

− = − ⇔




=


Vậy trên (d) có hai điểm M thỏa mãn đề bài là:
11 27
; , (8;19).
12 12
 
−
 ÷
 
VD6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C)
2 2
4 2 2 1 0x y x x y+ + − − + =
và (C’)
2 2
4 5 0x y x+ + − =
cùng đi qua M(1 ; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn
lần lượt tại A, B sao cho MA = 2MB.
Giải:
Gọi (d) là đường thẳng qua M có vtcp
1
( ; ) :
.
x at
u a b d
y bt
= +


= ⇒

=

r
Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 1), R = 1. (C’) có tâm I’(-2 ; 0) và R’=3 suy ra pt của (C) và (C’) được
viết lại (C)
2 2 2 2
( 1) ( 1) 1, ( '): ( 2) 9.x y C x y− + − = + + =
Nếu d cắt (C) tại A thì
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
0
2 2
( ) 2 0 1 ;
2
t M
ab b
a b t bt A
b
a b a b
t
a b
= →

 


+ − = ⇒ ⇒ +
 ÷

+ +
=
 
+

Nếu d cắt (C’) tại B thì
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
0
6 6
( ) 6 0 1 ;
6
t M
a ab
a b t at B
a
a b a b
t
a b
= →

 

+ + = ⇒ ⇒ − −
 ÷


+ +
=
 
+

.
Theo giả thiết MA = 2MB
2 2
4MA MB⇔ =
lúc đó
2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 6 6
4
6 :6 6 0
4 36
4 36 .
6 : 6 6 0
a
ab b ab a
a b a b a b a b
b a d x y
b a
b a

b a d x y
a b a b
 
 
     
+ = +
 
 ÷
 ÷  ÷  ÷
+ + + +
     
 
 
 
= − → + − =

⇔ = ⇔ = ⇔

= → − − =
+ +

VD7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(2 ; -1), B(1 ; -2) trọng tâm G của tam
giác nằm trên đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ dỉnh C của tam giác biết diện tích tam giác
ABC bằng 13,5.
Giải:
Ta có M là trung điểm AB nên M
3 1
;
2 2
 

−
 ÷
 
. Gọi C (a; b) ta có:
3
3
3
3
+

=



−

=


G
G
a
x
b
y
Vì G thuộc d:
3 3
2 0 6 (1)
3 3
+ −

+ − = ⇔ + =
a b
a b
Ta có
3 5
2 1
(1;3) ( ) : 3 5 0 ( , )
1 3
10
− −
− −
= ⇒ = ⇔ − − = ⇔ =
uuur
a b
x y
AB AB x y h C AB
Theo giải thiết:
2 5 2 5
1 1
. ( , ) 10 13,5
2 2 2
10
2 5 27 2 32
2 5 27
2 5 27 2 22
− − − −
= = = =
− − = − =
 
⇔ − − = ⇔ ⇔

 
− − = − − = −
 
ABC
a b a b
S AB h C AB
a b a b
a b
a b a b
Kết hợp với (1) ta có:
( )
1 2
38
6
3
2 32 20
38 20
; , 6;12 .
3
3 3
6
6
2 22
121


=


 + =




 

− = −
 −

 


=
⇔ ⇒ −
 ÷




+ =
 




= −


− = −






=


a
a b
a b
b
C C
a b
a
a b
b
VD8: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm M(2 ; 4) và đường tròn
2 2
( ) : ( 1) ( 3) 4− + − =C x y
. Viết
phương trình đường thẳng qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB.
Giải:
Ta có:
2 2
( ) : ( 1) ( 3) 4− + − =C x y
suy ra I(1 ; 3), R = 2, P
M/(C)
= 1+1-4 = -2 < 0 nên M nằm trong
hình tròn (C).
Gọi d là đường thẳng qua M(2 ; 4) có VTCP
2

( ; ) :
4
= +

= ⇒

= +

r
x at
u a b d
y bt
.
Nếu d cắt (C) tại hai điểm A, B thì
2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 4 ( ) 2( ) 2 0 (1)+ + + = ⇔ + + + − =at bt a b t a b t
có
hai nghiệm t. vì vậy điều kiện
2 2
' 3 2 3 0∆ = + + >a ab b
với mọi a, b.
Gọi A(2 + at ; a + bt’), B(2 + at ; 4 + bt’) suy ra M là trung điểm AB thì ta có hệ
4 ( ') 4 ( ') 0
' 0.
8 ( ') 8 ( ') 0
+ + = + =
 
⇔ ⇔ ⇔ + =
 
+ + = + =

 
a t t a t t
t t
b t t b t t
Thay vào (1) và áp dụng Viet ta có:
2 2
2( ) 2 4
' 0. :
1 1
6 0.
+ − −
+ = − = ⇔ = − ⇒ =
+ −
⇔ + − =
a b x y
t t a b d
a b
x y
VD9: Trong mp Oxy cho hai đường thẳng (d) 4x – 3y -12 = 0 và (d’): 4x +3y -12 = 0. Tìm tọa độ
tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d), (d’) và trục Oy.
Giải:
Gọi A là giao điểm của d và d’ lúc đó A(3;0) thuộc Ox.
Vì BC thuộc Oy nên gọi B là giao điểm của d’ và Oy thì B(0 ; -4) và C là giao điểm của d’ và Oy
thì C(0 ; 4). Suy ra B, C đối xứng nhau qua Ox.
Từ đó suy ra ABC là tam giác cân tại A suy ra tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra
I(a ; 0)
Theo tc phân giác trong:

5 5 4 9
4 4 4

4 4.3 4
9 9 3
+ +
= = ⇒ = ⇔ =
⇒ = = =
IA AC IA IO OA
AO AO IO IO
OA
IO
Suy ra
4
;0 .
3
 
 ÷
 
I
Và
1 1 15 1 1 5 8 5
. 5.3
2 2 2 2 2
+ + + +
= = = = =
AB AC BC
S BC OA
r r
6
.
5
⇒ =r

Vd10: Trong mp Oxy cho đường thẳng (d)có phương trình x – 2y - 2 = 0 và hai điểm A(-1 ; 2);
B(3 ; 4). Tìm M thuộc (d) sao cho
2 2
2 +MA MB
có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
( ) (2 2; ), (2 3; 2); (2 1; 4)∈ ⇒ + = + − = − −
uuuur uuuur
M d M t t AM t t BM t t
2 2 2
2 15 4 43 ( )+ = + + =AM BM t t f t
Và min f(t) =
2 26 2
( ) ; .
15 15 15
−
 
⇒ −
 ÷
 
f M
*Lưu ý: Một bài toán có thể có nhiều cách giải, các em đọc hiểu và suy nghĩ, biết đâu các em có
thể tìm ra được cách giải hay hơn.
Vấn đề 7: BÀI TẬP
Bài 1: Trong mp tọa độ Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, BC:
3 3 0− − =x y
, các đỉnh
A, B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2. tìm tọa độ trọng
tâm G của tam giác ABC.
ĐS:

1
2
7 4 3 2 3 6
;
3 3
1 4 3 2 3 6
;
3 3
 
+ +
 ÷
 ÷
 
 
+ +
− −
 ÷
 ÷
 
G
G
Bài 2: Trong mp tọa độ Oxy, xét tam giác ABC có A(5 ; 2). Phương trình đường trung trự
cạnh BC và trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x –y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh
của tam giác ABC.
ĐS: B(37 ; 88), C(-20 ; -31).
Bài 3: mp tọa độ Oxy, xét tam giác ABC có A(2 ; 3), trọng tâm G(2 ; 0). Hai đỉnh B, C lần
lượt nằm trên hai đường thẳng d: x + y + 5 = 0 và d’: x +2y – 7 = 0. viết phường trình
đường tròn tâm C tiếp xúc với BG.
ĐS: (C): (x – 5)
2

+ (y - 1)
2
= 169/25
Bài 4: Cho đường tròn (C):
2 2
2 4 2 0+ − + + =x y x y
. Viết phương trình đường tròn (C’) có
tâm M(5 ; 1) và cắt (C) tại hai điểm A; B sao cho
3.=AB
ĐS: (x – 5)
2
+ (y - 1)
2
= 13.
Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là
giao điểm của đường thẳng d: x – y – 3 = 0 và d’: x + y - 6 = 0. Trung điểm của một cạnh là
giao điểm của d và Ox. Tìm toạ đọ các đỉnh của hình chữ nhật.
ĐS: A(2 ; 1), B(11; 4) , C(7 ; 2), D(4 ; -1)
Hoặc A(4 ; -1), B(13 ; 2), C(5 ; 4), D(2 ;1)
Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có I(6 ; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Điểm M(1 ; 5) thuộc đường thẳng AB. Trung điểm E của cạnh CD nằm trên đường thẳng x
+ y -5 = 0. Viết phương trình cạnh AB.
ĐS: y = 5 hoặc x – 4y + 19 = 0.
Bài 7: Cho (E) : 4x
2
+ 9y
2
= 36
a) Xác định tiêu điểm , độ dài các trục .
b) Một đường thẳng thay đổi d : y = x + m . Định m để d cắt (E) tại hai điểm P, Q .

c) Tìm tọa độ trung điểm I của PQ . Chứng tỏ I di động trên một đoạn cố định khi d thay
đổi .
HD: b)
13 13.− ≤ ≤m
c) I di động trên đường thẳng có pt
9
4
= −y x
với
9 9
.
13 13
− ≤ ≤x
Bài 8: Trong mp tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d: x – y = 0 và d’: 2x + y – 1 = 0. tìm tọa
độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d và C thuộc d’, còn B, D thuộc trục
hoành.
ĐS: A(1;1), C (1;-1), B (0;0) D(2;0) hoặc A(1;1), C (1;-1), B(2 ;0), D(0;0).
Bài 9: Cho đường tròn tâm O , bán kính 1 . Gọi A và A’ là hai điểm trên đường tròn có
hoành độ là – 1, 1 . Đường thẳng di động x = m ( m ≠ 0, ± 1) cắt đường tròn tại M và M’
( M có tung độ dương) .
a) Tìm tọa độ M và M’.
b) Viết phương trình đường thẳng AM và A’M’ . Chứng minh giao điểm của AM và A’M’
di động trên một hypebol cố định.
ĐS: a) M
( ) ( )
; 1 ; ' ; 1− − −m m M m m
b)
2
2
1

( )
1
1
1
( ' ')
1
1
−
=
+
−
−
=
−
− −
x y
AM
m
m
x y
A M
m
m
M thuộc hyperbpl x
2
– y
2
= 1.
Bài 9: Cho hình thoi ABCD có A(- 2; 3) , B(1 ; - 1) và diện tích 20 .
a) Tính đường cao hình thoi và phương trình cạnh AB .

b) Tìm tọa độ điểm D biết nó có hoành độ dương .
ĐS: a) h = 4, AB: 4x + 3y – 1 = 0
b) D(3 ; 3)
Bài 10: Trong mp tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): x
2
+ y
2
= 13 và (C’) (x-6)
2
+ y
2
=25
cắt nhau tại A(2; 3). Viết phương trình đương thẳng qua A cắt (C) và (C’) theo hai dây
cung có độ dài bằng nhau.
ĐS: d: x – 2 =0 và d’: 2x – 3y + 5 = 0.
**************** Chúc các em học tốt **************