NHỮNG BÀI TOÁN CẦN LƯU Ý KHI LÀM VỀ HÌNH CỰC TRỊ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (308.66 KB, 16 trang )
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
ÔN THI ĐẠI HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH NĂM 2012
A.Lí Thuyết :
− Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
1 2
1 2
.
.
u u
c
u u
uur uur
uur uur
os
trong đó
1 2
,
u u
uur uur
lần
lượt là hai VTCP của hai đường thẳng
− Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
.
sin
.
n u
u u
r r
r r
trong đó
,
n u
r r
lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng
− Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
1 2
1 2
.
.
n n
c
n n
uur uur
uur uur
os
trong đó
1 2
,
n n
uur uur
lần
lượt là hai VTPT của hai mặt thẳng
− Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm
( ; ; ); ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
2 2 2
B A B A B A
AB= x -x + y -y + z -z
− Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
;y
0
z
0
) đến mặt phẳng () có phương trình
Ax+by+Cz+D=0 là:
0 0 0
0
2 2 2
Ax +By +Cz +D
d M ,(α) =
A +B +C
− Khoảng cách từ điểm M
1
đến đường thẳng đi qua M
0
và có vectơ chỉ
phương
u
ur
là:
1
d(M ,Δ)=
M M ,u
0 1
u
uuuuuuuur
ur
ur
− Khoảng cách giữa hai đường thẳng và ’, trong đó đi qua điểm M
0
, có
vectơ chỉ phương
u
r
và đường thẳng ’ đi qua điểm
'
0
M
, có vectơ chỉ phương
u'
ur
là:
'
0 0
u,u' .M M
d( ,Δ')=
u,u'
uuuuuur
r ur
r ur
− Công thức tính diện tích hình bình hành :
ABCD
S = AB,AD
uuur uuur
− Công thức tính diện tích tam giác :
ABC
1
S = AB,AC
2
uuur uuur
− Công thức tính thể tích hình hộp :
ABCD.A'B'C'D'
V = AB,AD .AA'
uuur uuur uuur
− Công thức tính thể tích tứ diện :
ABCD
1
V = AB,AC .AD
6
uuur uuur uuur
Chú ý :
Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện :
0 ,
2
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
B.VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
:
1 1 1
x y z
d
và hai điểm
0;0;3
A
,
0;3;3
B
.
Tìm tọa độ điểm
M d
sao cho:
1)
MA MB
nhỏ nhất.
2)
2 2
2
MA MB
nhỏ nhất.
3)
3
MA MB
uuur uuur
nhỏ nhất.
4)
MA MB
lớn nhất.
Hướng dẫn:
1) Chuyển p/trình của
d
sang dạng tham số
:
x t
d y t
z t
Gọi tọa độ của
M d
có dạng
; ;
M t t t
,
t
¡
.
Ta có
2 2 2 2 2 2
0 0 3 0 3 3
P MA MB t t t t t t
2 2
3 6 9 3 12 18
P t t t t
2 2
3 2 3 4 6
t t t t
2 2
3 1 2 2 2
P t t
2 2
2 2
3 1 0 2 2 0 2P t t
Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm
;0
N t Ox
;
1; 2 ; 2; 2
H K
Gọi
1; 2
H
là điểm đối xứng của điểm
1; 2
H
qua trục Ox.
Ta có
3
P NH NK
=
3
NH NK
3
H K
.
Dấu “=” xảy ra
, ,
H N K
thẳng hàng
N H K Ox
.
Đường thẳng
H K
có vecto chỉ phương
1;2 2
H K
uuuur
nên có vecto pháp
tuyến
2 2; 1
n
r
và đi qua
1; 2
H
nên có phương trình tổng quát
2 2 1 1 2 0 2 2 3 2 0
x y x y
.
Tọa độ giao điểm
N
của đường thẳng
H K
và trục Ox là nghiệm của hệ
3
2 2 3 2 0
2
0
0
x
x y
y
y
. Vậy
3
;0
2
N
.
Vậy
2
2
min 3 3. 1 2 2 3 3
P H K
.
Đạt được khi
3 3
;0 ;0
2 2
N t N t
.
Suy ra
MA MB
nhỏ nhất bằng
3 3
khi
3 3 3
; ;
2 2 2
M
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
Cách 2:
Làm như cách 1, đến đoạn
2 2
3 1 2 2 2
P t t
.
Xét hàm số
2 2
1 2 2 2
f t t t
Ta có
2 2
1 2
1 2 2 2
t t
f t
t t
2 2
1 2
0
1 2 2 2
t t
f t
t t
2 2
2
1
1 2
2 2
t
t
t
t
(*)
Xét hàm số
2
2
u
g u
u
,
Ta có
2
2
2 3
2
1 2
2 . . 0
2
2
2
u
g u u u
u
u
u
nên hàm số g đồng
biến trên
¡
.
Do đó từ (*) ta có
3
1 2 1 2
2
g t g t t t t
Bảng biến thiên của hàm số f :
t
3
2
f t
0
f t
3
Từ bảng biến thiên suy ra
3
min 3
2
f t f
.
Vậy
min 3 3
MA MB
đạt được tại
3
2
t
, tức là
3 3 3
; ;
2 2 2
M
.
Cách 3:
Bước 1 : Tìm tọa độ H và H’
Bước 2 : Tính AH và BH’
Bước 3 : Tìm M thỏa mãn
'
'
AH
MH MH
BH
uuuur uuuuur
=>ycbt
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
2). Làm tương tự câu 1), ta tính được
2 2 2 2
2 3 6 9 2 3 12 18
Q MA MB t t t t
2
9 30 45
t t
.
Biểu thức này là tam thức bậc hai với hệ số
9 0
a
nên đạt giá trị nhỏ nhất
khi
30 5
2.9 3
t
. Tức là
5 5 5
; ;
2 2 2
M
.
Nhận xét: nếu không nhớ tính chất về đồ thị bậc hai thì có thể khảo sát hàm số
2
9 30 45
f t t t
để tìm giá trị hỏ nhất.
3). Theo câu 1) , gọi
; ;
M t t t
.
Ta có
; ;3
MA t t t
uuur
,
;3 ;3
MB t t t
uuur
.
Suy ra
2 2 ; 2 3 ;3 2 3
MA MB t t t t t t
uuur uuur
; 6; 3
t t t
.
2 2
2 2
2 6 3 3 18 45
MA MB t t t t t
uuur uuur
2
2 3 3 18 18 3 2
MA MB t
uuur uuur
.
Dấu “=” xảy ra
3 0 3
t t
hay
3;3;3
M
.
Vậy
min 2 3 2
MA MB
uuur uuur
đạt được tại
3;3;3
M
.
Nhận xét: nếu không phân tích được
2
2 3 3 18
MA MB t
uuur uuur
thì có thể
khảo sát hàm số
2
3 18 45
f t t t
để tìm giá trị nhỏ nhất.
4). Tương tự câu 1), ta tính được
2 2
3 2 3 4 6
MA MB t t t t
2 2
3 1 2 2 2
MA MB t t
Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm
;0
N t Ox
;
1; 2 ; 2; 2
H K
.
Khi đó
3
MA MB NH NK
Nhận thấy H, K nằm cùng phía so với trục Ox.
Suy ra
3 3
MA MB NH NK HK
.
Bài toán này vô nghiệm vì
||
KH Ox
.
Cách 2: Khảo sát hàm số như cách 2 ở câu 1 Hàm số không có GTLN.
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng
: 4 0
P x y z
. Tìm điểm
M P
sao cho:
1).
MA MB
nhỏ nhất, biết
1;0;0
A
,
1;2;0
B
.
2).
MA MB
lớn nhất, biết
1;2;1
A
,
0;1;2
B
.
3).
2 2
3
MA MB
nhỏ nhất, biết
1;2;1
A
,
0;1;2
B
.
4).
2 2 2
3 2
MA MB MC
nhỏ nhất, biết
1;2;1
A
,
0;1;2
B
,
0;0;3
C
.
5).
3 4
MA MB MC
uuur uuur uuuur
nhỏ nhất, biết
1;2;1
A
,
0;1;2
B
,
0;0;3
C
.
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
Hướng dẫn :
1). Cách giải
Xét vị trí tương đối của A, B so với (P).
Đặt
; ; 4
f x y z x y z
.
Thay tọa độ của A, B vào và tính
; ; . ; ;
A A A B B B
f x y z f x y z
.
- Nếu
; ; . ; ; 0
A A A B B B
f x y z f x y z
thì A, B ở hai phần không gian khác nhau
ngăn cách bởi (P).
- Nếu
; ; . ; ; 0
A A A B B B
f x y z f x y z
thì A, B ở cùng phía so với (P).
Nếu A, B ở khác phía so với (P) thì với
M P
tùy ý ta có
MA MB AB
. Suy ra
min
MA MB AB
đạt được khi
M AB P
.
- Viết p/trình đường thẳng AB.
- Tìm giao điểm M của
AB P
. (Giải hệ p/trình của AB và (P))
- Kết luận.
Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) , ta lấy điểm
A
đối xứng với A qua (P).
Khi đó
MA MA MA MB MA MB A B
min
MA MB A B
đạt được khi
M A B P
Tính tọa độ
A
:
- Viết phương trình đường thẳng
d
qua
A
và
d P
- Giải hệ
;
d P
tìm được tọa độ của
H d P
là hình chiếu vuông góc
của A trên (P).
-
H
là trung điểm của
A A
. Biết tọa độ của
,
A H
suy ra tọa độ của
A
.
Viết p/trình đường thẳng
A B
.
Giải hệ
;
A B P
tìm được tọa độ của
M A B P
.
2). Làm ngược lại của hai trường hợp trên câu 1.
Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) thì
MA MB AB
Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P), ta lấy điểm
A
đối xứng với A qua (P).
Khi đó
MA MA MA MB MA MB A B
Cách làm mỗi trường hợp như câu 1.
3). Xét điểm I tùy ý, ta có
2
2 2 2
2
2 .
MA MA MI IA MI IA MI IA
uuur uuur uur uuur uur uuur uur
2
2 2 2
2
2 .
MB MB MI IB MI IB MI IB
uuur uuur uur uuur uur uuur uur
A
B
M
A’
B
M
A
H
Tr.Hợp 1
Tr.Hợp 2
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
Suy ra
2 2 2 2
2 2
2 2 . 2 2 .
MA MB MI IA MI IA MI IB MI IB
uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur
2 2 2
2 2
2 3 2 2 2
MA MB MI IA IB MI IA IB
uuur uur uur uuur uur uur
2 2 2 2 2
2 3 2 2 2
MA MB MI IA IB MI IA IB
uuur uur uur
Giả sử
2 0 2
IA IB IA IB
uur uur r uur uur
, ta có tọa độ của I là:
2 1 2.0 1
1 2 3 3
2 2 2.1 4
1 2 3 3
2 1 2.2 5
1 2 3 3
A B
A B
A B
x x
x
y y
I y
z z
z
. Hay
1 4 5
; ;
3 3 3
I
Vậy, với
1 4 5
; ;
3 3 3
I
, ta có
2 0
IA IB
uur uur r
nên
2 2 2 2 2
2 3 2
MA MB MI IA IB
.
Do I cố định nên
2 2
,
IA IB
không đổi. Vậy
2 2
2
MA MB
nhỏ nhất
2
MI
nhỏ
nhất
MI
nhỏ nhất
M
là hình chiếu của I trên (P).
Đường thẳng
d
qua
1 4 5
; ;
3 3 3
I
và vuông góc với (P) nhận vecto pháp tuyến
1;1;1
n
r
của (P) làm vecto chỉ phương nên có p/trình
1
3
4
:
3
5
3
x t
d y t
z t
- Tọa độ giao điểm H của
d P
là:
5 14 17
; ;
9 9 9
H
.
- H là hình chiếu của I trên (P).
Vậy M là hình chiếu của I trên (P) nên
M H
Kết luận:
2 2
2
MA MB
nhỏ nhất khi
5 14 17
; ;
9 9 9
M
4). Làm tương tự câu 3)
5). Cần rút gọn tổng
3 4
MA MB MC
uuur uuur uuuur
thành một vecto
MH
uuuur
.
Khi đó
3 4
MA MB MC MH MH
uuur uuur uuuur uuuur
nhỏ nhất
M
là hình chiếu của H trên
(P).
Làm như câu 3).
Bằng cách phân tích
3 4 3 4
MA MB MC MI IA MI IB MI IC
uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur
8 3 4
MI IA IB IC
uuur uur uur uur
Đến đây chỉ việc tìm tọa độ điểm
I
sao cho
3 4 0
IA IB IC
uur uur uur r
rồi làm tiếp theo
hướng dẫn trên.
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
Chú ý:
1
3 4 0 3 4
8
IA IB IC OI OA OB OC
uur uur uur r uur uuur uuur uuur
Suy ra tọa độ của I là
1
3 4
8
1
3 4
8
1
3 4
8
I A B C
I A B C
I A B C
x x x x
y y y y
z z z z
.
Ví dụ 3:(ĐH – A2008) Cho mặt phẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
. Lập phương trình
mặt phẳng (
) chứa d sao cho khoảng cách từ
(2;5;3)
A
tới (
) là lớn nhất
Hướng dẫn :
1) Phương trình mặt phẳng (
) chứa d có VTPT :
2 2 2
( ; ; ), 0
n A B C A B C
r
có
dạng :
( 1) ( 2) 0
A x By C z
Ta có :
( ) . 0 2 2
d
d u n B A C
uur uur
=>
2
2 2
2 2
9
( )
( ,( )) 9.
5 8 5
5 8 5
A C
A C
d A
A AB C
A AB C
− TH1: Nếu C = 0
9
( ,( ))
5
d A
− TH1: Nếu C
0
,Đặt
A
t
C
2
2
( 1)
( ,( )) 9. 9 ( )
5 8 5
t
d A f t
t t
Xét hàm số
2
2
( 1)
( )
5 8 5
t
f t
t t
=>
'( ) 0 1
f t t
;
2
( 1) 0; (1)
9
f f
1
lim ( )
5
t
f t
Lập bảng biến thiên =>
2
( )
5
M f t
ax
tại t =1 . Vậy
3 2
M
axd(A,( ))
khi
1
A
C
So sánh TH1 và TH2 : ycbt <=>A=C và B=−4C => Phương trình mặt phẳng cần
tìm là : x - 4y + z – 3 = 0
Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :
+) Lập phương trình mặt phẳng (
) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (
)
là nhỏ nhất hoặc khoảng cách đó là hằng số
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
Ví dụ 4: Cho đường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d
và
'
2 1
:
2 1 2
x y z
d
,
(Q): x + 2y +2z – 3 =0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho
1) Góc giữa hai mặt phẳng (Q) nhỏ nhất
2) Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ lớn nhất
Hướng dẫn :
1) Phương trình mặt phẳng (
) chứa d có VTPT :
2 2 2
( ; ; ), 0
n A B C A B C
r
có
dạng :
( 1) ( 2) 0
A x B y Cz
Ta có :
( ) . 0 2
d
d u n C A B
uur uur
Gọi góc giữa hai mặt phẳng là
,(0 )
2
=>
2
2 2
2 2
2
( 2 )
( ) 9.
2 4 5
2 4 5
A B
A B
c
A AB B
A AB B
os
− TH1: Nếu B = 0
2
( )
2
c
os
(1)
− TH2: Nếu B
0
,Đặt
A
t
B
2
2
( 2)
( )
2 4 5
t
c
t t
os
Xét hàm số
2
2
( 2)
( )
2 4 5
t
f t
t t
=>
5
( )
6
M f t
ax
tại t =1 hay
1
2
A
B
. Vậy
0;
2
30
6
M
ax cos
(2)
So sánh TH1 và TH2 =>
min
30
6
cos
với
1
2
A
B
=> Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x + 2y + 5z + 3 = 0
2) Phương trình mặt phẳng (
) chứa d có VTPT :
2 2 2
( ; ; ), 0
n A B C A B C
r
có
dạng :
( 1) ( 2) 0
A x B y Cz
Ta có :
( ) . 0 2
d
d u n C A B
uur uur
Gọi góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là :
,(0 )
2
=>
2
2 2
2 2
4 3
1 (4 3 )
sin( ) .
3
2 4 5
3. 2 4 5
A B
A B
A AB B
A AB B
− TH1: Nếu B = 0
2 2
( )
3
sin
(1)
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
− TH2: Nếu B
0
,Đặt
A
t
B
2
2
1 (4 3)
( ) .
3
2 4 5
t
t t
sin
Xét hàm số
2
2
(4 3)
( )
2 4 5
t
f t
t t
=>
25
( )
7
M f t ax
tại t =-7 hay
7
A
B
. Vậy
0;
2
5 3
sin
9
M
ax
So sánh TH1 và TH2 =>
m
5 3
9
ax
sin
với
7
A
B
=> Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 7x - y + 5z - 9 = 0
Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :
+) Lập phương trình mặt phẳng (
) chứa d sao cho góc giữa hai mặt phẳng
hoặc góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện nào đấy
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
Ví dụ 5: Cho mặt phẳng
( ) : 3 1 0
P x y z
. Và các điểm
(1;0;0)
A
;
(0; 2;3)
B
.
Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng
lớn nhất , nhỏ nhất
Hướng dẫn :
Gọi VTCP của đường thẳng d là:
2 2 2
( ; ; ), 0
u a b c a b c
r
( ) . 0 2
d P
d P u n c a b
uur uur
( 1;2; 3)
AB
uuur
;
, ( 2 7 ;2 2 ;2 )
d
u AB a b a b a b
uur uuur
=>
2 2
2 2
,
12 24 54
( , )
2 4 5
d
d
u AB
a ab b
d B d
a ab b
u
uur uuur
uur
− TH1: Nếu b = 0
( , ) 6
d B d
− TH2: Nếu b
0
,Đặt
a
t
b
2
2
12 24 54
( , ) ( )
2 4 5
t t
d B d f t
t t
;Xét hàm số
2
2
12 24 54
( )
2 4 5
t t
f t
t t
=>
6 ( , ) 14
d B d
So sánh TH1 và TH2 =>
6 ( , ) 14
d B d
+)
( ( , )) 6 0
Min d B d b
chọn a =1 => c= 1
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1
0
x t
y
z t
+)
( ( , )) 14
M d B d a b
ax
chọn b = -1 => a =1 , c =-1
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1
x t
y t
z t
Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :
+) Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một
khoảng thỏa mãn một điều kiện nào đấy
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
Ví dụ 6: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (1;-1;2),song song với mặt
phẳng
( ) : 2 3 0
Q x y z
,đồng thời d tạo với đường thẳng
'
1 1
:
1 2 2
x y z
d
một góc lớn nhất , nhỏ nhất
Hướng dẫn :
Gọi VTCP của đường thẳng d là:
2 2 2
( ; ; ), 0
u a b c a b c
r
/ /( ) . 0 2
d Q
d P u n c a b
uur uur
;
'
(1; 2;2)
d
u
uur
Gọi góc giữa hai mặt phẳng là
,(0 )
2
=>
2
2 2
2 2
5 4
1 (5 4 )
( ) .
3
5 4 2
3 5 4 2
a b
a b
c
a ab b
a ab b
os
− TH1: Nếu b = 0
1
( ) . 5
3
c
os
− TH2: Nếu b
0
,Đặt
a
t
b
2
2
1 (5 4) 1
( ) . . ( )
3 3
5 4 2
t
c f t
t t
os
;Xét hàm số
2
2
(5 4)
( )
5 4 2
t
f t
t t
=>
5 3
0 ( )
9
c
os
So sánh TH1 và TH2 =>
5 3
0 ( )
9
c
os
+)
( ( )) 0
Min c
os
=>
0
4
90
5
m
a
b
ax
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1 1 2
4 5 3
x y z
+)
5 3
( ( ))
9
M c
ax os
=>
min
1
5
a
b
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1 1 2
1 5 7
x y z
Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
+) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A ,song song với mặt phẳng
( )
Q
,đồng thời d tạo với đường thẳng
'
d
một góc thỏa mãn một điều kiện nào
đấy
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
Ví dụ 7: Lập phương trình đường thẳng d đi qua
(0; 1;2)
A
và cắt đường thẳng
'
1 2
:
2 1 1
x y z
d
sao cho
1) Khoảng cách từ
(2;1;1)
B
là lớn nhất , nhỏ nhất
2) Khoảng cách giữ d va
1 2
:
2 1 1
x y z
là lớn nhất
Hướng dẫn :
1)
' ( 1 2 ; ;2 ),
d d M M t t t t R
=> VTCP của d :
(2 1; 1; )
d
u AM t t t
uur uuuur
(2;2; 1)
AB
uuur
;
; (1 ;1;4 2 )
d
AB u t t
uuur uur
=>
2
2
,
12 18 18
( , ) ( )
6 2 2
d
d
AB u
t t
d B d f t
t t
u
uuur uur
uur
Xét hàm số
2
2
12 24 54
( )
2 4 5
t t
f t
t t
=>
1
( ) (0) 18; ( ) (2)
11
M t f Min t f
axf f
=>
1
( , ) 18
11
d B d
+)
1
( ( , )) 2
11
Min d B d t
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
3
1 3
2 2
x t
y t
z t
+)
( ( , )) 18 0
M d B d t
ax
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1
2
x t
y t
z t
2)
' ( 1 2 ; ;2 ),
d d M M t t t t R
=> VTCP của d :
(2 1; 1; )
d
u AM t t t
uur uuuur
Từ phương trình
=>
(2; 2;1)
u
uur
và
(5;0;0)N
(5;1; 2)
AN
uuur
;
; ( 1;4 1;6 )
d
u u t t t
uur uur
=>
2
2
, .
(2 )
( , ) 3. 3. ( )
53 10 2
,
d
d
u u AN
t
d d f t
t t
u u
uur uur uuur
uur uur
Xét hàm số
2
2
(2 )
( )
53 10 2
t
f t
t t
=>
4 26
( ) ( )
37 9
M t f axf
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
=>
( ( , )) 26
m d d ax
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
29
1 41
2 4
x t
y t
z t
Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho trước
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
Ví dụ 8: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (-1;0;-1)và cắt đường thẳng
'
1 2 2
:
2 1 1
x y z
d
sao cho góc giữa đường thẳng d và
3 2 3
:
1 2 2
x y z
là lớn nhất , nhỏ nhất
Hướng dẫn :
' (1 2 ;2 ; 2 ),
d d M M t t t t R
=> VTCP của d :
(2 2; 2; 1 )
d
u AM t t t
uur uuuur
Gọi góc giữa hai mặt phẳng là
,(0 )
2
=>
2
2
2 2
( ) . . ( )
3 3
6 14 9
t
c f t
t t
os
Xét hàm số
2
2
( )
6 14 9
t
f t
t t
=>
9 9
( ) ( )
7 5
M t f
axf
;
( ) (0) 0
Min t f
f
+)
( ( )) 0
Min c
os
=>
0
90 0
m
t
ax
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1 1
2 2 1
x y z
+)
2 5
( ( ))
5
M c
ax os
=>
min
9
7
t
=> Phương trình đường thẳng cần tìm là :
1 1
4 5 2
x y z
Nhận xét :
− Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :
+) Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho
trước
− Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
C.Bài Tập
Bài 1 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − y + z − 1 = 0 và
các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B (1 ; 0 ; −1) , C (2 ;1 ; −2) . Tìm điểm M thuộc mặt
phẳng (α) sao cho MA
2
+ MB
2
− MC
2
nhỏ nhất
ĐS : M (
2
3
;
1
3
;
2
3
)
Bài 2 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − 3y + 3z − 11 = 0
và các điểm A ( 3 ; −4 ; 5 ) , B (3 ; 3 ; −3) . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α)
sao cho
| |
MA−MB
lớn nhất
ĐS : M ( −
31
7
; −
5
7
;
31
7
)
Bài 3 : Cho đường thẳng
:
x+y−z−1=0
2x−y−1=0
và hai điểm A(2 ; −1 ; 1) , B(1 ;−1;0)
Tìm điểm M thuộc đường thẳng
để diện tích tam giác AMB đạt giá trị nhỏ
nhất
ĐS : M (
1
6
; −
2
3
; −
3
2
)
Bài 4 : Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B(−1 ; 1 ;2) . Viết
phương trình mặtphẳng (α) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất
ĐS : 6x + 3y + 5z − 7 = 0
Bài 5 : Cho đường thăng
:
x+y+z−1=0
x−y+z−1=0
và các điểm A(2 ; 1 ; −1) ,B(−1 ; 2 ; 0)
Trong các đường thẳng đi qua B và cắt đường thẳng
, viết phương trình
đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất ? bé nhất ?
ĐS : Lớn nhất :
x+1=0
y+z−2=0
; nhỏ nhất :
x+2y−3=0
y−z−2=0
Bài 6 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua
điểm A(1;2;4) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại
M , N ,P Khác gốc tọa độ sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất
ĐS :
x
3
+
y
6
+
z
12
=1
Bài 7 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua
điểm M(1;2;3) và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A,B,C sao cho
1
OA
2
+
1
OB
2
+
1
OC
2
nhỏ nhất
ĐS : x + 2y + 3z − 14 = 0
Bài 8 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua
điểm M(2;5;3) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại
A , B ,C sao cho OA + OB +OC nhỏ nhất
ĐS :
x
2+
6+ 10
+
y
5+ 10+ 15
+
z
3+ 6+ 15
= 1
Bài 9 : Cho mặt phẳng (α) : x-y+2z = 0 và các điểm A(1;2;-1),B(3;1;-2),
C(1;-2;1)
GV: Ngô Quang Nghiệp BT3
Tìm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho
a) MA+MB nhỏ nhất
b)
| |
MA-MC
lớn nhất
c) MA
2
- MB
2
- MC
2
lớn nhất
d)
MA+
MB+
MC
nhỏ nhất
ĐS : a) M(
13
5
; 1 ; −
4
5
)
b) M(
7
2
;
11
2
; 1)
c) M(2 ; −2 ;−2)
d) M(
5
3
;
1
3
; −
2
3
)
Bài 10 : Cho các đường thẳng
1
:
x−1
2
=
y+1
1
=
z−1
1
2
:
x+2y−z+1=0
x−y+z+1=0
Trong các đường thẳng đi qua A(2 ; −1 ; 2) và cắt đường thẳng
1
, viết
phương trình đường thẳng
sao cho khoảng cách giữa
và
2
là lớn nhất
ĐS :
x−2
41
=
y+1
68
=
z−2
−27
Bài 11 : Trong các mặt phẳng đi qua A(2 ;−1 ; 0) và song song với đường thẳng
d :
x+1
1
=
y−2
1
=
z+1
−1
Viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất
ĐS : x+y+2z−1=0
Bài 12 : Trong các đường thẳng đi qua A(1 ; 1 ; −1) và vuông góc với mặt phẳng
(β) : 2x−y+z+2=0 viết phương trình tạo với đường thẳng Oy một góc lớn nhất
ĐS : x +
5
2
y +
1
2
z −3 = 0
Bài 13 : Cho mặt phẳng (α) : x+y−z+1=0 và đường thẳng
d :
x+y+z−3=0
2x−y+z−2=0
Trong các đường thẳng đi qua A(1; −1 ; 2) và song song với mặt phẳng (α) viết
phương trình đường thẳng
sao cho khoảng cách giữa
và d là lớn nhất
ĐS :
1
1
2
x
y t
z t
Bài 14 : Cho đường thẳng d :
x−1
1
=
y+1
2
=
z−1
−1
và hai điểm A (2 ; 1 ; −1) và
B(3 ; −2 ; 1) . Trong các đường thẳng đi qua B và cắt d , viết phương trình các
đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất , nhỏ nhất
GV: Ngụ Quang Nghip BT3
S : Ln nht :
x3
19
=
y+2
3
=
z1
5
; Nh nht :
x3
5
=
y+2
20
=
z1
7
Bi 15 : Cho ng thng
:
x+yz1=0
2xyz=0
v hai im A(2 ;1 ; 1) v B(1;2;0)
Tỡm M thuc
sao cho MA
2
+ MB
2
nh nht
S : M(
5
7
;
6
7
;
4
7
)
Bi 17: (THTT 2009)
Cho ng thng
1 2
:
1 1 2
x y z
d
;
1
1 1 1
:
2 1 1
x y z
d
v hai im A(1 ; 4 ; 2) B(1 ; 2 ; 4)
a) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng d sao cho khong
cỏch t A ti (P) l ln nht
b) Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha ng thng d v to vi mt
phng
(xOy) mt gúc nh nht
c) Vit phng trỡnh mt phng (R) cha ng thng d v to vi trc Oy
gúc
ln nht
d) Trong cỏc ng thng i qua A v ct ng thng d , vit phng trỡnh
cỏc ng thng sao cho khong cỏch t B ti nú l ln nht , nh nht
e) Trong cỏc ng thng i qua A(2 ; 1 ; 2) v ct ng thng d , vit
phng trỡnh ng thng sao cho khong cỏch gia nú v d
1
l ln nht
S :
a) 5x + 13y 4z + 21 = 0
b) x y + z 3 = 0
c) x + 5y z + 9 = 0
d) Ln nht :
1 4 2
1 4 3
x y z
Nh nht :
1 4 2
15 18 19
x y z
Bi 18: (THTT 2009)
Cho ng thng
3 0
:
2 4 0
x y z
d
x y z
Vit phng trỡnh mt phng (P) cha
ng thng d v to vi mt phng (xOy) mt gúc bng 60
0
S :
a)
2 2 2 0
x y z
v
2 2 2 0
x y z
Bi 19: (THTT 2009)
Cho ng thng
: 1 2
2
x t
d y t
z t
Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua
ng thng d v to vi mt phng (P) :
2 2 0
x y z
mt gúc nh nht
S :
3 0
x y z
Bi 20: (H - B2009)
Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz, cho mt phng
(P): x 2y + 2z - 5 = 0 v hai im A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong cỏc ng
GV: Ngơ Quang Nghiệp BT3
thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà
khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
ĐS :
3 1
26 11 2
x y z
Bài 21: (ĐH - B2010) Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
Δ:
2
1
1
2
zyx
. Xác định tọa độ điểm M trên trục hồnh sao cho khoảng cách từ
M đến Δ bằng OM.
ĐS :
( 1;0;0); (2;0;0)
M M
Bài 22: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
1 2
1 1 2
x y z
và hai
điểm
(1;4;2); ( 1;2;4)
A B
. Xác định tọa độ điểm M thuộc
sao cho
a) MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
b)
3 2 4
OM AM BM
uuuur uuuur
nhỏ nhất
c) Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất
ĐS : a)
( 1;0;4)
M
b)
5 7
( ; ;3)
2 2
M
c)
12 5 38
( ; ; )
7 7 7
M
Bài 23: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
2 1
1 1 1
x y z
và
các điểm
(1;0;0); (0;1;1); (0;0;2)
A B C
. Xác định tọa độ điểm M thuộc
sao cho
Góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng
0
30
ĐS :
(0; 2;1)
M
Bài 24: (ĐH - A2009)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
(P): x – 2y + 2z - 1 = 0 và hai đường thẳng
1 2
1 9 1 3 1
: ; :
1 1 6 2 1 2
x y z x y z
. Xác định toạ độ điểmM thuộc
1
sao
cho khoảng cách từ M đến
2
và khoảng cách từ M đến (P) bằng nhau.
ĐS :
18 53 3
(0;1; 3); ( ; ; )
35 35 35
M M
Bài 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
(0;0;0); (3;0;0)
O A
(1;2;1); (2; 1;2)
B C
a) Lập phương trình mặt thẳng qua A,B và cắt trục Oz tại M sao cho diện tích
tam giác ABM bằng
9
2
b) Lập phương trình mặt thẳng qua C,Q và cắt trục Oy tại N sao cho thể tích
hối tứ diện ABCN bằng 12
ĐS : a)
2 2 3 0
x y z
b)
19 3 18 57 0
x y z
(file word tải tại đây : nghiepbt3.violet.vn)
Ngày : 20-03-2012 _________nghiepbt3________
