tuyển tập đề thi kỹ sư tài năng môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.54 MB, 18 trang )
N KSTN- K55
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG
2011
Tuyển tập đề thi Kĩ Sư Tài Năng
Môn Toán
Hà Nội, 22-8-2011
N KSTN- K55
2
Thông báo về: Lớp Ôn kiến thức thi Kĩ Sư Tài Năng - Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Đầu tiên: Gsttvn xin chúc mừng tất cả các em HS đã đỗ vào Đại học Bách Khoa Hà Nội, nhất là
những em đạt điểm cao và có giải HSG Quốc gia. Các em sẽ có cơ hội thi vào lớp Tài Năng – hệ
đào tạo tốt nhất Đại học Bách Khoa Hà Nội
Để giúp các em ôn luyện Toán Lý để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi Tài Năng: Gsttvn group sẽ
tổ chức lớp ôn luyện Toán Lý cho các em. Cụ thể:
Đăng kí:
Tên: Lương Văn A
Quê: VD: Ninh Bình SĐT: 01 Email:
Gửi : or nhắn tin: SĐT 01663788126.
Địa điểm: Số nhà 4, ngõ 93, Bùi Xương Trạch, p- Khương Đình, Thanh Xuân, HN
Thời gian: Bắt đầu: Thứ 4 ngày 24/8
Sáng 9h - 11h: Vật Lý
Chiều: 2h - 4h: Toán
(Lịch tiếp sẽ update sau - qua email hoặc SĐT của các em)
Tài liệu: (phục vụ quá trình học) Các em sẽ được cung cấp “Bộ tài liệu ôn thi Kĩ Sư Tài Năng –
2011” bao gồm: Đầy đủ các chuyên đề Toán Lý, các dạng bài tập hay thi
Lời giải chi tiết đề thi Toán Lý tất cả các năm trước,
Đề thi mới, đề thi thử + kèm lời giải.
(Đây là bộ tài liệu tuyệt hay, tất cả đều vừa được sáng tác bởi các Anh(chị) trong nhóm
Gsttvn).
Giáo viên: Là các anh (chị) hiện đang là sinh viên lớp KSTN – K55
Môn Toán:
1. Trần Vũ Trung – KSTN – ĐKTĐ – K55 (Giảng viên Toán chính)
2. Nguyễn Tuấn Linh - KSTN – ĐTVT – K55
3. Phạm Văn Cường – KSTN – ĐTVT – K55
Môn Lý:
1. Trịnh Văn Sơn – KSTN – ĐTVT – K55 (Giảng viên Lý chính)
2. Kim Đình Sơn - CNTT – K55
3. Nguyễn Xuân Ngọc – KSTN – CĐT – K55
4. Nguyễn Tuấn Linh -– KSTN – ĐTVT – K55
5. Trần Đình Thiêm – KSTN – ĐKTĐ – K55
Mục tiêu: Hướng dẫn các em chuẩn bị kiến thức Toán Lý tốt nhất để vượt qua kì thi khó khăn
này. Đồng thời truyền đạt kinh nghiệm ôn thi, làm bài thi của các anh chị đi trước, đặc biệt là kĩ
năng làm bài sao cho hạn chế tối đa sai sót không đáng tiếc. Thực tế đã cho thất: rất nhiều bạn
làm được nhưng chưa chắc đã có điểm.
Nội dung:
N KSTN- K55
3
Kiến thức Môn Toán:
1. Hàm liên tục
+ Giới hạn hàm số và tính liên tục
+ Các định lý về hàm liên tục trên đoạn (khoảng) đóng
2. Hàm khả vi
+ Giới hạn hàm số và tính khả vi
+ Đạo hàm của hàm hằng, hàm hằng hàm hợp
+ Cực trị hàm số
+ Các định lý về giá trị trung gian của hàm khả vi
3. Dãy số
+ Bài toán cần xác định công thức số hạng tổng quát
+ Bài toán cần xác định giới hạn dãy số truy hồi. Phương pháp ánh xạ co
+ Bài toán về dãy số xác định thông qua phép toán dãy số
4. Phương trình hàm
+ Phương pháp thế
+ Phương trình hàm dạng Cauchy
5. Tích phân
+ Các kĩ thuật tính toán, biến đổi: Đổi biến, tích phân từng phần
+ Bất đẳng thức tích phân
6. Các bài toán rời rạc khác: BĐT, hình học tổ hợp, tổ hợp, phương trình,….
Kiến thức Môn Lý:
1. Cơ học
2. Dao động cơ, sóng cơ
3. Quang hình
4. Điện học (dòng điện xoay chiều)
5. Sóng ánh sáng
6. Vật lý Hạt nhân
Mọi thông tin thắc mắc xin gửi về:
Anh: Lương Văn Thiện - KSTN-ĐTVT K55 mail: SĐT:01663788126
Cuối cùng xin chúc tất cả các em có được sự ôn luyện tốt nhất và đạt kết quả như mong muốn
trong kì thi này!
N KSTN- K55
4
1999
Bài 1, Kho sát s bin thiên ca hàm s c cho:
=
+
1 +
1
0
0 = 0
Bài 2, Tìm các s thc , , thu kin 2+ 316 = 0 sao cho
biu thc: = 2
2
+ 2
2
+ 2
2
444+ 15
t giá tr nh nht.
Bài 3, Chng minh r
cos + sin 2+ cos 3=
Có nghin ; vi mi , , thuc .
Bài 4, Tìm hàm s n [0; 1] bit rng:
0
1, [0; 1]
và:
1
2
1
2
,
1
,
2
.
N KSTN- K55
5
2000
Bài 1, Cho dãy s
1
,
2
,
3
. .
. tha mãn:
1
> 0,
= ln
1 +
1
, 1
Chng minh rng dãy s hi t n mt gii hn . Tìm .
Bài 2, Chng minh rng nu hàm s () thu kin:
1
2
1
2
3
,
1
,
2
thì () là hàm hng.
Bài 3, Cho () là hàm s nh và liên tc ti mi 0 , ly giá tr không
âm th u kin:
()
, 0
0
Tro là mt hng s ng minh rng
= 0, 0.
Bài 4, Hàm s f(x) thu kin
0, . Chng minh rng:
+
1
+
1
, , ,
0; 1
.
Bài 5, Cho các s thc
1
,
2
, ,
, khác nhau tmt. Chng minh rng:
1
1
+
2
2
+ +
= 0,
Khi và ch khi:
1
=
2
= =
= 0.
N KSTN- K55
6
2001
Bài 1, Cho hàm s:
=
(+1)
2
. Chng minh rng dãy s
nh bi:
0
= 1,
+1
=
, 0.
1. Chng minh rm duy nht
1
2
; 1.
2. Chng minh rng
1
2
; 1,
3. Chng minh r n
1
2
; 1. Suy ra tn ti mt s
(0; 1) sao cho
+1
=
vi mi
4. Chng minh rng lim
= .
Bài 2, Vi hai s , t
,
=
1+
.
Chng minh rng vi ba s , , ta luôn có:
,
,
+
,
.
Bài 3, Cho hàm s <0 và a<b. Chng minh rng:
1.
+
1
>
+
1
, ,
,
,
0,1
.
2.
(
+
2
).
Bài 4, Cho < và hàm s
có
liên tc trên tha mãn:
=
= 0 và
= .
Chng minh rng:
2
,
;
.
N KSTN- K55
7
2002
Bài 1, Cho b
1+
2
+ (1)
1. Gii bi = 2.
2. Tìm ln nht sao cho (1) nghii .
Bài 2, Cho dãy s {
}
=
1
=
1
3
+1
=
2
2
, 1
Chng minh rng dãy s {
} có gii hn khi + và tìm gii h
Bài 3, Cho các s thc
1
,
2
, ,
2002
, tha mãn:
0
0
0
+
1
2
+
2
3
+ +
2002
2003
= 0
Chng minh r
0
+
1
+
2
2
+ +
2002
2002
= 0 có
nghim trên
0; 1
.
Bài 4, Cho hàm s = () o hàm cp hai () 0 trên toàn b và
c nh. Tìm giá tr ln nht ca hàm s () = () + ()() trên
.
N KSTN- K55
8
2003
Bài 1, c () có bc bé nht ci ti = 1 vi (1) = 6 và
t cc tiu ti = 3 và (3) = 2.
Bài 2, Có tn ti hay không m c () thu kin:
i) () ()
ii) () ()
Vi mi giá tr ca .
Bài 3,
1. Cho hàm s nh và
> 0, . Bit rng tn ti
0
sao cho
0
=
0
. Chng mihnh rng
0
=
0
.
2. Gii h
=
3
+ 22
=
3
+ 22
=
3
+ 22
=
3
+ 22
Bài 4, Cho dãy s {
} tha mãn:
1
= 2
1
+
2
+ +
=
2
Tìm gii hn: lim
(
2
).
N KSTN- K55
9
2004
Bài 1, Tìm s , , sao cho:
lim
±
2
3
2
+
3
+ 5
2
1
3
3
+
2
5
4
4
+
4
4
+ 1
+ 2
2
+ 5
= 1
Bài 2, Chng minh rng vi mi tham s
3
9+
2
1
= 0
Luôn có 3 nghim.
Bài 3, Cho () là hàm s n [0; 1] và nhn giá tr n
[0; 1] tha mãn:
<
, , [0; 1]
Chng minh rng tn ti mm duy nht
0
0; 1
sao cho:
0
=
0
.
Bài 4,
1. Chng minh rng nu hàm s () liên t n [; ] thì:
2. Chng minh rng nu hàm s () o hàm liên t n [; ]
và thu kin () = () = 0 thì:
()
2
4
.
N KSTN- K55
10
2005
Bài 1, Cho dãy s
0
= 1,
=
1
+
1
1
, 0.
1. Chng minh rng dãy s trên không dn t i mt gii hn hu hn khi
+ .
2. Chng minh rng lim
+
= +.
Bài 2, Cho hàm s () liên tu gim trên [0; ] và [0; ]. Chng
minh rng:
0
0
Bài 3, Cho () là mt hàm s liên t n [0;
2
] tha mãn:
> 0 và
< 1
2
0
Chng minh r
= có ít nht mt nghim trong
khong: 0;
2
.
Bài 4, Cho hàm s:
=
sin(
1
) , 0
0 , = 0
(vi là hng s
Vi giá tr nào ca thì hàm s ( ) o hàm ti mi .
Bài 5, Tìm tt c hàm s () o hàm liên tc trên và tha mãn:
N KSTN- K55
11
+
=
+
+ 2, , .
2006
Bài 1,
3
2
+ 4 = 0, ), có bao nhiêu
nghim.
Bài 2, Cho dãy s
0
và:
+1
=
+
1
0
, .
1. Chng minh rt dãy s u :
0
1 và:
+1
= 2
1
2
,
T ng minh rng: lim
= +.
2. Chng minh rng nu 0
0
< 1 hay nu
0
< 0 thì : lim
= +.
Bài 3, Vi mi t :
=
1
0
1 +
2
1. Tìm : lim
.
2. Gi s (0; 1) t
=
0
1 +
2
,
=
1
1 +
2
Chng minh rng: lim
= 0.
Bài 4,
1. Tìm nh ng hàm s () nh trên , liên tc ti 0, sao cho:
2
=
, .
2. Tìm nh ng hàm s () nh trên , o hàm ti 0, sao cho:
2
= 2
, .
Bài 5, Cho , ng thng chéo nhau. , m c nh trên
. n thng có chiu dài t trên . Tìm v trí ca sao
N KSTN- K55
12
cho din tích toàn phn t din là nh nht.
2007
Bài 1, (
1 +
)
3
(1 ) = (1) ( là tham s)
1. Gi= 1.
2. m.
Bài 2, Vi n là s t:
=
21
(sin )
2
4
0
,
=
21
(cos 2 )
21
4
0
,
Chng minh rng:
1. lim
+
= lim
+
= 0.
2. 2
+
2
32
, 1.
Bài 3, Kí hiu
+
là tp các s th s :
+
+
là mt hàm s
liên tc tha mãn:
= (+ 1)
5
+ 1
5
. Chng minh rng:
1. Nu
1
=
2
thì
1
=
2
.
2. Hàm s () lim
+
(+1)
()
= 1.
Bài 4, Cho mt phng () m , v i vi () sao cho
không vuông góc vi ()nh v m , thuc () sao cho
= (> 0 c) và t dài + + t giá tr nh nht.
Bài 5, Cho
1
,
2
, ,
là các s th t.
Chng minh rng:
1
cos
1
+
2
cos
2
+ +
cos
= 0, .
N KSTN- K55
13
Khi và ch khi:
1
=
2
= =
= 0.
2008
Bài 1, Cho dãy s {
} tha mãn:
1
= 2,
1
+
2
+ +
=
2
, > 1
Tìm lim
2
Bài 2, Tính tích phân:
=
sin
sin
0
,
Bài 3, Cho hàm s () liên tc trên [0,1] và
<
1
2008
1
0
Chng minh r
=
2007
có ít nht mt nghim thuc
(0; 1).
Bài 4, Cho hàm s () liên t n [0,1] tha mãn (0) = 0, (1) = 1
Chng minh rng tn ti hai s , thuc (0; 1) phân bit sao cho:
= 1.
Bài 5, Cho hàm s : [, ] [, ] tha mãn:
<
, ,
,
,
Chng minh r() = có nghim duy nht trên [, ].
Bài 6, Cho n vuông góc chung cng thng chéo nhau
, ( , ), và m bt kì ln lut thuc và sao cho
+ = . Trong s ng thng , và , hãy
N KSTN- K55
14
m có kho n mng nói trên là ngn nht.
2009
Bài 1,
4
+
2
+ 4 = 0,
1
là tham s
1. Gi(1) khi = 6
2. (1) có nghim
Bài 2,
1. Chng minh rng vi mi c thì hàm s () =
o
hàm ti mm o hàm tm
0
= .
2. c các s thc
1
,
2
.
khác nhau tt. Ch ng minh
rng
1
1
+
2
2
+
3
3
+ . . +
khi và ch khi
1
=
2
= =
= 0
Bài 3,
1. Cho các s thc , , , , , tha mãn :
2
+
2
+
2
227 = 0
2
+
2
+
2
+ 1016+ 14+ 47 = 0
Sao cho =
2
+
2
+
2
+
2
+
2
+
2
222 t giá tr
ln nht
2. Cho 2 nng thng chéo nhau ; và = > 0 n
vuông góc chung. Góc gia và bng 30° m C , D lt
chy trên , sao cho + = (> 0) nh v trí
m C, D sao cho th tích t di t giá tr ln nht.
Bài 4, Tìm hàm s : tha mãn:
+
+
,
Bài 5, Cho hàm s : liên tc tha mãn:
+
1
+
1
, , và (0; 1)
N KSTN- K55
15
Chng minh rng:
(
+
2
).
2010
Bài 1, 1) Tính
sin
sin +
2
0
()
2) Cho hàm s = () nh trên tp s thc tha mãn:
(()
, , , à
(0)
= 0
Chng minh rng:
0
= 0
Bài 2, 1) Cho hàm s () kh vi liên tc cp 2 trên [0; 1] tha mãn
(0) = 1, (1) = 0. Chng minh rng [0; 1] sao cho () =
2) Tìm gii hn lim
30 +
30+ . . . +
30 ( d
Bài 3, 1) Hàm s () kh vi ti
0
c gi là li (lõm) tm này nu tn
ti lân cn cm
0
là (
0
) sao cho (
0
) ta có:
0
+
0
0
ng
0
+
0
(
0
))
Chng minh hàm s bt kì kh n [; ] s li (lõm) ít nht ti mt
m
0
(; )
2) S nào l sau:
1
1
+ 2
2
+ 3
3
+ + 1000
1000
và 2
2
2
2
2
Bài 4, Trong mi, gii bi
i không quen nhau. Chng minh rng nhóm này có th
ngi quanh mt bàn tròn sao cho mu quen vi ngi cnh
mình.
Bài 5, Cho , , là 3 góc ca 1 tam giác nhn. Chng minh rng:
N KSTN- K55
16
+
+
+
3
2
, ()
Các thành viên Gsttvn Group- n tip sc mùa thi 2011- vi bí kíp thi
i hm cao.
N KSTN- K55
17
Bui dy hc tình nguyn cho Sinh viên ca các thành viên Gsttvn Group.
N KSTN- K55
18
Bui dy hc tình nguyn cho Sinh viên ca các thành viên Gsttvn Group.
