Tải bản đầy đủ (.pdf) (7 trang)

Tuyen tap de thi thu dai hoc 2014 mon toan laisac de14 2014

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (336.36 KB, 7 trang )

S

GD&

T THANH HểA
TR

NG THPT BA

èNH

THI TH



I H

C L

N 1 N

M 2013
Mụn: TON; Kh

i A, B
Th

i gian lm bi: 180 phỳt

Phần chung cho tất cả thí sinh


(7,0

i

m)
Câu I (2,0 im) Cho hm s
2
1
1
x
y
x
+
=



th

l (C)
1.

Kh

o sỏt s

bi

n thiờn v v




th

(C) c

a hm s

.
2.

Tỡm cỏc giỏ tr


m




ng th

ng
3
y
x
m
=

+
c


t (C) t

i A v B sao cho tr

ng tõm c

a tam giỏc
OAB thu

c

ng th

ng
2
2
0
x
y


=
(O l g

c t

a

).

Cõu II
(
2,0 điểm)

1.
Gi

i b

t
phửụng trỡnh

3
2
(3
4
4)
1
0
x
x
x
x
+


+

2.


Gi

i
phửụng trỡnh
cos
cos 3
1
2
sin
2
4
x
x
x



+
=
+
+





Câu III

(1,0 điểm)


Tớ
nh tớch phõn
2
2
0
1
3
sin
2
2cos
x xdx


+

Câu IV

(1,0 điểm)

Cho hỡnh chúp S.ABCD cú

ỏy ABCD l hỡnh ch

nh

t,
,
2
2
AB a

AD
a
=
=
.
Hỡnh chi

u vuụng gúc c

a

i

m S trờn m

t ph

ng (ABCD) trựng v

i tr

ng tõm tam giỏc BCD.

ng th

ng SA t

o v

i m


t ph

ng (ABCD) m

t gúc 45
0
. Tớnh th

tớch c

a kh

i chúp S.ABCD v
kho

ng cỏch gi

a hai

ng th

ng AC v SD theo
a
.
Câu V

(1,0 điểm)
Cho
x

,
y
,
z
l cỏc s

th

c d

ng. Ch

ng minh b

t

ng th

c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(

)
(
)
(
)
x
xy
y
yz
z
zx
y
zx
z
z
xy
x
x
yz
y
+
+
+
+
+

+
+
+
+

+
+

PHN RIấNG

(3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc ph n B)
A. Theo ch

ng trỡnh chu

n

Câu VI.a (2,0 điểm)
1.

Trong m

t ph

ng Oxy, cho hai

ng th

ng d
1
:
3 5 0x y+ + =
, d
2
:

3 1 0x y+ + =
v

i

m
( 1 ; 2)I
.
Vi

t ph

ng trỡnh

ng th

ng

i qua I v c

t d
1
, d
2
l

n l

t t


i A v B sao cho
2 2AB =
.
2.

Trong khụng gian Oxyz, cho hai

i

m A(-1; -1 ;2), B(-2; -2; 1) v m

t ph

ng (P) cú ph

ng trỡnh
3
2
0
x
y
z
+

+
=
. Vi

t ph


ng trỡnh m

t ph

ng (Q) l m

t ph

ng trung tr

c c

a

o

n AB. G

i


l giao tuy

n c

a (P) v (Q). Tỡm

i

m M thu


c

sao cho

o

n th

ng OM nh

nh

t.
Cõu VII.a (1,0 im)
Tỡm s

ph

c z th

a món
( 1 3 )i z

l s

th

c v
2 5 1z i


+
=
.

B. Theo chơng trình nâng cao
Câu VI.b

(2,0 điểm)
1.

Trong m

t ph

ng
Oxy
, cho hai

ng th

ng d
1
:
3
5
0
x
y
+ + =

, d
2
:
3
5
0
x
y
+ =
v

i

m
( 1 ;
2)
I

.
G

i A l giao

i

m c

a d
1
v d

2
. Vi

t ph

ng trỡnh

ng th

ng

i qua I v c

t d
1
, d
2
l

n l

t t

i B
v C sao cho
2 2
1 1
AB AC
+


t giỏ tr

nh

nh

t.
2.
Trong khụng gian Oxyz, cho
A(1;1;0), B(0;1;1) vaứ C(2;2;1)
v m

t ph

ng (P): x + 3y z + 2 = 0
.
Tỡm t

a



i

m
M
thu

c m


t ph

ng (P) sao cho
MA
2
+ MB
2
+ MC
2

t giỏ tr

nh

nh

t.

Cõu VII.b (1,0 im)
Gi

i h

ph

ng trỡnh

() ( )
( ) ( )
2

1 2
1 2
2log 2 2 log 1 6
log 5 log 4 1
x y
x y
xy y x x
y x
+
+

+ + + =


+ + =


Hết
Cm n () ó gi ti www.laisac.page.tl
Đ
ÁP ÁN VÀ BI

U
Đ
I

M CH

M
Câu Ý

N

i dung
Đ
i

m
Kh

o sát s

bi
ế
n thiên và v


đồ
th

(C) c

a hàm s


2 1
1
x
y
x
+

=


1,00
TX
Đ
:
{ }
\ 1ℝ
.
2
3
' 0, 1
( 1)
y x
x

= < ∀ ≠


0,25
Hàm s

ngh

ch bi
ế
n trên các kho

ng

( ;1) và (1; )
−∞ +∞

1 1
2 1 2 1
lim ; lim
1 1
x x
x x
x x
+ −
→ →
+ +
= +∞ = −∞

− −
TC
Đ
:
1x =

2 1
lim 2
1
x
x
x
→±∞
+
=



TCN :
2
y
=

0,25
L

p BBT
x
−∞
1

+∞

y’ - -
y
2



−∞

+∞





2


0,25
1
Đồ
th


6
5
4
3
2
1
-1
-2
-4 -2 2 4 6
1

0,25
tr

ng tâm c

a tam giác OAB thu

c
đườ
ng th


ng
2 2 0
x y
− − =
(d)
1,00
Pt hoành
độ
giao
đ
i

m:
2 1
3
1
x
x m
x
+
= − +

. V

i
đ
k
1
x



2
PT 2 1 ( 1)( 3 ) 3 (1 ) 1 0 (1)
x x x m x m x m
⇔ + = − − + ⇔ − + + + =

0,25
D c

t (C) t

i A và B

Pt (1) có 2 nghi

m khác 1
2
11
(1 ) 12( 1) 0
( 1)( 11) 0
1
3 (1 ) 1 0
m
m m
m m
m
m m
>


∆ = + − + >

⇔ ⇔ + − > ⇔


< −
− + + + ≠



0,25
I
2

Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của (1). Khi đó
1 1 2 2
( ; 3 ), ( ; 3 )
A x x m B x x m
− + − +

G
ọi I là trung điểm của AB
1 2
1 1
, 3
2 6 2

I I I
x x
m m
x y x m
+
+ −
⇒ = = = − + =

0,25
G

i G là tr

ng tâm tam giác OAB
2 1 1
;
3 9 3
m m
OG OI G
+ −
 

=

 
 
 

1 1 11
2. 2 0

9 3 5
m m
G d m
+ −
 
∈ ⇔ − − = ⇔ = −
 
 
(TM). V

y
11
5
m
= −

0,25
Giả
i b

t
phöông trình

3 2
(3 4 4) 1 0x x x x+ − − + ≤

1,00

Đ
i


u ki

n :
1
x
≥ −
.
Đặ
t
2
0
1
1
y
y x
y x


= + ⇔

= +


Bpt tr

thành
3 2 2
(3 4 ) 0
x x y y

+ − ≤

0,25
TH 1.
0 1
y x
= ⇔ = −
. Th

a mãn BPT
TH 2.
0 1
y x
> ⇔ > −
. Chia hai v
ế
cho
3
y
ta
đượ
c
3 2
3 4 0
x x
y y
   
+ − ≤
   
   

.
Đặt
x
t
y
=
và gi
ải BPT ta được
1
t


0,25
2
1 0
0
1 1 1
1 0
x
x
x
t x x
y
x x
− ≤ <



≤ ⇒ ≤ ⇔ ≤ + ⇔





− − ≤



0,25
1
1 0
0
1 5
1
2
1 5 1 5
2 2
x
x
x
x
− ≤ <



+


⇔ − ≤ ≤




− +

≤ ≤



. K
ế
t h

p
1
x
> −
ta
đượ
c
1 5
1
2
x
+
− < ≤
. V

y t

p nghi


m c

a BPT là S =
1 5
1;
2
 
+

 
 

0,25
Gi

i
phöông trình
cos cos3 1 2 sin 2
4
x x x
π
 
+ = + +
 
 

1,00

⇔ = + +
2 cos 2x cos x 1 sin 2x cos 2x


0,25
⇔ − = +
cos 2x(2 cos x 1) 1 2sin x cos x

⇔ − − = +
2 2
2
(cos x sin x)(2 cos x 1) (cos x sin x)


+ =


− − = +

cos x sin x 0 (1)
(cos x sin x)(2 cos x 1) cos x sin x (2)

0,25
 
π π π
⇔ + = ⇔ + = π ⇔ = − + π
 
 
(1) 2 sin x 0 x k x k
4 4 4

0,25
II

2


π

=
= + π


⇔ − − = ⇔ ⇔

 
π

+ =
π π

 

+ = ± + π
 



cos x 0
x k
2
(2) 2 cos x(cos x sin x 1) 0
2 cos x 1
x k2

4
4 4
V

y pt có nghi

m là
π
= − + πx k
4
,
π
= + πx k
2
,
= πx k2

0,25
III

nh tích phân I =
2
2
0
1 3sin 2 2cosx xdx
π
− +


1,00


2
2
2
2
2
0
0
0
1 3sin 2 2cos (sin 3cos ) sin 3 cosI x xdx x x dx x x dx
π
π
π
= − + = − = −
∫ ∫ ∫

0,25
sin 3cos 0 tan 3
3
x x x x k
π
π
− = ⇔ = ⇔ = +

Do
0;
2
x
π
 


 
 
nên
3
x
π
=

0,25
3
2
0
3
sin 3 cos sin 3 cosI x x dx x x dx
π
π
π
= − + −
∫ ∫

3
2
0
3
(sin 3cos ) (sin 3cos )x x dx x x dx
π π
π
= − + −
∫ ∫


( ) ( )
3 2
0
3
cos 3 sin cos 3sinx x x x
π π
π
= − − + − −

0,25
1 3 1 3
1 3 3 3
2 2 2 2
= − − + + − + + = −

0,25
Tính th

tích c

a kh

i chóp S.ABCD và kho

ng cách gi

a hai
đườ
ng th


ng
AC và SD theo
a
.

1,00

G

i H là tr

ng tâm tam giác BCD. Theo GT
( )
SH ABCD


G

i
2 1
2
3 3
O AC BD CH CO AC a AH AC HC a
= ∩

= = =

= − =


SA t

o v

i
đ
áy góc 45
0
suy ra
0
45 2
SAH SH AH a
=

= =

0,25
G

i V là th

tích kh

i chóp S.ABCD thì
3
1 1 4 2
. .2 2 .2
3 3 3
ABCD
V S SH a a a a

= = =

0,25
G

i M là trung
đ
i

m c

a SB. M

t ph

ng (ACM) ch

a AC và // SD
Do
đ
ó
( ; ) ( ;( )) ( ;( ))
d SD AC d SD ACM d D ACM
= =

Ch

n h

t


a
độ
Oxyz nh
ư
hình v

. Khi
đ
ó
2 4 2
(0;0;0), ( ;0;0), (0;2 2 ;0), ; ;2 , ( ;2 2 ;0)
3 3
a a
A B a D a S a C a a
 
 
 
 

0,25
IV
5 2 2
; ;
6 3
a a
M a
 
 
 

 
.
( ;2 2 ;0)
AC a a
=


5 2 2
; ;
6 3
a a
AM a
 
=

 
 
 


2 2 2
(2 2 ; ; 2 )
AC AM a a a
∧ = − −
 
M

t ph

ng (ACM)

đ
i qua
đ
i

m
A và có vtpt
(2 2; 1; 2)n = − −

nên có
ph
ươ
ng trình là
0,25
M
H
O
B
D
C
A
S
2 2
2 2
2 2 2 0 ( ;( ))
8 1 2 11
a
a
x y z d D ACM


− − =

= =
+ +

Ch

ng minh
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
( ) ( ) ( )
x xy y yz z zx
y zx z z xy x x yz y
+ + +
+ + ≥
+ + + + + +
(1)

1,00

Ta có
2 2
( ) ( . . . ) ( )( )
y zx z y y x z z z y x z y z z
+ + = + + ≤ + + + +

2 2
2

2
1 1 2 2
( )( 2 ) ( )( 2 )
( ) ( )
x xy x xy
x y z y z x y z y z
y zx z y zx z
+ +

≥ ⇔ ≥
+ + + + + +
+ + + +

0,25
2
2
1 2 1 2 2 2
( ) 2 ( ) 2
x xy x xy xz
x x x
x y z y z x y z y z
   
+ + +
= + − = −
   
+ + + + + +
   

2
2

x x
y z x y z
= −
+ + +
. T
ươ
ng t

, c

ng l

i ta
đượ
c
VT (1)
2 2 2
1
2 2 2
x y z
y z z x x y
≥ + + −
+ + +

0,25
2 2 2 2
2( )
2 1 1
2 2 2 3( )
x y z x y z

xy xz yz yx zx zy xy yz zx
 
+ +
= + + − ≥ −
 
+ + + + +
 

0,25
V
Chứng minh được
2
( ) 3( )x y z xy yz zx+ + ≥ + +
. Suy ra
VT (1)
2 1 1
≥ − =

Đẳ
ng th

c x

y ra
x y z= =

0,25
Vi
ế
t pt

đ
t
đ
i qua
I
và c

t d
1
, d
2
l

n l
ượ
t t

i
A

B
sao cho
2 2AB =
1,00
1 2
( ; 3 5); ( ; 3 1)
A d A a a B d B b b


− − ∈


− −

( 1; 3 3) 0; ( 1; 3 1)
IA a a IB b b
= − − − ≠ = − − +
  

I, A, B th

ng hàng
1 ( 1)
3 1 ( 3 3)
b k a
IB kIA
b k a
− = −


= ⇔

− + = − −

 

0,25
N
ế
u
1 1 4

a b AB
=

=

=
(không TM)
N
ế
u
1
3 1 ( 3 3) 3 2
1
b
b a a b
a


− + = − − ⇔ = −


0,25
[ ]
2
2
2 2
( ) 3( ) 4 2 2 (3 4) 8,
AB b a a b t t t b a
= − + − + = ⇔ + + = = −


2
2
5 12 4 0
2
5
t
t t
t
= −


⇔ + + = ⇔

= −


0,25
1
2 2 2, 4 :5 3 0
t b a b a x y
= −

− = −

= =

∆ + − =

2 2 6 8
, :13 11 0

5 5 5 5
t b a b a x y
− −
=

− =

= =

∆ + − =

0,25
Tìm
đ
i

m M thu

c

sao cho
đ
o

n th

ng OM nh

nh


t

1,00

VI.a
2
G

i I là trung
đ
i

m c

a AB
3 3 3
; ; . ( 1; 1; 1)
2 2 2
I AB
− −
 

= − − −
 
 


Pt (Q) là
3
0

2
x y z
+ + + =

0,25
Đườ
ng th

ng


đ
i qua
đ
i

m
7 1
;0;
4 4
I
 

 
 
và có vtcp
(2; 1; 1)
u
= − −



Pt tham s

c

a


7
2
4
1
4
x t
y t
z t

= − +


= −



= −


0,25
2
7 1 25

2 ; ; . 12 15
4 4 4
M M t t t OM t t
 
∈∆ ⇒ − + − − = − +
 
 

0,25
OM nhỏ nhất
5 19 5 3
; ;
8 6 8 8
t M
 
= ⇒ − −
 
 

0,25
Tìm số phức z thỏa mãn
(1 3 )
i z

là số
th

c và
2 5 1z i− + =
.


1,00

Gi

s


z x yi= +
, khi
đ
ó
(1 3 ) (1 3 )( ) 3 ( 3 )
i z i a bi a b b a i
− = − + = + + −

0,25
(1 3 )
i z

là s

th

c
3 0 3
b a b a
⇔ − = ⇔ =

0,25

2 2
2 5 1 2 (5 3 ) 1 ( 2) (5 3 ) 1
z i a a i a a
− + = ⇔ − + − = ⇔ − + − =

0,25
VII.a
2 2
2 6
10 34 29 1 5 17 14 0
7 21
5 5
a b
a a a a
a b
=

=


⇔ − + = ⇔ − + = ⇔

=

=


Vậy
7 21
2 6 ,

5 5
z i z i= + = +

0,25
Viết phương trình đường thẳng đi qua
I
và c
ắt d
1
, d
2
lần lượt tại
B

C
sao
cho
2 2
1 1
AB AC
+

đạt giá trị nhỏ nhất

1,00

1 2 1 2
, ( 2;1)
d d d d A A
⊥ ∩ =

⇒ −

0,25
G

i H là hình chi
ế
u c

a A trên BC.

ABC vuông tại A nên
2 2 2
1 1 1
AB AC AH
+ =

0,25
2 2
1 1
AB AC
+
nh

nh

t
2
1
AH


nh

nh

t
AH

l

n nh

t
H I⇔ ≡

0,25
1
Khi
đ
ó

qua I và có vtpt
( 1; 1)
n AI
= = − −
 
.
Pt



1 0
x y
+ + =

0,25
Tìm
M
thu

c (P) sao cho
MA
2
+ MB
2
+ MC
2

đạ
t giá tr

nh

nh

t

1,00

G


i G là tr

ng tâm tam giác ABC.
Ch

ng minh
đượ
c MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2

0,25
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
nh


nh

t
MG
nh

nh

t
M⇔
là hình chi
ế
u c

a G trên
(P).
0,25
VI.b
2
Tìm
đượ
c t

a
độ

4 2
1; ;
3 3

G
 
 
 

0,25
Tìm
đượ
c
22 61 17
; ;
3 3 3
M
 

 
 

0,25
Gi

i h

ph
ươ
ng trình

( ) ( )
( ) ( )
2

1
2
1 2
2log 2 2 log 1 6(1)
log 5 log 4 1 (2)
x
y
x y
xy y x x
y x

+
− +

− + − + + − =


+ − + =



1,00

Đ
k Gi

i h

ph
ươ

ng trình

1 1 0 0 1
1 2 0 2 1
x x
y y
≠ − > ≠ <
 

 
≠ + > − < ≠ −
 

0,25
(
)
(
)
1 2
(1) 2log (1 ) 2 2log 1 6
x y
x y x
− +
⇔ − + + − =

(
)
(
)
1 2

2 2log 2 2log 1 6
x y
y x
− +
⇔ + + + − =
.

0,25
Đặ
t
1
log ( 2)
x
t y

= +
ta
đượ
c
2
2
2 2 6 2 4 2 0 1
t t t t
t
⇔ + + = ⇔ − + = ⇔ =

0,25
VII.b
2 1
y x

+ = −
Thế vào (2) ta được

( ) ( )
1 1 1
2 2
log 2 log 4 1 log 1 1
4 4
x x x
x x
x x x
x x
− − −
+ +
+ − + = ⇔ = ⇔ = −
+ +

2
2 6 (TM)
4 2 0
2 6 (KTM)
x
x x
x

= −
− − = ⇔

= +




V

y
2 6, 1 6
x y
= − = − −

0,25



www.MATHVN.com

×