Tóm Tắt Công Thức Toán Phổ Thông

Ôn tập tóm tắt chương trình
thi đại học môn Toán









PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
I- GIẢI TÍCH TỔ HP

1. Giai thừa : n! = 1.2 n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;
mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n
cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là :

m x n.
4. Hoán vò : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P
n
= n !.
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :
)!kn(!k
!n
C
k
n
−
=

6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số
cách :
==
−
kk
nn
n!
A,A
(n k)!
k
nk
C.P
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vò
7. Tam giác Pascal :
1
1 1
1 2 1

1 3 3 1
1 4 6 4 1

4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0

1
0
0
CCCCC
CCCC
CCC
CC
C

Tính chất :

k
1n
k
n
1k
n
kn
n
k
n
n
n
0
n
CCC
CC,1CC
+
−
−

=+
===
8. Nhò thức Newton :

*
n0n
n
11n1
n
0n0
n
n
baC baCbaC)ba( +++=+
−
a = b = 1 :
01 n
nn n
CC C2+++=
n
Với a, b
∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :

n
n
1
n
0
n
C, ,C,C
*

nn
n
1n1
n
n0
n
n
xC xaCaC)xa( +++=+
−
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa bằng cách :
n
n
1
n
0
n
C, ,C,C
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x =
±1, ±2, a = ±1, ±2,
TRANG 1
Lap mang FPT Ha Noi 0988188614
Yahoo: salepro_fpt
Website: lapmang-fpt-hanoi.divivu.com
Edited by Foxit Reader
Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2010
For Evaluation Only.
- Nhân với x
k
, đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2,
- Cho a =

±1, ±2, , hay
∫∫
±± 2
0
1
0
hay
β
α
∫

Chú ý :
* (a + b)
n
: a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :
knkk m
n
Ca b Kx
−
=
Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)
n
: a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.

mr
knkk
pq
n
Ca b Kc d

−
=

Giải hệ pt :
⎩
⎨
⎧
∈
∈
Zq/r
Z
p
/
m
, tìm được k
* Giải pt , bpt chứa : đặt điều kiện k, n
∈ N C,A
k
n
k
n
*
, k ≤ n. Cần biết đơn
giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vò (xếp, không bốc), tổ
hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường
hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy
số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :

số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ đònh p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang
phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
=
≠
==
b/ca
0b
0cb
a/b = c

⇔ ;
⎩
⎨
⎧
≠
=
0b
bca
1n2
1n2
baba
+
+
=⇔=

TRANG 2

2n
2n
2n 2n
b
a
aba b, ab
a0
⎧
=
=⇔=± = ⇔
⎨
≥
⎩

⎩
⎨
⎧
α=⇔=
≥
±=
⇔=
α
a
bbloga,
0a
ab
ba

⎩
⎨
⎧
>
<
⎩
⎨
⎧
<
>
>
=
⇔<−<⇔<+
b/ca

0b
b/ca
0b
0c,0b
cab;bcacba
2. Giao nghiệm :


⎩
⎨
⎧
<⇔
<
<
⎩
⎨
⎧
>⇔
>
>
}b,amin{x
bx
ax
;}b,amax{x
bx
ax

⎧
⎨
Γ

⎧
>∨
<< <
⎧
⎩
⇔⇔
⎨⎨
<Γ
≥
⎧
⎩
⎩
⎨
Γ
⎩
p
xa pq
axb(nếuab)
;
xb
VN(nếua b)
q

Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3. Công thức cần nhớ :
a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện.

⎩
⎨
⎧

≤≤
≥
⎩
⎨
⎧
⇔≤
=
≥
⇔=
22
ba0
0b
ba,
ba
0b
ba


⎩
⎨
⎧
≥
≥
⎩
⎨
⎧
∨
≥
<
⇔≥

2
ba
0b
0a
0b
ba


)0b,anếu(b.a
)0b,anếu(b.a
ab
<−−
≥
=

b.
.
: phá
.
bằng cách bình phương :
2
2
aa = hay bằng đònh nghóa :

)0anếu(a
)0anếu(a
a
<−
≥
=

baba;
ba
0b
ba ±=⇔=
⎩
⎨
⎧
±=
≥
⇔=

ab b a ≤⇔− ≤ ≤b


b0
a b b 0hay
aba
≥
⎧
≥⇔ <
⎨
≤− ∨ ≥
⎩
b


0baba
22
≤−⇔≤

c. Mũ :
.1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay
x
<<↓>↑>∈=
TRANG 3

0m/n mmnmn
n
mn mn mn m.n nn n
nn n m n
a1;a 1/a;a.aa
a/a a ;(a) a ;a/b (a/b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1
−+
−
== =
===
==⇔=<≠∨


α
=α
<<>
><
⇔<
a
log
nm
a,

)1a0nếu(nm
)1anếu(nm
aa

d. log : y = log
a
x , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
y
↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = log
a
a
α
log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N (
⇐
)
log
a
(M/N) = log
a
M – log
a
N (
⇐
)

2
aaa
2
a
MlogMlog2,Mlog2Mlog ==
(⇒)
log
a
M
3
= 3log
a
M, log
a
c = log
a
b.log
b
c
log
b
c = log
a
c/log
a
b,
Mlog
1
Mlog

a
a
α
=
α

log
a
(1/M) = – log
a
M, log
a
M = log
a
N ⇔ M = N

aa
0MN(nếua1)
logM logN
MN0(nếu0a1
<< >
<⇔
>> <<
)

Khi làm toán log, nếu miền xác đònh nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh
dùng công thức làm thu hẹp miền xác đònh. Mất log phải có điều kiện.
4. Đổi biến :
a. Đơn giản :
Rxlogt,0at,0xt,0xt,0xt,Rbaxt

a
x2
∈=>=≥=≥=≥=∈+=

Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách
biến đổi trực tiếp bất đẳng thức.
b. Hàm số : t =
f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện,
cho vào miền xác đònh của
f.
c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều
kiện của t.
d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
5. Xét dấu :
a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số
bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) :
không đổi dấu.
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu
của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thò của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :

f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
* S = x
1
+ x

2
= – b/a ; P = x
1
x
2
= c/a
TRANG 4
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x
1
,x
2
) = 0
không đối xứng, giải hệ pt :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
=
21
21
x.xP
xxS
0
g

Biết S, P thỏa S
2

– 4P ≥ 0, tìm x
1
, x
2
từ pt : X
2
– SX + P = 0
* Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với 0 :
x
1
< 0 < x
2
⇔ P < 0, 0 < x
1
< x
2
⇔

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
>
>Δ
0S
0P
0
x

1
< x
2
< 0 ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
>Δ
0S
0P
0
* Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x
1
< α < x
2
⇔ af(α) < 0
α < x
1
< x
2
⇔ ; x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

<α
>α
>Δ
2/S
0)(f.a
0
1
< x
2
< α ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
α<
>α
>Δ
2/S
0)(f.a
0
α < x
1
< β < x
2
⇔
a.f( ) 0
a.f( ) 0
β
<

⎧
⎪
α
>
⎨
⎪
α<β
⎩
; x
1
< α < x
2
< β ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
β<α
>β
<α
0)(f.a
0)(
f
.a

7. Phương trình bậc 3 :
a. Viête : ax
3
+ bx

2
+ cx + d = 0
x
1
+ x
2
+ x
3
= – b/a , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= c/a , x
1
.x
2
.x
3
= – d/a
Biết x
1
+ x

2
+ x
3
= A , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= B , x
1
.x
2
.x
3
= C
thì x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghiệm phương trình : x
3

– Ax
2
+ Bx – C = 0
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :
• x = α ∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) :
3 nghiệm phân biệt ⇔
⎩
⎨
⎧
≠α
>Δ
0)(f
0
2 nghiệm phân biệt ⇔
⎩
⎨
⎧
≠α
=Δ
∨
⎩
⎨
⎧
=α
>Δ
0)(f
0
0)(f

0
1 nghiệm ⇔
()
Δ
⎧
Δ
⎨
α
⎩
= 0
< 0hay
f =
0
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng
sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế :
dùng sự tương giao giữa (C
m
) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0
TRANG 5
3 nghiệm ⇔
⎩
⎨
⎧
<
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y

2 nghiệm ⇔
⎩
⎨
⎧
=
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y

1 nghiệm ⇔ Δ
y'
≤ 0 ∨
⎩
⎨
⎧
>
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y

c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
⇔
⎩
⎨
⎧

=
>Δ
0y
0
uốn
'y
d. So sánh nghiệm với α :
• x = x
o
∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2
f(x) với α.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của
f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương
giao của (C
m
) : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
α < x
1
< x
2
< x
3
⇔

y'
CĐ CT
CĐ
0
y.y 0
y( ) 0
x
Δ>
⎧
⎪
<
⎪
⎨
α<
⎪
⎪
α<
⎩

α
x
1
x
1
< α < x
2
< x
3
⇔
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<α
>α
<
>Δ
CT
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
α
x
1
x
x
x
1
< x
2
< α < x
3
⇔
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
α<
<α
<
>Δ
CĐ
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
α
x
1
x
x
x
1
< x
2
< x
3
< α ⇔
y'

CĐ CT
CT
0
y.y 0
y( ) 0
x
Δ>
⎧
⎪
<
⎪
⎨
α>
⎪
⎪
<α
⎩

α
x
1
x
x
8. Phương trình bậc 2 có điều kiện :
TRANG 6
f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α
2 nghiệm ⇔ , 1 nghiệm ⇔
⎩

⎨
⎧
>Δ
≠α
0
0)(f
⎩
⎨
⎧
≠α
=Δ
⎩
⎨
⎧
=α
>
Δ
0)(f
0
0)(f
0

Vô nghiệm ⇔ Δ < 0 ∨
⎩
⎨
⎧
=α
=Δ
0)(f
0

Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
9. Phương trình bậc 4 :
a. Trùng phương : ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a ≠ 0) ⇔
⎩
⎨
⎧
=
≥=
0)t(f
0xt
2
t = x
2
⇔ x = ±
t

4 nghiệm ⇔ ; 3 nghiệm ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
>
>Δ
0S

0P
0
⎩
⎨
⎧
>
=
0S
0P
2 nghiệm ⇔ ; 1 nghiệm ⇔
⎩
⎨
⎧
>
=Δ
<
02/S
0
0P
⎩
⎨
⎧
=
=Δ
⎩
⎨
⎧
<
=
02/S

0
0S
0P

VN ⇔ Δ < 0 ∨ ⇔ Δ < 0 ∨
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
>
≥Δ
0S
0P
0
0
0
P
S
⎧
⎪
>
⎨
⎪
<
⎩

4 nghiệm CSC ⇔
⎩

⎨
⎧
=
<<
12
21
t3t
tt0

Giải hệ pt :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
=
21
21
12
t.tP
ttS
t9t
b. ax
4
+ bx
3
+ cx
2

+ bx + a = 0. Đặt t = x +
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT :
2t ≥

c. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
– bx + a = 0. Đặt t = x –
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R.
d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x
2
+ (a + b)x. Tìm đk
của t bằng BBT.
e. (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c. Đặt :
2
ba
xt
+
+=

, t ∈ R.

TRANG 7
10. Hệ phương trình bậc 1 :
⎩
⎨
⎧
=+
=+
'cy'bx'a
cb
y
ax
. Tính :
D =
'b
b
'a
a
, D
x
=
'b
b
'c
c
, D
y
=
'c

c
'a
a

D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = D
x
/D , y = D
y
/D.
D = 0, D
x
≠ 0 ∨ D
y
≠ 0 : VN
D = D
x
= D
y
= 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :

Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ĐK : S
2
– 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S
2
– 4P ≥ 0;
Thế S, P vào pt : X
2
– SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.

(α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
⇒ α = β ⇒ m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :

Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các
hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
13. Hệ phương trình đẳng cấp :
⎩
⎨
⎧
=++
=++
'dy'cxy'bx'a
dcybxyax
22
22
Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương
trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :

* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của
.,
, log, mũ có
thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình
dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.

* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a, b ≥ 0 :
ab
2
ba
≥
+

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a, b, c ≥ 0 :
3
abc
3
cba
≥
+
+

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)
2
≤ (a
2
+ b
2
).(c
2
+ d

2
); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
TRANG 8
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số
nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I :

Nếu tách được m, dùng đồ thò, lập BBT với x ∈ I.
f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯNG GIÁC
+
2
π
0
2−π

1. Đường tròn lượng giác :

Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM,
đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn
lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π.
2−π 2
π
0
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt :
bội của
6

π
(
3
1
cung phần tư) và
4
π
(
2
1
cung phần tư)
α

0
A
x+k2
π
M
x = α +
n
k
2 π
: α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều
trên đường tròn lượng giác.

2. Hàm số lượng giác :

3. Cung liên kết :

* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos

đối, tg cotg hiệu π).
cot
g
chiếu xu
y
ên tâm
t
g

M
cos
chiếu
⊥
sin
M
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu
2
π
(sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).
4. Công thức :

a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức
nhân ba.
f. Đưa về
2

a
tgt =
: đưa lượng giác về đại số.
g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.

TRANG 9
5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ,
sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ k2π; sinα = –1 ⇔ α = –
2
π
+ k2π,
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ kπ,
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a
2
+ b
2
≥ c

2
* Chia 2 vế cho
22
ba + , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo
2
u
tgt =
)
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :

Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
Đặt : t = sinu + cosu =
2
t1
2sin u , 2 t 2,sinu.cosu
42
π
−
⎛⎞
+−≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠

8. Phương trình chứa ⏐sinu + cosu⏐ và sinu.cosu :

Đặt :
2
1
202

42
t
t sinu cosu sin u , t ,sinu.cosu
π
−
⎛⎞
=+ = + ≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠

9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt :
π
−
⎛⎞
=− = −−≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠
2
1t
t sin u cosu 2 sin u , 2 t 2,sin u.cos u
42

10. Phương trình chứa ⏐sinu – cosu⏐ và sinu.cosu :
Đặt :
2
1
202
42
t

t sinu cosu sin u , t ,sinu.cosu
π
−
⎛⎞
=−= − ≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠

11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :

Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos
2
u, dùng công thức
1/cos
2
u = 1 + tg
2
u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
12. Phương trình toàn phương mở rộng :

* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos
3
u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :

Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.

* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
TRANG 10
* t = tg
2
x
: nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
14. Phương trình đặc biệt :
*

⎩
⎨
⎧
=
=
⇔=+
0v
0u
0vu
22
*
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
≥
≤
=
Cv
Cu
Cv
Cu
vu
*
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
≤
≤
Bv
Au
BAvu
Bv
Au
* sinu.cosv = 1 ⇔

⎩
⎨
⎧
−=
−=
∨
⎩
⎨
⎧
=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
* sinu.cosv = – 1 ⇔
⎩
⎨
⎧
=
−=
∨
⎩
⎨
⎧
−=
=
1vcos
1usin
1vcos

1usin
Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
a. Dạng 1 :
⎩
⎨
⎧
=±
=±
)2(nyx
)1(m)
y
(F)x(F
. Dùng công thức đổi + thành nhân,
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :
⎩
⎨
⎧
=−
=+
byx
a
y
x

b. Dạng 2 :
⎩
⎨
⎧
=±

=
nyx
m)
y
(F).x(F
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành
+.
c. Dạng 3 :
⎩
⎨
⎧
=±
=
nyx
m)
y
(F
/
)x(F
.
Dùng tỉ lệ thức :
db
ca
db
ca
d
c
b
a
−

−
=
+
+
⇔=
biến đổi phương trình (1) rồi dùng
công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16. Toán Δ :

* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)
A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng đònh lý hàm sin :
TRANG 11
a = 2RsinA hay đònh lý hàm cos : a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc.cosA
*
pr
R4
abc
Csinab

2
1
ah
2
1
S
a
====


)cp)(bp)(ap(p −−−=
* Trung tuyến :
222
a
ac2b2
2
1
m −+=

* Phân giác :
ℓ
a
=
cb
2
A
cosbc2
+

IV- TÍCH PHÂN

1. Đònh nghóa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của
f :
= F(x) + C (C ∈ R)
∫
dx)x(f
*
α+
α
=+ = +
α+
∫∫
1
u
du u C ; u du C
1
, α ≠ – 1

uu
du
ln u C; e du e C;
u
=+ =+
∫∫
∫
+= Caln/adua
uu

;
sinudu cosu C=− +
∫
∫
+= Cusinuducos


∫
;
+−= Cgucotusin/du
2
∫
+= Ctguucos/du
2

*
==−
∫
b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)

*
∫∫∫∫∫
+=−==
b
a
c

a
b
a
c
b
a
b
a
a
,;0
∫

∫∫∫∫∫
=+=+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf(
2. Tích phân từng phần :
udv uv vdu=−
∫∫
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
a.

∫∫ ∫
=
nnnxn
xu:xcosx;xsinx,ex
b.
∫
= xlnu:xlnx
n
c.
∫∫
== dxedvhayeu:xcose,xsine
xxxx
từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm
ʃ

3. Các dạng thường gặp :
TRANG 12
a. : u = sinx.
∫
+
xcos.xsin
1n2m
: u = cosx.
∫
+
xsin.xcos
1n2m
: hạ bậc về bậc 1
∫
xcos.xsin

n2m2
b. : u = tgx (n ≥ 0)
∫
xcos/xtg
n2m2
: u = cotgx (n ≥ 0)
∫
xsin/xgcot
n2m2
c. chứa a
∫
2
– u
2
: u = asint
chứa u
∫
2
– a
2
: u = a/cost
chứa a
∫
2
+ u
2
: u = atgt
d. , R : hàm hữu tỷ
∫
)xcos,x(sinR

R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx
R đơn giản :
2
x
tgu
=


∫
π
−
π
=
2
/
0
x
2
ặtthử:


∫
π
−π=
0
xặtthử:
e.
∫

+=∈++
nqq/pnm
bxau:Zn/)1m(,)bxa(x
f.
∫
+=∈+
+
+
nnqq/pnm
bxaxu:Z
q
p
n
1m
,)bxa(x

g.
u
1
khx:cbxax)khx/[(dx
2
=++++
∫

h.
∫
++ )dcx/()bax(,x(R
, R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u ++=
i. chứa (a + bx
∫

k
)
m/n
: thử đặt u
n
= a + bx
k
.

4. Tích phân hàm số hữu tỷ :

: bậc P < bậc Q
∫
)x(Q/)x(P
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)
n
, ax
2
+ bx + c (Δ < 0)
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :

n
n
2
21
n
)ax(
A

)ax(

A
ax
A
)ax(,
ax
A
ax
+
++
+
+
+
→+
+
→+

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+=<Δ
++++
+
++
+
→<Δ++
∫∫
atgtặt:)au/(du)0(

cbxax
dx
cbxax
B
cbxax
)bax2(A
)0(cbxax
22
222
2

TRANG 13
5. Tính diện tích hình phẳng :
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :
∫
=
b
a
D
dx)x(fS

f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ⏐.⏐; f(x) : hàm lượng giác
: xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác.
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
(C') : y = g(x) :
∫
−=
b
a
D

dx)x(g)x(fS

Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
c. D giới hạn bởi (C
1
) : f
1
(x, y) = 0 , (C
2
) : f
2
(x, y) = 0


α
/
b
D
a
Sf(x)
g
(x) dx=−
∫

x=b x=a
f(x)
g
(x)

β
/
b
D
a
Sf(
y
)
g
(
y
)d
y
=−
∫

y
=a
f(
y
)
y
=b
g
(
y
)

Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bò gãy, ta cắt D bằng các

đường thẳng đứng ngay chỗ gãy.
Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bò gãy, ta cắt D bằng các
đường ngang ngay chỗ gãy.
Chọn tính
∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bò chia cắt.
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Cần biết vẽ đồ thò các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E)
, (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm
.
.
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn
+

hay
−
(
)
trái: x,phải: x,dưới: y,trên: y −=+=−=+=


6. Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a
b
f(x)
a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :

[]
∫
π=
b

a
2
dx)x(fV
a
b
f(
y
)

b.
[]
∫
π=
b
a
2
dy)y(fV
b
f(x)
g
(x
a
TRANG 14

c.
∫
−π=
b
a
22

dx)]x(g)x(f[V
f(
y
)
a
g
(
y
)
b

d.
∫
−π=
b
a
22
dy)]y(g)y(f[V

a b
c
f(x) -
g
(x)f(x)
g
(x
ab
e.
∫∫
π+π=

b
c
2
c
a
2
dx)x(gdx)x(fV

f.
∫∫
π+π=
b
c
2
c
a
2
dy)y(fdy)y(gV


Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ dy.
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tìm lim dạng
0
0
, dạng 1
∞
:
a. Phân thức hữu tỷ :
1

1
ax
1
1
axax
Q
P
lim
)x(Q)ax(
)x(P)ax(
lim)0/0dạng(
)x(Q
)x(P
lim
→→→
=
−
−
=

b. Hàm lg :
1
u
usin
limthứccôngdùng),0/0dạng(
)x(g
)x(f
lim
0uax
=

→→

c. Hàm chứa căn :
)0/0dạng(
)x(g
)x(f
lim
ax→
, dùng lượng liên hiệp :
a
2
– b
2
= (a – b)(a + b) để phá , a
3
– b
3
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
) để phá
3

d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1
∞
) : dùng công thức e)u1(lim
u/1
0u
=+

→
2. Đạo hàm :
a. Tìm đạo hàm bằng đònh nghóa :
o
o
o
xx
0
xx
)x(
f
)x(
f
lim)x('f
−
−
=
→

Tại điểm x
o
mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :
Nếu thì f có đạo hàm tại x
.lim)x(f,lim)x(f
o
xx
o
/
o
xx

o
/
−
→
−
+
→
+
==
)x(f)x(f
o
/
o
/
−+
=
o
.
b
c
f(
y
)
-
g
(
y
)
a
b. Ý nghóa hình học :

M
α
f(x)
TRANG 15
k = tgα = f
/
(x
M
)

c. f
/
+ : f ↑ , f
/
– : f ↓
f
//
+ : f lõm , f
//
– : f lồi
d. f đạt CĐ tại M ⇔
⎩
⎨
⎧
<
=
0)x(f
0)x(f
M
//

M
/
f đạt CT tại M ⇔
⎩
⎨
⎧
>
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
M là điểm uốn của f ⇔ f
//
(x
M
) = 0 và f
//
đổi dấu khi qua x
M
.
e. Tính đạo hàm bằng công thức : C
/
= 0, (x
α
)
/
= αx

α–1
, (lnx)
/
= 1/x ,
()
a
1
log x
xlna
′
=
, (e
x
)
/
= e
x
(a
x
)
/
= a
x
.lna, (sinx)
/
= cosx , (cosx)
/
= – sinx, (tgx)
/
= 1/cos

2
x,
(cotgx)
/
= –1/sin
2
x, (ku)
/
= ku
/
, (u ±v)
/
= u
/
± v
/
, (uv)
/
= u
/
v + uv
/
,
(u/v)
/
= (u
/
v – uv
/
)/v

2
* Hàm hợp : (g
o
f)
/
= g
/
[f(x)]

. f
/
(x)
* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với
hàm [f(x)]
g(x)
hay f(x) dạng tích, thương, chứa
n

f. Vi phân : du = u
/
dx
3. Tiệm cận :

∞=
→
y
lim
ax
⇒ x = a : tcđ
xa

y
∞

∞



x
−
∞

+
∞


b
y
lim
x
=
∞→
⇒ y = b : tcn



y b b

x

−
∞

+∞

0)]bax(
y
[lim
x
=+−
∞→
⇒ y = ax + b : tcx


y
∞
∞

* Vẽ đồ thò có tiệm cận :
- t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c .
- t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
- t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.


* Xét
)x(Q
)x(P
y =

TRANG 16

• Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0
• Có tcn khi bậc P
≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc
cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q.
• Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có :
)x(Q
)x(P
bax)x(f
1
++= , tcx
là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer.
* Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 :

c
yaxb
dx e
=++
+
( d ≠ 0 )
• a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx
• a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ.
• c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc.
4. Đồ thò các hàm thường gặp :

a/ y = ax + b :
b/ y = ax
2
+ bx + c
c/ y = ax
3

+ bx
2
+ c + d

a> 0 :



a < 0 :

d/ y = ax
4
+ bx
2
+ c

a > 0

a < 0

e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0)




ad - bc > 0 ad - bc < 0

f/ y =
edx
cbxax

2
+
++
(ad ≠ 0)

ad > 0

a > 0
a < 0
a = 0
a < 0a > 0

y
′
Δ
> 0
y
′
Δ
= 0
y
′
Δ
< 0
ab > 0
ab < 0

y
′
Δ

> 0
y
′
Δ
= 0
y
′
Δ
< 0
TRANG 17

ad < 0



5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ :
x < a
x > a
a
x = a
y
< b
y
> b
b

y
= b

g(x) = f(–x) : đx qua (Oy)

g(x) = – f(x) : đx qua (Ox)

(C
/
) : y =
)x(
f
: giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0
đối xứng qua (Ox).
(C
/
) : y =
)x(
f
: giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x =
0 đối xứng qua (Oy).

6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m)

a/ Điểm cố đònh : M(x
o
, y
o
) ∈ (Cm), ∀m ⇔ y
o
= f(x
o
, m), ∀m ⇔ Am + B = 0,
∀m (hay Am
2

+ Bm + C = 0, ∀m) ⇔ (hay ). Giải hệ, được M.
⎩
⎨
⎧
=
=
0B
0A
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
0C
0B
0A
b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(x
o
, y
o
) ∉ (Cm), ∀m ⇔ y
o
≠ f(x
o
,m), ∀m ⇔
y
o

= f(x
o
, m) VN m ⇔ Am + B = 0 VN m (hay Am
2
+ Bm + C = 0 VN m) ⇔
(hay ). Giải hệ , được M.
⎩
⎨
⎧
≠
=
0B
0A
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
<Δ
≠
∨
≠
=
=
0
0A
0C

0B
0A
Chú ý :
C
B
A
=
VN ⇔ B = 0 ∨
⎩
⎨
⎧
=
≠
VNBCA
0B
c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(x
o
, y
o
)
⇔ y
o
= f(x
o
, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các
loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương.

7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :
a. (C) : y = f(x), tx (C
/

) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : .
Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm.
⎩
⎨
⎧
=
=
/
C
/
C
/
/
C
C
yy
yy
b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)
* Tại M(x
o
, y
o
) : y = f'(x
o
)(x – x
o
) + y
o
.
* Qua M (x

o
, y
o
): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – x
o
) + y
o
.
Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2
/ bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến).
TRANG 18
* // (Δ) : y = ax + b : (d) // (Δ) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
* ⊥ (Δ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : y =
a
1
−
x + m. Tìm m nhờ đk tx.
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C
/
) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được
đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ), M(x
o
,y
o
) ∈ (C
/
) ⇔ g(x
o
,y
o

) = 0; (d) qua
M : y = k(x – x
o
) + y
o
; (d) tx (C) :
⎩
⎨
⎧
=
=
ky
y
y
C
/
dC
(1). Thế k vào (1) được phương trình
ẩn x, tham số x
o
hay y
o
. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x
= số tiếp tuyến), tìm được x
o
hay y
o
.
8. TƯƠNG GIAO :

* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C
/
) : y = g(x) là : f(x) = g(x).
Số nghiệm pt = số điểm chung.
* Tìm m để (C
m
) : y = f(x, m) và (C
/
m
) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết
phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ
điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và
(d) : y = m có n điểm chung.
* Biện luận sự tương giao của (C
m
) và (C
/
m
) :
• Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của
(C
m
) và (C
/
m
) = số điểm chung của (C) và (d).
• PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (x ≠ α)
hay dạng bậc 3 : x = α ∨ f(x) = 0 : lập Δ, xét dấu Δ, giải pt f(x) = 0 để biết m nào

thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bò bớt đi 1.
9. CỰC TRỊ :

* f có đúng n cực trò ⇔ f
/
đổi dấu n lần.
* f đạt cực đại tại x
o
⇔
⎩
⎨
⎧
<
=
0)x(f
0)x(f
o
//
o
/
f đạt cực tiểu tại x
o
⇔
⎩
⎨
⎧
>
=
0)x(f
0)x(f

o
//
o
/
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trò ⇔ f có CĐ và CT ⇔
/
f
Δ
> 0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trò :
• Bên phải (d) : x = α ⇔ y
/
= 0 có 2 nghiệm α < x
1
< x
2
.
• Bên trái (d) : x = α ⇔ y
/
= 0 có 2 nghiệm x
1
< x
2
< α .
• 1 bên (Ox) ⇔
0
0
/
f
CD CT

y.y
Δ>
⎧
⎪
⎨
>
⎪
⎩
• 2 bên (Ox) ⇔
0
0
/
f
CD CT
y.y
Δ>
⎧
⎪
⎨
<
⎪
⎩

* Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện y
CĐ
.y
CT
< 0 (>0) có thể thay bởi y = 0
VN (có 2 nghiệm.).
TRANG 19

* Tính y
CĐ
.y
CT
:

• Hàm bậc 3 : y = y
/
(Ax + B) + (Cx

+ D)
y
CĐ
.y
CT
= (Cx
CĐ
+ D).(Cx
CT
+ D), dùng Viète với pt y
/
= 0.

• Hàm bậc 2/ bậc 1 :
v
u
y =

y
CĐ

.y
CT
=
)x(v).x(v
)x(u).x(u
CT
/
CĐ
/
CT
/
CĐ
/
, dùng Viète với pt y
/
= 0.
* Đường thẳng qua CĐ, CT :

• Hàm bậc 3 : y = Cx + D

• Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u
/
/ v
/
* y = ax
4
+ bx
2
+ c có 1 cực trò ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trò ⇔ ab < 0
10. ĐƠN ĐIỆU :

a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :

i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghòch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2
⇒ hàm số đạt cực đại tại x
1
và đạt cực tiểu tại x
2
.
Ngoài ra ta còn có :
+ x
1
+ x
2
= 2x
0
với x
0
là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x
1
)

+ hàm số tăng trên (x
2
, +∞)
+ hàm số giảm trên (x
1
, x
2
)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa điều kiện x
1
+ x
2
= 2x
0
(x
0
là hoành độ
điểm uốn). Ta cũng có :

+ hàm số giảm trên (−∞, x
1
)
+ hàm số giảm trên (x
2
, +∞)
+ hàm số tăng trên (x
1
, x
2
)
b. Biện luận sự biến thiên của y =
1bậc
2bậc

i) Nếu a.m > 0 và y
/
= 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác đònh.
ii) Nếu a.m < 0 và y
/
= 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghòch biến) trên từng khỏang xác
đònh.
iii) Nếu a.m > 0 và y
/
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì hàm đạt cực đại tại x
1

và đạt cực
tiểu tại x
2
thỏa x
1
< x
2
và
12
xx
p
2m
+
=
−
.
iv) Nếu a.m < 0 và y
/
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực
đại tại x
2
thỏa x
1
< x

2
và
12
xx
p
2m
+
=
−
.
c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghòch biến) trên miền x ∈ I :
đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghòch biến) của các BBT trên; so sánh
nghiệm pt bậc 2 y
/
= 0 với α.
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
TRANG 20
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo
sát thì dùng đồ thò của f), số nghiệm = số điểm chung.
b. Với pt mũ, log,
.,
, lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy
biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thò f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(x
o
, y
o
) :

Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa x

o
, y
o
, m; khử m, được F(x
o
, y
o
)
= 0; suy ra M
∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ?
⇔
x
o
?
(hay y
o
?)

• Nếu x
o
= a thì M ∈ (d) : x = a.

• Nếu y
o
= b thì M ∈ (d) : y = b.
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc)
tại I : đổi tọa độ : x = X + x
I
, y = Y + y

I
; thế vào hàm số : Y = F(X), cm :
F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thò có tđx là gốc tọa độ I.
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y
/
= 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất
hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào
hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thò có trục đối
xứng là trục tung X = 0, tức x = a.
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :

MN
MN
MM
NN
xx2x
yy2y
yf(x)
yf(x)
+=
⎧
⎪
+=
⎪
⎨
=
⎪
⎪
=
⎩

I
I
d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt
⊥ (d) là
(d') : y = –
a
1
x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm x
A
,
x
B
, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d)
⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm x
A
, x
B
, suy ra y
A
, y
B
. B
14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b +
edx
c
+
có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) :
giải hệ
⎪
⎩

⎪
⎨
⎧
∈
+
++=
Zy,x
edx
c
baxy
MM
M
MM
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∈
+
+
++=
Z
edx
c
,x
edx

c
baxy
M
M
M
MM


⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+∈
+
++=
ccủasốướcedx,Zx
edx
c
baxy
MM
M
MM

15. Tìm min, max của hàm số y = f(x)
Lập BBT, suy ra miền giá trò và min, max.
TRANG 21
16. Giải bất phương trình bằng đồ thò :
a

b
f
g


f < g ⇔ a < x < b, f > g ⇔
⎢
⎣
⎡
<
<
xb
ax
f
≤ g ⇔ a ≤ x ≤ b , f ≥ g ⇔
⎢
⎣
⎡
≥
≤
bx
ax
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

1. Tọa độ , vectơ :

* (a,b) ± (a
/
, b
/

) = (a ± a
/
, b ± b
/
)
k(a, b) = (ka, kb)
(a, b) = (a
/
, b
/
) ⇔
⎩
⎨
⎧
=
=
/
/
bb
aa
(a, b).(a
/
,b
/
) = aa
/
+ bb
/

22

ba)b,a( +=

/
/
/
v.v
cos(v,v )
v.v
=
rr
rr
rr

ABAB),yy,xx(AB
ABAB
=−−=
M chia AB theo tỉ số k
⇔ MB
k
MA
=


⇔
k1
kyy
y,
k1
kxx
x

BA
M
BA
M
−
−
=
−
−
=
(k ≠ 1)
M : trung điểm AB
⇔
2
yy
y,
2
xx
x
BA
M
BA
M
+
=
+
=

M : trọng tâm
ΔABC ⇔

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++
=
++
=
3
yyy
y
3
xxx
x
CBA
M
CBA
M

(tương tự cho vectơ 3 chiều).
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :

)'c,'b,'a(v),c,b,a(v
/
==

[]
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
//////
/
b
b
a
a
,
a
a
c
c
,
c
c
b
b
v,v
rr


///
v,v ] v .v .sin(v,v )=
rr r r rr

[


[
//
v,v]v,v
r
rrr
⊥
r

*
v
r
⊥ ⇔
/
v
/
v.v
r
r
= 0 ; = 0 ;
//
v//v [v,v ]⇔
rr rr
///
v,v,v
r
r
r

đồng phẳng
⇔
[ 0v].v,v
r
///
=
r
r

TRANG 22

[
]
AC,AB
2
1
S
ABC
=
Δ


[]
AS.AC,AB
6
1
V
ABC.S
=

/
'D'C'B'A.ABCD
AA].AD,AB[V =

A, B, C thẳng hàng ⇔
A
B//AC
uuuruuur

* Δ trong mp : H là trực tâm ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
0AC.BH
0BC.AH

H là chân đường cao h
a
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=

BC//BH
0BC.AH

M là chân phân giác trong ⇔
∧
A
MC
AC
AB
MB −=

M là chân phân giác ngòai ⇔
∧
A
MC
AC
AB
MB +=

I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC.
I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong của ΔABM với M
là chân phân giác trong của ΔABC.
∧
B
∧
A
2. Đường thẳng trong mp :

* Xác đònh bởi 1 điểm M(x
o

,y
o
) và 1vtcp
v
= (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :
(d) :
⎩
⎨
⎧
−
=
−
+=
+=
b
yy
a
xx
:)d(,
btyy
a
t
xx
oo
o
o

(d) : A(x – x
o
) + B(y – y

o
) = 0
* (d) qua A(a, 0); B(0,b) :
1
b
y
a
x
=+

* (AB) :
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−

* (d) : Ax + By + C = 0 có
)B,A(n;)A,B(v =−=

* (d) // (Δ) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By +
C

′
= 0
* (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C
/
= 0
* (d), (d
/
) tạo góc nhọn ϕ thì :
cosϕ =
()
/
/
/
d
d
d
d
d
d
n.n
cos( n ,n )
n.n
≠
uuruuur
u
uruuur
uuruuur

* d(M,(d)) =
22

MM
BA
CB
y
Ax
+
++

* Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d
/
) : A
/
x + B
/
y + C
/
= 0 là :
TRANG 23

2/2/
///
22
BA
CyBxA
BA
CByAx
+
++
±=
+

++


/
d
d
n.n
> 0 : phân giác góc tù + , nhọn –

/
d
d
n.n
< 0 : phân giác góc tù – , nhọn +
* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :

* Xác đònh bởi 1 điểm M(x
o
, y
o
, z
o
) và 1 pháp vectơ :
n
= (A, B, C) hay 2 vtcp
'v,v
.
(P) : A(x – x
o

) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0

n
= [
'v,v
]
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có
n
= (A, B, C).
(P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c)
⇔
(P) : x/a + y/b + z/c = 1
* Cho M(x
o
, y
o
, z
o
), (P) : Ax + By + Cz + D = 0
d(M,(P)) =
222
ooo
CBA
DCzB
y
Ax

++
+++

* (P) , (P
/
) tạo góc nhọn ϕ thì : cos
ϕ
= )n,ncos(
)'P()P(

* (P) ⊥ (P
/
) ⇔
)'P()P(
nn ⊥
, (P) // (P
/
) ⇔
)'P()P(
n//n

4. Đường thẳng trong không gian :

* Xác đònh bởi 1 điểm M (x
o
, y
o
, z
o
) và 1 vtcp

v
= (a, b, c) hay 2 pháp vectơ :
'n,n
:
(d) :
c
zz
b
yy
a
xx
:)d(,
ctzz
btyy
a
t
xx
ooo
o
o
o
−
=
−
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

−
+=
+=
+=


]'n,n[v =

* (AB) :
AA
BA BA B
A
A
x
xyyzz
x
xyyzz
−−−
==
−−−

* (d) = (P) ∩ (P
/
) :
0
0
Ax By Cz D
A' x B' y C' z D'
+++=
⎧

⎨
+++=
⎩
* (d) qua A, vtcp
v
thì :
d(M,(d)) =
v
]v,AM[

* ϕ là góc nhọn giữa (d), (d
/
) thì :
cosϕ =
)v,vcos(
/
d
d

* ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì :
TRANG 24