Tóm tắt công thức Xác suất thống kê

- 1 - Tóm tắt công thức
- 1 - XSTK
Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê
I. Phần Xác Suất
1. Xác suất cổ điển
 Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
 A
1
, A
2
,…, A
n
xung khắc từng đôi

P(A
1
+A
2
+…+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A
n
).
 Ta có
o A, B xung khắc

P(A+B)=P(A)+P(B).

o A, B, C xung khắc từng đôi

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
o ( ) 1 ( )P A P A  .
 Công thức xác suất có điều kiện:
( )
( / )
( )
P AB
P A B
P B

,
( )
( / )
( )
P AB
P B A
P A

.
 Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).
 A
1
, A
2
,…, A
n
độc lập với nhau


P(A
1
.A
2.
….A
n
)=P(A
1
).P(A
2
).….P( A
n
).
 Ta có
o A, B độc lập

P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C độc lập với nhau

P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
 Công thức Bernoulli: ( ; ; )
k k n k
n
B k n p C p q

 , với p=P(A): xác suất để biến cố A
xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.
 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
o Hệ biến cố gồm n phần tử A
1

, A
2
,…, A
n
được gọi là một phép phân
hoạch của 
1 2
. ; , 1,
...
i j
n
A A i j i j n
A A A

    



    



o Công thức xác suất đầy đủ:
1 1 2 2
1
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
n
i i n n
i
P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A


    


o Công thức Bayes:
( ). ( / )
( / )
( )
i i
i
P A P B A
P A B
P B


với
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
n n
P B P A P B A P A P B A P A P B A   
2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Luật phân phối xác suất


với ( ), 1, .
i i
p P X x i n   
Ta có:
1

1
n
i
i
p



và
f(
{a f(X) b}=
i
i
a x b
P p
 
 


X x
1
x
2
… x
n

P p
1
p
2

… p
n

- 2 - Tóm tắt công thức
- 2 - XSTK
 Hàm phân phối xác suất
( ) ( )
i
X i
x x
F x P X x p

  


 Mode
0 0
ModX max{ : 1, }
i
x p p i n   
 Median
0,5
( ) 0,5
MedX
( ) 0,5
0,5
i e
i e
i
x x

e
e
e
i
x x
p
P X x
x
P X x
p




 


  
 
 







 Kỳ vọng
1 1 2 2
1

( . ) . . ... .
n
i i n n
i
EX x p x p x p x p

    


1 1 2 2
1
( ( )) ( ( ). ) ( ). ( ). ... ( ).
n
i i n n
i
E X x p x p x p x p
    

    


 Phương sai
2 2
( ) ( )VarX E X EX 
với
2 2 2 2 2
1 1 2 2
1
( ) ( . ) . . ... .
n

i i n n
i
E X x p x p x p x p

    


b. Biến ngẫu nhiên liên tục.
 f(x) là hàm mật độ xác suất của X ( ) 1


 

f x dx ,
{a X b} ( ).
b
a
P f x dx  


 Hàm phân phối xác suất
( ) ( ) ( )
x
X
F x P X x f t dt

  


 Mode

0
ModX x  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x
0
.
 Median
1 1
( ) ( )
2 2
e
x
e X e
MedX x F x f x dx

    

.
 Kỳ vọng
EX . ( )x f x dx




.
( ( )) ( ). ( )E X x f x dx
 





- 3 - Tóm tắt công thức
- 3 - XSTK
 Phương sai
2 2
( ) ( )VarX E X EX  với
2 2
EX . ( )x f x dx




.
c. Tính chất
- ( ) , ( ) 0E C C Var C   , C là một hằng số.
-
2
( ) , ( )E kX kEX Var kX k VarX  
- ( )E aX bY aEX bEY  
- Nếu X, Y độc lập thì
2 2
( ) . , ( )E XY EX EY Var aX bY a VarX b VarY    
- ( )X VarX

 : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.
3. Luật phân phối xác suất
a. Phân phối Chuẩn
2
( ~ ( ; ))X N  
 ( )X    , EX=ModX=MedX=


,
2
VarX


 Hàm mđxs
2
2
( )
2
1
( , , )
2
x
f x e


 
 


  Với 0, 1:
 
  
2
2
1
( )
2
x

f x e


 (Hàm Gauss)
 (a X b) ( ) ( )
b a
P
 
     
 
với
2
2
0
1
( )
2
t
x
x e dt


 

(Hàm Laplace)
 Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối
xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc
Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES
Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var
Tính

2
2
0
1
( )
2
t
x
x e dt


 



2
2
1
( )
2





t
x
F x e dt

Shift 3 2 x ) =



Shift 3 1 x ) =


Shift 1 7 2 x ) =



Shift 1 7 1 x ) =
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1

Lưu ý: ( ) 0,5 ( ) F x x

b. Phân phối Poisson ( ~ ( ))X P 
 ( )X    ,
EX . odX=k -1 kVarX M
  
     

 (X=k)=e ,
!
k
P k
k


  

- 4 - Tóm tắt công thức
- 4 - XSTK
c. Phân phối Nhị thức ( ~ ( ; ))X B n p
 ( ) {0..n}X   , EX=np, VarX=npq, ModX=k ( 1) 1 ( 1)n p k n p     
 (X=k)=C . . , q p 0 ,
k k n k
n
P p q k n k

       
 Nếu ( 30;0,1 0,9; 5, 5)     n p np nq thì
2
~ ( ; ) ( ; )  X B n p N với
. ,n p npq   

1
(X=k) ( ), 0 ,
k
P f k n k

     
 

 (a X<b) ( ) ( )
b a
P
 
    
 

 Nếu ( 30, 5)    n p np thì ~ ( ; ) ( ) X B n p P với np 
 (X=k) e ,
!
k
P k
k


   
 Nếu ( 30, 0,9, 5)   n p nq
(X=k) e ,
( )!
n k
P k
n k



  

 với nq 

d. Phân phối Siêu bội ( ~ ( ; ; ))
A
X H N N n
 ( ) {max{0; ( )}..min{n;N }}
A A
X n N N   
 EX=np, VarX=npq
1

N n
N


với
A
N
p
N
 , q=1-p.

( 1)( 1) 2 ( 1)( 1) 2
1
2 2
A A
N n N n
ModX k k
N N
     
    
 
.
 (X=k)= , ( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P k X

C


  
 Nếu 20
N
n
 thì ~ ( ; ; ) ( ; )
A
X H N N n B n p với
A
N
p
N
 .
(X=k) C . . , ( ), 1
k k n k
n
P p q k X q p

       .

- 5 - Tóm tắt công thức
- 5 - XSTK
X
Y





Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông
dụng:






n

30, np<5
p

0,1

=np
N>20n
p=
A
N
N
, q=1-p
n

30, np
5
, nq
5

0,1<p<0,9
1
( ) ( )
k
P X k f

 

 
( ) ( ) ( )
b a
P a X b
 
 
 
 
   
với ,np npq
 
  
Siêu bội: X~H(N;N
A
;n)

.
( )
A A
k n k
N N N

n
N
C C
P X k
C


 

Poisson: X~

( )P
( )
!
k
P X k e
k



 

Nhị thức: X~B(n;p)

( ) . .
k k n k
n
P X k C p q

 

Chuẩn: X~
2
( ; )N
 

2
2
( )
2
1
( ; ; ) .
2
x
f x e


 
 



Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1)
2
2
1
( ) .
2
y
f y e




- 6 - Tóm tắt công thức
- 6 - XSTK


II. Phần Thống Kê.
1. Lý thuyết mẫu.
a. Các công thức cơ bản.
Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình
1
...
n
X X
X
n
 

1
...
n
x x
x
n
 

Phương sai không hiệu chỉnh

2 2

2
1
( ) ... ( )
ˆ
   

n
X
X X X X
S
n

2 2
2
1
( ) ... ( )
ˆ
   

n
x
x x x x
s
n

Phương sai hiệu chỉnh
2 2
2
1
( ) ... ( )

1
   


n
X
X X X X
S
n

2 2
2
1
( ) ... ( )
1
   


n
x
x x x x
s
n

b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau:



Khi đó
Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể

Giá trị trung bình
1 1
...
k k
x n x n
x
n
 

Phương sai không hiệu chỉnh

2 2
2
1 1
( ) ... ( )
ˆ
   

k k
x
x x n x x n
s
n

Phương sai hiệu chỉnh
2 2
2
1 1
( ) ... ( )
1

   


k k
x
x x n x x n
s
n


c. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu

- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [ ; )a b hay ( ; ]a b thì ta sử dụng giá
trị đại diện cho miền đó là
2
a b
để tính toán.


Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES
Bật chế độ nhập tần số Không cần
Shift Mode  4 1
Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var
Nhập số liệu
1
x Shift ,
1
n M+

k

x Shift ,
k
n M+

Nếu 1
i
n  thì chỉ cần
nhấn
i
x M+


X FREQ
1
x =

k
x =
1
n =

k
n =
i
x
1
x
2
x
…

k
x
i
n
1
n
2
n
…
k
n