064 đề hsg toán 8 lục ngạn 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NGẠN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2022-2023_MƠN TỐN LỚP 8
Bài 1. (6,0 điểm )
P

x3  3
2x  6 x  3


2
x  2 x  3 x  1 3  x với x  1; x 3

1) Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên
m m  2 x   x  8m
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 
có một
x

3
nghiệm

Bài 2. (4,0 điểm)
1) Gọi

Q  x

là đa thức thương trong phép chia đa thức
B x x 2  x  1

A  x  x 4  3x3  4 x 2  4 x  12

Q x

cho đa thức  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của  
2
2
2) Cho các số thực a, b thỏa mãn a  b  ab  a  b  1 0 . Tính giá trị của biểu thức
M 3a 3  2b 4  1

Bài 3. (3,0 điểm)
2
1) Cho số nguyên tố p thỏa mãn p  6 cũng là số nguyên tố. Chứng minh p  2021 là
hợp số
2
2) Tìm tất cả các số tự nhiên a để a  3a là số chính phương

Bài 4. (6,0 điểm)
ABC AB  AC


 có hai đường cao BM , CN cắt nhau tại H.
1) Cho tam giác nhọn
Đường thẳng vng góc với AC tại C cắt đường thẳng vng góc với AB tại B ở D
a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
b) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AD. Qua điểm O kẻ đường thẳng song
song với AH cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm của BC và tính độ daif
đoạn thẳng OK biết AH 6cm

2) Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I và
BD.CE 2 BI .CI . Tính số đo BAC
3
3
3
3
Bài 5. (1,0 điểm) Cho S a1  a2  a3  .....  a100 với a1 , a2 , a3 ,....., a100 là các số nguyên thỏa
2022
mãn a1  a2  .....  a100 2021 . Chứng minh rằng S  16


ĐÁP ÁN
Bài 1. (6,0 điểm )
P

x3  3
2x  6 x  3


2
x  2 x  3 x  1 3  x với x  1; x 3

3) Cho biểu thức
c) Rút gọn biểu thức P
P

3
x3  3
2 x  6 x  3 x  3   2 x  6   x  3   x  3  x  1




x 2  2 x  3 x 1 3  x
 x  3 ( x 1)

x 3  3  2 x 2  12 x  18  x 2  4 x  3 x3  3x 2  8 x  24


 x  3 ( x  1)
 x  3 ( x 1)

 x  3  x 2  8  x 2  8


 x  3 ( x  1) x  1
d) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên
x2  8 x2  1  9
9

x  1 
x 1
x 1
x 1
P  Z   x  1 U (9)  1; 3; 9  x    10;  4;  2;0; 2;8
P

m m  2 x  x  8m
4) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 
có một
x


3
nghiệm

Phương trình

m  m  2 x   x  8m

có một nghiệm

x 3  m  m  2.3 3  8m

 m 1
 m 2  2m  3 0   m  1  m  3 0  
 m  3

Bài 2. (4,0 điểm)
3) Gọi

Q  x

là đa thức thương trong phép chia đa thức

4

A  x  x  3x 3  4 x 2  4 x  12

B  x  x2  x  1

cho đa thức

Q x

của  
Thực hiện phép chia, ta có :
2

Q( x ) x 2  2 x  5  x 2  2 x  1  6  x  1  6
2

2

x  1 0  x    x  1  6  6  x 
Ta có 
Q x
 6  x  1 0  x  1
Do đó   min

. Tìm giá trị nhỏ nhất


2
2
4) Cho các số thực a, b thỏa mãn a  b  ab  a  b  1 0 . Tính giá trị của biểu
3
4
thức M 3a  2b  1
2
2
Ta có : a  b  ab  a  b  1 0

2

 2a 2  2b2  2ab  2a  2b  2 0   a 2  2ab  b 2    a 2  2a  1   b 2  2b  1 0
 a  b
 a 1
4

  a  b    a  1   b  1  a 1  
 M 3.13  2.   1  1 0
b  1 b  1

2

2

2

Vậy giá trị của biểu thức M 0
Bài 3. (3,0 điểm)
3) Cho số nguyên tố p thỏa mãn p  6 cũng là số nguyên tố. Chứng minh
p 2  2021 là hợp số
p 2  p  6 8 là hợp số (loại)

p 3  p  6 9 là hợp số (loại)
2
Suy ra p  3 mà p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3. Vậy p chia 3 dư 1
2
Nên p  2021 là hợp số
2

4) Tìm tất cả các số tự nhiên a để a  3a là số chính phương

Giả sử
a 2  3a b 2  4a 2  12a 4b 2  4a 2  12a  9  4b 2 9
2

2

  2a  3   2b  9   2a  2b  3  2a  2b  3 9

Lập bảng
2a  2b  3

1

1

3

3

2a  2b  3

9

9

3

a

2

4

b

1

2

3
3

2
3

2

Vậy

a    2;  4



3
2

3
2

2
thì a  3a là số chính phương

Bài 4. (6,0 điểm)


ABC AB  AC


 có hai đường cao BM , CN cắt nhau tại H.
3) Cho tam giác nhọn
Đường thẳng vng góc với AC tại C cắt đường thẳng vng góc với AB tại B
ởD


A
M
O
N
B

C

H
K
D

c) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
CH  AB( gt )  BD / / CH  1

Ta có BD  AB( gt ) và

BH  AC ( gt )  DC / / BH 2

 
Ta có DC  AC ( gt ) và
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành
d) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AD. Qua điểm O kẻ đường thẳng
song song với AH cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm của BC và
tính độ dài đoạn thẳng OK biết AH 6cm
OK / / AH gt

HD 3

  suy ra K là trung điểm của
 
Xét AHD có OA OD( gt ) và
Vì tứ giác BHCD là hình bình hành (cmt) có HD, BC là hai đường chéo (4)
Từ (3) và (4) suy ra K là trung điểm BC (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường)
4) Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I và
BD.CE 2 BI .CI . Tính số đo BAC


A
D

E
I

C

B
Đặt AB c, AC b, BC a
BD là phân giác của ABC




DA AB
DA
AB



DC BC
DA  DC AB  BC

DA
AB
DA
c
bc



 DA 
AC AB  BC
b
c a

c a

ABD 

AI là phân giác của

BI AB
BI
AB
BI
c
c a






ID AD
BI  ID AB  AD
ID c  bc
a b c
ca

BI
CE
c a
a b c
CI
b a

DB.CE 2 BI .CI 




BD 2CI
a b  c 2 b  a
Tương tự : CE a  b  c mà
 2  bc  ab  ac  a 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca
 a 2 b 2  c 2

Suy ra ABC vuông tại A. Vậy BAC 90
3
3
3
3
Bài 5. (1,0 điểm) Cho S a1  a2  a3  .....  a100 với a1 , a2 , a3 ,....., a100 là các số nguyên
2022
thỏa mãn a1  a2  .....  a100 2021 . Chứng minh rằng S  16

2
S   a1  a2  .....  a100  a1  a12  1  a2  a22  1  ....  a100  a100
 1

 a1  1 a1  a1  1   a2  1 a2  a2  1  .....   a100  1 a100  a100  1 6
 S  20212020 6


Mà

2021 5  mod 6   1 mod 6   20212020 1  mod 6 

 20212020 6k  1 k   *  S   6k 1 6  S  1  6k 6  S  16  dfcm 