Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận và Hệ phương trình tuyến tính

Chương 1:

Ma trận
và Hệ phương trình tuyến tính

1

/46


Nội dung

1. Ma trận
2. Các phép biến đổi sơ cấp
3. Hạng của ma trận
4. Hệ phương trình tuyến tính

2

/46


1. Ma trận
v  Định nghĩa ma trận:
Ma trận cỡ mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình
chữ nhật có m dòng và n cột .
Cột j

⎡ a11 ... a1 j
⎢ !
!

⎢
A = ⎢ ai1 ... aij
⎢ !
!
⎢
⎢⎣am1 ... amj

...

a1n ⎤
⎥
!
⎥
... ain ⎥
⎥
!
⎥
... amn ⎥⎦
3

Dòng i

/46


1. Ma trận
Ví dụ 1.

1
4

−
2
A=
02 5

(

)

2×3

A là ma trận thực cỡ 2x3 gồm 2 dòng và 3 cột
Phần tử của A: a11 = 1; a12 = 4; a13 = −2; a21 = 0; a22 = 2; a23 = 5
Ví dụ 2

⎛1 + i 2⎞
A=⎜
⎟
⎝ 3 − i i ⎠2×2
4

/46


1. Ma trận
Ma trận A có m dịng và n cột thường được ký hiệu
bởi A = (aij )
m×n

Tập hợp tất cả các ma trận cỡ mxn trên trường K

(K là R hoặc C) được ký hiệu là Mmxn(K)
Định nghĩa ma trận khơng
Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là
ma trận không, ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j).

⎛ 0 0 0⎞
A=⎜
⎟
⎝ 0 0 0⎠
5

/46


1. Ma trận
Phần tử khác không đầu tiên của một hàng kể từ
bên trái được gọi là phần tử cơ sở của hàng đó.

Phần tử cơ sở

⎛1 0 3⎞
⎜0 1 2⎟
⎜0 0 0⎟
⎝
⎠

Khơng là phần tử cơ sở
Dịng khơng có phần tử cơ sở

Định nghĩa ma trận dạng bậc thang

1. Hàng khơng có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì
nằm dưới cùng
2. Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải
(không cùng cột) so với phần tử cơ sở của
hàng trên.
6

/46


1. Ma trận

⎛2
⎜
0
⎜
A=
⎜0
⎜
⎝0

1 0

3

− 2⎞
⎟
0 7 2
6 ⎟ Không là ma
trận bậc

⎟
4 1 −2 5
thang
⎟
0 0 0
0 ⎠ 4×5

⎛ 2 1 1 − 2⎞
⎜
⎟
B = ⎜0 0 0 3 ⎟
⎜0 0 0 5 ⎟
⎝
⎠
7

Không là ma
trận bậc thang
/46


1. Ma trận
Ví dụ

⎛1
⎜
0
⎜
A=
⎜0

⎜
⎝0

3 0

2

− 2 ⎞ Là ma trận dạng
⎟ bậc thang
0 7 1
4 ⎟
0 0 −2 5 ⎟
⎟
0 0 0
0 ⎠ 4×5

⎛ 1 2 0 − 2⎞
⎜
⎟
B = ⎜0 0 1 3 ⎟
⎜0 0 0 7 ⎟
⎝
⎠
8

Là ma trận
dạng bậc thang
/46

1. Ma trận
Định nghĩa ma trận chuyển vị
Chuyển vị của

A = (aij )

m×n

là ma trận

T

A = (aij )

n×m

cỡ

nXm thu được từ A bằng cách chuyển dịng thành cột.
Ví dụ

⎛ 2 4⎞
⎜
⎟
T
A = ⎜ −1 0 ⎟
⎜ 3 9⎟
⎝
⎠3×2

⎛ 2 −1 3⎞
A=⎜
⎟
⎝ 4 0 9 ⎠ 2×3

9

/46


1. Ma trận
Định nghĩa ma trận vng
Nếu số dịng và cột của ma trận A bằng nhau và
bằng n, thì A được gọi là ma trận vuông cấp n.

⎛ 2 − 1⎞
A=⎜
⎟
⎝ 3 2 ⎠ 2×2

Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số K
được ký hiệu bởi M n (K)

10

/46


Các phần tử a11, a22,…,ann tạo nên đường chéo
chính của ma trận vuông A.

⎛ 2 3
⎜ 3 4
⎜
⎜ −2 1
⎜ 2 −1
⎝

1 −1 ⎞
0 5⎟
⎟
3 7⎟
6 8 ⎟⎠

Ma trận đường chéo là ma trận có các phần tử nằm
ngồi đường chéo chính bằng 0. Lúc đó ma trận
đường chéo được ký hiệu: diag(a11, a22,…,ann) với aii
là các phần tử nằm trên đường chéo chính.
11

/46


1. Ma trận
Định nghĩa ma trận tam giác trên
Ma trận vng A = aij
được gọi là ma trận tam
n×n
giác trên nếu aij = 0, ∀i > j
⎛ 2 −1 3 ⎞

⎜
⎟
A = ⎜0 3
6 ⎟
⎜ 0 0 − 2⎟
⎝
⎠

( )

Định nghĩa ma trận tam giác dưới
Ma trận vuông A = aij được gọi là ma trận tam giác
n×n
dưới nếu
aij = 0, ∀i < j
⎛2 0 0 ⎞
A = ⎜4 1 0 ⎟
⎜
⎟
⎜ 5 7 −2 ⎟
⎝
⎠

( )

12

/46

1. Ma trận
Định nghĩa ma trận đơn vị
Ma trận chéo với các phần
1 được gọi là ma trận đơn
và aii = 1 với mọi i). ⎛ 1 0
⎜
I = ⎜0 1
⎜0 0
⎝

tử đường chéo đều bằng
vị, tức là (aij = 0, i ≠ j;
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠

Định nghĩa ma trận đối xứng thực
Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i = 1,….n
và j =1,…,n được gọi là ma trận đối xứng (tức là,
nếu A = AT)
⎛ 2 −1 3 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −1 4 7 ⎟
⎜ 3 7 0⎟
⎝
⎠
13

/46


2. Phép biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng
1. Nhân một hàng tùy ý với một số khác không

hi → α hi ;α ≠ 0

2. Cộng vào một hàng một hàng khác đã được
nhân với một số tùy ý
hi → hi + β h j ; ∀β
3. Đổi chổ hai hàng tùy ý
hi ↔ h j

14

/46


2. Phép biến đổi sơ cấp
Ma trận A được gọi là tương đương dịng với ma
trận B nếu có một dãy liên tiếp các phép biến
đổi sơ cấp trên dòng biến A thành B. Ký hiệu,
A~B.
Định lý 1
Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc
thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng.
Chú ý
Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng

ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau
15

/46


2. Phép biến đổi sơ cấp

Ví dụ
Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa
ma trận sau đây về ma trận dạng bậc thang.
⎛ 1 1 −1 2 1 ⎞
⎜ 2 3 −1 4 5 ⎟
⎜
⎟
⎜ 3 2 −3 7 4 ⎟
⎜ −1 1 2 −3 1 ⎟
⎝
⎠

16

/46


2. Phép biến đổi sơ cấp
Bước 1. Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên
trái. Chọn phần tử khác không tùy ý làm phần tử
cơ sở.
⎛ 1 1 −1 2 1 ⎞

⎜ 2 3 −1 4 5 ⎟
⎜
⎟
⎜ 3 2 −3 7 4 ⎟
⎜ −1 1 2 −3 1 ⎟
⎝
⎠
Bước 2. Dùng bđsc đối với hàng, khử
tử còn lại của cột.
⎛ 1 1 −1 2 1 ⎞
⎛1
h2 →h2 −2h1
⎜ 2 3 −1 4 5 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜0
⎯⎯⎯⎯→
→
⎟ h3 →h3 −3h1 ⎜
A=⎜
h4 →h4 + h1
⎜ 3 2 −3 7 4 ⎟
⎜0
⎜ −1 1 2 −3 1 ⎟
⎜0
⎝
⎠
⎝
17

tất cả các phần
1

1

−1
1

−1

0

2

1

2
0

1⎞
3⎟
⎟
1 1⎟
−1 2 ⎟⎠
/46


2. Phép biến đổi sơ cấp
Bước 3 . Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử
cơ sở và những hàng trên nó. Áp dụng bước 1
và 2 cho ma trận còn lại
⎛ 1 1 −1 2 1 ⎞
1

1
−
1
2
1
⎛
⎞
⎜ 0 1 1 0 3 ⎟ h4 →h4 + h3 ⎜ 0 1 1 0 3 ⎟
⎟
h3 →h3 + h2
⎟⎯⎯⎯⎯→ ⎜
⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜
h4 →h4 − 2 h2
⎜0 0 1 1 4⎟
⎜0 0 1 1 4 ⎟
⎜0 0 0 0 0⎟
⎜ 0 0 −1 −1 −4 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

18

/46


3. Hạng của ma trận
Định nghĩa hạng của ma trận

Giả sử Amxn tương đương dòng với ma trận bậc
thang E (hay E là một dạng bậc thang của A). Khi
đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác
không của ma trận bậc thang E.
r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc
thang E
Chú ý:
Ma trận A có thể có nhiều dạng bậc thang nhưng
số dịng khác khơng của các dạng bậc thang đó là
như nhau. Do vậy, hạng của ma trận là duy nhất.
19

/46


3. Hạng của ma trận
Ví dụ: Tìm hạng của
⎛1 2
A = ⎜2 4
⎜
⎜3 6
⎝

ma trận sau
1 1⎞
2 2⎟
⎟
3 4 ⎟⎠

Giải.

⎛1 2 1 1⎞
⎛1 2 1 1⎞
h2 →h2 −2h1 ⎜
⎟
→
A = ⎜ 2 4 2 2 ⎟⎯⎯⎯⎯⎯
0
0
0
0
⎜
⎟ h3 →h3 −3h1 ⎜
⎟
⎜ 3 6 3 4⎟
⎜0 0 0 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 2 1 1⎞
h2 ↔ h3
⎜0 0 0 1⎟
⎯⎯⎯→
⎜
⎟ ⇒ r (A ) = 2
⎜0 0 0 0⎟
⎝
⎠
20

/46


3. Hạng của ma trận
Bài tập!
1. Sử dụng biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận
sau

⎛1 2 3 3⎞
A = ⎜2 4 6 9⎟
⎜
⎟
⎜ 2 6 7 6⎟
⎝
⎠
2. Tìm hạng của ma trận sau

⎛2 3 1 4⎞
B=⎜ 3 4 2 9 ⎟
⎜
⎟
⎜ −2 0 −1 −3 ⎟
⎝
⎠
21

/46

3. Hạng của ma trận
Ví dụ:
Tìm tất cả các giá
⎛1 1
A = ⎜2 3
⎜
⎜3 2
⎝

trị thực m sao cho r(A) =3
1
2 ⎞
4
1 ⎟
⎟
m m + 1⎟⎠

2 ⎞ ⎛1 1
1
2 ⎞
⎛1 1 1
A = ⎜2 3 4
1 ⎟ → ⎜0 1
2
−3 ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 3 2 m m + 1⎟ ⎜ 0 −1 m − 3 m − 5 ⎟
⎝

⎠ ⎝
⎠
1
2 ⎞
⎛1 1
→ ⎜0 1
2
−3 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 m −1 m − 8 ⎟
⎝
⎠

r(A) = 3 với mọi giá trị
m.
22

/46


3. Hạng của ma trận
Bài tập!
1.Tìm tất cả các giá trị thực m sao cho r(A) =2

⎛1
A = ⎜m
⎜
⎜m
⎝

m

m⎞
1 m⎟
⎟
m 1 ⎟⎠

2. Tìm tất cả các giá trị thực của m để cho r(A) = 3.

1 ⎞
⎛1 1 1
B = ⎜2 3 1
4 ⎟
⎜
⎟
⎜ 3 3 m m + 1⎟
⎝
⎠
23

/46


4. Hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính.
Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương
trình, n ẩn có dạng:

⎧ a11x1 + a12 x2

⎪a x + a x
⎪ 21 1
22 2
⎨
⋅
⋅
⎪ ⋅
⎪⎩am1x1 + am 2 x2

+ ⋅⋅⋅ +

a1n xn

=

b1

+ ⋅⋅⋅ +
⋅ ⋅ ⋅

a2 n xn
⋅

= b2
⋅ ⋅

+ ⋅⋅⋅ + amn xm

= bm

a11, a12, …, amn được gọi là hệ số của hệ phương
trình.
b1, b2, …, bm được gọi là hệ số tự do của hệ
phương trình.
24

/46


4. Hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa hệ thuần nhất.
Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất
nếu tất cả các hệ số tự do b1, b2, …, bm đều bằng
0.
Định nghĩa hệ khơng thuần nhất.
Hệ phương trình tuyến tính được gọi là khơng
thuần nhất nếu ít nhất một trong các hệ số tự do
b1, b2, …, bm khác 0.
Nghiệm của hệ là một bộ n số c1, c2, …, cn sao cho
khi thay vào từng phương trình của hệ ta được
những đẳng thức đúng.
25

/46