Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véc tơ

Chương 4:

Không gian véc tơ

1

/46


Nội dung
1. Không gian vectơ
2. Kgian con sinh bởi tập hữu hạn
3. Độc lập - Phụ thuộc tuyến tính.
4. Cơ sở và số chiều.
5. Tìm cơ sở một số kgian con .
6. Tọa độ của vec-tơ theo cơ sở.
2

/46


1. Không gian véc tơ
Định nghĩa:
1. x + y = y + x;

2. (x + y) + z = x + (y + z)

3. Tồn tại véc tơ không, ký hiệu 0 sao cho x + 0 = x
4. Mọi x thuộc V, tồn tại vectơ, ký hiệu –x sao cho
x + (-x) = 0
5. Với mọi số

α , β ∈ K và mọi vector x:
( α + β ) x = αx + βx

6. Với mọi số α ∈ K , với mọi x , y ∈V

α( x + y ) = α x + α y

7.( αβ ) x = α ( β x )

8. 1x = x

:


1. Khơng gian véc tơ
Tính chất của khơng gian véctơ
1) Véctơ không là duy nhất.
2) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất.
3) 0x = 0
4) α 0 = 0
5) -x = (-1)x

x ∈V

α ∈K
x ∈V


1. Khơng gian véc tơ

Ví dụ 1

V1 = {( x1 , x2 , x3 ) xi ∈ R}
Định nghĩa phép cộng hai véctơ như sau:
x + y = ( x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 )
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số thực như
sau: α ⋅ x = α ( x1 , x2 , x3 ) = (αx1 ,αx2 ,αx3 )
⎧ x1 = y1
⎪
Định nghĩa sự bằng nhau:
x = y ⇔ ⎨ x2 = y 2
⎪x = y
⎩ 3
3
V1-Không gian véctơ R3 trên trường số thực


1. Khơng gian véc tơ
Ví dụ 2

V2 = {ax 2 + bx + c a, b, c ∈ R}
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng
hai đa thức thông thường, đã biết ở phổ thông.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép
nhân đa thức với một số thực thông thường, đã biết
ở phổ thông.
Định nghĩa sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau
nếu hai đa thức bằng nhau, tức là các hệ số
tương ứng bằng nhau).
V2 - Không gian véctơ P2 [ x]

1. Khơng gian véc tơ
Ví dụ 3

⎧⎡a b ⎤
⎫
V3 = ⎨⎢
a, b, c, d ∈ R ⎬
⎥
⎭
⎩⎣ c d ⎦
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng
hai ma trận đã biết trong chương ma trận.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép
nhân ma trận với một số đã biết.
Định nghĩa sự bằng nhau của hai véctơ: hai véc
tơ bằng nhau hai ma trận bằng nhau.
V3 - Không gian véctơ

M 2 [ R]


1. Khơng gian véc tơ
Ví dụ 4

V 4 = {( x 1, x 2 , x 3 ) x i ∈ R ∧ 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 0}
Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số
giống như trong ví dụ 1.
V4 - là KGVT

CHÚ Ý: Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai
phép toán trên V1, ( hoặc V2, hoặc V3 ) sao cho V1
( hoặc V2, hoặc V3 ) là không gian véctơ.


1. Khơng gian véc tơ
Ví dụ 5

V 5 = {( x 1 ,x 2 ,x 3 ) x i ∈ R ∧ x 1 + x 2 − 2x 3 = 1}
Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số
giống như trong ví dụ 1.
V4 - KHƠNG là KGVT

x = (1,2,1) ∈V4 , y = (2,3,2) ∈V4
x + y = (3,5,3) ∉ V4


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
Tập con

V- KGVT trên K

M = {x1 , x2 ,..., xm }

∃α1,α 2 ,!,α m ∈ K không đồng thời bằng 0
α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm = 0

α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm = 0
→ α1 = α 2 =!α m = 0

M–phụ thuộc
tuyến tính

M – độc lập tuyến tính


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
V- KGVT trên K

Tập con

M = {x1 , x2 ,..., xm }

Vector x thuộc V được gọi là Tổ hợp tuyến tính của M, nếu

∃α1,α 2 ,!,α m ∈ K
x = α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ 5
Trong khơng gian R3 cho họ véc tơ

M = {(1,1,1); (2,1, 3), (1, 2, 0)}
1. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
2. Véctơ x = (2,-1,3) có là tổ hợp tuyến tính của họ M?
Giải câu 1. Giả sử α ( 1,1,1) + β ( 2,1, 3) + γ ( 1, 2, 0 ) = 0

⇔ ( α + 2β + γ ,α + β + 2γ ,α + 3β ) = ( 0, 0, 0 )
⎧α + 2β + γ = 0

⎛1 2 1 ⎞
⎪
⇒ r( A ) = 2
⇔ ⎨α + β + 2γ = 0 A = ⎜1 1 2 ⎟
⎜
⎟
⎜1 3 0 ⎟
⎪ α + 3β = 0
⎩
⎝
⎠
Hệ có vơ số nghiệm, suy ra M phụ thuộc tuyến tính


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
α ( 1,1,1) + β ( 2,1, 3) + γ ( 1, 2, 0 ) = x
⇔ ( α + 2β + γ ,α + β + 2γ ,α + 3β ) = ( 2, −1, 3)

Giải câu 2. Giả sử

⎧ α + 2β + γ = 2
⎪
⇔ ⎨α + β + 2γ = −1
⎪ α + 3β = 3
⎩

⎛1 2 1 2 ⎞
(A |b) = ⎜1 1 2 −1⎟
⎜
⎟

⎜1 3 0 3 ⎟
⎝
⎠

r(A |b) ≠ r(A )
Hệ pt vô nghiệm, suy ra không tồn tại bộ số α , β , γ
Vậy véctơ x khơng là tổ hợp tuyến tính của M.


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
M = {x1, x2 ,!, xm }

α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm = 0
Có duy nhất
nghiệm X = 0

Có nghiệm
khác khơng

Hệ thuần nhất
AX=0

M – độc lập tuyến tính

M – phụ thuộc tuyến
tính


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
M = {x1, x2 ,!, xm }

α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm = x
Hệ có nghiệm

Hệ vơ nghiệm

Hệ pt AX= b

x
x

là tổ hợp tuyến tính
của M

khơng là tổ hợp
tuyến tính


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ
Trong khơng gian véctơ V cho họ

M = {x, y, 2 x + 3 y, z}
a. Vécto 2x + 3y có là tổ hợp tuyến tính của x, y, z.
b. M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ
Trong khơng gian véctơ V cho { x, y} độc lập
tuyến tính, z khơng là tổ hợp tuyến tính của x và
y.
Chứng minh rằng
{ x , y , z } độc lập tuyến tính


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính

?

Nếu M chứa véctơ 0, thì M phụ thuộc tuyến tính.

M = {x1, x2 ,!, xm } - phụ thuộc tt

?

∃xi -

là tổ hợp tuyến tính của các véctơ cịn
lại trong M


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
?

Thêm một số véctơ vào họ phụ thuộc tuyến
tính ta thu được một họ phụ thuộc tuyến tính.

?

Bỏ đi một số véctơ của họ độc lập tuyến tính
ta thu được họ độc lập tuyến tính.
Cho họ véctơ M chứa m véctơ M = {x1 , x2 ,..., xm }

?

Cho họ véctơ N chứa n véctơ N = { y1 , y2 ,..., yn }
Nếu mỗi véctơ yk của N là tổ hợp tuyến tính
của M và n > m, thì N là tập phụ thuộc tuyến
tính.


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa hạng của họ véctơ

M = {x1, x2 ,!, xm ,!} ⊂ V
Hạng của họ M là k nếu tồn tại k véctơ độc
lập tuyến tính của M và mọi tập con của M
chứa nhiều hơn k véctơ thì phụ thuộc tuyến
tính.
Hạng của họ M là số tối đại các véctơ độc lập
tuyến tính của M.


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 11
Tìm hạng của họ véctơ sau.

M = {(1,1,1,0);(1, 2,1,1);(2,3, 2,1),(1,3,1, 2)}


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
⎛ 1 2 1 −1⎞
A=⎜ 3 1 0 5 ⎟
⎜
⎟
⎜ −2 4 1 6 ⎟
⎝
⎠
Họ véctơ hàng của A

M = {x1 = (1, 2,1, −1); x2 = (3,1,0,5); x3 = (−2, 4,1,6)}
Họ véctơ cột của A

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎫
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪
N =⎨ 3 , 1 , 0 , 5 ⎬
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪⎜ −2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎪
⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
Định lý về hạng:
Cho A là ma trận cở mxn trên trường K.
Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ
véctơ hàng A.

Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ
véctơ cột của A.


2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ
Tìm hạng của họ véctơ sau

M = {(1,1,1,0);(1,1, −1,1);(2,3,1,1),(3, 4,0, 2)}
Lời giải

⎛1
⎜1
A=⎜
⎜2
⎜3
⎝

1

1

0⎞
1 −1 1 ⎟
⎟
3 1 1⎟
4 0 2 ⎟⎠

M là họ véctơ hàng của A. Suy ra hạng của M
bằng hạng r(A) của ma trận A.

2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính

Cho tập hợp M chứa m véctơ.
1. Nếu hạng của M bằng với m (số véctơ của M)
thì M độc lập tuyến tính.
2. Nếu hạng của M nhỏ hơn m (số véctơ của M )
thì M phụ thuộc tuyến tính.
3. Nếu hạng của M bằng với hạng của M thêm
véctơ x, thì x là tổ hợp tuyến tính của M.