Bài giảng hình học 12 chương 3 bài 1 hệ trục tọa độ trong không gian

I- TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ
1- Hệ tọa độ Đề-các vng góc trong khơng gian
Trong khơng gian cho ba trục Ox, Oy, Oz đơi một vng góc tại gốc O.
Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề - các vng
góc Oxyz trong khơng gian, gọi tắt là hệ trục Oxyz hay khơng gian
Oxyz.
§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
, ,i j k
r r r
i, j, k
i j k i. j j.k k.i
= = = = = =
r r r
r r r rr r r rr
Vì là các vectơ đơn vò đôi một vuông góc nên:
và
2 2 2
1 0
z
y
x
k
j
i
O
2- Tọa độ của một điểm
§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Δ1. Trong khơng gian Oxyz, cho một điểm M. Hãy phân tích vectơ theo
ba vectơ khơng đồng phẳng đã cho trên các trục Ox, Oy, Oz

OM
uuuur
i, j, k
r r r
z
y
x
M
3
M
2
M
1
j
k
i
O
M
M'
OM OM ' M ' M OM OM OM
x.i y. j z.k
= + = + +
+ +
uuuur uuuuur uuuuuur uuuuur uuuuur uuuuur
r r r
Ta có
=
1 2 3
OM x.i y.j z.k
+ + ⇔

uuuur r r r
= bộ ba số (x; y; z) được gọi là
tọa độ của điể M(x; y; z) M=(x; y; z)
x: hoành độ; y: tu
Ta vi
ng đo
m M.
ä; z:
ết
ca
hay
o độ
3-Tọa độ của vectơ:
§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
,
.i . j .k.
.
= + +
=
r
r r r r
r
r
1 2 3 1 2 3
1 2 3
Trong không gian Oxyz cho vectơ a khi đó luôn tồn tại duy nhất
bộ ba số (a ; a ; a ) sao cho: a a a a
Ta gọi bộ ba số (a ; a ; a ) là tọa độ của vectơ a
Ta viết: a (
.i . j .k

• = + + ⇔ =
• ⇔ =
r
r r r r r
uuuur
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
a ; a ; a ); hoặc a(a ; a ; a ).
Như vậy: a a a a a (a ; a ; a )
M(x; y; z) OM (x; y; z)
AB, AD, AA' i, j, k
uuur uuur uuuur r r r
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc O,
có theo thứ tự cùng hướng với và có AB = a, AD = b, AA' = c.
Hãy tín
?2.
h to AB, AC, AC'
uuur uuur uuuur uuuur
ïa độ các vectơ và AM với M là trung điểm cạnh C'D'.
a.i . j .k
AD a.i b. j .k
AA' a.i b. j c.k
D' M AA' AD
• = + + ⇒ =
• = + = + +
⇒ =
• = + = + +
⇒ =
• = + = + +
uuur r r r uuur

uuur uuur uuur r r r
uuur
uuur uuur uuuur r r r
uuur
uuuur uuuur uuuuur uuuur uuur
AB AB (a; 0; 0).
AC AB
AC (a; b; 0)
AC' AC
AC' (a; b; c)
AM
Gi
AD
a
'
ûi
0 0
0
.
AD AA' a.i b. j c.k
a
+ = + +
⇒ =
uuur
uuur uuur uuuur r r r
uuuur
AB
= AB +
AM ( ; b c),
1

2
1 1
2 2
1
2
x
y
z
k
j
i
M
C'
B'
A'
D'
D
CB
A
II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TỐN VECTƠ
§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1- Định lí:
k k. k k k k
= =
• + = • − =
• = ∈
r r
r r r r
r
¡

Trong không gian cho hai vectơ a (x; y; z) và b (x', y'; z'). Ta có:
a b (x+x'; y+y'; z+z') a b (x - x'; y - y'; z - z')
.a (x; y; z)=( x; y; z),

Chứng minh: Các em về nhà xem SGK và tự chứng minh hai trường
hợp còn lại

Ví dụ:
= = =
+ − − −
r r r
r r r r r r
3
Trong không gian Oxyz, cho a (2; -3; 1); b (1; 3; -2) và c (-2; 0; 1).
Tính: 1) a b c ; 2) 2a b c
2- Hệ quả:
x x'
y y'
z z'
x k.x'
, y k.y' k
z k.z'
=


= = = ⇔ =


=


=
=


≠ ⇔ = ∈


=

r r r r
r
r r r r
¡
A A A B B B
a) Cho hai vectơ a (x; y; z) và b (x'; y'; z') ta có a b
b) 0 (0; 0; 0)
c) Với b 0 thì a cùng phương b ; ( )
d) Nếu A(x ; y ; z ), B(x ; y ; z
y
• =
+

=


+

• =



+

=


uuur
B A B A B A
A B
M
A B
M M M M
A B
M
) thì
AB (x - x ; y - y ; z -z )
x x
x
y y
M(x ; y ; z ) là trung điểm của AB thì:
z z
z
2
2
2

Ví dụ:
§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CÁC CỦA CÁC PHÉP TỐN VECTƠ
= = =
= +

r r r
r r r
1) Trong không gian Oxyz, cho a (2; -4; 1), ( ; 5; 2), (3; ; )
, ,
b x c y z
Tính x y z để a b c
+ = + + +
= −
+ = =−
 
 
= + ⇔ + =− ⇔ =−
 
 
+ = =−
 
r r
r
r r r
: ( 3; 5 ; 2)
(2; 4;1)
3 2 1
Vậy 5 4 9
2
iai
1
G û
1
Ta có b c x y z
a

x x
a b c y y
z z
2) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 2), B(3; -4; 7), C(0; 2; -1)
a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là một hình bình hành.
CỦNG CỐ: Về nhà các em cần học kỷ các mục sau:
-
Hệ tọa đọ Đề - các,
-
Tọa độ của điểm, tọa độ của vêctơ
-
Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, điều kiện để hai vectơ bằng
nhau, cùng phương.
HƯỚNG DẪN:
Bài tập 3/ T68
A( 1; 0; 1)
B( 2; 1; 2)
C
D(1; -1; 1)
D'
A'
B'
C'(4; 5; -5)
DC AB C
CC' BB' B'
DD' CC' D'
AA' DD' A'
= →
= →

= →
= →
uuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuuur
uuur uuuur
Bài tập VN: 1, 2, 3/ T68