CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (419.34 KB, 20 trang )
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
35
a.
2
; 2
3
a b
b.
3
; 1
4
a b
Bài 3 : Giải các phương trình sau
a.
1 2 1 3 2 3
i z i i i
b.
2 3 7 8
z i i
c.
1 3 4 3 7 5
i z i i
d.
1 3 2 4
i z i z
e.
1 2 5 6
2 3
z
i i
i
B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức
Bài 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a. 5 12 b. 8 6 c.
33 56 d. 3 4
i i i i
Giải:
a. Gọi
z x iy
là một căn bậc hai của
5 12
i
tức là
2
2 2
5 12 2 5 12
x iy i x y ixy i
2 2 2
2 2
2 2 2
5 4
5
2 12
13 9
x y x
x y
xy
x y y
2
3
x
y
Do
12 0 ,
b x y
cùng dấu do đó
2
3
x
y
hoặc
2
3
x
y
Vậy
5 12
i
có 2 căn bậc hai là
1
2 3
z i
và
2
2 3 .
z i
b. Tương tự gọi
z x iy
là một căn bậc hai của
8 6
i
tức là
2
2 2
8 6 2 8 6
x iy i x y ixy i
2 2 2
2 2
2 2 2
8 9
8
2 6
10 1
x y x
x y
xy
x y y
3
1
x
y
Do
6 0 ,
b x y
cùng dấu do đó
3
1
x
y
hoặc
3
1
x
y
Vậy
8 6
i
có 2 căn bậc hai là
3
i
và
3 .
i
c. Gọi
z x iy
là một căn bậc hai của
33 56
i
tức là
2
2 2
33 56 2 33 56
x iy i x y ixy i
2 2 2
2 2
2 2 2
33 49 7
33
4
2 56
65 16
x y x x
x y
y
xy
x y y
Do
56 0 ,
b x y
trái dấu do đó
7
4
x
y
hoặc
7
4
x
y
Vậy 2 căn bậc hai của
33 56
i
là
7 4
i
và
7 4.
i
d. Gọi
z x iy
là một căn bậc hai của
3 4
i
tức là
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
36
2
2 2
3 4 2 3 4
x iy i x y ixy i
2 2 2
2 2
2 2 2
3 1 1
3
2
2 4
5 4
x y x x
x y
y
xy
x y y
Do
4 0 ,
b x y
cùng dấu do đó
1
2
x
y
hoặc
1
2
x
y
Vậy 2 căn bậc hai của
3 4
i
là
1 2
i
và
1 2 .
i
Bài 2: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. 4 + 6
5
i b.
1 2 6
i
Giải:
a. Giả sử
z x iy
,x y
là một căn bậc hai của
4 6 5
w i
Khi đó:
2 2
2
2
2
2
3 5
(1)
4
4 6 5
45
2 6 5
4 (2)
y
x y
x
z w x yi i
xy
x
x
(2) x
4
– 4x
2
– 45 = 0 x
2
= 9 x = ± 3.
x = 3 y =
5
x = -3 y = -
5
Vậy số phức w = 4 + 6
5
i có hai căn bậc hai là: z
1
= 3 +
5
i và z
2
= -3 -
5
i
b. Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2
6
i
Khi đó:
2
2
1 2 6
z w x yi i
2 2
2
2
6
(1)
1
6
2 2 6
1 (2)
y
x y
x
xy
x
x
(2) x
4
+ x
2
– 6 = 0 x
2
= 2 x = ±
2
.
x =
2
y = -
3
x = -
2
y =
3
Vậy số phức w = 4 + 6
5
i có hai căn bậc hai là: z
1
=
2
-
3
i và z
2
= -
2
+
3
i
Dạng 2: Phương trình bậc hai
Bài 1: Giải các phương trình sau:
2 2
a. 3 4 5 1 0; (1) b. 1 2 0; (2)
x i x i x i x i
Giải:
a. Ta có
2
3 4 4 5 1 3 4
i i i
. Vậy
có hai căn bậc hai là 1+ 2i và −1 − 2i.
Do đó pt (1) có hai nghiệm là:
1 2
3 4 1 2 3 4 1 2
2 3 ; 1
2 2
i i i i
x i x i
b. Ta có
2
1 4 2 8 6
i i i
. Vậy
có hai căn bậc hai là 3 + i và −3 − i.
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
37
Do đó pt (2) có hai nghiệm là:
1 2
1 3 1 3
1; 2
2 2
i i i i
x x i
Chú ý:
PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a.
2
3 2 0 1
x x b.
2
1 0 (2)
x x c.
3
1 0 (3)
x
Giải:
a. Ta có
2
23 23 0
i
nên ta có hai căn bậc hai của
là:
23
i và
23
i . Từ đó nghiệm của pt (1) là:
1,2
1 23
6
i
x
b. Ta có
2
3 3 0
i
nên (2) có các nghiệm là:
1,2
1 3
2
i
x
c. Ta có
2
2
1 0
(3) 1 1 0
1 0; (*)
x
x x x
x x
Theo b. Pt (*) có hai nghiệm là
1,2
1 3
2
i
x
. Từ đó ta có các nghiệm của pt (3) là:
1
x
;
1,2
1 3
2
i
x
(Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1).
Bài 3: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:
4 3 ; 2 5
i i
HD:
Theo bài ra ta có:
2 8i; . 23 14i.
kết quả pt bậc hai cần lập là:
2
2 8 14 23 0
x i x i
Bài 4: Tìm m để phương trình:
2
3 0
x mx i
có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8.
Giải:
Theo bài ra ta có:
2
2 2
1 2 1 2 1 2
8 2 8
x x x x x x
(1).
Theo Vi−et ta có
1 2
1 2
3
x x m
x x i
Thay vào (1) ta được
2 2
6 8 8 6
m i m i
m là một căn bậc hai của
8 6 .
i
Vậy: có 2 giá trị của m là: 3 + i và −3 − i.
Bài 5: Trên tập số phức , tìm B để phương trình bậc hai
2
0
z Bz i
có tổng bình phương hai nghiệm bằng
4
i
.
Giải:
Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình đã cho và
B a bi
với ,a b
.
Theo đề phương trình bậc hai
2
0
z Bz i
có tổng bình phương hai nghiệm bằng
4i
.
nên ta có :
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 2 ( ) 2 4
z z z z z z S P B i i
hay
2
2
B i
hay
2 2 2
( ) 2 2 2
a bi i a b abi i
Suy ra :
2 2
0
2 2
a b
ab
.
Hệ phương trình có nghiệm (a;b) là
(1; 1),( 1;1)
Vậy :
1 ;B = 1
B i i
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
38
Bài 6: Cho
1 2
;
z z
là 2 nghiệm pt
2
1 2 3 2 1 0
i z i z i
Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2 1
a. ; b. ; c.
z z
A z z B z z z z C
z z
Giải:
Theo Vi−et ta có:
1 2
1 2
3 2 3 2 2 2 3 2
3 3
1 2
1 1 2 1 2
3 3
1 2
i
z z i
i
i
z z i
i
a. Ta có
2
2
1 2 1 2
3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 11 30 2 6 4 2
2 2
3 3 3 3 9 9
A z z z z i i i
b.
1 2 1 2
3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 5 2 2 1 10 2
3 3 3 3 9 9
B z z z z i i i
c. Ta có
2 2
1 2
1 2
6 26 2
18
1 2 1 2
3 3
z z
i
A
C
z z
i
.
Bài 7: Giải phương trình nghiệm phức trên tập số phức
a.
2
8(1 ) 63 16 0
z i z i
b.
2
2 3 4 3 1 0
i z i z i
HD:
a. Ta có
2 2
' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 (1 8 )
i i i i
Từ đó ta tìm ra hai nghiệm
1
5 12
z i
;
2
3 4
z i
.
b. Ta có
2 3 4 3 1 0
i i i
1 2
1 5
1;
13
i
z z
Bài 8: (CĐ – 2010) Giải phương trình
2
1 6 3 0
z i z i
trên tập hợp các số phức.
Giải:
Phương trình có biệt thức
2
1 4 6 3 24 10
i i i
2
1 5
i
Phương trình có hai nghiệm là:
1 2
z i
và
3 .
z i
Bài 9: (CĐ – 2009) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức:
4 3 7
2
z i
z i
z i
Giải:
Điều kiện:
1
z
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
39
Phương trình đã cho tương đương với
2
4 3 1 7 0
z i z i
Phương trình có biệt thức
2
4 3 4 1 7 3 4
i i i
2
2
i
Phương trình có hai nghiệm là:
4 3 2
1 2
2
i i
z i
và
4 3 2
3 .
2
i i
z i
Bài 10: Giải phương trình nghiệm phức :
25
8 6
z i
z
Giải:
Giả sử
z a bi
với ; a,b R và a,b không đồng thời bằng 0.
Khi đó
2 2
1 1
;
a bi
z a bi
z a bi
a b
Khi đó phương trình
2 2
25 25( )
8 6 8 6
a bi
z i a bi i
z a b
2 2 2 2
2 2 2 2
( 25) 8( ) (1)
(2)
( 25) 6( )
a a b a b
b a b a b
.
Lấy (1) chia (2) theo vế ta có
3
4
b a
thế vào (1) ta được a = 0 hoặc a = 4
Với a = 0 b = 0 ( Loại)
Với a = 4 b = 3 . Ta có số phức z = 4 + 3i.
Bài 11: Tìm các số thực b, c để phương trình z
2
+ bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm.
Giải:
Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z
2
+ bx + c = 0 ( b, c R), nên ta có :
2
0 2
1 1 0 2 0
2 0 2
b c b
i b i c b c b i
b c
Bài 12: Giải các pt sau:
2
z 0
z
Giải:
Giả sử , x,yz x yi
Ta có
2 2
2 2 2 2 2
0
z 0 2 0 2 0 0
2 0
x y x
z x y xyi x yi x y x xy y i i
xy y
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
40
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
3
0
3
0
0
2
2 1 0
4
2 1 0
1
3
1
2
2
2
1
2
x
y
x
x
x x
x y x
y
y
x y x
y
x y x
y
y
y
x y x
y x
x
x
y
x
x
1
0
1
2
3
2
1
2
3
2
x
y
x
y
x
y
Vậy: Có bốn số phức cần tìm là:
1 2 3 3
1 3 1 3
0, z 1, z , z
2 2 2 2
z i i
Bài 13: Tìm m để pt
2
3 0
z mz i
có hai nghiệm
1 2
,
z z
thỏa
2 2
1 2
8
z z
.
Giải:
Ta có:
2
2 2
1 2 1 2 1 2
8 2 . 8
z z z z z z
Với
1 2 1 2
, z . 3
b c
z z m z i
a a
Suy ra:
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
8 2 . 8 2.3 8 8 6 3 3
z z z z z z m i m i i m i
.
Bài 14: Cho số phức z thoả mãn
2
2 3 0
z z
. Gọi
f z
là số phức xác định bởi
17 15 14 2
( ) 6 3 5 9
f z z z z z z
. Tính mô đun của
f z
Giải:
Ta đặt
2
2 3 0 (1)
z z
(1) có
2 0
nên (1) có 2 nghiệm phức là
1
1 2
2
1 2
| | | | 3
1 2
z i
z z
z i
17 15 14 2 15 2 14 2 2
( ) 6 3 5 9 ( 2 3) 2 ( 2 3) 3( 2 3)
f z z z z z z z z z z z z z z z
nếu
1 1 1 1 1
( ) | ( ) | | | 3
z z f z z f z z
nếu
2 2 2 2 2
( ) | ( )| | | 3
z z f z z f z z
Vậy
| ( ) | 3
f z
Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai và phương trình bậc cao
Phương pháp 1: Phương pháp phân tích thành nhân tử:
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
41
Bài 1: Cho phương trình sau:
3 2
2 – 2 5 – 4 –10 0 1
z i z i z i
a. Chứng minh rằng (1) nhận một nghiệm thuần ảo.
b. Giải phương trình (1).
Giải:
a. Đặt z = yi với y R
Phương trình (1) có dạng:
3 2
2 2 5 4 –10i 0
iy i yi i yi
3 2 2
– 2 2 5 4 –10 0 0 0
iy y iy iy y i i
đồng nhất hoá hai vế ta được:
2
3 2
2 4 0
2 5 10 0
y y
y y y
giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2
Vậy phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i.
b. Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i
vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:
3 2 2
2 – 2 5 – 4 –10 – 2 ( , )
z i z i z i z i z az b a b R
đồng nhất hoá hai vế ta giải được a = 2 và b = 5.
2
1 – 2 2 5 0
z i z z
2
2
2
1 2
2 5 0
1 2
z i
z i
z i
z z
z i
Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm.
Bài 2: Giải các phương trình:
1. z
3
– 27 = 0
2. z
3
= 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x,y Z
Giải:
1.
3 2
2
2,3
1
1
– 27 0 –1 3 9 0
3 3 3
3 9 0
2
z
z
z z z z
i
z z
z
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
2. Ta có:
3
3 2 2 3
– 3 3 – 18 26
x yi x xy x y y i i
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:
3 2
2 3
3 18
3 26
x xy
x y y
Từ hệ trên, rõ ràng x 0 và y 0.
Đặt y = tx , hệ
2 3 3 2
18 3 – 26 – 3
x y y x xy
3 2 3 2 2
18 3 26 1 3 18 – 78 – 54 26 0 3 1 3 –12 –13 0.
t t t t t t t t t
Vì
1
, 3 1 3 .
3
x y Z t Q t x và y z i
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
42
Bài 3:
1. Tìm các số thực a, b để có phân tích: z
3
+3z
2
+3z – 63 = (z – 3)(z
2
+az + b)
2. Giải phương trình: z
3
+3z
2
+3z – 63 = 0
3. Cho phương trình:
3 2
5 16 30 0
z z z
(1), gọi
1 2 3
, ,
z z z
lần lượt là 3 nghiệm của phương trình
(1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức:
2 2 2
1 2 3
A z z z
.
Giải:
1. Giả thiết
3 2 3 2
3 3 – 63 3 3 – 3
z z z z a z b a z b
3 3
6
3 3
21
3 63
a
a
b a
b
b
2. Áp dụng phần 1. ta có:
3 2 2
3 3 – 63 0 – 3 6 21 0
z z z z z z
3
3 2 3
3 2 3
z
z i
z i
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
3.
3 2
5 16 30 0
z z z
có 3 nghiệm là:
1 2 3
3; 1 3 ; 1 3
z z i z i
2 2 2
1 2 3
7
A z z
Bài 4: Giải phương trình:
4 3 2
– 4 7 – 16 12 0 1
z z z z
Giải:
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghiệm z = 1.
3 2 2
1 –1 – 3 4 –12 0 –1 – 3 4 0
z z z z z z z
2
1
1
3
3
2
4 0
2
z
z
z
z
z i
z
z i
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài 5: Giải phương trình:
4 3 2
4 7 16 12 0
z z z z
Giải:
Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử ta có:
4 3 2 2
1
4 7 16 12 0 ( 1)( 3)( 4) 0 3
2
z
z z z z z z z z
z i
Bài 6: Giải phương trình
3 2
2 5 3 3 2 1 0
z z z z i
, biết rằng phương trình có nghiệm thực
Giải:
Phương trình có nghiệm thực
3 2
2 5 3 3
1
2
2 1 0
z z z
z
z
tức là phương trình có một nghiệm
1
2
z
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
43
Phương trình
2
2 1 3 3 0
z z z i
giải phương trình này ta được
1
2
z
;
2 ; 1
z i z i
Bài 7: Giải phương trình
3 2
1 2 1 2 0
z i z i z i
, biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo
Giải:
Giả sử phương trình có một nghiệm thuần ảo
z bi
, thay vào phương trình ta được
3 2
2 3 2
2
3 2
1 2 1 2 0 2 2 0
0
1
2 2 0
bi i bi i bi i b b b b b i
b b
b z i
b b b
Vậy phương trình tương đương với
2
1 2 0
z i z i z
giải phương trình này sẽ được nghiệm
Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1: Giải phương trình:
2
2 2
4 12 0
z z z z
Giải:
Đặt
2
t z z
, khi đó phương trình đã cho có dạng:
2
2
2
1 23
2
6 6 0
1 23
4 –12 0
2
2 0 2
1
2
i
z
t z z
i
t t
z
t
z z
z
z
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình:
2
2 2 2
3 6 2 3 6 – 3 0
z z z z z z
Giải:
Đặt
2
3 6
t z z
phương trình đã cho có dang:
2 2
2 – 3 0 – 3 0
3
t z
t zt z t z t z
t z
- Với
2 2
1 5
3 6 – 0 2 6 0
1 5
z i
t z z z z z z
z i
- Với
2 2
3 3
3 3 6 3 0 6 6 0
3 3
z
t z z z z z z
z
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
44
Bài 3: Cho phương trình:
4 3 2
2 – – 2 1 0 1
z z z z
a. Bằng cách đặt
1
y z
z
hãy đưa phương trình về dạng:
2
– 2 – 3 0.
y y
b. Từ đó giải (1)
Giải:
Do
0
z
không là nghiệm của (1) chia hai vế của phương trình cho z
2
ta được:
2
2
1 1
2 – 1 2 0
z z
z
z
Đặt
1
y z
z
phương trình có dạng:
2
1
– 2 – 3 0
3
y
y y
y
- Với
1 1 3
1 1
2
i
y z z
z
- Với
1 3 5
3 3
2
y z z
z
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm
Bài 4: Giải phương trình:
2
4 3
1 0 1
2
z
z z z
Giải:
Do
0
z
không phải là nghiệm của phương trình (1) nên:
(1)
2
2
1 1 1
0
2
z z
z
z
2
1 1 5
0
2
z z
z z
Đặt
1
y z
z
pt có dạng:
2 2
1 3
5
2
– 0 2 – 2 5 0
1 3
2
2
i
y
y y y y
i
y
- Với
2
1 3 1 1 3
2 – 1 3 – 2 0 2
2 2
i i
y z z i z
z
Ta có :
2 2
1 3 16 8 6 3
i i i
phương trình (2) có 2 nghiệm:
1
1
z i
và
2
1 1
2 2
z i
- Với
2
1 3 1 1 3
2 – 1 3 – 2 0 3
2 2
i i
y z z i z
z
Ta có :
2 2
1 3 16 8 6 3
i i i
phương trình (3) có 2 nghiệm:
3
1
z i
và
4
1 1
2 2
z i
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
45
Bài 5: Giải phương trình:
4 2
6 25 0 1
z z
Giải:
Đặt
2
.
z t
Khi đó (1) có dạng:
2
– 6 25 0 2 .
t t
Ta có:
2
’ 16 16. 0
i
nên pt (2) có hai nghiệm là
3 4 .
t i
Mặt khác
3 4
i
có hai căn bậc hai là:
2
i
và
2
i
còn
3 4
i
có hai căn bậc hai là:
2
i
và
2 i
Vậy: pt (1) có 4 nghiệm là:
1 2 3 4
2 ; 2 ; 2 ; 2 .
z i z i z i z i
Bài 6: Giải phương trình (ẩn z) trên tập số phức: .1
3
zi
iz
Giải:
Điều kiện:
i
z
Đặt
z
i
iz
w
ta có phương trình: 0)1)(1(1
23
wwww
2
31
2
31
1
01
1
2
i
w
i
w
w
ww
w
- Với 011
z
z
i
iz
w
- Với 333)31(
2
31
2
31
zizi
i
z
i
izi
w
- Với 333)31(
2
31
2
31
zizi
i
z
i
izi
w
Vậy pt có ba nghiệm 3;0 zz và 3z .
Bài 7: Giải phương trình:
2
2 2 2
3 6 2 3 6 3 0 (*)
z z z z z z
Giải:
Đặt:
2 2 2
3 6 (*) 2 3 0 ( )( 3 ) 0
3
u z
z z u u zu z u z u z
u z
1
2 2
2
2 2
3
4
1 5
1 5
3 6 2 6 0
3 6 3 6 6 0
3 3
3 3
z i
z i
z z z z z
z z z z z
z
z
Bài 8: Giải phương trình:
2
( )( 3)( 2) 10
z z z z z C
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
46
Giải:
PT
2 2
( 2)( 1)( 3) 10 ( 2 )( 2 3) 0
z z z z z z z z
Đặt
2
2
t z z
. Khi đó phương trình trở thành 0103
2
tt
1
2
5
1 6
z i
t
t
z
Vậy phương trình có các nghiệm: 61z ;
iz
1
Bài 9: Giải phương trình tập số phức:
4 3 2
2 2 1 0
z z z z
Giải :
Phương trình
4 3 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
2 2 1 0 ( ) 2( ) 1 0 ( ) 2( ) 1 0
z z z z z z z z z
z zz z
(z = 0 không là nghiệm của phương trình)
Đặt
1
w z
z
; phương trình trên trở thành: w
2
+ 2w – 3 =0
3
1
w
w
2
53
0133
1
2
31
011
1
2
2
zzz
z
z
i
zzz
z
z
Vậy phương trình có bốn nghiệm:
2
31 i
z
;
2
53
z
Bài 10: Tìm các số thực a, b, c để có:
3 2 2
2(1 ) 4(1 ) 8 ( )( )
z i z i z i z ai z bz c
.
Tìm môđun của các nghiệm đó.
HD:
Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4
Từ đó giải phương trình:
3 2
2(1 ) 4(1 ) 8 0
z i z i z i
trên tập số phức.
Phương trình
2
( 2 )( 2 4) 0 2 ; 1 3 ; 1 3 2
z i z z z i z i z i z
.
Dạng 3: Giải hệ phương trình:
Bài 1: Giải hệ phương trình:
2 2
1 2
1 2
5 2 (1)
4 (2)
z z i
z z i
Giải:
Từ (2) ta có
2 2
1 2 1 2
2 15 8 .
z z z z i
Kết hợp với (1) ta có
1 2
5 5
z z i
Vậy ta có hệ phương trình:
1 2
1 2
4
5 5
z z i
z z i
Do đó
1 2
,
z z
là nghiệm của phương trình
2
4 5 5 0
z i z i
. Ta có
5 12
i
Nên
có hai căn bậc hai là: 2 + 3i và −2 − 3i.
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
47
Vậy ta có
1
2
4 2 3
3
2
4 2 3
1 2
2
i i
z i
i i
z i
hoặc
1
2
1 2
3
z i
z i
.
Bài 2: Giải hệ phương trình:
w
w 1
z i
iz
Giải:
Coi i như 1 tham số ta có:
1 1
1
1
D i
i
;
1
1
1
1 1
w 1
x
z
y
D
z
D
i
D i
D
i
D
và
w
1
2
1
i
D
i
Bài 3: Giải hệ phương trình:
2 2
w w 8
w 1
z z
z
Giải:
Hệ
2
w w 8
w 2 w 1
z z
z z
Đặt:
2 2
8 8
w
v w
2 1 2 15 0
u v u v
u z
z
u v u u
2
2
5
5 3 3 5 3 3
5 13 0 ( ;w) ;
13
2 2
3
3 14 3 14
3 5 0 ( ;w) ;
5 2 2
u
i i
X X z
v
u
X X z
v
Bài 4: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
3
3
( , )
3
0
x y
x
x y
x y R
x y
y
x y
Giải:
Từ hệ suy ra:
2 2 2 2 2 2
(3 ) ( 3 ) 3( ) ( )
3 3
x y x y i x yi i x yi
x yi x yi
x y x y x y
Đặt
z x yi
ta được PT ẩn
z C
:
2
3 3
3 3
i z i
z z
z
z
( ) ( )
Giải PT bậc hai tìm được
2
z i
và
1
z i
.
Từ đó tìm ra 2 nghiệm của hệ là
2 1 1 1
x y
( , ) ( , );( , )
.
Bài 5: Giải hệ phương trình 2 ẩn z và w:
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
48
3 3
w 3(1 ) (1)
w 9( 1 ) (2)
z i
z i
Giải:
Từ (2) ta có:
3
– 3 9 1 3
z w zw z w i
Thay (1) vào (3) ta được:
3
27 1 – 9 1 9 1
i zw i i
2 3
3 1 3 3 – 1 1
i i i zw i i
5 5
5
1
i
zw i
i
Vậy ta có hệ phương trình:
w 3(1 )
.w 5
z i
z i
Theo định lý Viet z, w là các nghiệm của phương trình:
2
3 1 5 0 4
t i i
Ta có:
2
2 1–
i i
Phương trình (4) có hai nghiệm
2
1 2
t i
t i
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (z;w) là
2 ;1 2 và 1 2 ;2
i i i i
Bài 6: Giải hệ phương trình 2 ẩn z và w:
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
1 (1)
1 (2)
1 (3)
z z z
z z z z z z
z z z
Giải:
Ta có
1 2 3
, ,
z z z
là các nghiệm của phương trình:
1 2 3
– – 0
z z z z z z
3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
– 0
z z z z z z z z z z z z z z z
3 2
– –1 0 1
z z z z và z i
Vậy hệ phương trình đã cho có 6 nghiệm (là hoán vị của bộ ba số 1, i và –i)
Bài 7: Giải hệ phương trình sau trong tập số phức:
2
2
2 2 2 2
6
5
6 0
a a
a a
a b ab b a a
Giải:
Điều kiện: 0
2
aa
Từ (1) 06)(5)(
222
aaaa
6
1
2
2
aa
aa
Khi
2
1 3
2
1
1 3
2
i
a
a a
i
a
thay vào (2)
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
49
2 2
1 23.
2
6 0 6 0
1 23.
2
i
b
b b b b
i
b
Khi 6
2
aa
2
3
a
a
Thay vào (2)
2 2
1 5
2
6 6 6 0 1 0
1 5
2
b
b b b b
b
Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là:
2
31
;
2
231
,
2
31
;
2
231 iiii
;
2
31
;
2
231
,
2
31
;
2
231 iiii
;
2
51
;2,
2
51
;2,
2
51
;3,
2
51
;3
Bài tập tự giải:
Bài 1: Giải phương trình bậc 2 sau trong tập hợp các số phức
2
– 2 2 – 6 – 8 0.
z i z i
Bài 2: Tìm các số thực b, c để phương trình
2
0
z bz c
nhận số phức
1
z i
làm một nghiệm.
Đs:
Vì
1
z i
là một nghiệm của phương trình:
2
0
z bz c
nên
2
0 2
(1 ) (1 ) 0 (2 ) 0
2 0 2
b c b
i b i c b c b i
b c
Bài 3: Cho các số phức
1 2
1 2 , 3– 4 .
w i w i
Xác định các số phức z khác 0, đồng thời thoả mãn các điều
kiện
1
.
w z
là số thực và 1
2
z
w
, từ đó lập phương trình bậc hai có nghiệm là các số số phức đã tìm được?
Bài 4: Cho số phức
z
là một nghiệm của phương trình:
2
1 0
z z
.
Rút gọn biểu thức
2 2 2 2
2 3 4
2 3 4
1 1 1 1
P z z z z
z z z z
Bài 5: Giải phương trình trên tập số phức:
2
5 8 0
x i x i
Bài 6: Giải phương trình trên tập số phức:
2
2 1 6 0
z z i
Bài 7: (ĐH – A 2009) Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình z
2
+ 2z + 10 = 0. Tính giá trị biểu thức
2
2
2
1
zzA .
HD:
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
50
2
1, 2 1 2
36 36 1 3 . 10 20
i z i z z A
Đs: A = 20
Bài 8: Cho z
1
, z
2
là các nghiệm phức của phương trình
2
2 4 11 0
z z
. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
2
1 2
z z
A
z z
.
HD:
Giải pt đã cho ta được các nghiệm:
1 2
3 2 3 2
1 , 1
2 2
z i z i
Suy ra
2
2
1 2 1 2
3 2 22
| | | | 1 ; 2
2 2
z z z z
Do đó
2 2
1 2
2
1 2
11
4
( )
z z
z z
Bài 9: Giải phương trình:
a.
2
0
z z
b.
2
2 2 2
3 6 2 3 6 3 0
z z z z z z
Đs:
a. z{0;i;i} b.
3 3; 1 5
z z i
Bài 10: Giải phương trình:
2
0
z z
.
Đs:
0, 1
z z
,
1 3
2 2
z i
Bài 11: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận
làm nghiệm biết:
a.
= 2 5i b.
= 2 i
3
c.
=
3 - 2
i
Bài 12: Giải phương trình
2
cos sin isin .cos 0 ,
z i z R
trên tập số phức
Đs:
1 2
cos ; sin
z z i
Bài 13: Gọi z
1
và z
2
là 2 nghiệm phức của phương trình:
2
2 4 0.
z z
Tính giá trị của
2 2 3
1 2 1 2
A z z 3
z z
Bài 14: Chứng minh rằng nếu phương trình
2
0
az bz c
(a, b, c R) có nghiệm phức R thì
cũng là
nghiệm của phương trình đó.
Bài 15: Giải phương trình sau trên tập số phức:
a.
2
2 2 2 3 0
z i z i
b.
2
4 4
5 6 0
z i z i
z i z i
Bài 16: Chứng minh rằng:
a. Nếu
x iy
là căn bậc hai của hai số phức
a bi
thì
x yi
là căn bậc hai của số phức
a bi
b. Nếu
x iy
là căn bậc hai của số phức
a bi
thì
x y
i
k k
là căn bậc hia của số phức
2 2
a b
i
k k
(k 0)
Bài 17: Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm
1 2
,
z z
thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra:
a.
2
1 0
z mz m
điều kiện:
2 2
1 2 1 2
1
z z z z
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
51
b.
2
3 5 0
z mz i
điều kiện:
3 3
1 2
18
z z
Bài 18: Giải các phương trình sau trong C.
a. 01.3
2
xx b. 02.32.23
2
xx c. x
2
– (3 – i)x + 4 – 3i = 0
d.
2
3 2 0
x x
e.
2
3 2 2 3 2 0
x x
f. 3i.x
2
– 2x – 4 + i = 0
Đs:
a. i
2
1
2
3
b. )1(
6
6
i c.
2 ;1– 2
i i
d.
1 23
6
i
e.
6 6
6 6
i
f.
3
12102
.2102
3
1
i
Bài 19: Cho phương trình
2
2 3 5 0
z i z i
. Không giải phương trình hãy tính
2 2 4 4
1 2 1 2
.
z z z z
Bài 20: Giải phương trình:
2
( os isin ) os sin 0
z c z ic
HD:
2
2
(cos sin ) 4 cos sin cos2 sin 2 2 sin 2
cos2 sin 2 cos 2 sin 2 cos sin
i i i i
i i i
1
( os isin ) os - +isin - isin
2
1
( os isin ) os - +isin - os
2
z c c
z c c c
Bài 21: Giải các phuơng trình sau trên tập số phức
1.
3
z z
2.
3 4
z z i
3.
2
1 2 11 0
i z i
( )
Phương trình bậc cao:
Bài 1: Tìm các số thực a, b, c để có
3 2 2
2 1 4 1 8
z i z i z i z ai z bz c
Từ đó giải phương trình
3 2
2 1 4 1 8 0
z i z i z i
trên tập số phức. Tìm modun của các nghiệm đó
Đáp số:
2, 2, 4
a b c
và
2
z
Bài 2: Cho phương trình: (z + i)(z
2
2mz + m
2
2m) = 0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho
phương trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.
b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.
c. Có ba nghiệm phức.
Bài 3: Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a.
3 2
2 2 0.
z iz iz
b.
3 2
( 3) (4 4 ) 7 4 0.
z i z i z i
Bài 4: Giải phương trình
3 2
2 1 4 1 8 0
z i z i z i
, biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo
Đáp số: Phương trình có ba nghiệm là
2 ; 1 3
z i z i
Bài 5: Tìm 3 số thực a, b, c thỏa mãn:
3 2 2
– 2 1 4 1 – 8
z i z i z i z ai z bz c
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
52
Từ đó giải phương trình:
3 2
– 2 1 4 1 – 8 0
z i z i z i
Bài 6: Giải phương trình sau trong tập số phức:
4 3 2
– 6 – 8 –16 0
z z z z
Đáp số:
2
1
2
( 1)( 2)( 8) 0
2 2
2 2
z
z
z z z
z i
z i
Bài 7: Giải phương trình:
5 4 3 2
1 0.
z z z z z
HD: Đặt thừa số chung
Đáp số:
1 3 1 3
1, ,
2 2 2 2
z z i z i
Bài 8: Giải các phương trình sau trên C :
a. 01
2
2
34
z
z
zz bằng cách đặt ẩn số phụ
z
zw
1
;
b.
0363263
22
2
2
zzzzzz
c.
2
2
2
1 3 0
z z
Bài 9: Giải các phương trình sau trên C :
a.
01
32
izziz b.
.0124
2
2
2
zzzz
Bài 10: Giải phương trình
3 2
1 3 3 0
z i z i z i
Bài 11: Gọi
1 2 3 4
; ; ;
z z z z
là 4 nghiệm của phương trình
4 3 2
2 6 8 8 0
z z z z
trên C
Tính tổng
4 4 4 4
1 2 3 4
1 1 1 1
S
z z z z
Bài 12: Cho đa thức
3 2
3 6 10 18 30
P z z i z i z i
a. Tính
3
P i
b. Giải phương trình
0
P z
Đs:
a.
3 0
P i
b.
3 , 3
z i z i
Bài 13: Giải các phương trình
a.
2
1
2
7
z
z
z
biết
3 4
z i
là một nghiệm của phương trình
b.
6 5 4 3 2
13 14 13 1 0
z z z z z z
c.
3 2
1 0
z i z i z i
z i z i z i
Đs:
a.
9; 3 4
z z i
b.
1 3
; 2 3; 2 3
2
i
z z z
c.
1;0;1
z
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
53
Hệ phương trình
Bài 1: Giải hệ phương trình hai ẩn phức
21
,zz sau :
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21
Bài 2: Giải hệ phương trình hai ẩn phức
21
,zz sau :
izz
izz
25
55
2
2
2
1
21
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức:
a.
2 1 2
3
x y i
x y i
b.
2 2
1 1 1 1
2 2
1 2
i
x y
x y i
c.
2 2
5
8 8
x y i
x y i
d.
4
7 4
x y
xy i
e.
2 2
5
1 2
x y i
x y i
f.
3 3
1
2 3
x y
x y i
g.
2 2
6
1 1 2
5
x y
x y
h.
3 2
1 1 17 1
26 26
x y i
i
x y
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau
a.
12 5
8 3
4
1
8
z
z i
z
z
b.
1
1
3
1
z
z i
z i
z i
c.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
. . 1
z z z
z z z
z z z
d.
1 2
2 2
1 2
. 5 5
5 2
z z i
z z i
e.
1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
g.
3 5
1 2
2 4
1 2
0
.( ) 1
z z
z z
Bài 5: Giải các hệ phương trình:
a.
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21
b.
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
c.
2 2
4 0
2
u v uv
u v i
d.
2
1
z i z
z i z
Đs:
a.
3 – ; 1 2.
i i
và (
(1 2. ; 3 – )
i i
b.
2 – ; 1– 3. , 1– 3 ;2 – , 2 ;1 3 , 1 3 ; 2
i i i i i i i i
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
54
Bài 6: Giải hệ phương trình:
1
3 1 2
( , )
1
7 1 4 2
x
x y
x y R
y
x y
.
Bài 7: Giải hệ phương trình sau:
1 2
1 2
1
2
2 3
z z
z z
Đs:
3 3
;
4 2
i i
và
3 3
;
4 2
i i
Bài 8: Giải các hệ phương trình:
a.
2 10
2 20
3 (1 ) 30
x iy z
x y iz
ix iy i z
b.
3 2
2010 2011
2 2 1 0
1 0
z z z
z z
c.
2
2
2 2
4
z i z z i
z z
d.
1 2
1 2
3
1 1 3
5
z z i
i
z z
Căn bậc hai của số phức
Bài 1: Tìm căn bậc hai của số phức:
a.
17 20 2 .
z i
b.
1 2
4 2
i
c.
40 42
i
d.
11 4 3
i
Bài 2: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. -1 + 4 i.3 b. 4 + 6 i.5 c. -1 - 2 i.6 d. -5 + 12.i
Đs:
a. ).23( i b. ).53( i c. ).32( i d.
(2 + 3i)
Bài 3: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. i341 b. i564 c. i621
C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác
Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
1 3
a. (1 3)(1 ) b.
1
i
i i
i
c. sin cos
z i
d.
5
tan
8
z i
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
