DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (394.38 KB, 17 trang )
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
54
Bài 6: Giải hệ phương trình:
1
3 1 2
( , )
1
7 1 4 2
x
x y
x y R
y
x y
.
Bài 7: Giải hệ phương trình sau:
1 2
1 2
1
2
2 3
z z
z z
Đs:
3 3
;
4 2
i i
và
3 3
;
4 2
i i
Bài 8: Giải các hệ phương trình:
a.
2 10
2 20
3 (1 ) 30
x iy z
x y iz
ix iy i z
b.
3 2
2010 2011
2 2 1 0
1 0
z z z
z z
c.
2
2
2 2
4
z i z z i
z z
d.
1 2
1 2
3
1 1 3
5
z z i
i
z z
Căn bậc hai của số phức
Bài 1: Tìm căn bậc hai của số phức:
a.
17 20 2 .
z i
b.
1 2
4 2
i
c.
40 42
i
d.
11 4 3
i
Bài 2: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. -1 + 4 i.3 b. 4 + 6 i.5 c. -1 - 2 i.6 d. -5 + 12.i
Đs:
a. ).23( i b. ).53( i c. ).32( i d.
(2 + 3i)
Bài 3: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a. i341 b. i564 c. i621
C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác
Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
1 3
a. (1 3)(1 ) b.
1
i
i i
i
c. sin cos
z i
d.
5
tan
8
z i
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
55
Giải:
a.
1 3 2 cos( ) sin( )
3 3
i i
;1 2 cos sin
4 4
i i
.
Do đó
(1 3)(1 ) 2 2 cos( ) sin( )
12 12
i i i
.
b. Từ phần trên ta có ngay kết quả
1 3 7 7
2 cos sin
1 12 12
i
i
i
.
c. Ta có
sin cos cos( ) sin( )
2 2
z i i
.
d.
5 1 5 5 1 7 7
tan sin cos cos sin
5 3
8 8 8 8 8
cos cos
8 8
z i i i
Bài 2: Tuỳ theo góc
, hãy viết số phức sau dưới dạng lượng giác
(1 cos sin )(1 cos sin ).
i i
Giải:
Xét số phức
(1 cos sin )(1 cos sin )
z i i
, ta có
2 2
(2sin .2sin cos )(2cos .2sin cos )
2 2 2 2 2 2
z i i
2 2
4sin cos (sin cos )(cos sin )
2 2 2 2 2 2
2sin (sin cos sin cos (cos sin ))
2 2 2 2 2 2
i i
i
2sin sin cos
i
hay
2sin (sin cos )
z i
(*)
- Nếu sin > 0, từ (*) có
z 2sin cos( ) .sin( )
2 2
i
- Nếu sin < 0, từ (*) ta có
2sin ( sin cos )
z i
2sin cos( ) .sin( )
2 2
i
- Nếu sin = 0 z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định.
Bài 3: Viết các số sau dưới dạng lượng giác:
1. cosa – isina, a [0;2). 2. sina + i(1 + cosa), a [0;2).
3. cosa + sina + i(sina – cosa), a [0;2)
Giải:
Ta có:
1.
cos sin cos(2 ) sin(2 )
a i a a i a
khi a [0;2)
2.
2
sin 1 cos
z a i a
2sin
2
a
cos
2
a
+ 2icos
2
2
a
= 2cos
2
a
(sin
2
a
+ i cos
2
a
)
- Nếu a [0; ) cos
2
a
> 0 z
2
= 2cos
2
a
(cos(
2
-
2
a
) + i sin (
2
-
2
a
)
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
56
- Nếu a ( ;2 ) cos
2
a
< 0 z
2
= -2cos
2
a
(cos(
3
2
-
2
a
) + i sin (
3
2
-
2
a
)
- Nếu a z
2
= 0(cos0 + isin0)
3.
3
cos sin sin – cos
z a a i a a
2
(cos
4
a
+ i sin
4
a
Bài 4: : Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. (1- i
3
)(1 + i) b.
1 3
1
i
i
c.
1
2 2
i
Giải:
1. Ta có: 1- i
3
= 2
cos sin
3 3
i
(1+ i) = 2 cos sin
4 4
i
Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc:
(1- i
3
)(1 + i) = 2
2
cos sin
12 12
i
Tương tự
b.
1 3
1
i
i
=
2
7 7
cos sin
12 12
i
c.
1
2 2
i
=
1
(1 )
4
i
=
1
2 cos sin
4 4 4
i
=
2
cos sin
2 4 4
i
Bài 5: Viết số phức
2
3
z i
dưới dạng lượng giác.
Giải:
Cách 1: Khai triển hằng đẳng thức rồi chuyển sang dạng lượng giác.
2
2
2 2 3 1 3
3 3 2 3 2 2 3 4 4
4 4 2 2
4 cos sin 4 cos sin
3 3 3 3
z i i i i i i
i i
Cách 2: Viết dạng lượng giác trước rồi áp dụng công thức Moa – vrơ.
3 1
3 2 2 cos sin 2 cos sin
2 2 6 6 6 6
i i i i
Suy ra:
2
2
3 2 cos sin 4 cos sin
6 6 3 3
i i i
Dạng 2: Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác
Bài 1: Cho số phức z có modul bằng 1 và
là 1 acgument của nó. Hãy tìm 1 acgument c
ủa các số phức sau:
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
57
a.
1
2
z
b.
2
(sin 0)
2
z z
c.
2
3
(cos 0)
2
z z
Giải:
Số phức z có thể viết dưới dạng:
cos sin
z i
a.
1 1 1 1
cos sin cos sin
2 cos sin 2 2
2
i i
i
z
1
cos sin
2
i acgument
b.
2
2
3 3
cos sin cos sin 2sin sin 2cos sin
2 2 2 2
z z i i i
- Nếu
2
3 3
sin 0 2sin sin cos
2 2 2 2
z z i
3 3 3
2sin sin cos
2 2 2 2 2 2 2
i Acgument
- Nếu
2
3 3
sin 0 2sin sin cos
2 2 2 2
z z i
3 3 3
2sin sin cos
2 2 2 2 2 2 2
i Acgument
c.
2
2
3 3
os isin os isin 2 os os 2 os sin
2 2 2 2
z z c c c c c i
- Nếu
2
3 3
cos 0 2cos cos sin
2 2 2 2
z z i
2
Acgument
- Nếu
2
3 3
cos 0 2cos cos sin
2 2 2 2
z z i
2
Acgument
Bài 2: Tính:
5
10
10
1 3
1 3
i i
z
i
Giải:
10 5
10
5
10
10
7 7
2 cos sin .2 cos sin
4 4 6 6
4 4
2 cos sin
3 3
i i
z
i
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
58
10
10
35 35 5 5
2 cos sin cos sin
2 2 6 6
40 40
2 cos sin
3 3
i i
i
55 55
cos sin
3 3
cos5 sin5 1
40 40
cos sin
3 3
i
i
i
Bài 3: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng:
1 3
z z i
và
iz
có một acgument
là .
6
Giải:
2
2
2
cos sin cos( ) sin( )
2 2 2 6 3
(cos sin )
1 3 3 3
( ) 1 1 1
2 2 2 2 2 4
iz ri r r i
z r i
r r r r
r i i iz r r
2
2
2
3 3 1 3 3
4 2
r r
z i r r
1 3 1 cos sin
3 3
iz z i r z i
Bài 4: Viết dạng lượng giác của số phức z biết rằng
2
z và một acgumen của
1
z
i
là
3
4
Giải:
Gọi
là một acgumen của z thì
là một acgumen của
z
mà
1
i
có một acgumen là
4
nên
1
z
i
có một acgumen là
4
.
Theo giả thiết ta có
3
2 2 ( )
4 4 2
k l l
Vậy dạng luợng giác của z là: 2 cos sin
2 2
z i
.
Dạng 2: Sử dụng công thức Moa-vrơ tính toán
Bài 1: Tính giá trị
10 5
10
(1 ) ( 3 )
( 1 3)
i i
A
i
Giải:
Biểu diễn lượng giác cho các số phức:
7 7
1 2 cos sin
4 4
i i
; 3 2 cos sin
6 6
i i
và
4 4
1 3 2 cos sin
3 3
i i
Sau đó áp dụng công thức Moavrơ biến đổi
5 sin5 1
A cos i
.
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
59
a.
10
9
(1 )
3
A
i
i
b.
5 7
cos sin (1 3 )
3 3
B
i i i
c.
2009
2009
1
z
z
. Biết
1
1
z
z
.
Giải :
a.
10
5
9 4
9
5 5
2 cos sin
2 cos sin
4 4
1 1
2 2
(cos sin )
3 3
16
2
2 cos sin
2 cos sin
2 2
6 6
i
i
A i
i
i
Vậy phần thực
1
16
và phần ảo = 0
b.
7
5 7
cos sin (1 3 ) = cos sin 2 cos sin
3 3 3 3 3 3
i i i i i i
7 7 7
7 7
2 cos sin cos sin 2 cos2 sin 2 2 128
3 3 3 3
i i i i i i i
Vậy phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 128.
c. Từ
2
1 3
cos sin
1
2 3 3
1 1 0
1 3
cos sin
2 3 3
i
z i
z z z
z
i
z i
Khi
cos sin
3 3
z i
.
Ta có
2009
2009
2009
2009
1 1
cos sin
3 3
cos sin
3 3
z i
z
i
2009
2009
2009 2009
cos sin cos sin cos sin
3 3 3 3 3 3
2009 2009 2 2
cos sin 2cos 669 2cos 1.
3 3 3 3
i i i
i
Tương tự :
2009
2009
1
cos sin 1
3 3
z i z
z
Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết
2
2 2 3
z i
.
Giải:
Ta chuyển
2 2 3
i
sang dạng lượng giác rồi từ dạng lượng giác ta chuyển về dạng đại số.
1 3 2 2
2 2 3 4 4 cos sin
2 2 3 3
i i i
Suy ra:
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
60
2 2
2 2
4 cos sin
3.2 3.2
2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
2 2
4 cos sin
3.2 3.2
1 3
2 1 3
2 cos sin
2 2
3 3
1 3
2 cos sin
-2 1 3
3 3
2 2
z i
z i z i
z i
z i i
z i
z i
z i i
Vậy: Phần thực và phần ảo của z là 1 và
3
hoặc -1 và
3
.
Ứng dụng của dạng lượng giác
Bài 1: Chứng minh rằng:
5 3
sin5 16sin – 20sin 5sin
t t t t
5 3
cos5 16cos – 20cos 5cos
t t t t
Giải:
Dùng công thức Moivre và công thức khai triển nhị thức
5
cos sin
t i t
Ta được:
5 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5
cos5 sin5 cos 5 cos sin 10 cos sin 10 cos .sin 5 cos .
sin sin
t i t t i t t i t t i t t i t t i t
2 2
5 3 2 2 2 2 3 5
cos5 sin5 cos 10cos 1 cos 5cos 1 sin 5 1 sin sin –10 1 sin sin sin
t i t t t t t t i t t t t t
Đồng nhất hai vế ta được điều phải chứng minh.
Bài 2: Giải phương trình:
5 4 3 2
1 0 1
z z z z z
Giải:
Ta có:
4 2
1 1 1 1 0
z z z z z
4 2
4 2
1
1 1 0
1 0
z
z z z
z z
Xét phương trình:
2
4 2 2
2
1 3 2 2
os isin
1 3
2 2 3 3
1 0
2
1 3 2 2
os isin
2 2 3 3
z i c
i
z z z
z i c
Từ
2
cos sin
2 2
3 3
cos sin
3 3
cos sin
3 3
z i
z i
z i
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
61
Từ
2
cos sin
3 3
2 2
cos sin
3 3
cos sin
3 3
z i
z i
z i
Tóm lại phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm:
1
z
; z =
1 3
2 2
z i
;
1 3
2 2
z i
;
1 3
2 2
z i
;
1 3
2 2
z i
Bài 3: Cho z
1
và z
2
là hai số phứ xác định bởi
1
1 3
z i
và
2
1–
z i
a. Xác định dạng đại số và dạng lượng giác của
1
2
z
z
b. Từ đó suy ra giá trị chính xác của: cos
7
12
và sin
7
12
Giải:
Ta có
1
2
1 3 1 3 1 3
1 2 2
z
i
i
z i
Ta có: z
1
= 2(cos
3
+ isin
3
); z
2
=
2
(cos
4
+ isin
4
)
1
2
z
z
=
2
(cos
7
12
+ isin
7
12
)
cos
7
12
=
1 3
2
và sin
7
12
=
1 3
2
Bài 4: Cho số phức z
0
có môđun bằng 1 và argument bằng
2
5
A CMR z
0
là nghiệm của phương trình
5
–1 0
z
b. Rút gọn biểu thức
2 3 4
–1 1
z z z z z
c. Hãy suy ra rằng z
0
là nghiệm của phương trình:
2
2
1 1
z z
z z
+ 1 = 0
d. Giải phương trình ở câu c.
e.Từ đó suy ra giá trị của z
0
và biểu thức giá trị của cos
2
5
và sin
2
5
Giải:
a. Ta có: z
0
= cos
2
5
+ i sin
2
5
Áp dụng công thức Moavrơ ta có: z
0
5
= (cos
2
5
+ i sin
2
5
)
5
= cos2 + isin2 = 1 z
0
là nghiệm của phương
trình z
5
– 1 = 0.
b. Khai triển đẳng thức này ta được
5
–1 0
z
c.
5 2 3 4
–1 0 –1 1 0
z z z z z z
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
62
mà z
0
0 z
0
là nghiệm của phương trình 1+z + z
2
+ z
3
+ z
4
= 0 z
2
(
2
1
z
+
1
z
+ 1 + z + z
2
) (với z 0)
z
0
là nghiệm của phương trình
2
1
z
+
1
z
+ 1 + z + z
2
= 0 (*) đpcm.
d. Đặt y = z +
1
z
phương trình (*) có dạng:
2
1,2
1 5
– 1 0
2
y y y
e) Từ các câu trên ta có: z
0
là nghiệm của một trong hai phương trình sau: z +
1
z
= y
1
hoặc z +
1
z
= y
2
- Xét phương trình: z +
1
z
= y
1
z
2
– y
1
z + 1 = 0 z
2
+
1 5
2
z + 1 = 0
2
2
1
2
1 5 5 5
1 5 5 5 5 5
4 2 2
4
2 2 2
1 5 5 5
4 2 2
i
z
i
i
z
- Xét phương trình: z +
1
z
= y
2
z
2
– y
2
z + 1 = 0 z
2
+
1 5
2
z + 1 = 0
2
2
1
2
1 5 5 5
1 5 5 5 5 5
4 2 2
4
2 2 2
1 5 5 5
4 2 2
i
z
i
i
z
Vì cos
2
5
và sin
2
5
đều dương phần thực và phần ảo của z
0
đều dương
0 1
1 5 5 5
4 2 2
i
z z
2 1 5
cos
5 2
và
2 1 5 5
sin
5 2 2
Bài 5: Tìm n là số nguyên dương và
1,10
n sao cho số phức
1 3
n
z i là số thực
Giải:
Ta có: 1 + i
3
= 2 os isin
3 3
c
z = 2
n
os isin
3 3
n n
c
Để z R 2
n
.sin
3
n
= 0 sin
3
n
= 0 n chia hết cho 3, mà n nguyên dương [1;10] n [3;6;9]
Bài 6: Giải phương trình:
6
64 1
z
Giải:
Giả sử
(cos sin )
z x yi r i
Ta có:
64 64(cos sin )
i
6 6 6
64 (cos6 sin6 ) 64(cos sin ) 64 2
Z r i i r r
Và cos6 + isin6 = cos + isin 6 = +2k (k Z) =
2
6 6
k
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
63
Với k = 0 z
1
= 2 os isi
6 6
c n
=
3
+i
Với k = -1
1
2 os - isi 3
6 6
z c n i
Với k = 1
1
2 cos sin 2
2 2
z i i
Với k = -2
1
2 cos sin 2
2 2
z i i
Với k = -3
1
5 5
2 cos sin 3
6 6
z i i
Bài 7: Tìm số phức z thỏa mãn
4
z
và một acgumen của
3
i
z
bằng
6
Giải:
Ta có
4 4(cos sin ) 4(cos( ) sin( ))
z z i z i
và
3 1
3 2 cos sin cos sin
6 6 2 6 6
i
i i i
z
Theo giả thiết
6 6 3
Vậy
4 cos sin 2 2 3
3 3
z i i
Bài 8: Tính tổng sau:
2008 2008
(1 ) (1 )
S i i
Giải:
2008 1004
2008 1004
1 2(cos sin ) (1 ) 2 (cos502 sin502 )
4 4
1 2(cos sin ) 2(cos( ) sin( ))
4 4 4 4
(1 ) 2 (cos( 502 ) sin( 502 )).
i i i i
i i i
i i
Do đó
1005 1005
2 cos(502 ) 2
S
.
Bài 9: Chứng minh rằng các điểm biểu diễn các căn bậc ba của 1 lập thành một tam giác đều.
Giải:
Xét phương trình
3
1
z
trên
, có nghiệm
(cos sin )
z r i
Khi đó
3 3
1
1 (cos3 sin3 ) 1
3 2 , .
r
z r i
k k
Do đó phương trình có đúng ba nghiệm ứng với ba giá trị của k là
- Với k = 0 ta có
0
cos0 sin 0 1
z i
;
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
64
- Với k = 1 ta có
1
2 2 1 3
z cos sin ;
3 3 2 2
i i
- Với k = 2 ta có
2
4 4 1 3
cos sin
3 3 2 2
z i i
.
Nên 1 có ba căn bậc ba đó là các số phức được xác định như trên. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt
là điểm biểu diễn các số phức
0 1 2
z , z , z .
Khi đó
2 2
1; ;
3 3
OA OB OC AOB BOC
Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều.
Nếu kết hợp thêm khai triển nhị thức Newtơn ta được nhiều kết quả hay và bất ngờ về tổ hợp.
Một số ứng dụng khác
Bài 1: Tính giá trị của
0 2 4 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009
S C C C C C
Giải:
Xét khai triển:
2009
2009 0 2 4 2008 1 3 5 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
0
(1 ) .
k k
k
i C i C C C C C C C C i
Mặt khác
2009 2009 1004 1004
2009 2009
(1 ) ( 2) . sin 2 2 .
4 4
i cos i i
So sánh phần thực và phần ảo ta đợc
1004
2
S .
Nhận xét.
Bằng việc xét khai triển
(1 )
n
i
ta có kết quả tổng quát sau:
0 2 4
*
1 3 5
( 2) .
4
( )
( 2) .sin
4
n
n n n
n
n n n
n
C C C cos
n
n
C C C
Bài 2: Tính tổng S =
0 2 4 2010
2010 2010 2010 2010
C C C C
Giải:
Ta có S =
0 2 2 4 4 2010 2010
2010 2010 2010 2010
C i C i C i C .
Do đó có thể giải như sau:
Cách 1: S =
2010 2010
(1 ) (1 )
2
i i
Cách 2: S là phần thực của số phức
2010
1 i (do
2010
1 i và
2010
1 i là hai số phức liên hợp)
Bài tập tự giải:
Viết dạng lượng giác của số phức
Bài 1:
a. Viết dạng lượng giác của số phức z
2
, biết
1 .
z i
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
65
b. Viết dưới dạng lượng giác của số phức
2 ( 3 ).
z i i
Bài 2: Viết số phức z dưới dạng đại số:
8
( 2 2 2 2 ) .
z i
Bài 3: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a. 31 i b. 1 + i c. )1)(31( ii d.
i
i
1
31
e. )3.(.2 ii f.
i
2
2
1
g.
sin .cos
z i
Đs:
a.
2 cos .sin
3 3
i
b.
4
sin.
4
cos.2
i c.
2 2 cos( ) .sin( )
12 12
i
d.
7 7
2 cos( ) .sin( )
12 12
i
e. )
3
sin.
3
(cos4
i f.
2
cos( ) sin( )
4 4 4
i
g.
2
sin
2
cos i
Bài 4: Cho số phức
1 3
z i
. Hãy viết dạng lượng giác của số phức
5
z
.
Bài 5: Viết dạng lượng giác số
1 3
2 2
z i
.Suy ra căn bậc hai số phức z
Bài 6: Viết các số sau dưới dạng lượng giác:
a. z
1
= 6 + 6i
3
b.
2
1 3
4 4
z i
c.
3
1 3
2 2
z i
d.
3
9 – 9 3
z i
e.
5
4
z i
Đs:
1
12 os isin
3 3
z c
;
2
1 2 2
os isin
2 3 3
z c
;
3
4 4
os isin
3 3
z c
4
5 5
18 os isin
3 3
z c
;
5
3 3
4 os isin
2 2
z c
;
Bài 12: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 2 cos sin
6 6
i
b. cos sin
17 17
i
c. sin cos
17 17
i
d.
1– cos sin , [0;2 )
a i a a
Đs:
a. 2(cos
7
6
+isin
7
6
) b. cos
17
+ isin
17
c. cos
15
34
+ isin
15
34
d.
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
66
- Nếu a (0;2 ) sin
2
a
> 0 z
2
= 2sin
2
a
(cos(
2
-
2
a
) + i sin (
2
-
2
a
))
- Nếu a = 0 không tồn tại số phức dưới dạng lượng giác.
Bài : Tìm một acgumen của các số phức sau:
a. i.322 b. 4 4i c. 1 - i.3 d.
4
sin.
4
cos
i
e.
8
cos.
8
sin
i f. )1)(3.1( ii
Đs:
a.
3
2
b.
4
3
c.
3
d.
4
e.
8
5
f.
12
Dạng toán về tính toán:
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
a.
;31
3
sin
3
cos
7
5
iii
b.
9
10
3
1
i
i
; c.
2000
2000
1
z
z biết rằng .1
1
z
z
Bài 2: Chứng minh rằng:
12
3
1
i
i
là số thực
Đs: Sử dụng công thức Moavrơ :
12
3
64
1
i
i
Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau
a.
10
9
(1 i)
3 i
. b.
7
5
cos sin 1 3
3 3
i i i
.
HD: Sử dụng công thức Moivre.
Đáp số: a. Phần thực
1
16
, phần ảo bằng 0
b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128
Bài 5: Áp dụng công thức Moivre để tính
a.
5
(cos15 sin15 )
o o
i b.
7
2 cos30 sin30
o o
i c.
16
(1 )
i
d.
12
1 3
2 2
i
Bài 6: Hãy tính tổng
2 3 1
1
n
S z z z z
biết rằng
2 2
cos sinz i
n n
Bài 7: Thực hiện các phép tính
a.
3 cos120 sin120
o o
i
(cos45 sin45 )
o o
i b.
2 cos18 sin18
o o
i
(cos72 sin72 )
o o
i
c.
5(cos sin )3(cos sin )
6 6 4 4
i i
d.
cos85 sin85
cos40 sin40
i
i
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
67
e.
2 2
2(cos sin )
3 3
2(cos sin )
2 2
i
i
f.
2(cos45 sin45 )
3(cos15 sin15 )
i
i
g.
5 7
(cos sin ) .(1 3 )
3 3
i i i
h.
2008
2008
1
z
z
biết
1
1
z
z
i. )
4
sin.
4
(cos3).
6
sin.
6
(cos
ii
Đs:
a.
2
23
.
2
23
i b.
5 5
3(cos .sin )
12 12
i
c.
d.
4
2
.
4
6
i e.
4
2
.
4
6
i f.
6
6
.
2
2
i
Bài 8: Tìm môđun của z và argument:
a.
8
6
8
2 3 2
1
1 6
2 3 2
i
i
z
i
i
b.
4
10 4
1
1
3 2 3 2
i
z
i i
c.
1 3 1 3
n n
z i i
Đs:
a. |z| =
13
13
1
2
2
z ;
5
arg
6
z
b.
9
1
2
z ; arg z =
c.
1
5
2 os
3
n
n
z c
;
arg {0; }
z
Bài 9: Thực hiện phép tính:
a.
3 cos20 sin 20 cos25 sin 25
o o o o
i i b.
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
c.
)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
i
i
d. 5 )
4
sin.
4
(cos3).
6
sin.
6
(cos
ii
Đs:
a.
2
23
.
2
23
i b.
6
6
.
2
2
i c.
4
2
.
4
6
i d. 15(cos )
12
5
sin.
12
5
i
Bài 10: Tính:
a. (cos12
o
+ isin12
o
)
5
b.
7
0 0
2(cos30 sin30 )
i
c.
6
)3( i
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
68
d. (1 + i)
16
e.
12
2
3
2
1
i f.
2008
1
i
i
g.
21
321
335
i
i
Đs
a.
2
3
2
1
i b. 24.64 i c.
6
2
d.
8
2
e. 1 f.
1004
2
1
h. 2
21
Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a. i.322 ĐS:
3
2
b. 4 – 4i ĐS:
4
3
c. 1 - i.3 ĐS:
3
d.
4
sin.
4
cos
i ĐS:
4
e.
8
cos.
8
sin
i ĐS:
8
5
f. )1)(3.1( ii ĐS:
12
Bài 12: Cho hai số phức
1
2 2
z i
và
2
1 3
z i
a. Tính môđun và argument của hai số phức nói trên.
b. Tính môđun và argument của z
1
3
và z
2
2
và
3
1
2
2
z
z
c. Từ đó suy ra giá trị chính xác của cos
12
và sin
12
Đs:
a. Ta có |z
1
| = 2;
1
=
4
; |z
2
| = 2;
2
=
3
b. |z
1
3
| = 8;
3
=
3
4
; |z
2
| = 4;
4
=
2
3
;
3
1
2
2
z
z
= 2;
5
=
12
c.cos
12
=
2 6
4
và sin
12
=
6 2
4
Bài 13: Tìm các căn bậc hai của số phức sau:
a.
1
z i
b.
1
2 2
i
c.
2 1 3
i
d.
7 24
i
Đs:
a.
4
2 2
4 4
2 cos sin
2 2
k
k k
z i
, k {0;1}
b.
2 2
2 2
cos sin
2 2
k
k k
z i
, k {0;1}
c.
2 2
4 4
os isin
2 2
k
k k
z c
, k {0;1}
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
69
d.
4 4
2 2
3 3
2 os isin
2 2
k
k k
z c
, k {0;1}
Bài 14: Sử dụng dạng lượng giác để tính số phức sau:
a.
1 3
3 3 2 3 2
2 2
i i i
b.
1 2 2
i i i
c.
2 ( 4 4 3 ) 3 3
i i i
d.
3 1 5 5
i i
Đs:
a. 12
2
(cos
7
4
+ isin
7
4
) b. 4(cos0 + isin0)
c. 48
2
(cos
5
12
+ isin
5
12
) d. 30(cos
2
+ isin
2
)
Bài 15: Tìm số phức z thỏa mãn
3
1
z i
z i
và
1
z
có một acgumen là
6
Đs:
2 3 1 2
z i
Bài 16: Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho
1
3
z
và một acgumen của
1
z
i
là
3
4
Đs:
1
cos sin
3 2 2
z i
Bài tập tự giải phần ứng dụng:
Bài 1: Cho n nguyên dương.
a. Chứng minh rằng:
0 2 4 6 2 2
2 2 2 2 2
2
3 9 27 3 2
3
n n n
n n n n n
n
C C C C C cos
( ) .
b. Tính S =
0 2 2 4 10 20
20 20 20 20
3 3 3
C C C C
Bài 2: Cho số nguyên dương n.
a. Biểu diễn số phức sau theo dạng đại số: (1 + i)
4n
b. Chứng minh rằng
2 2
2 4 6 4 1 3 5 7 4 1
4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 16
n n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
Bài 3:
a. Cho
sincos iz
( R
). Chứng minh rằng với mọi số nguyên
1
n
, ta có
n
z
z
n
n
cos2
1
;
ni
z
z
n
n
sin2
1
.
b. Từ câu a. chứng minh rằng
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
70
.sin103sin55sin
16
1
sin
,32cos44cos
8
1
cos
5
4
Bài 4: Cho các số th ực a,b, c v à s ố phức
1
3
.
2 2
z i .
Chứng minh rằng:
2 2
0
a bz cz a bz cz
.Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào?
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
