Bài tập bất đẳng thức

Bài tập Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất được phân loại dạng: Lý thuyết, bài tập,
tổng hợp với các mức độ dễ và khó giúp các em tự ôn luyện, tự kiểm tra kiến thức và nâng cao
kỹ năng làm bài tốt nhất. Cùng thử sức nhé!
Like để tham gia luyện thi trực tuyến trên tuyensinh247.com
BÀI TẬP HAY THUỘC CHUYÊN ĐỀ (90)
Câu 1:
Cho các số thực x, y với x
2
+ y
2
=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
6
+ 4y
6
A.
B.
C.
D.
Mã ID: 29926 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 2:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
A.
B.
C.
D.
Mã ID: 29044 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 3:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cả hàm sô:
A.

B.
C.
D.
Mã ID: 28948 - Kho thư viên đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 4:
Cho các số thực x,y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A.
B.
C.
D.
Mã ID: 28192 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 5:
Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
A. min P =
B. min P =
C. min P =
D. min P =
Mã ID: 23175 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 6:
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x+y+z = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3(x
2
+ y
2
+ z
2
) – 2xyz
A. Min P = 6
B. Min P = 7

C. Min P = 8
D. Min P = 9
Mã ID: 20643 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 7:
Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=
A. minP =
B. minP = 3
C. minP =
D. minP = 4
Mã ID: 18525 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 8:
Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: M =
A. GTNN của biểu thức M là
B. GTNN của biểu thức M là
C. GTNN của biểu thức M là
D. GTNN của biểu thức M là
Mã ID: 17892 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Giải các bài tập sau:
Câu 9: Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết tổng 3 tích của từng cặp số khác nhau
của chúng là 1727.
A. 3 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 23;24;25.
B. 3 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 24;25;26.
C. 3 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 26;27;28.
D. 3 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 28;29;30.
Mã ID: 17610 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 10: Rút gọn biểu thức T
= với a, b 0, a . Tìm giá
trị lớn nhất của T khi a là số tự nhiên và a .

A. Giá trị lớn nhất của T là 1
B. Giá trị lớn nhất của T là 2
C. Giá trị lớn nhất của T là 3
D. Giá trị lớn nhất của T là 4
Mã ID: 17609 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 11:
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b+c=1.Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F=14(a
2
+b
2
+c
2
) + .
A. giá trị nhỏ nhất của F là
B. giá trị nhỏ nhất của F là
C. giá trị nhỏ nhất của F là 9
D. giá trị nhỏ nhất của F là
Mã ID: 17495 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 12:
Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a
3
+ b
3
)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức:
A. max F =
B. max F =
C. max F =
D. max F =

Mã ID: 17437 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 13:
Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:
+ + 1
A. 2a - ; 2b - ; 2c - .
B. a - ; b - ; c - .
C. - ; - ; - .
D. a - ; b - ; c - .
Mã ID: 17324 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 14:
Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: y
2
+ yz +z
2
= 1 -
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức A = x+y+z
A. GTNN=0, GTLN=
B. Không có GTNN, GTLN =
C. GTNN = - , không có GTLN
D. GTNN = - , GTLN=
Mã ID: 16960 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 15:
Tìm m để hàm số sau có cực đại, cực tiểu: y=
A. m≤-1
B. m<-1
C. m≠-1
D. m>1
Mã ID: 16959 -
Câu 16:
Cho x,y,z>0 và + + ≤3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P= + +
A. P
min
=-
B. P
min
=
C. P
min
=
D. P
min
=-2
Mã ID: 16900 -
Câu 17:
Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)
2
+ (y – 4)
2
+ 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức A = x
3
+ y
3
+ 3(xy – 1)(x + y – 2).
A. Giá trị nhỏ nhất của A là .
B. Giá trị nhỏ nhất của A là .
C. Giá trị nhỏ nhất của A là .
D. Giá trị nhỏ nhất của A là .
Mã ID: 16706 - Đề thi Đại học môn Toán khối D năm 2012 của Bộ GD&ĐT

Câu 18:
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x
2
+ y
2
+ z
2
=
1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x
5
+ y
5
+ z
5
.
A. Giá trị lớn nhất của P là .
B. Giá trị lớn nhất của P là .
C. Giá trị lớn nhất của P là .
D. Giá trị lớn nhất của P là .
Mã ID: 16686 - Đề thi Đại học môn Toán khối B năm 2012 của Bộ GD&ĐT
Câu 19:
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = 3
|x – y|
+ 3
|y – z|
+ 3
|z – x|
- .
A. Giá trị nhỏ nhất của P bằng 4.

B. Giá trị nhỏ nhất của P bằng - 4.
C. Giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.
D. Giá trị nhỏ nhất của P bằng - 3.
Mã ID: 16670 - Đề thi Đại học môn Toán khối A và A1 năm 2012 của Bộ
GD&ĐT
Câu 20:
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: x
3

+ 8y
3
+ 27z
3
– 18xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P=x
2
+ 4y
2
+ 9z
2
A. MinP=
B. MinP=1
C. MinP=2
D. MinP=3
Mã ID: 16639 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 21:
Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y ≤ 1. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức A = + .
A. Giá trị nhỏ nhất của A bằng - 8.
B. Giá trị nhỏ nhất của A bằng 8.

C. Giá trị nhỏ nhất của A bằng 7.
D. Giá trị nhỏ nhất của A bằng - 7.
Mã ID: 16460 - Đề thi Cao đẳng môn Toán khối A năm 2010 của Bộ
GD&ĐT
Hiển thị thêm
Câu 21:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = - .
A. Giá trị nhỏ nhất của y là √3.
B. Giá trị nhỏ nhất của y là √2.
C. Giá trị nhỏ nhất của y là √5.
D. Giá trị nhỏ nhất của y là - √2.
Mã ID: 16442 - Đề thi Đại học môn Toán khối D năm 2010 của Bộ GD&ĐT
Câu 22:
Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
A. Giá trị lớn nhất của S bằng ; giá trị nhỏ nhất của S bằng .
B. Giá trị lớn nhất của S bằng ; giá trị nhỏ nhất của S bằng .
C. Giá trị lớn nhất của S bằng ; giá trị nhỏ nhất của S bằng .
D. Giá trị lớn nhất của S bằng ; giá trị nhỏ nhất của S bằng - .
Mã ID: 16246 - Đề thi Đại học môn Toán khối D năm 2009 của Bộ GD&ĐT
Câu 23:
Cho hai số thực dương x,y thoả mãn .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A.
B. minP=
C. minP=

D. minP=
Mã ID: 16223 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 24:
Trong tất cả các nghiệm (x;y) của phương trình 2x+3y=1 hãy chỉ ra nghiệm
có tổng 3x
2
+2y
2
nhỏ nhất
A. (3x
2
+2y
2
)
min
=
B. (3x
2
+2y
2
)
min
=12
C. (3x
2
+2y
2
)
min
=

D. (3x
2
+2y
2
)
min
=
Mã ID: 15078 - Kho thư viện đề thi thử đại học môn Toán
Câu 25:
Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
A=(4x
2
+3y)(4y
2
+3x)+25xy
A. MinA=2 MaxA=12
B. MinA= MaxA=
C. MinA= MaxA=
D. MinA= MaxA=
Mã ID: 14944 - Kho thư viện đề thi thử đại học môn Toán
Câu 26:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
F= + + + .
Với a,b,c,d ∈[0;1]
A. F
max
=3
B. F
max

=2
C. F
max
=1
D. F
max
=0
Mã ID: 14910 - Kho thư viện đề thi thử đại học môn Toán
Câu 27:
Cho x,y,z 0 thoả mãn x+y+z>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A.
B.
C.
D.
Mã ID: 14572 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 28: Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)
3
+ 4 xy ≥ 2. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x
4
+ y
4
+ x
2
y
2
) – 2(x
2
+ y
2

) + 1
A. Giá trị nhỏ nhất của A bằng -
B. Giá trị nhỏ nhất của A bằng
C. Giá trị nhỏ nhất của A bằng
D. Giá trị nhỏ nhất của A bằng
Mã ID: 13943 - Đề thi Đại học môn Toán khối B năm 2009 của Bộ GD&ĐT
Câu 29:
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+c+48
A. 56
B. 57
C. 58
D. 59
Mã ID: 13852 - Kho thư viện đề thi trắc nghiệm môn Toán
Câu 30:
Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn x+y=z=3. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
A.
B.
C.
D.
Mã ID: 13326 - Đề thi thử ĐH môn Toán lần 1 năm 2014 -Trường THPT
Chuyên Khoa học tự nhiên
Câu 31: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤y -1. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức P = - .
A. Giá trị lớn nhất của P là - - .
B. Giá trị lớn nhất của P là - + .
C. Giá trị lớn nhất của P là + .
D. Giá trị lớn nhất của P là - .
Mã ID: 12647 - Đề thi ĐH môn Toán khối D năm 2013 của Bộ GD&ĐT

Câu 32: Cho a, b , c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = - .
A. Giá trị lớn nhất của P là .
B. Giá trị lớn nhất của P là .
C. Giá trị lớn nhất của P là .
D. Giá trị lớn nhất của P là .
Mã ID: 12635 - Đề thi ĐH môn Toán khối B năm 2013 của Bộ GD&ĐT
Câu 33: Cho các số thực dương a, b , c thỏa mãn điều kiện (a + c )(b + c) =
4c
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + - .
A. Giá trị nhỏ nhất của P là 1 - √2.
B. Giá trị nhỏ nhất của P là - 1 + √2.
C. Giá trị nhỏ nhất của P là - 1 - √2.
D. Giá trị nhỏ nhất của P là 1 + √2.
Mã ID: 12611 - Đề thi ĐH môn Toán khối A và khối A1 năm 2013 của Bộ
GD&ĐT
Câu 34:
Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a
2
+ b
2
) + ab = (a + b)(ab + 2).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 4( + ) - 9( + )
A. minP = 2
B. minP = -
C. minP = 1
D. minP =
Mã ID: 12419 - Đề thi Đại học môn Toán khối B năm 2011 của Bộ GD&ĐT
Câu 35: Xét các số thực không âm a, b ,c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức M = ab + bc + ca – 2abc.
A. Max M = .
B. Max M = .
C. Max M = .
D. Max M = .
Mã ID: 10930 - Đề thi thử ĐH môn Toán Khối A,B lần thứ II năm 2012 -
Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ
Câu 36: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: + + .
A. Giá trị nhỏ nhất bằng -1 .
B. Giá trị nhỏ nhất bằng 3 .
C. Giá trị nhỏ nhất bằng 2 .
D. Giá trị nhỏ nhất bằng 1 .
Mã ID: 10924 - Đề thi thử ĐH môn Toán Khối D lần thứ IV năm 2011 -
Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ
Câu 37: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: M = 3(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) + 3(ab + bc + ca) + 2
A. minM = 2

B. minM = -2
C. minM = 0
D. minM =
Mã ID: 10683 - Đề thi Đại học môn Toán khối B năm 2010 của Bộ GD&ĐT
Câu 38: Cho x, y , z là các số thực dương thỏa xyz = 1. Chứng
minh: + + ≥
A. + + ≥ .
B. + + ≥ .
C. + + ≥ .
D. + + ≥ .
Mã ID: 10422 - Đề thi thử ĐH môn Toán lần thứ II năm 2011 - Trường
THPT Chuyên Lê Hồng Phong
Câu 39:
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: abc = 8. Hãy tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P = + +
A. P
max
= 2
B. P
max
=
C. P
max
= 1
D. P
max
= -
Mã ID: 10080 - Đề thi thử ĐH - Đợt 2 - Khối chuyên Lý - ĐHKHTN -
ĐHQGHN
Câu 40: Cho x, y là các số dương thỏa mãn + + = 3. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức : M = + + - -
A. Giá trị lớn nhất của M bằng .
B. Giá trị lớn nhất của M bằng .
C. Giá trị lớn nhất của M bằng .
D. Giá trị lớn nhất của M bằng .
Mã ID: 9656 - Đề thi thử ĐH môn Toán lần II -Trường THPT Chuyên
Nguyễn Huệ
Hiển thị thêm
Câu 41: Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x
2
+ y
2
+ XY = 3. Tìm giá
trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức: P = x
3
+ y
3
– (x
2
+ y
2
).
A. MinP =-2; Max P =3√3 + 3
B. MinP = 0 ; Max P =3√3 – 3
C. MinP =1; Max P =3√3 – 3
D. MinP =-1; Max P =3√3 – 3
Mã ID: 9462 - Đề thi thử ĐH môn Toán lần III -Khối chuyên Lý - ĐHKHTN-
ĐHQGHN
Câu 42: Cho các số dương x, y , z thỏa mãn xyz + x + y – z = 0. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức: P = + - .

A. P
max
=
B. P
max
=
C. P
max
=
D. P
max
=
Mã ID: 9257 - Đề thi thử ĐH môn Toán lần VI -Trường THPT Chuyên ĐHSP
Hà Nội
Câu 43:
Tìm m để hàm số sau có cực trị y=
A. m∈(1;3)
B. m∈(-1;3)
C. m∈(-1;1)
D. m∈(0;1)
Mã ID: 9125 -
Câu 44:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= trên [-1;2]
A. Maxy= Miny=
B. Maxy=2 Miny=2
C. Maxy= Miny=1
D. Maxy= Miny=0
Mã ID: 8991 -
Câu 45:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y= trên [0;2]

A. Maxy= Miny=3