Trường điện từ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG











TRƯỜNG ĐIỆN TỪ


ThS. ĐOÀN HÒA MINH

NĂM 2006

Mục lục
Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ………………………………………………………………………………1
0.1. GIỚI THIỆU MÔN HỌC TRƯỜNG ĐIỆN TỪ ………………………………1
0.2. PHƯƠNG PHÁP HỌC VÀ THI ………………………………………………2
0.3. TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………… 2
CHƯƠNG 1 : LÝ THUYẾT TRƯỜNG 3
1.1. TRƯỜNG VÔ HƯỚNG (Scalar field) 3
1.1.1. Đinh nghĩa 3
1.1.2. Mặt ñẳng trị 4
1.1.3. Gradient 4
1.2. TRƯỜNG VECTƠ (VECTOR FIELD) 6
1.2.1. Đinh nghĩa 6
1.2.2. Đường dòng 7
1.2.3. Thông lượng (Flux) 7
1.2.4. Đinh lý Green – Định lý Stokes – Định lý Ôxtrôgratxki 7
1.2.5. Divergence……………………………………………………………….10
1.2.6. Trường ống 10
1.2.7. Lưu số (Circulation) và vectơ xoáy 12
1.3. TOÁN TỬ HAMILTON VÀ TÓAN TỬ LAPLACE 13
1.3.1. Tóan tử Hamilton 13
1.3.2 Biểu diễn
VrotVdivugrad ,,
bằng tóan tử ∇ 13
1.3.3. Tóan tử Laplace 14
1.4. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 14

1.4.1. Khái niệm 14
1.4.2. Hai mặt ñiện và từ của trường ñiện từ 15
1.4.3. Các ñại lượng cơ bản ñặc trưng cho trường ñiện từ 16
BÀI TẬP 18

CHƯƠNG 2 : TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH TRONG CHÂN KHÔNG 20
2.1. TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH 20
2.1.1. Khái niệm 20
2.1.2. Định luật Coulomb 20
2.1.3. Các hình thức phân bố ñiện tích 22
2.1.4. Các tính chất của trường ñiện tĩnh 24
2.1.5. Điện thế (Potential) 27
2.1.5.1. Khái niệm về ñiện thế. 27
2.1.5.2. Điện thế tại một ñiểm trong ñiện trường 27
2.1.5.3. Hiệu ñiện thế 30
2.1.5.4. Phương trình Poisson và phương trình Laplace cho ñiện thế 31
2.1.6. Mô tả hình học của trường ñiện 40
2.2. TRƯỜNG TỪ TĨNH 41
2.2.1. Định nghĩa 41
2.2.2 Các nguyên lý và ñịnh luật về từ trường 41
2.2.3. Các tính chất của trường từ tĩnh 46
Mục lục
Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
2.2.4 Từ thế Vectơ 48
2.4.5 Biểu diễn hình học của từ trường 51
BÀI TẬP 51
CHƯƠNG 2 : TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH TRONG MÔI TRƯỜNG CHẤT 58
3.1. ĐIỆN MÔI (DIELECTRIC MATERIALS) 58
3.1.1. Khái niệm 58
3.1.2. Sự phân cực (Polarization) 58

3.1.3. Điện tích liên kết (Bound Charges) 60
3.1.4. Điện trường trong chất ñiện môi 62
3.2. TỪ MÔI (MAGNETIC MATERIALS) 63
3.2.1. Khái niệm 63
3.2.2. Dòng ñiện liên kết (Bound Current) 65
3.2.3. Từ trường trong từ môi 67
3.3. VẬT DẪN ĐIỆN (ELECTRICAL CONDUCTORS) 69
3.3.1. Khái niệm 69
3.3.2. Phương trình lien tục 71
3.3.3. Nghiệm xác lập của phương trìng Laplace 72
3.4. ĐIỀU KIỆN BỜ 73
3.4.1. Điều kiện bờ với các vectơ
D
và
B
. 73
3.4.2. Điều kiện bờ với các vectơ
H
và
E
. 75
3.4.3. Tổng kết các ñiều kiện bờ 76
3.5. NĂNG LƯỢNG CỦA TRƯƠNG ĐIỆN TỪ 77
2.5.1. Năng lượng trường ñiện ñược tích lũy bởi tụ ñiện 77
2.5.2. Năng lượng trường từ ñược tích lũy bởi cuộn cảm 78
2.5.3. Năng lượng từ trường 79
BÀI TẬP 79
CHƯƠNG 4 : TRƯỜNG ĐIỆN BIẾN THIÊN 82
4.1. ĐIỆN TRƯỜNG XOÁY 83
4.1.1. Sức ñiện ñộng 83

4.1.2. Đinh luật Faraday 84
4.1.3. Điện trường xoáy 86
4.2. DÒNG ĐIỆN DỊCH 86
4.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL 88
CÂU HỎI ÔN TẬP 88
CHƯƠNG 5 : SÓNG ĐIỆN TỪ 90
5.1. KHÁI NIỆM 90
5.2. SÓNG PHẲNG TRONG CHÂN KHÔNG HAY ĐIỆN MÔI KHÔNG
TỔN HAO 91
5.3. SÓNG PHẲNG TRONG ĐIỆN MÔI CÓ TỔN HAO 96
5.4. DÒNG CÔNG SUẤT – VECTƠ POYNTING 100
5.5. SÓNG PHẢNG TRONG VẬT DẪN ĐIỆN TỐT 102
5.6. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ 106
5.7. HIỆN TƯỢNG SÓNG ĐỨNG – TỈ SỐ SÓNG ĐỨNG 112
5.8. TRỞ KHÁNG VÀO CỦA MÔI TRƯỜNG NHÌN TỪ NGUỒN 114
5.9. MẬT ĐỘ DÒNG CÔNG SUẤT CỦA SÓNG TỚI, SÓNG PHẢN XẠ VÀ
Mục lục
Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
SÓNG KHÚC XẠ 115
5.10 BÀI TÓAN HAI MẶT PHÂN CÁCH 116
5.11 SÓNG TỚI CÓ PHƯƠNG TRUYỀN VUÔNG GÓC VỚI MẶT CỦA
MỘT VẬT DẪN ĐIỆN TỐT 117
5.12 VẬN TỐC SÓNG, VẬN TỐC NHÓM, VẬN TỐC PHA 119
CÂU HỎI ÔN TẬP 121
BÀI TẬP 123

PHỤ LỤC 126

TÀI LIỆU THAM KHẢO 127

Lời nói ñầu
Giáo trình Trường ñiện từ ThS. Đoàn Hoà Minh
LỜI NÓI ĐẦU


Trường điện từ là một môn học cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật như Vật
lý, Điện kỹ thuật, Điện tử, Viễn thông, Kỹ thuật điều khiển,…Trường điện từ
không phải là một môn học mới lạ ở bậc đại học, các khái niệm và một số định
luật cơ bản về Trường điện từ đã giảng dạy từ bậc phổ thông trung học. Vào đại
học, sinh viên lại một lần nữa tiếp cận với một số khái niệm và định luật về
Trường điện từ trong môn Vật lý đại cương. Đây là lần thứ ba, sinh viên trở lại
với Trường điện từ. Tuy không phải là hoàn toàn mới lạ, nhưng Trường điện từ
vẫn là một môn học khó, với cả thầy lẫn trò. Trở lại với Trường điện từ, với tư
cách là một môn học, sinh viên có một cách tiếp cận mới. Ở đây, môn Trường
điện từ là hệ thống hoàn chỉnh, vừa có tính tổng quát cao lại vừa đi sâu chi tiết,
với phương pháp tính toán mới, đòi hỏi kỹ năng toán học cao hơn, đòi hỏi khả
năng trù tượng hóa và khái quát hóa cao hơn. Hơn nữa, đây là một môn cơ sở,
sinh viên chưa thể ứng dụng ngay và chưa thấy hết các ứng dụng của nó vào
chuyên ngành, điều này cũng là một nguyên nhân làm cho người học kém hứng
thú.
Nội dung của môn Trường điện từ khá lớn, bao gồm phần lý thuyết tổng quát và
các phần vận dụng trong các lĩnh vực cụ thể. Khi tham khảo nhiều giáo trình của
các trường đại học, ta sẽ thấy có sự khác nhau về việc chọn lựa nội dung lẫn cách
tiếp cận.
Tổng quát, môn Trường điện từ bao gồm các nội dung sau:
- Các cơ sở toán học cần cho môn học này;

- Trường điện từ tĩnh và dừng trong chân không và trong các môi trường:
các khái niệm, định luật, định lý, phương trình;
- Vật liệu điện từ;
- Các phương pháp giải các bài toán trường điện từ;
- Trường điện từ biến thiên và hệ phương trình Maxwell;
- Sóng điện từ; nhiễu xạ sóng điện từ;
- Các phần tử bức xạ sóng điện từ và anten;
- Đường truyền sóng, ống dẫn sóng và hộp cộng hưởng;
- Cơ sở thuyết tương đối về trường điện từ.
Nói chung, có hai cách tiếp cận khác nhau:
- Đi từ tổng quát đến cụ thể:
Trong cách tiếp cận này, cấu trúc chương trình môn học được sắp xếp theo thứ tự
khởi đầu là các nguyên lý và định luật, hệ thống phương trình maxwell, sau đó
triển khai ứng dụng các nguyên lý và định luật này cho trường điện từ tĩnh và
dừng, các phương pháp giải các bài toán trường điện từ, trường điện từ biến
thiến, sóng điện từ, đường truyền sóng, ống dẫn sóng, hốc cộng hưởng.
- Đi từ cụ thể đến tổng quát và trở về cụ thể:
Trong cách tiếp cận này, cấu trúc chương trình môn học đi ngay vào phân tích
trường điện từ tĩnh và dừng trong chân không, thông qua đó đưa vào các nguyên
lý, định luật, phương trình. Sau đó phân tích trường điện từ trong các môi trường
Lời nói ñầu
Giáo trình Trường ñiện từ ThS. Đoàn Hoà Minh
chất: điện môi, từ môi và vật dẫn. Từ đó khái quát hóa các khái niệm, các
nguyên lý, định luật thành hệ phương trình Maxwell cho trường điện từ tĩnh và
dừng. Bước kế tiếp là hình thành các khái niện điện trường xoáy và dòng điện
dịch, thông qua đó thành lập hệ phương trình Maxwell cho trường điện từ biế
thiên. Tới đây, trường điện từ đã được xây dựng thành một hệ thống hoàn chỉnh
đủ để vận dụng vào việc phân tích quá trình truyền sóng điện từ trong các nôi
trường chất và các ứng dụng khác.
Việc chọn lựa nội dung và cách tiếp cận tùy thuộc vào chuyên ngành và mục tiêu

môn học. Giáo trình này được biên soạn chủ yếu cho các chuyên ngành Kỹ thuật
điện, Điện tử, Viễn thông và Kỹ thuật điều khiển. Để người học không bở ngở,
dễ tiếp thu và có thể tận dụng thời gian dành cho môn học, nhưng vẫn bảo đảm
đủ lượng kiến thức và rèn luyện được các kỹ năng cần thiết cho sinh viên của các
chuyên ngành này, chúng tôi chọn cách tiếp cận thứ hai và chọn một nội dung tối
thiểu cho giáo trình. Giáo trình bao gồm 5 chương và các phục lục:
Chương 1: Lý thuyết trường. Chương này nhằm ôn lại các kiến thức toán học và
kỹ năng cần thiết cho môn học, hình thành khái niệm tổng quát về trường điện từ,
làm nền tảng cho các chương sau.
Chương 2: Trường điện từ tĩnh và dừng trong chân không. Chương này nhằm
hình thành các khái niệm, các nguyên lý, định luật cơ bản về trường điện từ; giới
thiệu các phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về trường điện từ.
Chương 3: Trường điện từ tĩnh và dừng trong các môi trường. Chương này nhằm
phân tích cho người học hiểu được sự tương tác giữa trường điện từ và các môi
trường chất. Khái quát hóa các khái niệm và các định luật về trường điện từ trong
mội trường chất. Từ đó tổng kết thành hệ phương trình Maxwell cho trường điện
từ tĩnh và dừng.
Chương 4: Trường điện từ biến thiên. Chương này hình thành các khái niệm điện
trường xoáy, dòng điện dịch và xây dựng hệ phương trình Maxwell cho trường
điện từ biến thiên.
Chương 5: Sóng điện từ. Đây là chương quan trọng vì có nhiều ứng dụng trong
chuyên ngành, khảo sát sóng điện từ truyền trong các môi trường điện môi và
dẫn điện.
Các phụ lục nhằm ôn lại một số kiến thức toán học cần thiết như: các hệ tọa độ
trực chuẩn, trụ và cầu; sự chuyển đổi giữa các hệ tọa độ; vi phân đường, vi phân
mặt, vi phân khối trong các hệ tọa độ; các toán tử Gradient, Divergence, Curl
trong các hệ tọa độ…
Để rút ngắn phần lý thuyết, các phương pháp giải các bài toán trường điện từ
được hình thành trong phần bài tập. Phần kiến thức về đường truyền truyền sóng,
ống dẫn sóng, hộp cộng hưởng và anten đã được đưa vào môn Anten và truyền

sóng.
Tuy đã có nhiều năm kinh nghiệm trong giảng dạy môn Trường điện từ, nhưng
sau khi hoàn thành giáo trình này, tôi vẫn chưa an tâm và cảm thấy còn nhiều
thiếu sót. Tôi mong nhận được ý kiến đóng góp của quí thầy, cô, của sinh viên và
các bạn đọc để tiếp tục cập nhật và hoàn chỉnh giáo trình.
Lời nói ñầu
Giáo trình Trường ñiện từ ThS. Đoàn Hoà Minh
Xin chân thành cám ơn quí thầy cô trong bộ môn Viễn thông và Kỹ thuật điều
khiển, khoa Công nghệ Thông tin và Truyền thông đã giúp đỡ tôi hoàn thành
giáo trình này.
Đặc biệt cám ơn Kỹ sư Nguyễn cao Quí đã phản biện và giúp đở tôi trong việc
sửa lỗi và in ấn giáo trình.

Tác giả
ĐOÀN HÒA MINH
MỞ ĐẦU Trang
1



Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hoà Minh

MỞ ĐẦU

0.1. GIỚI THIỆU MÔN HỌC TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
Mã môn: TH525
Số ĐVHT: 3
Số tiết: 45
0.1.1. Mục tiêu
Trường ñiện từ là một môn học cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật như Vật lý, Điện

kỹ thuật, Điện tử, Viễn thông, Kỹ thuật ñiều khiển,…mục tiêu chính của môn học là giúp
cho sinh viên “ có kiến thức cơ bản về trường ñiện từ và sóng ñiện từ một cách có hệ
thống; vận dụng ñược các phương pháp phân tích, tính toán về trường và sóng ñiện
từ trong chuyên ngành”. Để ñạt ñược mục tiêu này, sinh viên cần phải thỏa mãn các yêu
cầu cụ thể sau:
 Có các kỹ năng toán học cần thiết: vi tích phân, hình học giải tích, ñại số tuyến
tính, hàm biến phức, và các kiến thức cơ bản về vật lý ñại cương.
 Hiểu và vận dụng ñược các khái niệm, ñịnh lý, mô hình về lý thuyết trường nói
chung và trường ñiện từ nói riêng.
 Có khả năng hệ thống hóa toàn bộ kiến thức về trường ñiện từ bao gồm: các khái
niệm ñặc trưng cho trường ñiện từ và dòng ñiện; các ñịnh luật và ñịnh lý về
trường ñiện từ; sự hình thành trường ñiện, trường từ, dòng ñiện và các thông sồ
ñặc trưng cho sự tương tác giữa trường ñiện từ với các môi trường chất như ñiện
môi, từ môi, vật dẫn.
 Hiểu ñược cơ chế hình thành sóng ñiện từ, thành lập ñược phương trình truyền
sóng trong các môi trường và vận dụng chúng ñể giải các bài toán về sự truyền
sóng trong các môi trường chất.
 Có khả năng tổng hợp các phương pháp giải các bài toán về trường ñiện từ và
sóng ñiện từ như vận dụng các ñịnh luật Coulomb, Ampere-Biot-Savart, Gauss,
Ampere lưu số, Faraday, ñịnh lý Umop-Poynting,…; vận dụng các phương trình
Poisson, Laplace và các ñiểu kiện bờ, hệ phương trình Maxwell dưới các dạng
tích phân, vi phân (ñiểm) và phasor; và một số phương pháp ñặc biệt khác.
 Có khả năng giải các bài toán sóng truyền trong vật dẫn, truyền qua nhiều môi
trường có các thông số ñiện từ khác nhau. Có khả năng phân tích các hiện tượng
phản xạ, khúc xạ và sóng ñứng.
0.1.2. Kiến thức nền:

Mức ñộ yêu cầu
STT

Nội dung kiến thức nền
Tiên
quyết
Vận dụng khái
niệm/ mô hình
Vận dụng kỹ năng/
phương pháp
1

Vi tích phân A1 & A2 X X X
2

Đại số tuyến tính X X
3

Hàm biến phức X X X
MỞ ĐẦU Trang
2



Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hoà Minh

4

Hình học giải tích X X X
5

Cơ nhiệt ñại cương
X X

6

Điện & quang ñại cương X
X X
7

Vật lý lượng tử
X X
8

Toán kỹ thuật X
X X

0.1.3. Nội dung của môn học:
 Ôn tập: các hệ tọa ñộ trực chuẩn, trụ và cầu; sự chuyển ñổi tọa ñộ ñiểm và biểu diễn
các vectơ trong các hệ tọa ñộ; biểu diễn các vi phân dài, vi phân mặt và vi phân khối
trong các hệ tọa ñộ;
 Lý thuyết trường và khái niệm tổng quát về trường ñiện từ.
 Trường ñiện tĩnh và trường từ dừng trong chân không.
 Trường ñiện tĩnh và trường từ dừng trong các môi trường chất.
 Trường ñiện từ biến thiên.
 Sóng ñiện từ phẳng trong chân không và trong các môi trường chất.
 Các phương pháp giải các bài toán về trường ñiện từ và sóng ñiện từ (thực hiện và
tổng kết thông qua việc giải bài tập, không trình bày trong phần lý thuyết).

0.2. PHƯƠNG PHÁP HỌC VÀ THI
Hướng tới các phương pháp dạy học lấy sinh viên làm trung tâm:
 Đặc vấn ñề và cùng giải quyết vấn ñề trên lớp.
 GV chỉ trình bày trên lớp các khái niệm, nguyên lý, ý tưởng. SV tự học các nội
dung có tính suy luận và ứng dụng.

 Kiểm tra vấn ñáp ở ñầu các buổi học.
 Chỉ ñịnh nội dung SV phải chuẩn bị cho buổi học kế tiếp.
 Thi tự luận hoặc làm bài tập lớn, có tính ñiểm kiểm tra thường xuyên trên lớp.

0.3.TÀI LIỆU THAM KHẢO

 Tài liệu tham khảo chính:
[1] Đoàn Hòa Minh – GIÁO TRÌNH TRƯỜNG ĐIỆN TỪ – ĐHCT – 2006.
[2] Richard E.DuBroff…. Electromagnetic Concepts and Applications- Prentice Hall
International, Inc.

 Tài liệu tham khảo thêm:
[1]. Ngô Nhật Ảnh- Trương Trọng Tuấn Mỹ - Trường Điện Từ- Trường ĐHKT
TPHCM-2000.
[2].
Kiều Khắc Lâu – Lý Thuyết Trường Điện Từ- NXB Giáo Dục-1999.

[3].
Nguyễn Bình Thành- Nguyễn Trần Quân- Lê Văn Bảng - Cở Sở Lý Thuyết
Trường Điện Từ - NXB ĐH&THCN-1969.

[4].
Nguyễn Đình Trí – Tạ Quang Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh – Toán học cao
cấp – NXB Giáo Dục - 2003

Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
3

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh

LÝ THUYẾT TRƯỜNG



 Mục tiêu:
Chương này giúp cho người học:
− Hiểu ñược các khái niện chung về trường vô hướng và trường vectơ.
− Ôn lại một số kiến thức và rèn luyện các kỹ năng toán học cần thiết, làm nền
tảng cho các chương sau.
− Hình thành khái niệm chung về trường ñiện từ, hiểu vận dụng ñược một số ñại
lượng ñặc trưng cơ bản của trường ñiện từ.


Kiến thức nền:
− Các kiến thức và kỹ năng toán học ñã yêu cầu ở phần mở ñầu.
− Các kiến thức vật lý ñại cương.
− Xem các phục lục.




1.1.1. Định nghĩa:
Trường vô hướng là một phần không gian mà tại mỗi ñiểm của nó tương ứng một ñại
lượng vô hướng xác ñịnh (biểu diễn bằng một con số).
Ví dụ: - Sự phân bố nhiệt trong một vật thể.
- Trường ñiện thế.
Một trường vô hướng hoàn toàn xác ñịnh nếu ta có hàm của trường:

u = u(x,y,z) = u(
r
) = u(M) xác ñịnh trong miền không gian Ω.
M là ñiểm ñược xác ñịnh bởi các tọa ñộ x,y,z hoặc vectơ
r
trong hệ qui chiếu vuông góc
(dĩ nhiên, cũng có thể xác ñịnh bằng các tọa ñộ trụ hoặc cầu).
Nói cách khác, tại mọi ñiểm M trong miền Ω tương ứng với một giá trị xác ñịnh của hàm
u(M).
Nếu miền xác ñịnh là một mặt phẳng P, khi ñó hàm của trường là hàm 2 biến:
u = u(x,y) = u(
r
) = u(M), với M ∈ P, ta có một trường phẳng.
Sau ñây, ta chỉ nghiên cứu các trường vô hướng mà giá trị của hàm u(M) không phụ
thuộc vào thời gian t, với mọi ñiểm M(x,y,z), gọi là trường ổn ñịnh hay trường dừng.

Chương 1

1.1. TRƯỜNG VÔ HƯỚNG (Scalar field)

Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
4

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
1.1.2. Mặt đẳng trị (Level surface)
Xét một trường vô hướng u = u(x,y,z) xác ñịnh trong miền Ω. Quỹ tích những ñiểm mà
tại ñó giá trị của trường bằng một hằng số C nào ñó ñược gọi là mặt ñẳng trị của trường
ứng với giá trị C.
Từ ñịnh nghĩa trên, ta có phương trình của mặt ñẳng trị là:
u(x,y,z) = C (1.1)

Ví dụ: - Mặt ñẳng nhiệt.
- Mặt ñẳng thế.
Đối với trường phẳng, quỹ tích những ñiểm có trị của trường bằng nhau gọi là ñường
ñẳng trị, có phương trình là:
u(x,y) = C (1.2)
1.1.3. Gradient
1.1.3.1. Định nghĩa Gradient: Tại mỗi ñiểm trong trường vô hướng cho bởi hàm
u=u(x,y,z) nếu ta xác ñịnh ñược một vectơ
)M(GG =
có các thành phần là:







∂
∂
∂
∂
∂
∂
z
u
,
y
u
,
x

u
(1.3)
G
ñược gọi là Gradient của trường tại ñiểm M. Ký hiệu là
ugrad
. Vậy:

ugrad
=
k
z
u
j
y
u
i
x
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
(1.4)
với
k,j,i
lần lượt là các vectơ ñơn vị trên các trục x, y, z. Rõ ràng ta thấy

ugrad
phụ
thuộc ñiểm M. Vậy tại mỗi điểm của trường vô hướng ta có một vectơ gradient tương
ứng.
1.1.3.2. Vi phân toàn phần của một trường vô hướng:
Trong một trường vô hướng, từ một ñiểm M(
r
) ta di chuyển ñến ñiểm M'(
r
), giả sử 2
ñiểm này rất gần nhau, khi ñó ñoạn dịch chuyển có thể biểu diễn bằng vectơ d hướng từ
M ñến M' (hình 1.1), ta có:
d
r
=
'
r
-
r
=
dzkdyjdxi ++
(1.5)







M

M

C

r

'
r

r
d

x

y

z

Hình 1.1

C
’

Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
5

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
Nói chung, M và M' nằm trên 2 mặt ñẳng trị khác nhau, nghĩa là khi ñi từ M ñến M' giá
trị của trường thay ñổi một lượng là:
du(

r
) = C' - C (1.6)
Ở ñây C' và C là 2 hằng số ứng với 2 mặt ñẳng trị chứa M và M' , và du(
r
) chính là vi
phân toàn phần của trường vô hướng.
Về mặt toán học ta có thể viết:

dz
z
ru
dy
y
ru
dx
x
ru
rdu
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
)()()(
)(
(1.7)

Đây chính là tích vô hướng của 2 vectơ
grad
u(
r
) và d
r
, ta viết lại:

rdrugradrdu ).()( =
(1.8)
1.1.3.3. Đạo hàm theo hướng (Directional Derivatives)
Gọi
t
là vectơ ñơn vị theo hướng từ M ñến M' , dl là khoảng cách từ M ñến M', ta có:
d
r
= dl
t
. (1.9)
Biểu thức (1.8) ñược viết lại:

dltrugradrdu ]).([)( =
(1.10)
Đạo hàm theo hướng của trường vô hướng u(
r
) là:

trugrad
l
ru

).(
)(
=
∂
∂
(1.11)
Nói chung
l
ru
∂
∂ )(
phụ thuộc vào hướng
t
, giá trị của
l
ru
∂
∂ )(
biểu diễn tốc ñộ biến thiên
của hàm u(
r
) tại ñiểm M khi di chuyển theo hướng
t
.
Từ pt(1.11) ta thấy rằng: ñạo hàm theo hướng của trường u(
r
) ñúng bằng hình chiếu
của vectơ
grad
u(

r
) theo hướng ñó.
1.1.3.4. Tốc độ biến thiên cực đại của trường vô hướng.
Hình1.2 vẽ gradient của u(
r
) ở ñiểm M với một ñường thẳng ñi qua theo một hướng bất
kỳ
t
. Gọi α là góc giữa
t
và
grad
u(
r
) ở ñiểm M. Phương trình (1.11) có thể viết lại:

)cos()()cos()().(
)(
αα
rugradtrugradtrugrad
l
ru
===
∂
∂
(1.12)
Rõ ràng, từ phương trình này, ta thấy tốc ñộ biến thiên của trường vô hướng (chính là
giá trị của ñạo hàm theo hướng) có giá trị cực ñại khi
α
αα

α
= 0, nghĩa là khi
t
cùng
hướng với
grad
u(
r
).
Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
6

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
Ý nghĩa: Vectơ Gradient tại mỗi ñiểm trong trường vô hướng u cho biết phương mà dọc
theo phương ấy tốc ñộ biến thiên của trường có giá trị tuyệt ñối cực ñại.

1.1.3.5. Hướng của vectơ gradient và mặt đẳng trị.
Trường hợp M và M
’
cùng nằm trên một mặt ñẳng trị, khi ñó vectơ d
r
có phương là tiếp
tuyến với mặt ñẳng trị tại M và:

0)()().()(
|
=−== MuMurdrugradrdu
(1.13)
Tích vô hướng giữa 2 vectơ
grad

u(
r
) với d
r
bằng 0 chứng tỏ rằng chúng vuông góc với
nhau, nhgĩa là: Gradient của một trường u tại mỗi ñiểm M luôn cùng hướng với pháp
tuyến của mặt ñẳng trị ñi qua ñiểm ñó (Hình 1.2).
1.1.3.6. Tích phân đường của Gradient.
Gradient của một trường vô hướng là một vectơ, tích phân ñường của nó là:
ab
b
a
b
a
b
a
)r(u)r(udl
l
)r(u
dl]t).r(ugrad[ld).r(ugrad
−=








∂

∂
==
∫∫∫
(1.14)
Pt(1.14) cho phép ta tính tích phân ñường của Gradient của một trường vô hướng bằng
hiệu số giá trị của trường u(
r
) ở ñiểm cuối và ñiểm ñầu của ñường cong ñó.



1.2.1. Định nghĩa :
Trường vectơ là một phần không gian mà tương ứng tại mỗi ñiểm của nó có một ñại
lượng vectơ xác ñịnh (biểu ñiễn bởi một vectơ).
Ví dụ: - Điện trường; từ trường.
- Trên một dòng nước chảy (vận tốc không ñổi theo thời gian), tại mỗi ñiểm
trong dòng nước cũng có một vectơ vận tốc xác ñịnh. Vậy trường vận tốc dòng nước
cũng là một trường vectơ.
Một trường vectơ hoàn toàn xác ñịnh nếu ta biết hàm vectơ của trường:
1.2. TRƯỜNG VECTƠ (Vector field)


Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
7

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh

V
=
V

(x,y,z) =
V
(
r
) =
V
(M) (1.15)
Ở ñây, M ∈ Ω và tọa ñộ của M ñược biểu diễn bằng các thành phần x, y, z hoặc
r
. Trong
hệ qui chiếu vuông góc ta có thể biểu diễn:

V
= P(x,y,z)
i
+ Q(x.y,z)
j
+ R(x,y,z)
k
(1.16)
Sau ñây ta chỉ xét các trường vectơ dừng hay ổn định tức là những trường vectơ mà hàm
V
(x,y,z) của nó không phụ thuộc thời gian t.
Nếu miền xác ñịnh của hàm
V
(x,y,z) là một miền phẳng P và
V
chỉ phụ thuộc 2 biến x,
y , ta có một trường phẳng.
1.2.2. Đường dòng:

Trong một trường vectơ, ñường dòng của trường là các ñường cong C mà mọi tiếp ñiểm
trên ñường cong ñó, tiếp tuyến của nó cùng phương với vectơ của trường tại ñiểm ñó
(hình 1.3).


Ví dụ: - Các ñường sức trong ñiện trường hay từ trường.
- Đường dòng chảy của dòng nước.
Chiều của ñường dòng là chiều của vectơ trường tại mỗi ñiểm.

1.2.3. Thông lượng (Flux)
1.2.3.1. Mặt ñịnh hướng.
Xét một mặt cong có tên và diện tích là S, nếu mặt S không kín nó có phía lồi và phía
lõm, nếu mặt S kín nó có phía trong và phía ngoài.
Mặt cong S trên ñó ñã chọn một phía xác ñịnh, bằng cách chỉ rõ pháp tuyến dương tương
ứng của nó, gọi là mặt ñịnh hướng.
Ta qui ước pháp tuyến dương của mặt S tại một ñiểm M trên mặt S là pháp tuyến hướng
ra phía lồi ñối với mặt không kín và hướng ra phía ngoài ñối với mặt kín. Nếu S là mặt
phẳng thì chiều pháp truyến dương là chiều cụ thể mà ta phải chỉ ra.
1.2.3.2. Định nghĩa thông lượng.
Xét một mặt S trong một trường vectơ
V
, tại mỗi ñiểm M(x,y,z) trên S tương ứng một
vectơ
V
(M) =
V
(x,y,z) =
V
(
r

).
Trước tiên, ta giả sử S là một mặt phẳng với pháp tuyến dương là
n
và vectơ
V
không
ñổi trên mặt S. Thông lượng qua mặt S, ký hiệu là Φ ñược ñịnh nghĩa bởi biểu thức:
Φ = S.|
V
|.cos(
n
,
V
) =
V
.
S
(1.17)
Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
8

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
Ở ñây, vectơ
S
= S.
n
là vectơ ñặc trưng cho mặt ñịnh hướng S. Sau này, khi ñề cặp ñến
một mặt ñịnh hướng S, ta chỉ cần nói mặt
S
là ñủ.

Bây giờ, giả sử S là một mặt cong và
V
biến thiên theo M, trong hệ qui chiếu vuông
góc, ta biểu diễn
V
dưới dạng:

V
= P(x,y,z)
i
+ Q(x.y,z)
j
+ R(x,y,z)
k
(1.18)
Ta chia mặt S ra thành n mảnh vô cùng nhỏ nhỏ không dẫm lên nhau. Gọi tên và cả diện
tích của các mảnh ấy là dS
1
, , dS
n
. Nếu các mảnh dS
i
ñủ nhỏ, sao cho có thể coi chúng
như các mặt phẳng và vectơ
V
tương ứng với mọi ñiểm trên dS
i
là không ñổi. Do ñó
thông lượng dΦ
i

qua mặt dS
i
xấp xỉ bằng :
dΦ
i
≈ d
S
i
.|
V
(M
i
)| cos(
n
(M
i
),
V
(M
i
)) =
V
(M
i
).d
S
i

Trong hệ tọa ñộ trực chuẩn
k.dxdyj.dxdzi.dydzSd

i
r
r
r
r
++= , khai triển tích vô hướng ta
ñược:

dΦ
i

≈


P(x
i
,y
i
z
i
)dydz + Q(x
i
,y
i
z
i
)dzdx + R(x
i
,y
i

z
i
)dxdy (1.19)
và thông lượng của
V
(M) ñi qua mặt S là:
∑∑
==
++=Φ≈Φ
n
1i
iiiiiiiii
n
1i
i
)dxdyz,y,R(x )dzdx z,y,Q(x )dydzz,y,P(x
(1.20)
Phép tính gần ñúng này càng chính xác nếu n càng lớn và các mảnh dS
i
càng nhỏ. Do ñó,
nếu n →∞ , tương ứng dS
i
→ 0 và vế phải của pt(1.20) dần tới một giới hạn xác ñịnh
không phụ thuộc cách chia mặt phẳng S và cách chọn ñiểm M trên dS
i
thì giới hạn ñó
bằng thông lượng qua mặt S. Trong toán học, giới hạn trên chính là tích phân mặt loại
hai của 3 hàm P(x,y,z); Q(x,y,z) và R(x,y,z) trên mặt S, ký hiệu là:

∫∫∫∫

=++=Φ
SS
sdVz)dxdyy,R(x, z)dzdx y,Q(x, z)dydzy,P(x,
r
r
(1.21)
Người ta chứng minh ñược rằng, nếu S là mặt ñịnh hướng, liên tục và có pháp tuyến biến
thiên liên tục, nếu các hàm P; Q; R liên tục trên mặt S thì tồn tại tích phân loại hai (1.21).
1.2.4. Định lý Green-Định lý Stokes-Định lý Ôxtrôgratxki
Các ñịnh lý này ñã ñược chứng minh trong giáo trình toán cao cấp [4], nên ở ñây ta chỉ
nhắc lại, không chứng minh, nhầm ñể vận dụng trong các phần sau.
1.2.4.1. Định lý Green.
Định lý Green biểu diễn mối quan hệ giữa tích phân ñường loại hai dọc theo một ñường
cong kín L và tích phân kép trong miền D phẳng giới hạn bởi ñường L.
Định lý: Nếu các hàm P(x,y), Q(x,y) và các ñạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục
trong miền D thì ta có công thức:

∫∫∫
+=
∂
∂
−
∂
∂
LD
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q

)(
(1.22)
trong ñó L là biên của miền D, tích phân dọc theo L lấy theo hướng dương (ngược chiều
kim ñồng hồ).
Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
9

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh

Ta cũng có ñịnh lý rằng: Nếu P(x,y), Q(x,y) liên tục cùng với các ñạo hàm riêng cấp một
của chúng trong một miền ñơn biên D, thì ñiều kiện ắt có và ñủ ñể tích phân ñường
∫
+
AB
QdyPdx trong ñó AB là ñường nằm trong D, không phụ thuộc ñường lấy tích phân,
trong miền D ta có:

x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
(1.23)
Pt(1.23) cũng là ñiều kiện ắt có và ñủ ñể biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của
một hàm u(x,y) nào ñó trong miền D.
1.2.4.2. Định lý Stokes

Định lý Stokes biểu diễn mối quan hệ giữa tích phân ñường loại hai dọc theo một ñường
cong kín L và tích phân mặt trên diện tích S (phẳng hoặc cong) có biên là ñường L. Nó là
sự mở rộng của ñịnh lý Green.
Định lý: Nếu các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các ñạo hàm riêng cấp một của
chúng liên tục trên mặt S thì ta có công thức:
∫∫∫
++=








∂
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
−

∂
∂
+








∂
∂
−
∂
∂
L
RdzQdyPdxdxdy
y
P
x
Q
dxdz
x
R
z
P
dydz
z
Q

y
R
(1.24)
trong ñó L là biên của mặt S, chiều lấy tích phân trên L ñược chọn sao cho một người
ñứng trên S, hướng của pháp tuyến dương ñi từ chân ñến ñầu nhìn thấy chiều trên L là
ngược chiều kim ñồng hồ.
Nếu S là một mặt phẳng song song với một mặt phẳng tọa ñộ, chẳn hạn nến S song song
với mặt phẳng Oxy, ta có z = hằng số, nên dz = 0. Khi ñó, pt(1.24) trở thành phương trình
(1.22).
1.2.4.3. Định lý Ostrogradski
Định lý Ostrogradski biểu diễn mối quan hệ giữa tích phân bội ba và tích phân mặt .
Định lý: Nếu các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các ñạo hàm riêng cấp một của
chúng liên tục trên miền V thì ta có công thức:

∫∫∫∫∫
++=








∂
∂
+
∂
∂
+

∂
∂
SW
RdxdyQdzdxPdydzdzdxdy
z
R
y
Q
x
P
(1.25)
trong ñó S là biên của miền V, tích phân mặt lấy theo mặt ngoài của S (Vectơ pháp tuyến
dương hướng ra ngoài).
Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
10

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
1.2.5. Divergence.
Giả sử cho một trường vectơ xác ñịnh bởi hàm vectơ:
V
= V
x
i
+ V
y
j
+ V
z
k
. Xét một

mặt cong hai phía trong trường ấy, thông lượng qua mặt cong S ñược xác ñịnh bởi công
thức (1.21), ta viết lại:

∫∫
++=Φ
S
zyx
dxdy)V dzdx V dydz(V
(1.26)
Trường hợp S là một mặt cong kín, nếu chọn pháp tuyến dương
n
hướng ra ngoài thì:

∫∫∫∫∫∫
==++=Φ
SS
n
dsVdsV
S
zyx
dxdy)V dzdx V dydz(V
(1.27)
trong ñó, V
n
là hình chiếu của vectơ
V
lên hướng
n
, Φ là một số ñại số.
Để thấy rõ ý nghĩa của thông lượng, ta xét trường hợp

V
là trường vận tốc dòng nước,
thì Φ ñặc trưng lưu lượng của luồng nước qua mặt cong S.
Gọi W là miền giới hạn bởi mặt cong S, theo ñịnh lý Ôxtrôgratxki ta ñược:
dzdxdy
z
V
y
V
x
V
dxdyVdzdxVdydzV
W
z
y
x
S
zyx
∫∫∫∫∫








∂
∂
+

∂
∂
+
∂
∂
=++=Φ
(1.28)
Định nghĩa Dirvergence:
Tại mỗi ñiểm M(x,y,z) của trường tương ứng một ñại lượng vô hướng








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
V
y
V
x

V
z
y
x
, ñại lượng này gọi là Divergence của
V
tại ñiểm M, ký hiệu là:
div
V
(M). Vậy:
Div
V
(M) =








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z

V
y
V
x
V
z
y
x
(1.29)
Công thức (1.28) ñược viết lại:
dzdxdyVdivdxdyVdzdxVdydzV
WS
zyx
∫∫∫∫∫
=++=Φ
(1.30a)
Viết gọn lại:
∫∫ ∫∫∫
==Φ
S W
dWVdivSdV
r
r
r
(1.30b)
pt(1.30a) và (1.30b) chính là nội dung của ñịnh lý Divergence.

1.2.6. Trường ống:
- Điểm nguồn: Giả sử div
V

(M) > 0, vì div
V
(M) liên tục, ta có thể tìm một miền lân
cận khá bé của M, trong ñó div
V
> 0. Giả sử W là một miền trong lân cận ñó và S là
biên của nó. Từ pt(1.30) ta suy ra thông lượng Φ qua mặt S theo chiều từ trong ra ngoài
là một số dương. Nói cách khác, thông lượng ñi vào mặt S ít hơn thông lượng xuất phát
từ M ñi ra qua mặt S. Điểm M lúc ñó ñược gọi là ñiểm nguồn.
Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
11

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
- Điểm rò: Nếu div
V
(M) < 0 thì thông lượng qua mặt S theo hướng ñi vào lớn hơn ñi ra.
Trường hợp này, M là ñiểm rò.
Để thấy rõ ý nghĩa của divergence, ta khảo sát một luồng nước chảy. Ta hình dung có
một mặt cong kín trong luồng nước, khảo sát lượng nước vào và ra xuyên qua mặt kín ñó.
Nếu mặt kín có bao bọc một ñiểm nguồn nước, thì lượng nước chảy ra nhiều hơn lượng
nước chảy vào (div
V
> 0); còn nếu mặt kín có lỗ rò thì lượng nước chảy vào nhiều hơn
lượng nước chảy ra; nếu mặt kín không có ñiểm nguồn và cũng không có lỗ rò thì lượng
nước ñi vào sẽ bằng lượng nước ñi ra khỏi mặt kín.
- Trường ống: Một trường vectơ
V
= {V
x
, V

y
, V
z
} mà mọi điểm đều có div
V
=0 ñược
gọi là trường ống. Nói cách khác, trường ống là một trường vectơ không có ñiểm nguồn
và ñiểm rò.
Để hiểu ý nghĩa của khái niệm trường ống, ta xét một ống dòng, tức là phần không gian
giới hạn bởi mặt cong sinh bởi các ñường dòng tựa lên biên của một mặt S
1
nào ñó. Đối
với một luồng nước chảy thì ống dòng chính là một dòng nước (chẳng hạn, dòng nước từ
một vòi nước chảy ra). Gọi S
2
là một tiết diện khác của ống dòng, còn mặt xung quanh
ống dòng là S
0
. Gọi S là mặt cong kín tạo bởi S
0
, S
1
và S
2
(Hình1.5).

Vì trong ống div
V
= 0, nên:
0dxdydzVdivdsVdsVdsVdsVdxdy)V dzdx V dydz(V

WS
n
S
n
S
n
S
n
S
zyx
210
==++==++=Φ
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

Trên mặt S
0
mọi pháp tuyến ñều vuông góc với tiếp tuyến của mặt, và cũng vuông góc
với
V
(do tính chất của ñường sức) cho nên luôn luôn có V
n
= 0. Vậy:

0dsV
S
n
=
∫∫

Tại S

2
, ta thay thế pháp tuyến ngoài (hướng ra) bởi pháp tuyến trong (hướng vào), V
n
ñổi
thành -V
n
và S
2
ñổi thành S
2
-
, ta có:

0dsVdsV
2
1
S
n
S
n
=−
∫∫∫∫
−
hay
∫∫∫∫
−
=
2
1
S

n
S
n
dsVdsV
Vậy, trong một ống dòng, thông lượng tính theo chiều của ñường dòng (chiều của vectơ
tiếp tuyến với ñường dòng) qua mọi tiết diện của ống ñều không ñổi nếu trường vectơ ñã
cho là trường ống. Thông lượng vào ở ñầu này của ống luôn luôn bằng với thông lượng
ra ở ñầu kia. Trong ống không có sự tăng thông lượng (không có ñiểm nguồn) và cũng
không có sự giảm năng lượng (không có ñiểm rò).
Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
12

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
1.2.7. Lưu số (Circulation) và vectơ xoáy (Curl)
Lại xét một trường vectơ xác ñịnh bởi hàm vectơ:
V
= V
x
i
+ V
y
j
+ V
z
k
= P
i
+ Q
j
+ R

k

và L là một ñường cong kín trong trường.
Lưu số của vectơ
V
dọc theo ñường cong kín L là:

∫
=
L
dl.VC (1.31)
Gọi d
l
là vectơ nằm theo hướng tiếp tuyến dương của L có các thành phần là dx, dy, dz.
Ta có: d
l
= dx
i
+ dy
j
+ dz
k
, và:

RdzQdyPdxC
L
++=
∫
(1.32)
Gọi S là một mặt cong bất kỳ có biên là L; theo công thức Stokes, ta có:

C
dxdy
y
P
x
Q
dxdz
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
RdzQdyPdx
SL








∂
∂
−
∂

∂
+






∂
∂
−
∂
∂
+








∂
∂
−
∂
∂
=++=
∫∫∫
(1.33)

Tại mỗi ñiểm M trong trường, ta có tương ứng một vectơ Ro có các thành phần là:

y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
;;

Pt(1.33) ñược viết lại:
∫∫∫∫∫
==++
SS
n
L
ds.RodsRoRdzQdyPdx
(1.34)
Trong ñó, Ro
n
là chiếu của Ro xuống phương pháp tuyến
n
, Vectơ Ro gọi là vectơ xoáy
(curl) hay Rota (Rotary) của trường
V
, ký hiệu
rot
V
. Vậy:

k
y
P
x
Q
j
x
R
z
P

i
z
Q
y
R
Vrot
)()()(
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
= (1.35)
Công thức (1.34) có thể phát biểu thành ñịnh lý: lưu số của vectơ
V
dọc theo một ñường
cong kín L ñúng bằng thông lượng của
rot

V
qua một mặt cong nào ñó giới hạn bởi L.
Ta có: SdVrotldVC
SL
r
r
r
r
∫∫∫
== (1.36)
Nếu
rot
V

≠
≠≠
≠
0 thì ñiểm M gọi là ñiểm xoáy của trường. Nếu
rot
V
= 0 thì ñiểm M gọi
là ñiểm không xoáy.
Để hiểu ý nghĩa của
rot
V
ta hãy khảo sát một luồng nước chảy. Tích phân
∫
++
L
RdzQdyPdx

biểu thị công sinh ra khi ñi dọc theo ñường cong L. Trong một luồng
nước bình thường, công tổng cộng sinh ra khi ñi dọc theo một ñường cong kín bằng 0, vì
Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
13

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
công sinh ra khi ñi “thuận chiều” luồng nước bằng với công cản khi ñi dọc theo phần
“ngược chiều” luồng nước (hình 1.6).


Nếu trong luồng nước có một xoáy nước tại ñiểm M và L là một ñường cong kín khá bé
bao quanh M, thì ta thấy ngay, công ñó không triệt tiêu: nếu ñi theo L thuận chiều xoáy
thì sinh ra một công dương, còn nếu ñi ngược chiều xoáy thì sinh ra một công âm.
Một trường vectơ mà tại mọi ñiểm ñều có
rot
V
= 0 gọi là một trường thế hay trường
không xoáy.
Trong vật lý ñại cương ta ñã biết trọng trường là một trường thế vì công của lực trọng
trường sinh ra dọc theo mọi ñường cong kín ñều bằng 0.
Điều kiện ắt có và ñủ ñể trường
V
là một trường thế là
rot
V
= 0.


1.3.1. Toán tử Hamilton
Để thuận tiện cho việc biểu diễn và tính toán, ta dùng một ký hiệu ñược gọi là toán tử

Hamilton (hay nabla). Đó là một 'vectơ tượng trưng'
∇
có các 'thành phần' là:







∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
z
,
y
,
x
(1.37)
Trong hệ qui chgiếu vuông góc:

z
k
y
j
x

i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
(1.38)
Chú ý rằng,
z
,
y
,
x ∂
∂
∂
∂
∂
∂
chỉ là các ký hiệu biểu diễn phép tính ñạo hàm riêng, thật ra
không phải là các thành phần của một vectơ . Tuy nhiên, với
∇
, ta vẫn áp dụng một cách
máy móc các qui tắc tính toán như ñối với một vectơ thông thường.
1.3.2. Biểu diễn
u.grad
,

V
div
và
V
rot
bằng toán tử
∇

Gradient:

z
u
k
y
u
j
x
u
iu.
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
hay (1.39)
ugradu. =∇

1.3. TOÁN TỬ HAMILTON VÀ TOÁN TỬ LAPLACE
Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
14

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
Divergence:

z
V
k
y
V
j
x
V
iV.
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
hay (1.40)

Curl:









∂
∂
−
∂
∂
+








∂
∂
−
∂
∂
+









∂
∂
−
∂
∂
=∇
y
V
x
V
k
x
V
z
V
j
z
V
y
V
iVx
x

yy
x
y
x
hay (1.41)
Ta có:
0V. =∇
⇔
⇔⇔
⇔
V
là trường ống.

0Vx =∇
⇔
⇔⇔
⇔
V
là trường không xoáy.
1.3.3. Toán tử Laplace:
Nhân vô hướng
∇
với chính nó, ta ñược một ký hiệu vô hướng gọi là toán tử Laplace, ký
hiệu là ∆, ta viết:

2
2
2
2
2

2
2
zyx
.
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∇∇=∆
(1.42)
Ví dụ:
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
u.
∂
∂

+
∂
∂
+
∂
∂
=∆

Ta thấy rằng ∆.u là tổng 3 ñạo hàm riêng bậc 2 trong hệ trục tọa ñộ vuông góc. Cần phân
biệt với ký hiệu số gia ∆u mà ta thường gặp.
Một hàm u(x,y,z) thỏa phương trình:

0
z
u
y
u
x
u
u.
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+

∂
∂
+
∂
∂
=∆
(1.43)
ñược gọi là hàm ñiều hòa và pt(1.43) ñược gọi là phương trình Laplace. Vậy, nghiệm của
phương trình Laplace là một hàm ñiều hòa.



1.4.1. Khái niệm:
Trường ñiện từ là một dạng vật chất ñặc biệt, sự tồn tại và vận ñộng của nó ñược thể
hiện qua những tương tác với các dạng vật chất khác, ñó là các hạt hoặc các môi trường
chất mang ñiện.
Trường ñiện từ bức xạ là sự thống nhất hai hình thái vận ñộng sóng và hạt photon của
trường ñiện từ, chuyển ñộng với vận tốc c=299790.10
3
m/s trong mọi hệ qui chiếu quán
tính trong chân không.
Từ ñịnh nghĩa trên, ta triển khai thêm một số ý như sau:
- Trường ñiện từ là một thực thể vật lý và thuộc tính cơ bản của một thực thể vật lý là tồn
tại và vận ñộng khách quan, trước hết là theo ý nghĩa ñộng lực học.
V
div
V
.
=
∇

V
rot
V
x
=
∇

1.4. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
15

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
- Để thấy rõ cơ chế tương tác của một thực thể vật lý cơ bản, ta phải xét nó qua sự tương
tác với các thực thể khác. Vậy, việc nghiên cứu về trường ñiện từ luôn gắn liến với các
thực thể khác tham gia tương tác với nó. Trường ñiện từ và thực thể tương tác với nó tạo
thành một hệ thống vật lý. Ta có hai mô hình hệ thống vật lý: hệ thống trường lượng tử -
hạt mang ñiện và hệ thống trường liên tục – môi trường chất.
- Hệ thống trường lượng tử - hạt mang ñiện: là một trong các mô hình cơ bản về hệ
tương tác giữa trường ñiện từ và các dạng vật chất khác. Hạt cơ bản là một thực thể hoàn
chỉnh không chia nhỏ ñược, tức ta không biết cấu trúc nội tại của hạt. Do ñó, theo mô
hình này,trường ñiện từ phải trao ñổi những lượng tử năng lượng, ñộng lượng,… nhất
ñịnh. Với mô hình tương tác trường – hạt, trường và hạt có những ñiểm giống nhau (ví
dụ: sự tương tác , các thông số,… ñược lượng tử hóa), tuy nhiên cũng có những ñiểm
khác nhau: hạt rất tập trung ở một ñiểm trong không gian còn trường thì phân bố rải ra và
có thể tách ra những lượng tử trường; hạt chuyển ñộng với những vận tốc khác nhau,
thường nhỏ hơn c, nhưng trường và các lượng tử trường luôn luôn chuyển ñộng với vận
tốc c trong chân không với mọi hệ qui chiếu.
- Hệ thống trường liên tục – mội trường chất liên tục: là hệ tương tác thường ñược xét
trong thực tế. Môi trường chất là một tập hạt liên kết theo một qui luật nhất ñịnh (như cấu

trúc nguyên tử, phân tử, tinh thể,…). Trong cấu trúc chất thực tế, các hạt thường cách
nhau những khoảng chân không rất lớn so với kích thước hạt, nhưng lại vô cùng nhỏ so
với kích thước thông thường trong kỹ thuật. Do cấu trúc của chất thực tế rất gián ñoạn,
theo ñó, trường cũng phân bố không ñều, tập trung mạnh ở lân cận các hạt và yếu dần ở
vùng giữa các hạt. Nhưng trong thực tế các thiết bị kỹ thuật ñiện-ñiện tử và các dụng cụ
ño ñều hoạt ñộng theo những giá trị trung bình của trường và môi trường trong những
vùng ñủ lớn so với kích thước của hạt. Vì vậy, trong giáo trình này, ta khảo sát trường
ñiện từ theo theo quan niệm liên tục hóa môi trường và trường ñiện từ trong không gian
và thời gian. Ta sẽ “dàn ñều” các hạt chất ra miền lân cận thành một mô hình chất liên
tục hóa và trung bình hóa ñịa phương. Mô hình phân bố này ñược gọi là môi trường chất.
Theo ñó trường ñiện từ cũng ñược quan niệm liên tục hóa theo nghĩa trung bình ñịa
phương. Tương tác của hệ cũng ñược liên tục hóa, không gian và thời gian cũng ñược
liên tục hóa theo. Từ ñó, ta có thể mô tả tương tác của hệ dưới dạng những phương trình
ñạo hàm riêng của những biến liên tục.
- Cũng cần nói thêm rằng, tính liên tục của trường ñiện từ thể hiện ở cấu trúc sóng và
tính gián ñoạn của nó thể hiện ở cấu trúc lượng tử (hạt). Những tương tác cực nhanh
hoặc ở những dải tần cực cao, ngoài dải tần vô tuyến ñiện, như ở dải tần ánh sáng, thực
nghiệm và lý thuyết cho cho thấy rõ nét sự ñồng nhất giữa hai hình thái vận ñộng sóng và
hạt photon của trường ñiện từ bức xạ. Mỗi lượng tử bức xạ (photon) của trường mang
một năng lượng ñược tính theo công thức Einstein:
w
bx
= hν (1.44)
Ở ñây, h = 6,623.10
-34
Js là hằng số Blanck và ν là tần số dao ñộng của bức xạ.
Từ dải tần vô tuyến ñiện trở xuống, hiện tượng lượng tử hoàn toàn không rõ nét và
trường ñiện từ thể hiện tính chất sóng là chính. Đây cũng là lý do mà ta chỉ khảo sát mô
hình liên tục của trường ñiện từ.
1.4.2. Hai mặt điện và từ của trường điện từ :

Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
16

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
Phân tích tương tác của trường ñiện từ lên môi trường chất trong một hệ qui chiếu quán
tính ta thấy trường ñiện từ có hai mặt (hay hai luật) tương tác với các hạt hoặc vật nhỏ
mang ñiện tuỳ theo cách chuyển ñộng của vật trong hệ:
- Lực ñiện F
E
chỉ phụ thuộc vào vị trí của vật, không phụ thuộc vào vận tốc của vật.
- Lực từ F
M
chỉ tác ñộng khi vật chuyển ñộng.
Đó là các lực Lorentz của trường ñiện từ tác dụng lên vật mang ñiện. Ta nói trường ñiện
từ có hai mặt thể hiện và gọi hai mặt thể hiện ấy lần lượt là trường ñiện và trường từ.
Ta cũng biết rằng, trường ñiện từ ñược sinh ra bởi các hạt hay vật mang ñiện tích, trong
ñó, trường từ chỉ xuất hiện khi các hạt hoặc vật mang ñiện chuyển ñộng. Như vậy, dòng
ñiện là dòng chuyển dời có hướng của các hạt mang ñiện nên cũng tạo ra trường từ.
Cần chú ý rằng, trường ñiện và trường từ cùng các lực Lorentz và năng lượng của chúng
là những khái niệm tương ñối. Bởi vì sự chuyển ñộng của các vật mang ñiện là tương ñối,
phụ thuộc vào hệ qui chiếu mà ta xét. Trường ñiện từ vẫn tồn tại ñộc lập với hệ qui chiếu,
nhưng tác dụng ñộng lực học của nó sẽ khác nhau trong các hệ qui chiếu khác nhau. Hơn
nữa, trường ñiện và trường từ có thể chuyển hóa lẫn nhau, trường ñiện từ là một thực thể
thống nhất, toàn vẹn, ta chỉ có thể khảo sát từng mặt tác dụng ñiện hoặc từ chứ không thể
tách riêng ñiện trường và từ trường thành hai thực thể khác nhau.
1.4.3. Các đại lượng cơ bản đặc trưng cho trường điện từ
Ta có thể chia ra làm hai loại thông số:
- Thông số biến trạng thái: là các ñại lượng biểu diễn trạng thái và quá trình ñộng
lực học của hệ (ví dụ: năng lượng, ñộng lượng,…) hoặc biểu diễn năng lực tương tác của
các thành viên của hệ (ví dụ: ñiện tích, vectơ cường ñộ ñiện trường, vectơ cảm ứng từ,…)

- Thông số hành vi: là các ñại lượng biểu diễn tính qui luật các hoạt ñộng, hành vi
của một thực thể trong quá trình tương tác với các thực thể khác (ví dụ: hệ số phân cực,
các toán tử,…).
1.4.3.1. Điện tích (ký hiệu q)
Điện tích là một ñại lượng ño năng lực tương tác lực của vật ñối với trường ñiện từ, một
thuộc tính của vật mang ñiện.
Thực nghiệm chúng tỏ:
- Các lực Lorentz không ưu tiên cho một phương hoặc một trục nào của hạt mang
ñiện, vậy q là một số thực.
- Cùng một ñiều kiện về trường, về vị trí và chuyển ñộng, các vật mang ñiện có
thể chịu tác dụng lực Lorentz theo hai chiều ngược nhau. Vậy ta phân biệt hai loại hạt
hay vật mang ñiện có ñiện tích trái dấu nhau: ñiện tích âm và ñiện tích dương.
Như vậy, ñiện tích có giá trị là một số thực. Trong hệ thống SI, ñơn vị của ñiện tích là
Coulomb (C), ñiện tích của một electron là e = -1,6.10
-19
C
.
Cần

chú ý rằng, ñiện tích là một biến trạng thái ñộng lực học cơ bản của một vật mang
ñiện, ño một thuộc tính chứ không phải là một chất gì tạo nên hoặc mang trong vật.
Điện tích điểm: Một vật tích ñiện có kích thước rất nhỏ so với vùng không gian khảo sát
có thể coi như là một chất ñiểm mang ñiện, ta gọi là ñiện tích ñiểm.
Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
17

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
Một ñiện tích ñiểm dùng ñể xác ñịnh sự tồn tại và ño khả năng tác dụng lực của trường
ñiện từ gọi là ñiện tích thử.
1.4.3.2. Vectơ cường ñộ ñiện trường

E
:
Xét một ñiện tích thử ∆q ñứng yên tại một ñiểm M trong một hệ qui chiếu quán tính, nếu
vật mang ñiện chịu tác dụng một ñiện lực ∆
F
thì ta nói lân cận ñiểm M có tồn tại một
trường ñiện từ.
Định nghĩa: Vectơ cường ñộ ñiện trường
E
ở tại một ñiểm trong một hệ qui chiếu quán
tính bằng lực ñiện từ tác dụng lên một ñơn vị ñiện tích dương ñứng yên tại ñiểm ấy.
E
là một biến trạng thái ño năng lực tác dụng lực Lorentz về ñiện ở lân cận ñiểm M của
trường ñiện từ. Ta có:

E
= ∆
F
/∆q (1.45)
Suy ra: ∆
F
= ∆q.
E
(1.46)
Với quan ñiểm liên tục hóa, và dùng các lượng trung bình ñịa phương về ñiện tích, lực,
cường ñộ ñiện trường, ta có thể thay các số gia trong các biểu thức trên bằng những vi
phân:
E.dqFd
q
F

E
E
E
rr
r
=⇔
∂
∂
=
(1.47)
Trong hệ thống SI, ñơn vị của cường ñộ ñiện trường E là V/m.
1.4.3.3. Vectơ cảm ứng từ
B

Xét một ñiện tích thử dq chuyển ñộng với vận tốc
v
trong hệ qui chiếu quán tính, nếu nó
chịu tác dụng một lực Lorentz về từ (mà ta có thể phân biệt với lực Lorentz về ñiện), ta
bảo rằng lân cận vật ñó tồn tại một trường từ (hiểu là một thể hiện của trường ñiện từ).
Một vật mang ñiện chuyển ñộng cũng tương ñương với một dòng ñiện chạy trong một
dây dẫn. Vậy, một ñoạn dây dẫn có dòng ñiện chạy qua ñặt ở vị trí ñang xét cũng chịu tác
dụng một Lorentz về từ.
Một kim nam châm ñược ñặt trong vùng ñó cũng chịu tác dụng lực từ, ta biết nam châm
có những dòng ñiện phân tử hoặc spin.
Thực nghiệm cho thấy, lực từ d
F
B
có phương vuông góc với
v
và vuông góc với một

chiều
B
e
xác ñịnh tại mỗi ñiểm trong hệ qui chiếu, một kim nam châm khi ñược ñặt tại vị
trí ñó thì cực bắc sẽ hướng theo chiều
B
e

. Vậy chiều
B
e
không ñặc trưng cho vật mang
ñiện và kim nam châm, mà là chiều ñặc trưng riêng của trường ñiện từ về mặt tác dụng
lực Lorentz từ.
Trên cơ sở khảo sát quan hệ tỉ lệ giữa lực từ và vận tốc, người ta ñã thành lập ñược biểu
thức:
d
F
= dq(
v
xB
B
e
) (1.48)
Chương 1: Lý Thuyết Trường Trang
18

Giáo trình Trường Điện Từ ThS. Đoàn Hòa Minh
Trong ñó, dấu “x” là tích hữu hướng của hai vectơ. B là hệ số tỉ lệ phụ thuộc vào trường
ñiện từ.

Đặt:
B
=
B
B
e
(1.49)

Ta thấy,
B
hoàn toàn có thể ñặc trưng cho trường ñiện từ về mặt tac dụng lực Lorentz từ.
B
ñược gọi là
vectơ cảm ứng từ.

1.4.3.4. Phần tử dòng ñiện:
Xét một dây dẫn có tiết diện vô cùng nhỏ so với chiều dài của nó có dòng ñiện chạy qua,
ta gọi là dòng ñiện dài hay dòng ñiện dây tóc.
Xét một ñoạn ñịnh hướng
ld
r
vô cùng nhỏ có chiều
là chiều dòng ñiện, sao cho dl có thể coi như ñoạn thẳng
Đại lượng vectơ
lId
r
ñược gọi là phần tử dòng ñiện
.
Trong ñó I là cường ñộ dòng ñiện.
Giả sử các hạt mang ñiện tự do trong dây dẫn cùng chuyển ñộng với vận tốc

v
, trong
thời gian dt lượng ñiện tích tải qua tiết diện dây dẫn là dq, cường ñộ dòng ñiện trên dây
dẫn là i = dq/dt .
Phần tử dòng ñiện:
v.dqdtv
dt
dq
lid
rr
r
==

(1.50)

Ta có lực từ tác dụng lên một phần tử dòng ñiện là:

Bxv.dqBxlidFd
v
r
r
v
r
==
(1.51)
Công thức tính vectơ cảm ứng từ tại một ñiểm trong từ trường do một phần tử dòng ñiện
sinh ra ñược xác ñịnh bằng ñịnh luật Biot-Savart sẽ ñược trình bày ở chương 2.

BÀI TẬP
1.1.

Cho một ñiện tích ñiểm ñứng yên tại gốc tọa ñộ của một hệ qui chiếu vuông góc
sinh ra xung quanh nó một trường ñiện. Tại mỗi ñiểm M trong trường ñiện (không trùng
với gốc tọa ñộ), vectơ cường ñộ ñiện trường là:

M
3
M0
r
r4
q
E
πε
=

và ñiện thế tương ứng là: u = q/r
M

222
M
zyxr ++=


a) Xét về mặt thế năng thì trường ñiện là một trường vô hướng. Hãy viết phương
trình của mặt ñẳng thế (tương ứng với một giá trị c nào ñó) và chứng minh
trường ñiện là một trường thế.
•

•

M

r
M

x

y

z

O
•

v
r
B
r
Fd
r
I
ld
r