bài tập lượng giác lớp 10

BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Góc và cung lượng giác:
*. Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2πR và có số đo bằng 360
0
.
*. Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ
dài bằng
180
R
π
và có số đo 1
0
.
*. Cung tròn bán kính R có số đo a
0
(0 ≤ a ≤ 360) thì có độ dài bằng
180
aR
π
.
*. Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.
*. Cung có số đo bằng a
0
ứng với α radian công thức đổi đơn vị là:
π
α
=
0
0

180
a
.
*. Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.α. y
*. Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này
là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z
Ox đến Oy.
*.Đường tròn lượng giác là đường tròn O x
Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một
chiều làm chiều dương (+).
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn
tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiều
ngược kim đồng hồ.
*. Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là
cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất
định từ A đến C.
*. Số đo của góc và cung lượng giác:
sđ(Ox, Oy) = a
0
+ k360
0
hoặc sđ(Ox, Oy) = α + k2π.
sđAM = a
0
+ k360
0
hoặc sđAM = α + k2π.
y
B S
M

P T
A’ O Q A x
B’
*. Hệ thức Sa-lơ:
+ Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:
sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz).
+ Với M, N, K tùy ý trên đường tròn
lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK.
2. Các công thức lượng giác cơ bản:
Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng
giác với sđAM = α + k2π (k ∈ Z).
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 1
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Ta có:
.cot,tan,sin,cos BSATyOPxOQ ======
αααα
Nhận xét: - 1 ≤ cosα ≤ 1, - 1 ≤ cosα ≤ 1.
cos(α + k2π) = cosα, sin(α + k2π) = sinα, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cot α.
tanα =
α
α
cos
sin
xác định khi α ≠
,
2
π
π
k+
cotα =

α
α
sin
cos
xác định khi α ≠ α ≠ kπ
sinα = tanαcosα, cosα = cotαsinα, tanαcotα = 1, sin
2
α + cos
2
α + 1.
.
sin
1
cot1,
cos
1
tan1
2
2
2
2
α
α
α
α
=+=+
*. Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt:
Góc 0
0
30

0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
TS . 0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π

6
5
π
π
sin 0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0
cos 1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
−

2
2
−
2
3
−
-1
tan 0
3
3
1
3

3−
-1
3
3
−
0
cot

3
1
3
3
0
3
3
−
-1

3−

3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt:
*. Cung đối nhau: - α và α:
cos(-α) = cosα, sin(-α) = - sinα, tan(-α) = - tanα, cot(-α) = - cotα.
*. Cung bù nhau: π - α và α:
sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = - cosα, tan(π - α) = - tanα, cot(π - α) = - cotα.
*. Cung hơn kém π: π + α và α:
sin(π + α) = - sinα, cos(π

α) = - cosα, tan(π + α) = tanα, cotπ + α) = cotα.
*. Cung phụ nhau:
2
π
- α và α:
sin






−
α
π
2
= cosα, cos







−
α
π
2
= sinα, tan






−
α
π
2
= cotα, cot






−
α
π
2
= tanα.

*. Cung hơn kém
2
π
:
2
π
+ α và α:
sin






+
α
π
2
= cosα, cos






+
α
π
2
= - sinα, tan







+
α
π
2
= - cotα, cot






+
α
π
2
= - tanα.
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 2
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
4. Các công thứ lượng giác khác:
*. Công thức cộng:
cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ, sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ.
cos(α– β) = cosαcosβ + sinαsinβ, sin(α– β) = sinαcosβ – cosαsinβ.
tan(α + β) =
βα

βα
tantan1
tantan
−
+
, tan(α– β) =
βα
βα
tantan1
tantan
+
−
.
*. Công thức nhân đôi:
cos2α = cos
2
α - sin
2
α = 2cos
2
α - 1 = 1 – 2sin
2
α;
sin2α = 2sinαcosα; tan2α =
.
tan1
tan2
2
α
α

−
*. Công thức hạ bậc:
sinαcosα =
.
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos;2sin
2
1
22
α
α
α
αα
−
=
+
=
*. Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosαcosβ =
[ ] [ ]
;)sin()sin(
2
1
cossin;)cos()cos(
2
1

βαβαβαβαβα
−++=−++
sinαsinβ = -
[ ]
.)cos()cos(
2
1
βαβα
−−+
*. Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosα + cosβ =
;
2
cos
2
cos2
βαβα
−+
cosα – cosβ =
;
2
sin
2
sin2
βαβα
−+
−
sinα + sinβ =
;
2

cos
2
sin2
βαβα
−+
sinα – sinβ =
.
2
sin
2
cos2
βαβα
−+
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1. a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các
số do sau: - 45
0
, 1200
0
, - 830
0
.
b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho
cung AM có số đo bằng:
.45;
46
;
23
0
π

ππππ
kkk ++−+
c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b).
2. Xác định điểm cuối M của cung lượng giác α biết cosα ≥ 0,5. Tìm miền
giá trị của sinα, tanα và cotα.
3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin
4
x + cos
4
x = 1 – 2sin
2
x cos
2
x; b) sin
6
x + cos
6
x = 1 – 3sin
2
xcos
2
x;
x; tan tanx)-2x tanx)(sin-(tan2x d) ;
cosx 1
sinx
sinx
cosx - 1
c)
2

=
+
=
;
cos4x - 1
2cos4x 6
x cot x tang) x; tan
xsin x sin -x cos
xcos x cos xsin
e)
224
422
422
+
=+=
+
+−
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 3
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
h) tan
2
x – sin
2
x = tan
2
xsin
2
x;
i)
cosx. x

3
2
cos
3
2x cos -
6
x cos
3
2x sin =






−






+






−







+
ππππ
4. Rút gọn các biểu thức sau:
;
1 -cosx x 2cos
1 cosx cos2x cos3x
C ; tanx) x(1cos cotx) x(1sin B ;
sinx
1 -x 2cos
A
2
22
2
+
+++
=+++==
;
cosx - 1 cosx 1
cosx - 1 cosx 1
E ;
xsin
cosx) - (1
1
sinx

cosx 1
D
2
2
−+
++
=






+
+
=
;
cos4a cos3a cos2a acos
sin4a sin3a sin2a sina
F
+++
+++
=

;
cosb cosa
) - )sin(a sin(a
G
+
+

=

;
cos98 2cos638
)cos(-1882520sin2
tan368
1
H
00
00
0
+
+=

.
2
x
tan
cosx - 1
cosx 1
I
2
+
=
5. Tính tổng: S
1
= sina + sin2a + sin3a + . . . + sinna;
S
2
= 1 + cosa + cos2a + cos3a + . . . + cosna.

6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y:
A = cos
2
x + cos
2
(x + a) – 2cosxcosacos(x + a);
B = cos
6
x + 2sin
4
xcos
2
x + 3sin
2
xcos
4
x + sin
4
x;

3
3
x cos
6
x cos
4
x cos
3
-x cos C







+






++






+






=
ππππ
( )( )
;

cossin21xcos -x sin
xcos -x sin
E ; x-
3
2
cos
3
2
x cos x cos D
2222
88
222
xx−
=






+






++=
ππ
F = 3(sin

8
x – cos
8
x) + 4(cos
6
x – 2sin
6
x) + 6sin
4
x;
yxcotcot -
yxsinsin
ysin -x cos
G
22
22
22
=
7. CMR: sinxcosxcos2xcos4x =
.8sin
8
1
x
Áp dụng: Tính giá trị các biểu thức:
A = sin6
0
.sin42
0
.sin66
0

.sin78
0
;
.
7
5
.cos
7
3
.cos
7
cos B
πππ
=
8. a) Cho cosx = -
.270 x 108 và
5
3
00
<<
Tính sinx, tanx và cotx.
b) Biết tan
.
2
a
m=
Tính
;
sina tana
sina - tana

+
c) Biết tana + cota = m,
,
2
a 0
π
<<
tính sin2a, sin4a. Tìm điều kiện của m.
d) Cho sina + cosa = m với
.2 m 2 - ≤≤
Tính sin2a, sina, cosa.
9. Không dùng bảng tính và MTĐT, tính:
.
24
11
.sin
24
7
.sin
24
5
.sin
24
sin B ;
12
5
.cos
12
11
sin A

ππππππ
==
C = cos10
0
.cos50
0
.cos70
0
; D = cos20
0
.cos40
0
.cos80
0
.
E = sin160
0
.cos110
0
+ sin250
0
.cos340
0
+ tan110
0
.tan340
0
.
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 4
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.

F = sin10
0
.sin50
0
.sin70
0
;
.
12
5
tan
12
tanG
22
ππ
+=
H = tan5
0
tan55
0
tan65
0
.
H = tan9
0
– tan27
0
– tan63
0
+ tan81

0
; I = cos10
0
cos20
0
cos30
0
. . . cos80
0
.
;
7
3
cos
7
2
cos -
7
cos K
πππ
+=

.
24
sin
24
5
sin
12
7

sin
12
5
cos M
ππππ
=
10. Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:
.
2
A C
tan
2
A - C
tan

a c
a - c
;
2
C B
tan
2
C - B
tan

c b
c - b
;
2
B A

tan
2
B -A
tan

b a
b - a
+
=
+
+
=
+
+
=
+
11. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc =
;
cosccosa.cosb.
c) b sin(a ++
b)
a; tana.tan3
a2a.tan tan- 1
a tan- 2atan
22
22
=

.

bacoscos
b) - b)sin(a sin(a
b tan- a tanc)
22
22
+
=
cos4x
4
1

4
3
x cos x sin f) ;
sina cosa
sina - cosa
sin2a 1
cos2a
e) 0;
2
3
-cos4x
2
1
-2cos2x -x4cos d)
444
+=+
+
=
+

=
.
8
3
.sin80.sin40sin20 h) 0;
9
7
cos
9
5
cos
9
cos g)
000
==++
πππ
12) Chứng minh rằng:
a) Nếu

2
1

y) -cos(x
y) cos(x
=
+
thì tanxtany =
.
3
1

b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các
điều kiện 3sin
2
x + 2sin
2
y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì
.
2
2y x
π
=+
13. CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;
b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana.
14. CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:
a) sinA + sinB + sinC =
;
2
C
cos
2
B
cos
2
A
4cos
;
2
C
sin
2

B
sin
2
A
4sin 1 cosC cosB cosA b) +=++
c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC;
d) cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 – 2cosAcosBcosC;
e) sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 2 + 2cosAcosBcosC;
f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C)
h)
;
2
C
.cot
2
B
.cot
2

A
cot
2
C
cot
2
B
cot
2
A
cot =++
i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1;
0;
2
B
cot a) - (c
2
A
cot c) - (b
2
C
cot b) - (a k) =++
l) S = 2R
2
sinAsinBsinC;
;
2
C
sin
2

B
sin
2
A
4Rsin r m) =
1;
2
A
.tan
2
C
tan
2
C
.tan
2
B
tan
2
B
.tan
2
A
tann) =++
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 5
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
;
2
C
.cos

2
B
cos
2
A
p.sin
a o) =

;
sinC
B) -sin(A

c
b - a
p)
2
22
=

;
2
C
.tan
2
B
.tan
2
A
p.tan r q) =
;

2
A
sin
2
C
.sin
2
B
asin
r r) =

;
2
C
.cos
2
B
.cos
2
A
4cos
p
R s) =

;
2
C
sin
2
B

sin
2
A
sin
4R
r
)t =
cosC; cosB cosA
R
r
1 u) ++=+

ccosC; bcosB acosA
R
2pr
v) ++=
;
2
C
tan
2
B
tan
2
A
tan
p
r 4R
w) ++=
+

0; )cotCb - (a )cotBa - (c )cotA c - (b x)
222222
=++
;
B) -2sin(A
)sinAsinBb - (a
S y)
22
=

( )
. A2sinb sin2Ba
4
1
S z)
22
+=
15. CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:
( )
3p; c - p b - p a - p p b) ;
abc
Rc b a
cotC cotB cotA a)
222
≤++<
++
=++
;
c

1

b
1

a
1
2
c - p
1

b - p
1

a - p
1
c)






++≥++
d) Nếu a
4
= b
4
+ c
4

thì 2sin
2
A = tanB.tanC
16. Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
.

c - b - a
c - b a
a
4
3
sinBsinC
c) ;
1 3cosB C) A cos(
a
a - c b
a - c b
b) 2;
sinBcosC
sinA
a)
333
2
2
333








+
=
=





=++
=
+
+
=
;
c - b a
c - b - a
a
4
1
cosBcosC
e) ;
a
a - c b
a - c b
a 2bcosC
d)
333
2

2
333







−
=
=





=
+
+
=

( )
Csin Bsin A sinR
3
2
S f)
3332
++=
;

8
1
sCcosAcosBco i) ;
2
C
2cot tanB tanA h) ;
cosC cosB
sinC sinB
sinA g) ==+
+
+
=
k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15;
.3
cosC cosB cosA
sinC sinB sinA
l) =
++
++
17. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là:
a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0;
c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC.
18. Chứng minh ∆ABC vuông khi:
tanA.
cosA sinB
cosB sinA
c);
b
c a

2
B
cot b) ;
sinBsinC
a

cosC
c

cosB
b
a) =
+
++
==+
.
2
C
sin
2
B
sin22p h f) sin2B;a
4
1
S e) ;
a
2bc
C) - cos(B d)
a
2

2
===
19. Chứng minh rằng ∆ABC là vuông hoặc cân khi:
.
a
c - b
C) - sin(B b) ;
2
B - C
tan
b c
b - c
a)
2
22
=






=
+
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 6
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
20. Chứng minh rằng ∆ABC là cân khi và chỉ khi:
BtanC; tan tanC 2tanB b) ;
2
B A

b)tan (a b.tanB a.tanA a)
2
=+
+
+=+
B);cot A cot(
2
1

Bsin A sin
Bcos A cos
d) B); tan(A
2
1

cosB cosA
sinB sinA
c)
22
22
22
+=
+
+
+=
+
+
;
sinC
2sinAsinB

2
C
cot f) ;
2
C
sinB)cot (sinA
cos
Bsin

cosA
Asin
e)
22
=+=
;
2
B
ptan
2
C
cot b)- (p h) ;
2
A
cos
2
B
sin
2
B

cos
2
A
sin g)
33
==
0 A) - bsin(C C) - asin(B l) btanB); (atanA
2
C
tan b a k) ;
c - 4a
c 2a

sinB
cosB 1
i)
22
=++=+
+
=
+
21. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn biểu thức sau:
a) (b
2
+ c
2
)sin(C - B) = c
2
– b
2

)sin(C + B);
;
tanC
tanB

Csin
Bsin
b)
2
2
=
.
cos2B - 1
C) - cos(B - 1
2.
b
c) - (b
d) ;
sinA
sinB

cosC 2cosB
cosC 2cosA
c)
2
2
=+
+
+
22. CMR: ∆ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C;
b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0;
c) 2(a
3
+ b
3
+ c
3
) = a(
2
+ c
2
) + b(c
2
+ a
2
) + c(a
2
+ b
2
);
.3h
2
a
c b d)
a
+=+
23. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0;
c) a

3
=
3
+ c
3
; d) sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C ≤ 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B
2; cotB) cotA)(1 (1 f) =++
g) sin
2
A + sin
2
B = 5sin
2
C;
h) A, B, C là nghiệm của phương trình:
.
3
32

2
x
tan-tanx =
24. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
.sinxcosx cosxsinx y +=

(ĐH An ninh 1998)
25. CMR: nếu ba góc A, B, C của ∆ABC thỏa điều kiện:
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C thì A, , C đều là ba góc nhọn. (ĐH An ninh 1998)
26. Cho ∆ABC có các góc thỏa
1
2
B
tan
2
A
tan =+
. CMR:
1.
2
C
tan
4
3
<≤
(ĐH Bách khoa Hà nội 1998)
27. Cho ∆ABC. CMR: 2b = a + c ⇔
3.
2
C

cot
2
A
cot =+
(ĐH Cần thơ
1998)
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 7
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
29. CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác
đều có diện tích lớn nhất. (ĐH Công đoàn 1998)
30. Cho ∆ABC. CMR:
.
4S
c b a
cotC cotB cotA
222
++
=++
(ĐH Dược hà nội 1998)
31. Cho ∆ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = 3cosA + 2(cosB + cosC). (ĐH Luật Hà nội
1998)
32. Cho ∆ABC. CMR:
.
c
b - a

sinC
B) -sin(A
2

22
=
(ĐH Ngoại ngữ 1998)
33. CMR: trong mọi ∆AC ta đều có:
.
2
C
.cot
2
B
.cot
2
A
cot
2
C
tan
2
B
tan
2
A
tan
2
1

sinC
1

sinB

1

sinA
1






+++=++
(ĐH Ngoại thương 1998)
34. Cho ∆ABC sao cho:

2 sinC sinB sinA
a c b
222





+=++
≤+
. Tính các góc của ∆ABC.
(ĐH Ngoại thương 1998)
35. CMR: trong mọi ∆ABC ta luôn có:
.
3
C

cos
3
B
cos
3
A
cos
4
3

8
3

3
C
cos
3
B
cos
3
A
cos
333






+++≤++

(ĐH Quốc gia Hà nội 1998)
36. a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức:
.
2
C
sin
1

2
B
sin
1

2
A
sin
1

cosC
1

cosB
1

cosA
1
++=++
CMR: ∆ABC đều.
b) ∆ABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức:
2cosA

sinC
sinB
=
.
(ĐH An ninh 1999)
37. CMR: điều kiện cần và đủ để ∆ABC đều là có hệ thức:
( )
.3 cotC cotB cotA -
sinC
1

sinB
1

sinA
1
=++++
(ĐH Bách khoa Hà nội 1999).
38. CMR: Điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là:
1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0. (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999).
39. ∆ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC).
CMR: ∆ABC là tam giác đều. (ĐH Dược Hà nội 1999).
40. CMR: nếu ∆ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b)

2
BA
tan
+
thì ∆ABC cân.
(ĐH Hàng hải 1999).

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 8
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
41. Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot
4
a + cot
4
b + 2tan
2
a.tan
2
b + 2.
(ĐH Giao thông vận tải 1999).
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 9