bài tập lương giác lớp 10 nang cao

Trần Sĩ Tùng Lượng giác
VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân
Công thức nhân đôi
sin2 2sin .cos
α α α
=
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
α α α α α
= − = − = −

2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot
1 tan
α α
α α
α
α
−
= =
−

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin

2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
α
α
α
α
α
α
α
−
=
+
=
−
=
+
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan

α α α
α α α
α α
α
α
= −
= −
−
=
−
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)
khi
5 3
cos2 , sin2 , tan2 cos ,
13 2
π
α α α α π α
= − < <
b)
khicos2 , sin2 , tan2 tan 2
α α α α
=
c)
khi
4 3
sin , cos sin2 ,
5 2 2
π π
α α α α

= − < <
d)
khi
7
cos2 , sin2 , tan2 tan
8
α α α α
=
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau:
a)
o o o o
A cos20 .cos40 .cos60 .cos80=
ĐS:
1
16
b)
o o o
B sin10 .sin50 .sin70=
ĐS:
1
8
c)
C
4 5
cos .cos .cos
7 7 7
π π π
=
ĐS:
1

8
d)
D
0 0 0
cos10 .cos50 .cos70=
ĐS:
3
8
e)
o o o o
E sin6 .sin42 .sin66 .sin78=
ĐS:
1
16
f)
G
2 4 8 16 32
cos .cos .cos .cos .cos
31 31 31 31 31
π π π π π
=
ĐS:
1
32
h)
o o o o o
H sin5 .sin15 .sin25 sin75 .sin85=
ĐS:
2
512

i)
I
0 0 0 0 0
cos10 .cos20 .cos30 cos70 .cos80=
ĐS:
3
256
k)
K 96 3 sin .cos .cos cos cos
48 48 24 12 6
π π π π π
=
ĐS: 9
l)
L
2 3 4 5 6 7
cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15
π π π π π π π
=
ĐS:
1
128
Trang 67
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
m)
M sin .cos .cos
16 16 8
π π π
=

ĐS:
2
8
Bài 3. Chứng minh rằng:
a)
n
n
n
a a a a a
P
a
2 3
sin
cos cos cos cos
2
2 2 2
2 .sin
2
= =
b)
n
n
Q
n n n
2 1
cos .cos cos
2 1 2 1 2 1
2
π π π
= =

+ + +
c)
n
R
n n n
2 4 2 1
cos .cos cos
2 1 2 1 2 1 2
π π π
= = −
+ + +
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
x x
4 4
3 1
sin cos cos4
4 4
+ = +
b)
x x x
6 6
5 3
sin cos cos4
8 8
+ = +
c)
x x x x x
3 3
1

sin .cos cos .sin sin4
4
− =
d)
x x
x x
6 6 2
1
sin cos cos (sin 4)
2 2 4
− = −
e)
x
x
2
1 sin 2sin
4 2
π
 
− = −
 ÷
 
f)
x
x x
2
2
1 sin
1
2cot .cos

4 4
π π
−
=
   
+ −
 ÷  ÷
   
g)
x
x
x
1 cos
2
tan . 1
4 2
sin
2
π
π
π
 
+ +
 ÷
 
 
+ =
 ÷
 
 

+
 ÷
 
h)
x
x
x
1 sin2
tan
4 cos2
π
 
+
+ =
 ÷
 
i)
x x
x
cos
cot
1 sin 4 2
π
 
= −
 ÷
−  
k)
x x
x x

x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan .tan 2
−
=
−
l)
x x xtan cot 2cot= −
m)
x x
x
2
cot tan
sin2
+ =
n)
x
x vôùi x
1 1 1 1 1 1
cos cos , 0 .
2 2 2 2 2 2 8 2
π
+ + + = < <
Bài 5.
a)
VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi
1. Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
b a
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
−
− =
Trang 68
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
sin cos 2.sin 2.cos
4 4

π π
α α α α
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
sin cos 2sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
2. Công thức biến đổi tích thành tổng
Bài 1. Biến đổi thành tổng:
a)
a b a b2sin( ).cos( )+ −
b)
a b a b2cos( ).cos( )+ −
c)
x x x4sin3 .sin2 .cos
d)
x x
x
13
4sin .cos .cos
2 2
e)
o o

x xsin( 30 ).cos( 30 )+ −
f)
2
sin .sin
5 5
π π
g)
x x x2sin .sin2 .sin3 .
h)
x x x8cos .sin2 .sin3
i)
x x xsin .sin .cos2
6 6
π π
   
+ −
 ÷  ÷
   
k)
a b b c c a4cos( ).cos( ).cos( )− − −
Bài 2. Chứng minh:
a)
x x x x4cos .cos cos cos3
3 3
π π
   
− + =
 ÷  ÷
   
b)

x x x x4sin .sin sin sin3
3 3
π π
   
− + =
 ÷  ÷
   
Áp dụng tính:
o o o
A sin10 .sin50 .sin70=
o o o
B cos10 .cos50 .cos70=
C
0 0 0
sin20 .sin 40 .sin80=
D
0 0 0
cos20 .cos40 .cos80=
Bài 3. Biến đổi thành tích:
a)
x2sin 4 2+
b)
x
2
3 4cos−
c)
x
2
1 3tan−
d)

x x xsin2 sin4 sin6
+ +
e)
x x3 4cos4 cos8+ +
f)
x x x xsin5 sin6 sin7 sin8+ + +
g)
x x x1 sin2 –cos2 –tan2+
h)
o o
x x
2 2
sin ( 90 ) 3cos ( 90 )+ − −
i)
x x x xcos5 cos8 cos9 cos12
+ + +
k)
x xcos sin 1
+ +
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
x x x x
A
x x x x
cos7 cos8 cos9 cos10
sin7 sin8 sin9 sin10
− − +
=
− − +
b)

x x x
B
x x x
sin2 2sin3 sin4
sin3 2sin4 sin5
+ +
=
+ +
c)
x x x
C
x x
2
1 cos cos2 cos3
cos 2cos 1
+ + +
=
+ −
d)
x x x
D
x x x
sin4 sin5 sin6
cos4 cos5 cos6
+ +
=
+ +
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
A

2
cos cos
5 5
π π
= +
b)
B
7
tan tan
24 24
π π
= +
c)
o o o
C
2 2 2
sin 70 .sin 50 .sin 10=
d)
o o o o
D
2 2
sin 17 sin 43 sin17 .sin43= + +
Trang 69
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
e)
o
o
E
1
2sin70

2sin10
= −
f)
o o
F
1 3
sin10 cos10
= −
g)
o o
o o o o
G
tan80 cot10
cot25 cot75 tan25 tan75
= −
+ +
h)
H
0 0 0 0
tan9 tan27 tan63 tan81= − − +
ĐS:
A
1
2
=
B 2( 6 3)= −
C
1
64
=

D
3
4
=
E = 1 F = 4 G = 1 H = 4
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
7 13 19 25
sin sin sin sin sin
30 30 30 30 30
π π π π π
ĐS:
1
32
b)
o o o o o
16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90
ĐS: 1
c)
o o o o
cos24 cos48 cos84 cos12+ − −
ĐS:
1
2
d)
2 4 6
cos cos cos
7 7 7
π π π
+ +

ĐS:
1
2
−
e)
2 3
cos cos cos
7 7 7
π π π
− +
ĐS:
1
2
f)
5 7
cos cos cos
9 9 9
π π π
+ +
ĐS: 0
g)
2 4 6 8
cos cos cos cos
5 5 5 5
π π π π
+ + +
ĐS: –1
h)
3 5 7 9
cos cos cos cos cos

11 11 11 11 11
π π π π π
+ + + +
ĐS:
1
2
Bài 7. Chứng minh rằng:
a)
o o o o
tan9 tan27 tan63 tan81 4− − + =
b)
o o o
tan20 tan40 tan80 3 3− + =
c)
o o o o
tan10 tan50 tan60 tan70 2 3− + + =
d)
o o o o o
8 3
tan30 tan40 tan50 tan60 .cos20
3
+ + + =
e)
o o o o o
tan20 tan40 tan80 tan60 8sin40+ + + =
f)
o o o6 4 2
tan 20 33tan 20 27tan 20 3 0− + − =
Bài 8. Tính các tổng sau:
a)

S n k
1
cos cos3 cos5 cos(2 1) ( )
α α α α α π
= + + + + − ≠

b)
n
S
n n n n
2
2 3 ( 1)
sin sin sin sin .
π π π π
−
= + + + +
c)
n
S
n n n n
3
3 5 (2 1)
cos cos cos cos .
π π π π
−
= + + +
d)
S vôùi a
a a a a a a
4

1 1 1
, .
cos .cos2 cos2 .cos3 cos4 .cos5 5
π
= + + + =

e)
n
S
x x x
x
5
1
1 1 1 1
1 1 1 1
cos cos2 cos3
cos2
−
     
= + + + +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
   
 

Trang 70
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
ĐS:
n
S

1
sin2
2sin
α
α
=
;
S
n
2
cot
2
π
=
;
S
n
3
cos
π
= −
;
a a
S
a
4
tan5 tan
1 5
sin
−

= = −
;
n
x
S
x
1
5
tan2
tan
2
−
=
Bài 9.
a) Chứng minh rằng:
x x x
3
1
sin (3sin sin3 ) (1)
4
= −
b) Thay
n
n
n n
a a a a
x vaøo tính S
3 3 1 3
2
(1), sin 3sin 3 sin .

3
3 3 3
−
= = + + +
ĐS:
n
n
n
a
S a
1
3 sin sin .
4
3
 
= −
 ÷
 
Bài 10.
a) Chứng minh rằng:
a
a
a
sin2
cos
2sin
=
.
b) Tính
n

n
x x x
P
2
cos cos cos .
2
2 2
=
ĐS:
n
n
n
x
P
x
sin
.
2 sin
2
=
Bài 11.
a) Chứng minh rằng:
x
x
x
1
cot cot
sin 2
= −
.

b) Tính
n
n
S k
1
1
1 1 1
(2 )
sin sin2
sin2
α π
α α
α
−
−
= + + + ≠
ĐS:
n
S
1
cot cot 2
2
α
α
−
= −
Bài 12.
a) Chứng minh rằng:
x x x x
2

tan .tan2 tan2 2tan= −
.
b) Tính
n
n
n n
a a a a a
S a
2 2 1 2
2 1
tan .tan 2tan .tan 2 tan .tan
2 2
2 2 2
−
−
= + + +
ĐS:
n
n
n
a
S atan 2 tan
2
= −
Bài 13. Tính
x
2
sin 2 ,
biết:
x x x x

2 2 2 2
1 1 1 1
7
tan cot sin cos
+ + + =
ĐS:
8
9
Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x xcot tan 2tan2 4cot 4− − =
b)
x x
x x
2
1 2sin 2 1 tan2
1 sin4 1 tan2
− +
=
− −
c)
x
x
x x
2
6
6 2
1 3tan
tan 1
cos cos

− = +
d)
x x
x
x x x
1 sin2 cos2
tan4
cos4 sin2 cos2
−
− =
+
e)
x x x x x xtan6 tan4 tan2 tan2 .tan4 .tan6− − =
f)
x
x x x
x
sin7
1 2cos2 2cos4 2cos6
sin
= + + +
g)
x x x x x xcos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4+ =
Bài 15.
a) Cho
a b bsin(2 ) 5sin+ =
. Chứng minh:
a b
a
2tan( )

3
tan
+
=
Trang 71
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
b) Cho
a b atan( ) 3tan+ =
. Chứng minh:
a b a bsin(2 2 ) sin2 2sin2+ + =
Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
A B C
A B Csin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
+ + =
b)
A B C
A B Ccos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
+ + = +
c)
A B C A B Csin2 sin2 sin2 4sin .sin .sin+ + =
d)
A B C A B Ccos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cos+ + = − −
e)
A B C A B C
2 2 2
cos cos cos 1 2cos .cos .cos+ + = −
f)

A B C A B C
2 2 2
sin sin sin 2 2cos .cos .cos+ + = +
Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết:
a)
B C vaø B C
1
sin .sin .
3 2
π
− = =
ĐS:
B C A, ,
2 6 3
π π π
= = =
b)
B C vaø B C
2 1 3
sin .cos .
3 4
π
+
+ = =
ĐS:
A B C
5
, ,
3 12 4
π π π

= = =
Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông:
a)
A B Ccos2 cos2 cos2 1+ + = −
b)
A B Ctan2 tan2 tan2 0+ + =
c)
b c a
B C B Ccos cos sin .sin
+ =
d)
B a c
b
cot
2
+
=
Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
a)
A B
a A b B a btan tan ( )tan
2
+
+ = +
b)
B C B C
2
2tan tan tan .tan+ =
c)
A B

A B
A B
sin sin 1
(tan tan )
cos cos 2
+
= +
+
d)
C A B
C
2sin .sin
cot
2 sin
=
Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều:
a)
A B C
3 3
sin sin sin
2
+ + ≤
HD: Cộng
sin
3
π
vào VT.
b)
A B C
3

cos cos cos
2
+ + ≤
HD: Cộng
cos
3
π
vào VT.
c)
A B Ctan tan tan 3 3+ + ≥
(với A, B, C nhọn)
d)
A B C
1
cos .cos .cos
8
≤
HD: Biến đổi
A B C
1
cos .cos .cos
8
−
về dạng hằng đẳng thức.
Bài 21.
a)
Trang 72