bài tập lương giác lớp 10 nang cao

Lượng giác Trần Sĩ Tùng
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho
OA OM( , )
α
=
. Giả sử
M x y( ; )
.
( )
x OH
y OK
AT k
BS k
cos
sin
sin
tan
cos 2
cos
cot
sin
α
α
α π
α α π
α
α
α α π
α

= =
= =
 
= = ≠ +
 ÷
 
= = ≠
Nhận xét:
•
, 1 cos 1; 1 sin 1
α α α
∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤
• tanα xác định khi
k k Z,
2
π
α π
≠ + ∈
• cotα xác định khi
k k Z,
α π
≠ ∈
•
ksin( 2 ) sin
α π α
+ =
•
ktan( ) tan
α π α
+ =

kcos( 2 ) cos
α π α
+ =

kcot( ) cot
α π α
+ =
2. Dấu của các giá trị lượng giác
Phần tư
Giá trị lượng giác
I II III IV
cosα
+ – – +
sinα
+ + – –
tanα
+ – + –
cotα
+ – + –
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
0
6
π
4
π
3
π
2
π

2
3
π
3
4
π
π
3
2
π
2
π
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0

360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
–1 0 1

tan 0
3
3
1
3
3−
–1 0 0
cot
3
1
3
3
0
3
3
−
–1 0
Trang 56
CHƯƠNG VI
GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG VI
GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
cosin
O
cotang
sin

tang

H
A
M
K
B S
α
T
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
4. Hệ thức cơ bản:
2 2
sin cos 1
α α
+ =
;
tan .cot 1
α α
=
;
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
α α
α α
+ = + =
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
cos( ) cos
α α

− =
sin( ) sin
π α α
− =
sin cos
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
sin( ) sin
α α
− = −
cos( ) cos
π α α
− = −
cos sin
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
tan( ) tan
α α
− = −
tan( ) tan

π α α
− = −
tan cot
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
cot( ) cot
α α
− = −
cot( ) cot
π α α
− = −
cot tan
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
Góc hơn kém
π
Góc hơn kém
2
π
sin( ) sin

π α α
+ = −
sin cos
2
π
α α
 
+ =
 ÷
 
cos( ) cos
π α α
+ = −
cos sin
2
π
α α
 
+ = −
 ÷
 
tan( ) tan
π α α
+ =
tan cot
2
π
α α
 
+ = −

 ÷
 
cot( ) cot
π α α
+ =
cot tan
2
π
α α
 
+ = −
 ÷
 
II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )

1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
π α π α
α α
α α
   
+ −
+ = − =
 ÷  ÷
− +
   
2. Công thức nhân đôi
sin2 2sin .cos
α α α
=
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
α α α α α
= − = − = −

2

2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot
1 tan
α α
α α
α
α
−
= =
−

Trang 57
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
α
α

α
α
α
α
α
−
=
+
=
−
=
+
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
α α α
α α α
α α
α
α
= −
= −
−
=

−
3. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b

a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
b a
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
−
− =
sin cos 2.sin 2.cos
4 4

π π
α α α α
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
Trang 58
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn
của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A =
0 0
sin50 .cos( 300 )−
b) B =
0
21
sin215 .tan
7
π

c) C =
3 2
cot .sin
5 3
π π
 
−
 ÷
 
d) D =
c
4 4 9
os .sin .tan .cot
5 3 3 5
π π π π
Bài 2. Cho
0 0
0 90
α
< <
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
0
sin( 90 )
α
+
b) B =
0
cos( 45 )
α

−
c) C =
0
cos(270 )
α
−
d) D =
0
cos(2 90 )
α
+
Bài 3. Cho
0
2
π
α
< <
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
cos( )
α π
+
b) B =
tan( )
α π
−
c) C =
2
sin
5

π
α
 
+
 ÷
 
d) D =
3
cos
8
π
α
 
−
 ÷
 
Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
A B Csin sin sin+ +
b) B =
A B Csin .sin .sin
c) C =
A B C
cos .cos .cos
2 2 2
d) D =
A B C
tan tan tan
2 2 2
+ +

Bài 5.
a)
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị
lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sin
α
, tính cos
α
, tan
α
, cot
α
•
Từ
2 2
sin cos 1
α α
+ =

⇒

2
cos 1 sin
α α
= ± −
.
– Nếu
α

thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2
cos 1 sin
α α
= −
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư II hoặc III thì
2
cos 1 sin
α α
= − −
.
•
Tính
sin
tan
cos
α
α
α
=
;
1
cot
tan
α
α
=

.
2. Cho biết cos
α
, tính sin
α
, tan
α
, cot
α
•
Từ
2 2
sin cos 1
α α
+ =

⇒

2
sin 1 cos
α α
= ± −
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
sin 1 cos
α α
= −

.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
sin 1 cos
α α
= − −
.
•
Tính
sin
tan
cos
α
α
α
=
;
1
cot
tan
α
α
=
.
Trang 59
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
3. Cho biết tan
α

, tính sin
α
, cos
α
, cot
α
•
Tính
1
cot
tan
α
α
=
.
•
Từ
2
2
1
1 tan
cos
α
α
= +

⇒

2
1

cos
1 tan
α
α
= ±
+
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2
1
cos
1 tan
α
α
=
+
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư II hoặc III thì
2
1
cos
1 tan
α
α
= −
+

.
•
Tính
sin tan .cos
α α α
=
.
4. Cho biết cot
α
, tính sin
α
, cos
α
, tan
α
•
Tính
1
tan
cot
α
α
=
.
•
Từ
2
2
1
1 cot

sin
α
α
= +

⇒

2
1
sin
1 cot
α
α
= ±
+
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
1
sin
1 cot
α
α
=
+
.
– Nếu
α

thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
1
sin
1 cot
α
α
= −
+
.
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
•
Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.
•
Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:
A B A B AB
2 2 2
( ) 2+ = + −
A B A B A B
4 4 2 2 2 2 2
( ) 2+ = + −
A B A B A AB B
3 3 2 2
( )( )+ = + − +
A B A B A AB B
3 3 2 2
( )( )− = − + +
IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình

•
Đặt
t x t
2
sin , 0 1= ≤ ≤

⇒

x t
2
cos =
. Thế vào giả thiết, tìm được t.
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.
•
Thiết lập phương trình bậc hai:
t St P
2
0− + =
với
S x y P xy;= + =
. Từ đó tìm x, y.
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
a)
a a
0 0
4
cos , 270 360
5
= < <
b)

2
cos , 0
2
5
π
α α
= − < <
c)
a a
5
sin ,
13 2
π
π
= < <
d)
0 0
1
sin , 180 270
3
α α
= − < <
e)
a a
3
tan 3,
2
π
π
= < <

f)
tan 2,
2
π
α α π
= − < <
g)
0
cot15 2 3= +
h)
3
cot 3,
2
π
α π α
= < <
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
Trang 60
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
a)
a a
A khi a a
a a
cot tan 3
sin , 0
cot tan 5 2
π
+
= = < <
−

ĐS:
25
7
b)
a a
B khi a a
a a
2
0 0
8tan 3cot 1 1
sin , 90 180
tan cot 3
+ −
= = < <
+
ĐS:
8
3
c)
a a a a
C khi a
a a a a
2 2
2 2
sin 2sin .cos 2cos
cot 3
2sin 3sin .cos 4cos
+ −
= = −
− +

ĐS:
23
47
−
d)
a a
D khi a
a a
3 3
sin 5cos
tan 2
sin 2cos
+
= =
−
ĐS:
55
6
e)
a a a
E khi a
a a
3 3
3
8cos 2sin cos
tan 2
2cos sin
− +
= =
−

ĐS:
3
2
−
g)
a a
G khi a
a a
cot 3tan 2
cos
2cot tan 3
+
= = −
+
ĐS:
19
13
h)
a a
H khi a
a a
sin cos
tan 5
cos sin
+
= =
−
ĐS:
3
2

−
Bài 3. Cho
a a
5
sin cos
4
+ =
. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
A a asin .cos
=
b)
B a asin cos
= −
c)
C a a
3 3
sin cos= −
ĐS: a)
9
32
b)
7
4
±
c)
41 7
128
±
Bài 4. Cho

a atan cot 3− =
. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
A a a
2 2
tan cot= +
b)
B a atan cot= +
c)
C a a
4 4
tan cot= −
ĐS: a) 11 b)
13±
c)
33 13±
Bài 5.
a) Cho
x x
4 4
3
3sin cos
4
+ =
. Tính
A x x
4 4
sin 3cos= +
. ĐS:
7

A
4
=
b) Cho
x x
4 4
1
3sin cos
2
− =
. Tính
B x x
4 4
sin 3cos= +
. ĐS: B = 1
c) Cho
x x
4 4
7
4sin 3cos
4
+ =
. Tính
C x x
4 4
3sin 4cos= +
. ĐS:
C C
7 57
4 28

= ∨ =
Bài 6.
a) Cho
x x
1
sin cos
5
+ =
. Tính
x x x xsin , cos , tan , cot
.
b) Cho
x xtan cot 4+ =
. Tính
x x x xsin , cos , tan , cot
.
ĐS: a)
4 3 4 3
; ; ;
5 5 3 4
− − −
b)
1 2 3
; ; 2 3; 2 3
2
2 2 3
−
+ −
−
hoặc

2 3 1
2 3; 2 3; ;
2
2 2 3
−
− +
−
Bài 7.
a)
Trang 61
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).
Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau:
a)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550
b)
7 13 5 10 5 11 16 13 29 31
9 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
2 4 4 3 3 3 3 6 6 4
π π π π π π π π π π
π π
− − − −
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A x x xcos cos(2 ) cos(3 )
2
π
π π

 
= + + − + +
 ÷
 
b)
B x x x x
7 3
2cos 3cos( ) 5sin cot
2 2
π π
π
   
= − − + − + −
 ÷  ÷
   
c)
C x x x x
3
2sin sin(5 ) sin cos
2 2 2
π π π
π
     
= + + − + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
d)
D x x x x
3 3
cos(5 ) sin tan cot(3 )

2 2
π π
π π
   
= − − + + − + −
 ÷  ÷
   
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A
0 0 0 0
0 0
sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 )
cot572 tan( 212 )
− − −
= −
−
ĐS: A = –1
b)
B
0 0
0
0 0
sin( 234 ) cos216
.tan36
sin144 cos126
− −
=
−
ĐS:

B 1= −
c)
C
0 0 0 0 0
cos20 cos40 cos60 cos160 cos180= + + + + +
ĐS:
C 1
= −
d)
D
2 0 2 0 2 0 2 0
cos 10 cos 20 cos 30 cos 180= + + + +
ĐS:
D 9
=
e)
E
0 0 0 0 0
sin20 sin40 sin60 sin340 sin360= + + + + +
ĐS:
E 0=
f)
x x x x
0 0 0 0
2sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )+ + − + + −
ĐS:
F x1 cos
= +
Bài 4.
a)

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác.
Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:
A B C
π
+ + =
và
A B C
2 2 2 2
π
+ + =
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x
4 4 2
sin cos 1 2cos− = −
b)
x x x x
4 4 2 2
sin cos 1 2cos .sin+ = −
c)
x x x x
6 6 2 2
sin cos 1 3sin .cos+ = −
Trang 62
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
d)
x x x x x x
8 8 2 2 4 4

sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos+ = − +
e)
x x x x
2 2 2 2
cot cos cos .cot− =
f)
x x x x
2 2 2 2
tan sin tan .sin− =
g)
x x x x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )+ + + = + +
h)
x x x x x x x x
2 2
sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot+ + = +
i)
x x x
x x x
sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
+ −
=
− − +
k)
x
x
x
2
2
2

1 sin
1 tan
1 sin
+
= +
−
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
a b
a b
a b
tan tan
tan .tan
cot cot
+
=
+
b)
a a a
a a a a
a
2
2
sin cos 1 cot
sin cos cos sin
1 cot
+
− =
− −
−

c)
a a
a a
a a
2 2
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
− − =
+ +
d)
a a a
a a
a a
a
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos
tan 1
+
− = +
−
−
e)
a a
a
a
a

2
2
1 cos (1 cos )
1 2cot
sin
sin
 
+ −
− =
 
 
f)
a a a
a a a a
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
+ +
=
+ +
g)
a a
a
a a
2
2
1 sin 1 sin
4tan

1 sin 1 sin
 
+ −
− =
 ÷
− +
 
h)
a b a b
a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2
tan tan sin sin
tan .tan sin .sin
− −
=
i)
a a
a
a a
2 2
6
2 2
sin tan
tan
cos cot
−
=
−
k)

a a
a a
a a
a a
3 3
3 3
2 2
tan 1 cot
tan cot
sin .cos
sin cos
− + = +
Bài 3. Cho
x a
vôùi a b
a b a b
4 4
sin cos 1
, , 0.+ = >
+
Chứng minh:
x x
a b a b
8 8
3 3 3
sin cos 1
( )
+ =
+
.

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
x x x
2 2 2
(1 sin )cot 1 cot− + −
b)
x x x x
2 2
(tan cot ) (tan cot )+ − −
c)
x x x
x x x
2 2 2
2 2 2
cos cos .cot
sin sin .tan
+
+
d)
x a y a x a y a
2 2
( .sin .cos ) ( .cos .sin )− + +
e)
x x
a x
2 2
2 2
sin tan
cos cot
−

−
f)
x x x
x x x
2 2 4
2 2 4
sin cos cos
cos sin sin
− +
− +
g)
x x x x
2 2
sin (1 cot ) cos (1 tan )+ + +
h)
x x
x
x x
1 cos 1 cos
; (0, )
1 cos 1 cos
π
+ −
− ∈
− +
i)
x x
x
x x
1 sin 1 sin

; ;
1 sin 1 sin 2 2
π π
 
+ −
+ ∈ −
 ÷
− +  
k)
x x x x
2 2
3
cos tan sin ; ;
2 2
π π
 
− − ∈
 ÷
 
Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a)
x x x x
4 4 6 6
3(sin cos ) 2(sin cos )+ − +
ĐS: 1
b)
x x x x x
8 8 6 6 4
3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin− + − +
ĐS: 1

c)
x x x x
4 4 2 2
(sin cos 1)(tan cot 2)+ − + +
ĐS: –2
d)
x x x x x
2 2 2 2 2
cos .cot 3cos cot 2sin+ − +
ĐS: 2
e)
x x
x x x
4 4
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
+ −
+ + −
ĐS:
2
3
Trang 63
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
f)
x x x x
x x
2 2 2 2
2 2
tan cos cot sin

sin cos
− −
+
ĐS: 2
g)
x x
x x
6 6
4 4
sin cos 1
sin cos 1
+ −
+ −
ĐS:
3
2
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
B A Csin sin( )= +
b)
A B Ccos( ) cos+ = −
c)
A B C
sin cos
2 2
+
=
d)
B C A Ccos( ) cos( 2 )− = − +
e)

A B C Ccos( ) cos2+ − = −
f)
A B C
A
3
cos sin2
2
− + +
= −
g)
A B C
C
3
sin cos
2
+ +
=
h)
A B C C2 3
tan cot
2 2
+ −
=
Bài 7.
a)
VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +

tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
π α π α
α α
α α
   
+ −
+ = − =
 ÷  ÷
− +

   
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
a)
0 0 0
15 ; 75 ; 105
b)
5 7
; ;
12 12 12
π π π
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)
khi
3
tan sin ,
3 5 2
π π
α α α π
 
+ = < <
 ÷
 
ĐS:
38 25 3
11
−
b)
khi
12 3
cos sin , 2

3 13 2
π π
α α α π
 
− = − < <
 ÷
 
ĐS:
(5 12 3)
26
−
c)
a b a b khi a b
1 1
cos( ).cos( ) cos , cos
3 4
+ − = =
ĐS:
119
144
−
d)
a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )− + +
khi
a b
8 5
sin , tan
17 12
= =
và a, b là các góc nhọn.

ĐS:
21 140 21
; ; .
221 221 220
e)
a b a btan tan , tan , tan+
khi
a b a b0 , ,
2 4
π π
< < + =
và
a btan .tan 3 2 2= −
. Từ đó
Trang 64
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
suy ra a, b . ĐS:
2 2 2−
;
a b a btan tan 2 1,
8
π
= = − = =
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a) A =
o o o2 2 2
sin 20 sin 100 sin 140+ +
ĐS:
3
2

b) B =
o o o2 2
cos 10 cos110 cos 130+ +
ĐS:
3
2
c) C =
o o o o o o
tan20 .tan80 tan80 .tan140 tan140 .tan20+ +
ĐS: –3
d) D =
o o o o o o
tan10 .tan70 tan70 .tan130 tan130 .tan190+ +
ĐS: –3
e) E =
o o o
o o
cot225 cot79 .cot71
cot259 cot 251
−
+
ĐS:
3
f) F =
o o2 2
cos 75 sin 75−
ĐS:
3
2
−

g) G =
o
0
1 tan15
1 tan15
−
+
ĐS:
3
3
h) H =
0 0
tan15 cot15+
ĐS: 4
HD:
0 0 0 0 0 0
40 60 20 ; 80 60 20= − = +
;
0 0 0 0 0 0
50 60 10 ; 70 60 10= − = +
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
x y x y x y
2 2
sin( ).sin( ) sin sin+ − = −
b)
x y
x y
x y x y
2sin( )

tan tan
cos( ) cos( )
+
+ =
+ + −
c)
x x x x x x
2 2
tan .tan tan .tan tan .tan 3
3 3 3 3
π π π π
       
+ + + + + + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d)
x x x x
3 2
cos .cos cos .cos (1 3)
3 4 6 4 4
π π π π
       
− + + + + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
e)
o o o o
(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )+ +
o o o o
(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + =

f)
x x
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan 2 .tan
−
=
−
Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a)
a a b khi b a cos a b2tan tan( ) sin sin . ( )= + = +
b)
a a b khi b a b2tan tan( ) 3sin sin(2 )= + = +
c)
a b khi a b a b
1
tan .tan cos( ) 2cos( )
3
= − + = −
d)
k
a b b khi a b k a
k
1
tan( ).tan cos( 2 ) cos
1

−
+ = + =
+
HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
C A B B Asin sin .cos sin .cos= +
b)
C
A B A B
A B
0
sin
tan tan ( , 90 )
cos .cos
= + ≠
c)
A B C A B C A B C
0
tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )+ + = ≠
d)
A B B C C Acot .cot cot .cot cot .cot 1
+ + =
Trang 65
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
e)
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2

+ + =
f)
A B C A B C
cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
+ + =

g)
o
C B
B C A
B A C A
cos cos
cot cot ( 90 )
sin .cos sin .cos
+ = + ≠
h)
A B C A B C A B C A B C
cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + +
i)
A B C A B C
2 2 2
sin sin sin 1 2sin sin sin
2 2 2 2 2 2
+ + = +
HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180
0
e, f) Sử dụng

A B C
0
90
2 2 2
 
+ + =
 ÷
 
g) VT = VP = tanA h) Khai triển
A B C
cos
2 2 2
 
+ +
 ÷
 
i) Khai triển
A B C
sin
2 2 2
 
+ +
 ÷
 
.
Chú ý: Từ
B C A
cos sin
2 2 2
 

+ =
 ÷
 

⇒

B C A B C
cos .cos sin sin .sin
2 2 2 2 2
= +
⇒

A B C A A B C
2
sin .cos .cos sin sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2 2
= +
Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh:
a)
A B C ABC nhoïntan tan tan 3 3, .
∆
+ + ≥ ∀
b)
A B C ABC nhoïn
2 2 2
tan tan tan 9, .
∆
+ + ≥ ∀
c)
A B C ABC nhoïn

6 6 6
tan tan tan 81, .
∆
+ + ≥ ∀
d)
A B C
2 2 2
tan tan tan 1
2 2 2
+ + ≥
e)
A B C
tan tan tan 3
2 2 2
+ + ≥
HD: a, b, c) Sử dụng
A B C A B Ctan tan tan tan .tan .tan+ + =
và BĐT Cô–si
d) Sử dụng
a b c ab bc ca
2 2 2
+ + ≥ + +

và
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
+ + =
e) Khai triển
A B C

2
tan tan tan
2 2 2
 
+ +
 ÷
 
và sử dụng câu c)
Bài 8.
a)
Trang 66