bài tập lượng giác lớp 10 nâng cao

Trần Sĩ Tùng Lượng giác
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x
x
x x x
2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos
tan
cos sin sin
− +
=
− +
b)
x x x x x
2
(tan2 tan )(sin2 tan ) tan− − =
c)
x
x x
x
2 2
6 2cos4
tan cot
1 cos4
+
+ =
−

d)
x x x
x x x
1 cos 1 cos 4cot
1 cos 1 cos sin
+ −
− =
− +
e)
x x
x x
x x
2 2
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
− − =
+ +
f)
x x x
0 0
cos cos(120 ) cos(120 ) 0+ − + + =
g)
x x
x
x x
2 cos 2cos
4
tan
2sin 2 sin

4
π
π
 
− +
 ÷
 
=
 
+ −
 ÷
 
h)
x x
x x
x
2 2
2 2
3
cot cot
2 2
8
3
cos .cos . 1 cot
2 2
−
=
 
+
 ÷

 
i)
x x x x
6 6 2
1
cos sin cos2 1 sin 2
4
 
− = −
 ÷
 
k)
x x x x
4 4
cos sin sin2 2 cos 2
4
π
 
− + = −
 ÷
 
Bài 2. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a)
x x x x
4 4 6 6
3(sin cos ) 2(sin cos )+ − +
b)
x x x x x x
6 4 2 2 4 4
cos 2sin cos 3sin cos sin+ + +

c)
x x x x
3
cos .cos cos .cos
3 4 6 4
π π π π
       
− + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d)
x x x
2 2 2
2 2
cos cos cos
3 3
π π
   
+ + + −
 ÷  ÷
   
Bài 3. a) Chứng minh:
1
cot cot2
sin2
α α
α
− =
.
b) Chứng minh:

x x
x x x x
1 1 1 1
cot cot16
sin2 sin4 sin8 sin16
+ + + = −
.
Bài 4. a) Chứng minh:
tan cot 2cot 2
α α α
= −
.
b) Chứng minh:
n n n n
x x x x
x
2 2
1 1 1 1
tan tan tan cot cot
2 2
2 2 2 2 2 2
+ + + = −
.
Bài 5. a) Chứng minh:
x x x
2 2 2
1 4 1
4cos sin 2 4sin
= −
.

b) Chứng minh:
n n
n n
x x x x
x
2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1

sin
4cos 4 cos 4 cos 4 sin
2
2 2 2
+ + + = −
.
Bài 6. a) Chứng minh:
x x x
3
1
sin (3sin sin3 )
4
= −
.
b) Chứng minh:
n n
n n
x x x x
x
3 3 1 3

2
1
sin 3sin 3 sin 3 sin sin
3 4
3 3 3
−
 
+ + + = −
 ÷
 
.
Bài 7. a) Chứng minh:
1 tan2
1
cos2 tan
α
α α
+ =
.
b) Chứng minh:
n
n
x
x x
x x
2
1 1 1 tan2
1 1 1
cos2 tan
cos2 cos2

    
+ + + =
 ÷
 ÷  ÷
 
   
.
Trang 73
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Bài 8. a) Chứng minh:
sin2
cos
2sin
α
α
α
=
.
b) Chứng minh:
n
n
n
x x x x
x
2
sin
cos .cos cos
2
2 2
2 sin

2
=
.
Bài 9. Đơn giản các biểu thức sau:
a)
o o o o o o o o o
A tan3 .tan17 .tan23 .tan37 .tan43 .tan57 .tan63 .tan77 .tan83=
b)
B
2 4 6 8
cos cos cos cos
5 5 5 5
π π π π
= + + +
c)
C
11 5
sin .cos
12 12
π π
=
d)
D
5 7 11
sin .sin .sin .sin
24 24 24 24
π π π π
=
HD: a)
o

A tan27=
. Sử dụng
x x x x
0 0
tan .tan(60 ).tan(60 ) tan3− + =
.
b) B = –1 c)
C
1 3
2 4
= −
d)
D
1
16
=
Bài 10. Chứng minh:
a)
2 3 1
cos cos cos
7 7 7 2
π π π
− + =
b)
o o3 2
8sin 18 8sin 18 1+ =
c)
8 4tan 2tan tan cot
8 16 32 32
π π π π

+ + + =
d)
o o
1 1 4
3
cos290 3.sin250
+ =
e)
o o o o o
8 3
tan30 tan40 tan50 tan60 cos20
3
+ + + =
f)
o o o o o
3 1
cos12 cos 18 4cos15 .cos21 .cos24
2
+
+ − = −
g)
o o o o
tan20 tan40 3.tan20 .tan40 3+ + =
h)
3 9 1
cos cos cos
11 11 11 2
π π π
+ + + =
i)

2 4 10 1
cos cos cos
11 11 11 2
π π π
+ + + = −
Bài 11. a) Chứng minh:
x x x x x
1
sin .cos .cos2 .cos4 sin8
8
=
.
b) Áp dụng tính:
A
0 0 0 0
sin6 .sin 42 .sin66 .sin78=
,
B
3 5
cos .cos .cos
7 7 7
π π π
=
.
Bài 12. a) Chứng minh:
x x x
4
3 1 1
sin cos2 cos4
8 2 8

= − +
.
b) Áp dụng tính:
S
4 4 4 4
3 5 7
sin sin sin sin
16 16 16 16
π π π π
= + + +
. ĐS:
S
3
2
=
Bài 13. a) Chứng minh:
x
x
x
1 cos2
tan
sin2
−
=
.
Trang 74
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
b) Áp dụng tính:
S
2 2 2

3 5
tan tan tan
12 12 12
π π π
= + +
.
Bài 14. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a)
0 0
sin18 , cos18
b)
A
2 0 2 0 0 0
cos 18 .sin 36 cos36 .sin18= −
c)
B
2 0 2 0
sin 24 sin 6= −
d)
C
0 0 0 0 0 0 0 0 0
sin2 .sin18 .sin22 .sin38 .sin42 .sin58 .sin62 .sin78 .sin82=
HD: a)
0
5 1
sin18
4
−
=
. Chú ý:

0 0
sin54 cos36=

⇒

0 0
sin(3.18 ) cos(2.18 )=
b)
A
1
16
=
c)
B
5 1
4
−
=
d)
C
5 1
1024
−
=
. Sử dụng:
x x x x
0 0
1
sin .sin(60 ).sin(60 ) sin3
4

− + =
Bài 15. Chứng minh rằng:
a) Nếu
a bcos( ) 0+ =
thì
a b asin( 2 ) sin+ =
.
b) Nếu
a b bsin(2 ) 3sin+ =
thì
a b atan( ) 2tan+ =
.
Bài 16. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a)
b B c C a B Ccos cos cos( )+ = −
b)
S R A B C
2
2 sin .sin .sin=
c)
S R a A b B c C2 ( cos cos cos )= + +
d)
A B C
r R4 sin sin sin
2 2 2
=
Bài 17. Chứng minh rằng:
a) Nếu
B C
A

B C
sin sin
sin
cos cos
+
=
+
thì tam giác ABC vuông tại A.
b) Nếu
B B
C
C
2
2
tan sin
tan
sin
=
thì tam giác ABC vuông hoặc cân.
c) Nếu
B
A
C
sin
2cos
sin
=
thì tam giác ABC cân.
Bài 18.
a)

Trang 75