Tài liệu HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ppt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
ĐỊNH NGHĨA
F
1
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
, x
1
’,x
2
’,…,x
n
’) = 0
….
F
n
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
, x
1
’,x
2
’,…,x

n
’) = 0
Hệ tổng quát
x
1
’ = f
1
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
)
….
x
n
’ = f
n
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
)
Hệ chính tắc
t : biến
x
1

, x
2
, …, x
n
: ẩn hàm
BÀI TOÁN CAUCHY
x
1
’ = f
1
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
)
………………………
x
n
’ = f
n
(t,x
1
,x
2
,…, x
n
)
Tìm nghiệm hệ

Thỏa điều kiện
x
1
(t
0
) = α
1
…………
x
n
(t
0
) = α
n
Hệ n ptvp cấp 1 tương đương 1 ptvp cấp n nên hệ
nghiệm có n hằng số tự do.
PHƯƠNG PHÁP KHỬ
' '( ) 2
' '( ) 3
t
t
x x t y e
y y t x y e

= = +


= = − + −



B
1
: xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước.
B
2
: giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1)
hàm
Vd:
(1)
(2)
' 3 ' 2 3 '
' 2 ' 2
t t t
t t
y x y e y y e y e
x y e x y e
 
′′ ′′
= − + − = − − + −
 
⇔ ⇔
 
= + = +
 
 
(3)
(3) " 3 ' 2 2
t
y y y e⇔ − + = −
Tt cấp 2 hệ số hằng

2
1 2
2
t t t
y C e C e te⇔ = + +
2 2
1 2 1 2
(2) ' 3
2 2( 1) 3( 2 ) =
t
t t t t t t t
x y y e
C e C e t e C e C e te e
⇒ = − + −
− − − + + + + −
2
1 2
2 (4 3)
t t t
x C e C e t e⇔ = + + −
Vậy nghiệm hệ đã cho là:
2
1 2
2
1 2
2 (4 3)
2
t t t
t t t
x C e C e t e

y C e C e te

= + + −


= + +


HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG
1
2
( )
( )
( )
( )
n
x t
x t
X t
x t
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
M
1
2

( )
( )
( )
( )
n
x t
x t
X t
x t
′
 
 ÷
′
 ÷
′
=
 ÷
 ÷
′
 
M
1
2
( )
( )
( )
( )
n
f t
f t

F t
f t
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
M
X’(t) = AX(t) + F(t)
( )
: ma traän vuoâng caáp n
ij
A a=
(Hệ ẩn hàm )
Cho trước
Vd:
' '( ) 2
1 /
' '( ) 3
t
t
x x t y e
y y t x y e

= = +


= = − + −



( )
( )
( )
x t
X t
y t
 
=
 ÷
 
0 1
1 3
A
 
=
 ÷
−
 
( )
t
t
e
F t
e
−
 
=
 ÷

 ÷
 
2
sin
1 1 2
2 / ( ) 2 4 1 ( ) ,
0 3 2
ln
t
t t
X t X t t
e t
+
 
 
 ÷
 ÷
= +
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
−
 
( )
( ) ( )
( )
x t

X t y t
z t
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
2
' 2 sin
' 2 4
' 3 2 ln
t
x x y z t t
y x y z t
z y z e t
= + + + +


⇔ = + + +


= − + −

PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT
X’ = AX + F(t) A chéo hóa được( ⇔ ∃ P: P
-1
AP = D (chéo) )
X’ = AX + F(t) ⇔ X’ = PDP
-1

X + F(t) ⇔ P
-1
X’ = DP
-1
X + P
-1
F(t)
Đặt Y = P
-1
X:
⇔ Y’ = DY + G(t)
1 1 1 1
2 2 2 2
' 0 0 ( )
' 0 0 ( )

' 0 0 ( )
n n n n
y y g t
y y g t
y y g t
λ
λ
λ
      
      
      
= +
      
      

      
K
K
K
1 1 1 1
2 2 2 2
'( ) ( ) ( )
'( ) ( ) ( )

'( ) ( ) ( )
n n n n
y t y t g t
y t y t g t
y t y t g t
λ
λ
λ
= +


= +

⇔



= +

Hệ n ptvp tuyến tính cấp 1X = PY
giải

1 2
2 1 2
2
(1)
3

t
t
x x e
x x x e

′
= +


′
= − + −


0 2
, ( )
1 3
t
t
e
A F t
e
 
 
= =

 ÷
 ÷
 ÷
−
 
−
 
2 1 1 0
, ,
1 1 0 2
P D
   
= =
 ÷  ÷
   
1 1
1 1
2 2
y x
Y P X P
y x
− −
   
= ⇔ =
 ÷  ÷
   
1
(1) ( )Y DY P F t
−
′

⇔ = +
1
1 1
,
1 2
P
−
−
 
=
 ÷
−
 
1
1 1 2
( )
1 2
3
t t
t t
e e
P F t
e e
−
   
−
 
= =
 ÷  ÷
 ÷

 ÷  ÷
−
 
− −
   
1 1 1 1
2
2 2 2 2
2 2
2 3 3
t t t
t t t
y y e y te C e
y y e y e C e
 
′
= + = +
 
⇔ ⇔
 
′
= − = +
 
 
1 1 1 1
2
2 2 2 2
2 2
2 3 3
t t t

t t t
y y e y te C e
y y e y e C e
 
′
= + = +
 
⇔ ⇔
 
′
= − = +
 
 
X PY=
1
2
2
2
1 2
2
1 2
2
2 1
1 1
3
2 4 3
2 3
t t
t t
t t t t

t t t t
te C e
e C e
C e C e te e
C e C e te e
 
+
 
=
 ÷
 ÷
 ÷
 
+
 
 
+ + +
=
 ÷
 ÷
+ + +
 
2
1 1 2
2
2 1 2
( ) 2 4 3
( ) 2 3
t t t t
t t t t

x t C e C e te e
x t C e C e te e

= + + +


= + + +


Vậy nghiệm (1) là:
Cách tìm ma trận P và ma trận chéo D
Bước 1: tìm nghiệm pt: det(A – λI ) = 0 (*)
Bước 2: với mỗi λ, tìm nghiệm hệ (A – λI )P = 0, P≠ 0
•
Ma trận P có các cột là các nghiệm cơ bản của các hệ
pt trên.
•
Ma trận đường chéo D có các phần tử trên đường
chéo là các λ (số lần xuất hiện của mỗi λ là số bội của
λ trong pt (*)).
•
Vị trí của λ trên đường chéo tương ứng với vị trí của
nghiệm cơ bản trong P.
PPTR RIấNG TèM NGHIM H THUN NHT
1 1 1
2 2 2
'( ) ( )
'( ) ( )

'( ) ( )

n n n
y t y t
y t y t
y t y t



=


=





=

( )
( )
( )
1
2
1 1
2 2

n
t
t
t

n n
y t c e
y t c e
y t c e




=

=





=

1
k
n
t
k k
k
X PY c e P

=
= =

X(t) = AX(t) Y = DY

1 1 1
2 2 2
' 0 0
' 0 0

' 0 0
n n n
y y
y y
y y






=



K
K
K
P: P
-1
AP = D (chộo)
P
k
k ct th k ca P
{ , 1, , }

heọ nghieọm ủltt cuỷa heọ thuan nhaỏt
k
t
k k
X e P k n
laứ

= =
Đònh Lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A có n giá trò riêng thực λ
1
,
λ
2
… λ
n
(không bắt buộc phân biệt), tương ứng n vectơ riêng P
1
,
P
2
, … , P
n
độc lập tuyến tính ⇒ Nghiệm tổng quát thuần nhất:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
1 2
1
, , ,
k
n

T
t
n k k
k
X t x t x t x t c e P
λ
=
= =
∑
K
Vd:
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
2
1 1 2
2 1 1 2
2 4 4
2 2 4
x x x x
x x x x X X
x x x x
′
= + +

 

 ÷
′ ′
= + + ⇔ =


 ÷
 ÷

′
= + +
 

A
2
1 1 2
1 1 2 (6 ) 0
2 4 4
A I
λ
λ λ λ λ
λ
−
− = − = − =
−
1
2
0
6
λ
λ
=

⇔


=

1
( ) 0A I P
λ
− =
1
2
3
1 1 2
1 1 2 0
2 4 4
p
p
p
 
 
 ÷
 ÷
⇔ =
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
chọn
1 2
1 2
1 , 0

0 1
P P
   
 ÷  ÷
= − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
   
1
2 2
3
5 1 2
( ) 0 1 5 2 0
2 2 2
p
A I P p
p
λ
−
 
 
 ÷
 ÷
− = ⇔ − =
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
−

 
 
chọn
3
1
1
2
P
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
1 1 2
6
1 1 1 2 2 2 3 3 2
, ,
t t t
t
X e P P X e P P X e P e P
λ λ λ
= = = = = =
1 2
1 2
1 , 0
0 1
P P
   
 ÷  ÷

= − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
   
3
1
k k
k
X C X
=
⇒ =
∑
6
1 2 3
1
6
2 1 3
6
3
2 3
2
t
t
t
C C C e
x
x C C e
x
C C e

 
+ +
 
 ÷
 ÷
⇔ = − +
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
− +
 
Cấu trúc nghiệm hệ tt không thuần nhất
X = X
0
+ X
r
X
0
: nghiệm tổng quát hệ pt thuần nhất
X’(t) = AX(t)
X
r
: nghiệm riêng hệ pt không thuần nhất
Cấu trúc nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất
X
0
= C

1
X
1
+ C
2
X
2
+ …+ C
n
X
n
{ X
k
, k = 1, ,n }: hệ nghiệm độc lập tuyến tính của (1)
(1)
PP biến thiên hằng số tìm X
r
X
r
= C
1
(t)X
1
+ …+ C
n
(t)X
n
C’
1
(t)X

1
+ …+ C’
n
(t)X
n
= F(t)
C
i
tìm từ hệ pt: