Một số tính chất định tính của hệ phương trình vi phân cấp 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội - 2016


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2016

Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo em trong suốt thời gian theo
học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần
Văn Bằng - Giảng viên Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho
em trong suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày
hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu
sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh
viên và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Phương Thúy

i


Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Một số tính chất định tính
của hệ phương trình vi phân cấp một" là kết quả của việc nghiên

cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả
của các đề tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Phương Thúy

ii


Mục lục

Lời mở đầu

ii

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Một số khái niệm mở đầu về hệ phương trình vi phân . .

1.2

Quan hệ giữa phương trình vi phân cấp n và hệ n phương

1

trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Phương pháp tổ hợp tích phân . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất . . . . .

12

1.5

Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất .

15

2 Một số tính chất định tính của hệ phương trình vi phân
cấp một

18

2.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy . . .

18

2.2

Sự kéo dài nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3

Sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số và điều kiện ban đầu 36

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

49


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Lời mở đầu
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc
thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển chia thành
hai lĩnh vực đó là: Toán học lí thuyết và toán học ứng dụng. Trong lĩnh
vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến
việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân có
vai trò rất quan trọng trong lí thuyết toán học.

Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn
mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm
của nó (có cấp khác nhau). Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở
phát triển của khoa học kĩ thuật và những nhu cầu thực tiễn. Trên thực
tế, số phương trình vi phân nói chung, số hệ phương trình vi phân cấp
một nói riêng giải được là không nhiều. Do vậy chúng ta phải có một
hướng mới để nghiên cứu phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân
cấp một, đó là hướng nghiên cứu các tính chất định tính. Nghiên cứu
định tính là tìm cách suy ra những đặc trưng quan trọng của các nghiệm
của phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân mà không cần giải
chúng.
Xuất phát từ nhận thức trên và lòng ham mê môn học với sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo TS. Trần Văn Bằng, em mạnh dạn chọn
đề tài: “Một số tính chất định tính của hệ phương trình vi phân
cấp một” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình.
Khóa luận được trình bày trong hai chương:

ii


• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày một số kiến thức về hệ phương trình
vi phân. Bao gồm một số khái niệm cơ bản và cách giải hệ phương
trình vi cấp một.
• Chương 2: Một số tính chất định tính của hệ vi phân cấp một
Trong chương này trình bày một số kiến thức về sự tồn tại, tính
duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy, sự kéo dài nghiệm, sự phụ
thuộc của nghiệm vào tham số và dữ kiện ban đầu.
Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực
bản thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi

những thiếu sót. Em rất mong nhận được những đóng góp, ý kiến của
các thầy cô và bạn đọc để đề tài này được hoàn chỉnh và đạt kết quả
cao hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Phương Thúy

iii


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hệ phương trình vi
phân nhằm thuận tiện cho việc trình bày ở các mục sau.

1.1

Một số khái niệm mở đầu về hệ phương trình
vi phân

Hệ n phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là hệ phương
trình sau:


dy1



= f1 (x, y1 , y2 , . . . , yn )



dx




 dy2 = f2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx



........................






 dyn = fn (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx

(1.1)

ở đây:
x là biến độc lập.
y1 = y1 (x), y2 = y2 (x),. . . , yn = yn (x) là các hàm phải tìm.
fi = fi (x, y1 , y2 , . . . , yn ) là các hàm liên tục của các biến x, y1 , y2 , . . . , yn .
1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Bằng cách đặt



 

dy1
y
f (x, y1 , . . . , yn )
 dx 

 1  dY
 1



 .. 

.


.
Y =  . ,
=  .  , F (x, Y ) =  . . . . . . . . . . . . . . .  ,


  dx

 dy 
n
fn (x, y1 , . . . , yn )
yn
dx
hệ (1.1) có thể được viết dưới dạng véc tơ:
dY
= F (x, Y ).
dx
Nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.1) là tập hợp n hàm khả vi
y1 = y1 (x), y2 = y2 (x),. . . , yn = yn (x) trên một khoảng nào đó sao cho
chúng thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ (1.1) hay nói cách khác
khi thay chúng vào hệ (1.1) ta được các đồng nhất thức.

1.2

Quan hệ giữa phương trình vi phân cấp n và hệ
n phương trình vi phân cấp một

Ta có thể đưa một phương trình vi phân cấp n về một hệ n phương
trình vi phân cấp một theo cách sau đây:
Giả sử ta có phương trình:
y (n) = f (x, y, y , . . . , y (n−1) )
Đặt: y = y1 , y = y2 , y = y3 , . . . , y (n−1) = yn
Khi đó ta có hệ phương trình vi phân cấp một sau:

2

(1.2)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY


dy1



= y2


dx




 dy2 = y3
dx



.........







 dyn = f (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx

(1.3)

Nếu y = y(x) là nghiệm của phương trình (1.2) thì: y1 = y(x), y2 =
y (x), . . . , yn = y (n−1) (x) là nghiệm của (1.3).
Ngược lại, nếu y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) là nghiệm của hệ (1.3) thì hàm
y = y1 (x) cho ta nghiệm của phương trình (1.2).
Tương tự, ta cũng có thể đưa hệ n phương trình vi phân cấp một về
một phương trình cấp n như sau.
Định lý 1.1. Với một số điều kiện nào đó thì từ hệ phương trình:

dy1



= f1 (x, y1 , y2 , . . . , yn )


dx




 dy2 = f2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx




........................






 dyn = fn (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx

(1.4)

có thể đưa về phương trình vi phân cấp n dạng:
dyj d2 yj
dn−1 yj
dn yj
= Fj x, yj ,
,
, . . . , n−1
dxn
dx dx2
dx

(1.5)

trong đó 1 ≤ j ≤ n.
Và từ mọi nghiệm của phương trình vi phân (1.5) cho ta một nghiệm

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

y1 , y2 , . . . , yn của hệ phương trình vi phân (1.4).
Chứng minh. Giả sử fi (i = 1, . . . , n) là các hàm liên tục và có các đạo
hàm riêng liên tục theo tất cả các biến đến cấp (n − 1).
Giả sử y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), . . . , yn = yn (x) là một nghiệm của hệ
(1.4), ta thay vào phương trình thứ j của hệ (1.4) ta được:
dyj
= fj (x, y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x)) = fj (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx

(1.6)

Suy ra
∂fj ∂fj dy1
∂fj dyn
d2 yj
=
.
.
+
+
.
.
.

+
dx2
dx
∂y1 dx
∂yn dx
Vậy
∂fj
d2 yj
=
+
dx2
∂x

n

i=1

d 2 yj
∂fj
⇔
=
+
dx2
∂x

∂fj dyi
.
∂yi dx
n

i=1

∂fj
.fi
∂yn

(1.7)

n ∂f
∂fj
j
Đặt F2 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) =
.fi
+
∂x i=1 ∂yn

d2 yj
= F2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx2
d3 yj
∂F2
⇔
=
+
dx3
∂x

n

i=1

∂F2 dyi
∂F2
.
=
+
∂yi dx
∂x

(1.8)
n

i=1

d3 yj
= F3 (x, y1 , y2 , . . . , yn ).
dx3
Cứ tiếp tục như vậy đến (n − 2) lần ta được
dn−1 yj
= Fn−1 (x, y1 , y2 , . . . , yn ),
dxn−1
4

∂F2
.fi
∂yi

(1.9)

(1.10)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

dn yj
= Fn (x, y1 , y2 , . . . , yn ).
dxn

(1.11)

D(fj , F2 , F3 , . . . , Fn−1 )
=0
D(y1 , y2 , . . . , yj−1 , yj+1 , . . . , yn )

(1.12)


dyj



= fj (x, y1 , y2 , . . . , yn )


dx


2



 d yj = F2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx2



...........................




n−1


 d yj = Fn−1 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dxn−1

(1.13)

Giả sử

Xét hệ

Do giả thiết (1.12) từ hệ (1.13) ta có thể giải được y1 , y2 , . . . , yj−1 , yj+1 ,
dn−1 yj
dyj
, . . . , n−1 .
. . . , yn và các hàm này biểu diễn qua x, yj ,
dx

dx
Thay các hàm này vào (1.11) ta được
dn yj
dyj
dn−1 yj
=
F
x,
y
,
,
.
.
.
,
n
j
dxn
dx
dxn−1

(1.14)

Đây là phương trình vi phân cấp n đối với yj .
Giả sử yj = yj (x) là một nghiệm bất kì của (1.14), thay vào (1.13)
ta tìm được y1 , y2 , . . . , yj−1 , yj+1 , . . . , yn và y1 , y2 , . . . , yn sẽ là nghiệm của
hệ (1.4).
Thật vậy, y1 , y2 , . . . , yn thỏa mãn hệ (1.13) nên thỏa mãn
dyj
= fj (x, y1 , y2 , . . . , yn ).

dx
Suy ra
d2 yj
∂fj
=
+
dx2
∂x
5

n

i=1

∂fj dyi
. .
∂yi dx

(1.15)

(1.16)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Trừ từng vế của (1.16) và (1.7) ta được
n

i=1,i=j

∂fj
∂yi

dyi
− fj
dx

= 0.

Tương tự như vậy từ phương trình thứ hai của hệ (1.13), lấy đạo hàm
hai vế ta được
∂F2
d 3 yj
=
+
dx3
∂x

n

i=1

∂F2 dyi
. .
∂yi dx

(1.17)

Trừ từng vế của (1.17) và (1.9) ta được
n

i=1,i=j

∂F2
∂yi

dyi
− fj
dx

= 0.

Tiếp tục quá trình này với các phương trình còn lại của hệ (1.13),
tổng hợp lại ta có hệ

n
∂fj dyi


− fj = 0



∂yi dx
i=1,i=j




n

∂F2 dyi


− fj = 0

dx
i=1,i=j ∂yi




...........................




n

∂Fn−1 dyi


− fj = 0

dx
i=1,i=j ∂yi

(1.18)

Hệ (1.18) là một hệ đại số tuyến tính thuần nhất.
Do (1.12) nên hệ (1.18) chỉ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường
suy ra
dyi
dyj
= fi ;
= fj ; (i = j)
dx
dx
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Vậy y1 , y2 , . . . , yn là nghiệm của hệ (1.4).
Dựa trên mối quan hệ này, trong một số trường hợp, chúng ta có thể
đưa hệ phương trình vi phân cấp một về phương trình vi phân cấp cao.
Từ lời giải của phương trình vi phân cấp cao đó, chúng ta có lời giải của
hệ phương trình vi phân.
Ví dụ 1.1. Giải hệ phương trình sau


 dy = z
dx

 dz = y
dx

(1)
(2)

Lấy đạo hàm phương trình (1), ta có
d2 y
dz
=
.
dx2
dx
Thay (2) vào (1) ta được
d2 y
= y ⇔ y − y = 0.
dx2
Đây là phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai với hệ số hằng,
phương trình đặc trưng của nó là
k 2 − 1 = 0.
có hai nghiệm thực phân biệt k = ±1 nên phương trình đó có nghiệm
y = c1 e−x + c2 ex .

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Từ (1) ta suy ra
z = −c1 e−x + c2 ex .
Vậy nghiệm của hệ là



y = c1 e−x + c2 ex

z = −c e−x + c ex .
1
2

1.3

Phương pháp tổ hợp tích phân

Phương pháp tổ hợp tích phân là phương pháp cho phép ta hạ cấp
(giảm số phương trình) của hệ phương trình vi phân cấp một bằng cách
tổ hợp (nhóm) một cách thích hợp để tạo ra các hệ thức vi phân tích
phân được. Tích phân mỗi hệ thức vi phân đó cho ta một hệ thức đại số
liên hệ giữa các ẩn hàm và biến độc lập, gọi là một tích phân đầu của
hệ. Nếu như các tích phân đầu đó, ta rút ra được k ẩn hàm theo biến
độc lập và các ẩn hàm còn lại thì ta sẽ giảm được k phương trình từ hệ
ban đầu. Trước hết ta xét qua ví dụ sau:
Ví dụ 1.2. Giải hệ phương trình sau


 dy = z
dx

 dz = y
dx
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được

8

(1)
(2)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

dy dz
+
=z+y
dx dx
dy + dz
⇔
=y+z
dx
d(y + z)
⇔
=y+z
dx
d(y + z)
= dx
⇔
y+z
d(y + z)
⇔
= dx + lnc1
y+z

⇔ y + z = c1 ex .

(3)

Lấy (1) trừ (2) ta được
d(y − z)
=z−y
dx
d(y − z)
= −dx
⇔
y−z
d(y − z)
⇔
=−
y−z

dx + lnc2

⇔|y − z| = −x + lnc2
⇔y − z = c2 e−x .

Từ (3) và (4) ta có hệ

(4)



y + z = c1 ex


y − z = c e−x
2


y = c1 ex + c2 e−x
2
2
Hệ đại số này cho ta

z = c1 ex − c2 e−x .
2
2
Qua ví dụ trên ta thấy rằng, đối với hệ phương trình vi phân

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

dyi
= fi (x, y1 , y2 , . . . , yn ), (i = 1, 2, . . . , n)
dx

(1.19)

trong một số trường hợp ta có thể lập các tổ hợp khả tích, tức là lập
nên những phương trình vi phân mới là hệ quả của hệ (1.19) có thể tích

phân để đi đến những hệ thức dạng
Φi (x, y1 , y2 , . . . , yn ) = ci ,

(1.20)

gọi là các tích phân đầu của hệ (1.19).
Nếu tìm được k tổ hợp khả tích thì sẽ có k tích phân đầu




Φ1 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) = c1






Φ2 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) = c2

(1.21)




........................







Φk (x, y1 , y2 , . . . , yn ) = ck .
Nếu tất cả các tích phân đầu này là độc lập, tức là có ít nhất một
định thức
D(Φ1 , Φ2 , . . . , Φk )
= 0,
D(yi1 , yi2 , . . . , yik )

(1.22)

trong đó yi1 , yi2 , . . . , yik là k hàm nào đấy trong số y1 , y2 , . . . , yn thì từ hệ
(1.21) ta có thể biểu diễn k hàm chưa biết theo các hàm còn lại. Thay
vào hệ (1.19) ta sẽ hạ thấp được k cấp của hệ đó, tức là đưa về hệ (n−k)
phương trình.
Nếu k = n và các tích phân đầu là độc lập thì các hàm chưa biết
đều xác định được từ hệ (1.21). Khi đó ta coi như đã tích phân xong hệ
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

phương trình (1.19).
Chú ý 1.1. Để dễ dàng tìm các tổ hợp khả tích người ta thường viết hệ
(1.19) dưới dạng đối xứng sau đây
dy1
dy2
=

= ... =
ϕ1 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ϕ2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dyn
dx
=
=
,
ϕn (x, y1 , y2 , . . . , yn ) ϕ0 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
trong đó
ϕi (x, y1 , y2 , . . . , yn )
= fi (x, y1 , y2 , . . . , yn ), (i = 1, 2, . . . , n).
ϕ0 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
Trong hệ đã cho dưới dạng đối xứng thì vai trò các biến số độc lập và
phụ thuộc đều như nhau.
Ví dụ 1.3. Xét hệ:

dy
2xy



= 2
dx x − y 2 − z 2
dz
2xz



= 2
dx x − y 2 − z 2

Dạng đối xứng của hệ là
dx
dy
dz
=
=
.
x2 − y 2 − z 2
2xy
2xz
Tích phân phương trình
dy
dz
=
2xy
2xz
ta được
y
= c1 .
z
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Bây giờ lần lượt nhân tử số và mẫu số của hệ phương trình đối xứng với
x, y và z rồi áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có
xdx + ydy + zdz

dz
=
x(x2 + y 2 + z 2 )
2xy
Do đó
ln(x2 + y 2 + z 2 ) = ln|y| + lnc1
hay
x2 + y 2 + z 2
= c2 .
y
Các tích phân đầu tìm được này là độc lập. Vì thế chúng cho ta xác định
các hàm phải tìm y và z qua x, c1 , c2 .
Vậy nghiệm của hệ xác định bởi hệ hai tích phân đầu độc lập


y

 = c1
z
2
x
+ y2 + z2


= c2 .

y

1.4

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất là hệ có dạng

dy1



= a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + . . . + a1n (x)yn


dx




 dy2 = a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + . . . + a2n (x)yn
dx



..........................................






 dyn = an1 (x)y1 + an2 (x)y2 + . . . + ann (x)yn ,
dx

12

(1.23)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

trong đó
aij (x), (i, j = 1, 2, . . . , n) là các hàm số liên tục.
y1 , y2 , . . . , yn là các hàm số cần tìm.
Hệ (1.23) có thể viết dưới dạng ma trận sau
Đặt


a (x)
 11

 a21 (x)
A(x) = 

 ...

an1 (x)

a12 (x)

...

a22 (x)

...

...

...

an2 (x)

...



 
dy1
y
a1n (x)
 dx 
 1

 dy2 
 







y2
a2n (x)
dY

;Y =  ;
dx 
=


 ..  dx

 .. 
.
... 
 . 
 



dyn
yn
ann (x)
dx


Khi đó hệ (1.23) tương đương với phương trình
dY
= A(x)Y.
dx

(1.24)

Sau đây là một số tính chất liên quan đến nghiệm của hệ phương
trình vi phân tuyến tính, các chứng minh có thể tham khảo trong [3].
Định lý 1.2. Nếu Y là một nghiệm của hệ (1.24) thì cY cũng là một
nghiệm của hệ (1.24) (c là hằng số).
Định lý 1.3. Nếu Y1 , Y2 là hai nghiệm của hệ (1.24) thì Y1 + Y2 cũng
là nghiệm của hệ (1.24).
Hệ quả 1.1. Nếu Y1 , Y2 là các nghiệm của (1.24) thì c1 Y1 + c2 Y2 cũng
là một nghiệm của hệ (1.24), trong đó c1 , c2 là các hằng số tùy ý.
n

Nếu Y1 , Y2 , . . . , Yn là các nghiệm của (1.24) thì

cj Yj cũng là nghiệm
j=1

của hệ (1.24).
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Định nghĩa 1.1. Các nghiệm Y1 , Y2 , . . . , Yn của hệ (1.24) được gọi là độc
 
0
 
 

n
0 

lập tuyến tính nếu
cj Yj = 0 thì cj = 0, j = 1, 2, . . . , n với 0 = 
 .. .
j=1
.
 
0
Các nghiệm Y1 , Y2 , . . . , Yn của hệ (1.24) được gọi là phụ thuộc tuyến tính
nếu tồn tại các hằng số c1 , c2 , . . . , cn không đồng thời bằng không, sao
n

cj Yj = 0.

cho
j=1

Định nghĩa 1.2. Cho họ nghiệm Y1 , Y2 , . . . , Yn của hệ (1.24)

W = W [Y1 , Y2 , . . . , Yn ] =

y11

y12

...

y1n

y21

y22

...

y2n

...

...

...

...

yn1

yn2

...

ynn

được gọi là định thức Wronski của họ Y1 , Y2 , . . . , Yn với








y
y
 11 
 1n 
 
 
 y21 
y 
 , . . . , Yn =  2n 
Y1 = 
 .. 
 .. 
 . 
 . 
 
 
yn1
ynn
Định nghĩa 1.3. Các nghiệm độc lập tuyến tính Y1 , Y2 , . . . , Yn của hệ
(1.24) được gọi là hệ nghiệm cơ bản.
Định lý 1.4. Nếu Y1 , Y2 , . . . , Yn phụ thuộc tuyến tính thì W = 0.
Định lý 1.5. Nếu Y1 , Y2 , . . . , Yn độc lập tuyến tính thì W = 0.
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Định lý 1.6. Nếu Y = U + iV, (i2 = −1) là một nghiệm của (1.24) thì
U, V cũng là nghiệm của (1.24).
Định lý 1.7. Nếu Y1 , Y2 , . . . , Yn là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình
(1.24) thì nghiệm tổng quát của hệ phương trình (1.24) có dạng
n

Y =

ci Yi .
i=1

1.5

Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần
nhất

Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất là hệ có dạng

dy1



= a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + . . . + a1n (x)yn + f1 (x)


dx





 dy2 = a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + . . . + a2n (x)yn + f2 (x)
dx



................................................






 dyn = an1 (x)y1 + an2 (x)y2 + . . . + ann (x)yn + fn (x)
dx
Nếu ta kí hiệu


a (x)
 11

 a21 (x)
A(x) = 

 ...

an1 (x)

a12 (x)

...

a22 (x)

...

...

...

an2 (x)

...

15

a1n (x)





a2n (x) 


... 

ann (x)

(1.25)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY



 
dy1
y
f (x)
 dx 
 1
 1 
 dy2 
 




 y2  dY
 f2 (x) 
 dx 





F (x) = 

 ; Y =  ..  ; dx = 
.
.


.
.
.
 . 
.


 




dyn
yn
fn (x)
dx




thì hệ (1.25) có thể viết dưới dạng ma trận tương đương như sau
dY
= A(x)Y + F (x).

dx

(1.26)

Nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có
một số tính chất được thể hiện thông qua các định lý sau.
Định lý 1.8. Nếu Y ∗ (x) là nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến
tính không thuần nhất, Y1 (x), Y2 (x), . . . , Yn (x) là hệ nghiệm cơ bản của
hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng thì nghiệm
tổng quát của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có
dạng
Y = c1 Y1 (x) + c2 Y2 (x) + . . . + cn Yn (x) + Y ∗ (x),
trong đó c1 , c2 , . . . , cn là các hằng số bất kì.
Định lý 1.9. Nếu Y1 (x), Y2 (x) là hai nghiệm tương ứng của các hệ
phương trình
L[Y ] = f1 (x); L[Y ] = f2 (x)
thì Y (x) = Y1 (x) + Y2 (x) là nghiệm của hệ phương trình
L[Y ] = f1 (x) + f2 (x).

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THÚY

Định lý 1.10. Nếu hệ phương trình tuyến tính
L[Y ] = U (x) + iV (x),
trong đó








v (x)
u (x)
 1 
 1 




 v2 (x) 
 u2 (x) 



U (x) = 
 ..  , V (x) =  .. 
 . 
 . 




vn (x)
un (x)

với ma trận thực A(x) có nghiệm phức
Y [x] = X(x) + iZ(x)
thì phần thực X(x), phần ảo Z(x) là các nghiệm thực tương ứng của các
hệ phương trình
L[Y ] = U (x); L[Y ] = V (x).
Định nghĩa 1.4. Nếu ma trận A(x) trong phương trình (1.26) không
phụ thuộc vào x thì hệ đó được gọi là hệ phương trình vi phân tuyến
tính với hệ số hằng.

17


Chương 2
Một số tính chất định tính của hệ
phương trình vi phân cấp một
Chương này trình bày một số tính chất định tính của hệ phương
trình vi phân cấp một như: sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
Cauchy, sự kéo dài nghiệm, sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số và dữ
kiện ban đầu.

2.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
Cauchy

Bài toán Cauchy của hệ phương trình vi phân

dy1




= f1 (x, y1 , y2 , . . . , yn )


dx




 dy2 = f2 (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx



........................






 dyn = fn (x, y1 , y2 , . . . , yn )
dx
18

(2.1)